ma1201 m3-1 05-02-14

MA1201 MATEMATIKA 2AMA1201 MATEMATIKA 2A

Hendra GunawanSemester II, 2013/2014Semester II, 2013/2014

5 Februari 2014

Bab SebelumnyaBab Sebelumnya

7 Teknik Pengintegralan7. Teknik Pengintegralan

7.1 Aturan Dasar Pengintegralan

2 i l i l7.2 Pengintegralan Parsial

7.3 Integral Trigonometrik

7.4 Teknik Substitusi yang Merasionalkan

7.5 Integral Fungsi Rasional7.5 Integral Fungsi Rasional

7.6 Strategi Pengintegralan

2/5/2014 2(c) Hendra Gunawan

BAB 8. BENTUK TAK TENTU DANMA1201 MATEMATIKA 2A

BAB 8. BENTUK TAK TENTU DANINTEGRAL TAK WAJAR

2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 3

Sasaran Kuliah Hari IniSasaran Kuliah Hari Ini

8 1 Bentuk Tak Tentu Tipe 0/08.1 Bentuk Tak Tentu Tipe 0/0

Menghitung limit bentuk tak tentu 0/0 denganmenggunakan Aturan l’Hopitalmenggunakan Aturan l Hopital

8.2 Bentuk Tak Tentu Lainnya

Menghitung bentuk tak tentu tipe∞/∞, 0.∞, ∞ ‐ ∞, 00, ∞0, dan 1∞


8.1 BENTUK TAK TENTU TIPE 0/0MA1201 MATEMATIKA 2A

8.1 BENTUK TAK TENTU TIPE 0/0Menghitung limit bentuk tak tentu 0/0 dengan menggunakan Aturan l’Hopital


dengan menggunakan Aturan l Hopital

Bentuk Tak Tentu Tipe 0/0Bentuk Tak Tentu Tipe 0/0

Kita masih ingat bagaimana kita berhadapandengan limit‐limit berikut:

)()(1i 3 ff .)()(lim,11lim,sinlim

3

10 cxcfxf

xx

xx

cxxx

Ketiga limit ini mempunyai kemiripan, yaitubahwa pembilang dan penyebutnya sama‐samamenuju 0. Ketiga limit tsb merupakan limit

/bentuk tak tentu tipe 0/0.2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 6

CatatanCatatan

• Ketika kita membahas sistem bilangan realKetika kita membahas sistem bilangan real, 0/0 tidak didefinisikan.

• Yang sedang kita bahas adalah limit “bentuk• Yang sedang kita bahas adalah limit bentuktak tentu 0/0”, bukan 0/0.

Li i b di b “b k k ” k• Limit tsb disebut “bentuk tak tentu”, karenanilainya memang tak tentu (bisa ada, bisaid k d k l d bi b b dtidak; dan kalaupun ada, bisa berbeda antarasatu bentuk 0/0 dan bentuk 0/0 lainnya).


Aturan L’HôpitalAturan L Hôpital

Misalkan Jika0)(lim)(lim xgxfMisalkan . Jika

d ( hi k hi )

0)(lim)(lim

xgxfcxcx

)('li xfada (terhingga atau tak terhingga),

)(')( xfxf)(')(lim

xgf

cx

maka .)(')(lim

)()(lim

xgxf

xgxf

cxcx

Catatan. Di sini c dapat digantikan dgn c+, c‐, ∞ atau ∞atau ‐∞.2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 8

Contoh/LatihanContoh/Latihan

1. Hitung .11lim

3 x

Jawab:

Bentuk limit di atas merupakan bentuk 0/0

11 xx

Bentuk limit di atas merupakan bentuk 0/0. Dengan Aturan L’Hopital:

.311.3

13lim

11lim

22

1

)(3

1

xxx

x

L

x

Catatan: (L) berarti bhw kita menggunakanAt L’H it lAturan L’Hopital.2/5/2014 9(c) Hendra Gunawan

2. Hitung (a) , (b) 2

sinlim xx .sinlim 3

xx g ( ) , ( )

Jawab:20 xx

.lim 30 xx


3. Hitung .2sinlim xx g

Jawab:tan0 xx


4. Hitung .lim ee xx g

Jawab:sin20 xx


5. Hitung .lnlim 2

2xg

Jawab:121 xx


Bahan DiskusiBahan Diskusi

Perhatikan bentuk limit berikut:Perhatikan bentuk limit berikut:

.)sin(

lim12x x

• Apakah limit ini merupakan bentuk 0/0?

tan0 xx

• Apakah Aturan L’Hopital dapat diterapkan?• Hitunglah nilai limit tsb (terserah dengan caraHitunglah nilai limit tsb (terserah dengan caraapa).


8.2 BENTUK TAK TENTU LAINNYAMA1201 MATEMATIKA 2A

8.2 BENTUK TAK TENTU LAINNYAMenghitung bentuk tak tentu tipe∞/∞, 0 ∞ ∞ ‐ ∞ 00 ∞0 dan 1∞


0.∞, ∞ ‐ ∞, 0 , ∞ , dan 1

Bentuk Tak Tentu Tipe∞/∞Bentuk Tak Tentu Tipe /

Selain bentuk tipe 0/0 limit berbentuk sepertiSelain bentuk tipe 0/0, limit berbentuk seperti

x2

lim

juga sering kita hadapi. Dalam bentuk ini, baik

xx elim

pembilang maupun penyebut sama‐samamenuju tak hingga. Bentuk seperti merupakanbentuk tak tentu juga, yang kita sebut sebagaibentuk tak tentu tipe∞/∞.


Aturan L’Hôpital utk Bentuk∞/∞Aturan L Hôpital utk Bentuk /

Misalkan . Jika )(lim)(lim xgxfMisalkan . Jika

ada (terhingga atau tak terhingga)

)(lim)(lim xgxfcxcx

)('li xf ada (terhingga atau tak terhingga),

k )(')( xfxf)(')(lim

xgf

cx

maka .)(')(lim

)()(lim

xgxf

xgxf

cxcx

Catatan. Di sini c dapat digantikan dgn c+, c‐, ∞ atau ‐∞.2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 17

Contoh/LatihanContoh/Latihan

1. Hitung .2

lim ex

Jawab:

Bentuk limit di atas merupakan bentuk∞/∞

2xx

Bentuk limit di atas merupakan bentuk∞/∞. Dengan Aturan L’Hopital:

.2

lim2

lim)(

x

x

Lx

x

ex

e

Catatan: Seperti biasa, (L) berarti bahwa kitak At L’H it lmenggunakan Aturan L’Hopital.


2. Hitung .lim2x

g

Jawab:xx e


Bentuk 0.∞Bentuk 0.

3. Hitung .lnlim xx

Jawab: Di sini x 0+ dan ln x ‐∞ bila x 0+. Untuk menghitung limit ini kita tuliskan

0x

Untuk menghitung limit ini, kita tuliskan

.lnlimlnlim xxx

Perhatikan bahwa bentuk di ruas kanan

./1

limlnlim00 x

xxxx

merupakan bentuk∞/∞. Karena itu

0)(lim/1limlnlimlnlim)(

xxxxxL


.0)(lim/1

lim/1

limlnlim02000

xxx

xxxxxx

4. Hitung .ln.sinlim xxg

Jawab:0x


Bentuk∞ –∞Bentuk

5. Hitung .11lim

g

Jawab: Kita ubah terlebih dahulu bentuk di atask b t k 0/0 t /

sin0

xxx

ke bentuk 0/0 atau∞/∞.


6. Hitung [Wow, bentuk apakah ini?].)(sinlim xxg [ , p ]

Jawab:)(

0x


7. Hitung [Eh, bentuk apa lagi ini?].)1(lim 1 xg [ , p g ]

Jawab:)( xx


8. Hitung [Bentuk apa pula ini?].)(tanlim cos xxg [ p p ]

Jawab:)(

2x


Bahan DiskusiBahan Diskusi

Perhatikan bentuk limit berikut:Perhatikan bentuk limit berikut:

(a) .)(sinlim cos

2

x

xx

(b)

2

.l

lim0

x

• Apakah mereka merupakan bentuk tak tentu?

ln0 xx

Apakah mereka merupakan bentuk tak tentu?

• Hitunglah nilai masing‐masing limit tersebut(terserah dengan cara apa)(terserah dengan cara apa).2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 26

ma1201 m3-1 05-02-14

Documents