ma1201 m14-1-23-04-14

MA1201 MATEMATIKA 2AMA1201 MATEMATIKA 2A

Hendra GunawanSemester II, 2013/2014Semester II, 2013/2014

23 April 2014

Kuliah yang LaluKuliah yang Lalu

13 1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang13.1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang

13.2 Integral Berulang

3 3 l i h k13.3 Integral Lipat Dua atas Daerah BukanPersegi Panjang

13.4 Integral Lipat Dua dalam Koordinat Polar

13.5 Penggunaan Integral Lipat Duagg g p

4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 2

Kuliah Hari IniKuliah Hari Ini

15 1 Persamaan Diferensial Linear Orde 215.1 Persamaan Diferensial Linear Orde 2, Homogen

15 2 Persamaan Diferensial Linear Orde 215.2 Persamaan Diferensial Linear Orde 2, Tak Homogen

15 3 P P Dif i l15.3 Penggunaan Persamaan DiferensialOrde 2


15.1 PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR MA1201 MATEMATIKA 2A

ORDE 2, HOMOGENM t k l i d l i khMenentukan solusi umum dan solusi khususpersamaan diferensial linear orde 2 homogen


Persamaan Diferensial Orde 2Persamaan Diferensial Orde 2

Banyak masalah dalamBanyak masalah dalamfisika yang dapatdirumuskan sebagaidirumuskan sebagaipersamaan diferensialorde 2 misalnya gerakorde 2, misalnya gerakharmonik sederhanayang terjadi pada pegasyang terjadi pada pegasbergetar/berosilasi.


Bentuk Umum PersamaanDiferensial Biasa Orde nMi l ( ) d l h t f i tid kMisal y = y(x) adalah suatu fungsi yang tidakdiketahui rumusnya, namun memenuhi suatupersamaan

,0),...,,,( )()1( nyyyxFdengan y(k) menyatakan turunan ke‐k dari y, dengan k = 1,…, n.

Persamaan ini disebut persamaan diferensialbiasa (PDB) orde n.biasa (PDB) orde n.


Contoh & Solusi (Umum) PDBContoh & Solusi (Umum) PDB1. y’ – 2 cos x = 0 merupakan PDB orde 1.2. y’’ + 3xy’ – 2y = 0 merupakan PDB orde 2.3. y’’’ + (y’)2 + ex = 0 merupakan PDB orde 3.

Fungsi y = f(x) disebut solusi suatu PDB apabilaPDB tsb menjadi kesamaan ketika y dan turunanPDB tsb menjadi kesamaan ketika y dan turunan‐turunannya disubstitusikan ke dalam PDB tsb. Sebagai contoh y = 2 sin x + 5 merupakan suatuSebagai contoh, y = 2 sin x + 5 merupakan suatusolusi (khusus) PDB orde 1 di atas. Solusi umum PDB orde 1 di atas adlh y = 2 sin x + C,Solusi umum PDB orde 1 di atas adlh y 2 sin x C, dengan C konstanta sembarang.4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 7

PDB Linear Orde nPDB Linear Orde n

PDB yang berbentukPDB yang berbentuk

)()()(...)( )1(1

)1(1

)( xkyxayxayxay nnnn

disebut PDB linear orde n.

Perhatikan bahwa y dan turunan turunannyaPerhatikan bahwa y dan turunan‐turunannyamemiliki pangkat 1 semuanya.

K i PDB d 3 d lid b lKarena itu, PDB orde 3 pada slide sebelumnyabukan PDB linear, karena mengandung (y’)2.


PDB Linear Orde 2, dengan KoefisienKonstantaPDB linear orde 2 berbentukPDB linear orde 2 berbentuk

).()(')('' 21 xkyxayxay

Pada kesempatan ini, kita hanya akanmembahas PDB linear orde 2 dengan koefisienmembahas PDB linear orde 2 dengan koefisienkonstanta, yang berbentuk:

)(''' kJika k(x) = 0, maka PDB tsb disebut PDB

).(''' 21 xkyayay

homogen.4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 9

Solusi Umum PDB Linear Orde 2, d fdengan Koefisien KonstantaJika u1(x) dan u2(x) merupakan dua solusi PDBJika u1(x) dan u2(x) merupakan dua solusi PDB linear orde 2 homogen

0''' yang saling bebas, maka solusi umum PDB tsb

0''' 21 yayay

adalah),()( 2211 xuCxuCy

dgn C1 dan C2menyatakan konstanta sembarang. [Verifikasinya di papan tulis!][ y p p ]


Persamaan KarakteristikPersamaan Karakteristik

Untuk mencari solusi PDB linear orde 2 homogen

[*]ki i lk ( ?) M k ki

,0''' 21 yayaykita misalkan y = erx (mengapa?). Maka, kita per‐oleh

0)( 2 rxeararKarena erx ≠ 0, maka mestilah

.0)( 21 earar

Persamaan ini disebut persamaan karakteristik.021

2 arare sa aa d sebut pe sa aa a a te stuntuk PDB di atas.4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 11

Teorema A (Akar Real Berbeda)Teorema A (Akar Real Berbeda)

Jika persamaan karakteristik mempunyai duaJika persamaan karakteristik mempunyai duaakar real berbeda, r1 dan r2, maka solusi umumPDB [*] adalahPDB [ ] adalah

d C d C k b,21

21xrxr eCeCy

dengan C1 dan C2 konstanta sembarang.


Contoh 1Contoh 1

Tentukan solusi umum PDB orde 2Tentukan solusi umum PDB orde 2

.06'5'' yyy

Jawab: Persamaan karakteristik PDB ini adalah

0652 rrPersamaan ini mempunyai akar r1 = 2 dan r2 = 3. Jadi solusi umum PDB di atas adalah

.065 rr

Jadi solusi umum PDB di atas adalah

.32

21

xx eCeCy


Contoh 1 (lanjutan)Contoh 1 (lanjutan)

Jika diketahui informasi tambahan misal syaratJika diketahui informasi tambahan, misal syaratawal y(0) = 0 dan y’(0) = 1, maka kita peroleh

C + C = 0C1 + C2 = 0

2C1 + 3C2 = 1.

(Persamaan kedua diperoleh dari y’ = 2C1e2x + 3C2e3x.) Dari kedua persamaan tsb, kita dapat‐kan C1 = ‐1 dan C2 = 1. Jadi kita peroleh solusikhusus yang memenuhi syarat awal di atas, yaituy = ‐e2x + e3x.4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 14

Teorema B (Akar Real Kembar)Teorema B (Akar Real Kembar)

Jika persamaan karakteristik mempunyai duaJika persamaan karakteristik mempunyai duaakar real kembar, r1 = r2, maka solusi umum PDB [*] adalah[ ] adalah

d C d C k b,11

21xrxr xeCeCy



Contoh 2Contoh 2Tentukan solusi khusus PDB orde 2

yg memenuhi syarat batas y(0) = 0 dan y(1) = e2.

,04'4'' yyyyg memenuhi syarat batas y(0) 0 dan y(1) e .

Jawab: Persamaan karakteristik PDB ini adalah0442

Persamaan ini mempunyai akar kembar r1,2 = 2.

.0442 rr

Jadi solusi umum PDB di atas adalah

.22

21

xx xeCeCy


21y

Contoh 2 (lanjutan)Contoh 2 (lanjutan)

Substitusikan kedua syarat batas kita perolehSubstitusikan kedua syarat batas, kita peroleh

C1 = 0

C 2 C 2 2C1e2 + C2e2 = e2.

Jadi C1 = 0 dan C2 = 1, sehingga solusi khususyang kita cari adalah y = xe2x.


Teorema C (Akar Kompleks)Teorema C (Akar Kompleks)

Jika persamaan karakteristik mempunyai duaJika persamaan karakteristik mempunyai duaakar kompleks sekawan, r1,2= a ± bi, maka solusiumum PDB [*] adalahumum PDB [ ] adalah

d C d C k b),sincos( 21 bxCbxCey ax


Catatan: Di sini i = menyatakan bilanganimajiner yang memenuhi i2 = ‐1.

1j y g


Contoh 3Contoh 3

Tentukan solusi umum PDB orde 2Tentukan solusi umum PDB orde 2

.05'4'' yyy

Jawab: Persamaan karakteristik PDB ini adalah

0542 rrPersamaan ini mempunyai akar kompleks r1,2 = 2 ± i Jadi solusi umum PDB di atas adalah

.054 rr

2 ± i. Jadi solusi umum PDB di atas adalah

).sincos( 212 xCxCey x


SoalSoal

Dengan cara serupa kita dapat menyelesaikanDengan cara serupa, kita dapat menyelesaikanPDB linear orde n yang homogen.

1. Tentukan solusi umum PDB orde 30'20''''' yyy

2. Tentukan solusi umum PDB orde 4

.020yyy

.0)4( yy


15.2 PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR MA1201 MATEMATIKA 2A

ORDE 2, TAK HOMOGENMenentukan solusi khusus dan solusi umumMenentukan solusi khusus dan solusi umumpersamaan diferensial linear orde 2 takhomogenhomogen


PDB Linear Orde 2, Tak HomogenPDB Linear Orde 2, Tak Homogen

PDB linear orde 2 tak homogen denganPDB linear orde 2 tak homogen, dengankoefisien konstanta, secara umum berbentuk

)(''' xkyayay dengan k(x) ≠ 0. Jika yp adalah solusi khusus

k h di d d l h

),(''' 21 xkyayay

persamaan tak homogen di atas dan yh adalahsolusi umum pers. homogen ,0''' 21 yayaymaka solusi umum persamaan tak homogen diatas adalah: y = yh + yp.pBagaimana mendapatkan yp?4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 22

Metode Koefisien Tak TentuMetode Koefisien Tak Tentu

Kita dapat memperoleh solusi khusus yp denganKita dapat memperoleh solusi khusus yp dengancara coba‐coba, dengan prinsip:1. Jika k(x) polinom, maka yp juga polinom.1. Jika k(x) polinom, maka yp juga polinom.2. Jika k(x) = a.ecx, maka yp = Aecx.3 Jika k(x) = a cos rx + b sin rx maka3. Jika k(x) = a.cos rx + b.sin rx, maka

yp = A.cos rx + B.sin rx.

Catatan. Bilangan A dan B merupakan koefisienyang harus dicari. Karena itu metode ini dikenaly gsebagai Metode Koefisien Tak Tentu.4/23/2014 (c) Hendra Gunawan 23

Contoh/Latihan 1Contoh/Latihan 1

Tentukan solusi umum dari .6'5'' xyyy Tentukan solusi umum dari

Jawab: Solusi persamaan homogennya adalah2 3

.65 xyyy

yh = C1e2x + C2e3x. Untuk mencari solusi khusus, misalkan yp = Ax + B (mengapa?). Maka yp’ = A dan y ’’ 0 Substitusikan ke PDB di atasdan yp’’ = 0. Substitusikan ke PDB di atas:

‐5A + 6(Ax + B) = x.h /Jadi 6A = 1 dan ‐5A + 6B = 0, sehingga A = 1/6

dan B = 5/36. Jadi solusi umum PDB di atas adl2 3 / /y = C1e2x + C2e3x + x/6 + 5/36.



Tentukan solusi umum dari 4'4'' xeyyy Tentukan solusi umum dari

Jawab: Solusi persamaan homogennya adalah

.44 eyyy

p g yyh = C1e2x + C2xe2x. Untuk mencari solusikhusus, misalkan yp = …, yp



Tentukan solusi umum dari 6'5'' 2xeyyy Tentukan solusi umum dari

Jawab: Solusi persamaan homogennya adalah

.65 eyyy

p g yyh = C1e2x + C2e3x. Untuk mencari solusi khusus, misalkan yp = …yp


SoalSoal

Tentukan solusi umum/khusus dariTentukan solusi umum/khusus dari

1.

2

;'4'' xyy i5'4''

.1)0(',0)0( yy2.

3.

.sin5'4'' xyyy .4'4'' 2xeyyy

4. .14'4'' 2 xeyyy


ma1201 m14-1-23-04-14

Documents