MA1201 MATEMATIKA 2AMA1201 MATEMATIKA 2A

Hendra GunawanSemester II, 2013/2014Semester II, 2013/2014

26 Februari 2014

Kuliah yang LaluKuliah yang Lalu

9.6 Deret Pangkat

Menentukan selang kekonvergenan deretpangkatpangkat

9.7 Operasi pada Deret Pangkat

M l k k i d d t k t (Melakukan operasi pada deret pangkat (yang diketahui jumlahnya) untuk mendapatkand t k t l i (d j l h )deret pangkat lainnya (dan jumlahnya)

2/21/2014 2(c) Hendra Gunawan

Sasaran Kuliah Hari IniSasaran Kuliah Hari Ini

9.8 Deret Taylor dan Deret Maclaurin

Menentukan deret Taylor dan deret Maclaurindari suatu fungsi di sekitar titik yg ditentukandari suatu fungsi di sekitar titik yg ditentukan

9.9 Hampiran Taylor terhadap Fungsi

M t k h i T l t h d tMenentukan hampiran Taylor terhadap suatufungsi di sekitar titik yang ditentukan, besertat k i k l htaksiran kesalahannya

2/21/2014 3(c) Hendra Gunawan

9 8 DERET TAYLOR DAN DERETMA1201 MATEMATIKA 2A

9.8 DERET TAYLOR DAN DERETMACLAURINMenentukan deret Taylor dan deretMaclaurin dari suatu fungsi di sekitar titik

2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 4

gyang ditentukan

Ingat Mengapa Deret Tak TerhinggaIngat Mengapa Deret Tak Terhingga

Dengan turunan pertama kita mendapatkanDengan turunan pertama, kita mendapatkanhampiran

0sin xuntukxxBila kita gunakan turunan kedua dan ketiga, kitak d k h i l bih b ik

.0,sin xuntukxx

akan dapatkan hampiran yang lebih baik

.0,sin 63 xuntukxx x

Kelak kita dapat menunjukkan bahwa

.0,sin 6 xuntukxx

2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 5

.,......sin !5!353

xuntukxx xx

Pada Kuliah yang Lalu…Pada Kuliah yang Lalu…

Kita telah membahas bahwa deret pangkatKita telah membahas bahwa deret pangkat

...!5!3

)(53

xxxxS

konvergen untuk seluruh bilangan real x, dan

!5!3)(

S(x) memenuhi persamaan diferensial orde 2:

S’’(x) = –S(x),( ) ( ),

dengan S(0) = 0 dan S’(0) = 1. Solusi persamaandiferensial ini adalah S(x) = sin xdiferensial ini adalah S(x)   sin x.

2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 6

Sejauh Ini…Sejauh Ini…

Diberikan suatu deret pangkat, kita dapatp g , pmenentukan selang kekonvergenannya. 

Untuk deret geometri serta turunan danUntuk deret geometri, serta turunan danintegralnya, kita bisa mendapatkan jumlahnya.

Demikian juga utk beberapa deret pangkat yangDemikian juga utk beberapa deret pangkat yang jumlahnya sama dengan ex, cos x, dan sin x.

l d d d k kLalu, dengan operasi pada deret pangkat, kitadapat memperoleh uraian deret pangkat darif f( ) d ( ) /( )fungsi seperti f(x) = xex dan g(x) = ex/(1 – x).2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 7

Pertanyaan BaruPertanyaan Baru

Diberikan suatu fungsi f(x) dapatkah kita meng‐Diberikan suatu fungsi f(x), dapatkah kita menguraikannya sebagai sebuah deret pangkat

2

untuk x di sekitar a?

...)()()( 2210 axcaxccxf

untuk x di sekitar a? 

Dengan perkataan lain, apakah kita dapatmencari c c c sehingga deret pangkat dimencari c0, c1, c2, … sehingga deret pangkat diatas konvergen ke f(x) untuk x di sekitar x = a.

2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 8

Misalkan f dapat diuraikan sebagaif p gderet pangkat di sekitar x = aM k til h d il i f( )Maka, c0 mestilah sama dengan nilai f(a). Selanjutnya, jika kita turunkan f terhadap x

maka c1 mestilah sama dengan nilai f’(a)....)(3)(2)(' 2

321 axcaxccxf1

Turunkan lagi terhadap x:)(34)(!3!2)('' 2 axaxccxf

maka c2 mestilah sama dengan ½ f’’(a). 

...)(34)(!3!2)( 32 axaxccxf

Dan seterusnya… 2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 9

Jadi…Jadi…

Jika f dapat diuraikan sebagai deret pangkatJika f dapat diuraikan sebagai deret pangkat(1)maka fmempunyai turunan setiap orde dan

...)()()( 2210 axcaxccxf

maka fmempunyai turunan setiap orde dan

(2) 210)()(

nafcn

(2)

dengan f (0)(a) = f(a) dan 0! = 1.

,...2,1,0,!

nn

cn

dengan f  (a)   f(a) dan 0!   1.Tetapi… bagaimana sebaliknya? Jika f (n)(a) adauntuk tiap n, dan c kita hitung dgn rumus (2),untuk tiap n, dan cn kita hitung dgn rumus (2), apakah jumlah deret pangkat (1) sama dgn f(x)? 2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 10

Deret Taylor dan Deret MaclaurinDeret Taylor dan Deret Maclaurin

Uraian deret pangkat dari f di sekitar x = aUraian deret pangkat dari f di sekitar x = adisebut deret Taylor untuk f di a, yakni:

)(''f ...)(!2

)(''))((')( 2 axafaxafaf

Jika a = 0, maka deret pangkat tsb disebutderet Maclaurin untuk f, yakni:

...!3

)0('''!2

)0('')0(')0( 32 xfxfxff

2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 11

!3!2

Polinom dan Suku Sisa TaylorPolinom dan Suku Sisa TaylorMisalkan f fungsi yang mempunyai turunan ke‐(n+1) pada selang terbuka I yang memuat a Maka untukpada selang terbuka I yang memuat a. Maka, untuksetiap x I, berlaku f(x) = Pn(x) + Rn(x) dengan

af )('' 2

n

n

af

axafaxafafxP

)(

...)(!2

)())((')()(

)(

2

dan suku sisa

naxn

af )(!

)(....

dan suku sisa

,)()!1(

)()( 1)1(

nn

n axn

cfxR

untuk suatu c di antara x dan a.2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 12

)!1( n

Teorema TaylorTeorema TaylorMisalkan f fungsi yang mempunyai turunan tiaporde pada selang I = (a – r, a + r). Maka, untuksetiap x I, berlaku

...)(!2

)(''))((')()( 2 axafaxafafxf

Jika dan hanya jika

)()1( n cf

d d d

,0)()!1(

)(lim)(lim 1

n

nnnax

ncfxR

dengan c di antara x dan a.2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 13

Contoh 1Contoh 1

Tentukan deret Maclaurin untuk sin x danperiksa bahwa deret tsb merepresentasikansin x untuk setiap x  R.

Jawab:

2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 14

Contoh 2Contoh 2

Tentukan deret Maclaurin untuk sinh x danperiksa bahwa deret tsb merepresentasikansinh x untuk setiap x  R.

Jawab:

2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 15

Beberapa Deret Maclaurin PentingBeberapa Deret Maclaurin Penting

1 21 1 x x 1.

2

1 ...1

x xx

l (1 )2. ln(1 )x

3. 1tan x

4. xe

2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 16

Beberapa Deret Maclaurin PentingBeberapa Deret Maclaurin Penting

5 sin x 5.

6

sin x

6. cos x

7. sinh x

8. cosh x

2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 17

LatihanLatihan

Tentukan deret Maclaurin untukTentukan deret Maclaurin untuk

1 f(x) = (1 + x)1/2 untuk ‐1 < x < 11. f(x) = (1 + x) / , untuk ‐1 < x < 1.

2 g(x) = tan x untuk –π/2 < x < π/22. g(x) = tan x, untuk –π/2 < x < π/2.

2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 18

9 9 HAMPIRAN TAYLOR TERHADAPMA1201 MATEMATIKA 2A

9.9 HAMPIRAN TAYLOR TERHADAPFUNGSIMenentukan hampiran Taylor terhadapsuatu fungsi di sekitar titik yang ditentu‐

2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 19

g y gkan, beserta taksiran kesalahannya

Diferensial & Aproksimasi BerlanjutDiferensial & Aproksimasi Berlanjut

Dengan turunan pertama, kita dapat meng‐hampiri fungsi f di sekitar x = a :

).())((')()( 1 xPaxafafxf

Polinom di ruas kanan tidak lain merupakanpolinom Taylor orde 1 dari f di a

)())(()()( 1fff

polinom Taylor orde 1 dari f di a.

Bila fmempunyai turunan kedua di sekitar x = a, k k l h h d d l hmaka kesalahan penghampiran di atas adalah

,)(!2

)('')( 21 axcfxR

dgn c di antara x dan a.2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 20

)(!2

)(1

Hampiran Taylor Orde nHampiran Taylor Orde nJika fmempunyai turunan ke‐(n+1), maka kitadapat menghampiri fungsi f di sekitar x = a dengan polinom Taylor orde n:

).(!

)(...))((')()()(

xPn

afaxafafxf n

n

dengan kesalahan penghampiran

)()()( 1)1(

nn

axcfxR

dgn c di antara x dan a.

,)()!1(

)(1

n axn

xR

g

2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 21

Contoh 1Contoh 1

Tentukan polinom Maclaurin orde 4 dari f(x) =Tentukan polinom Maclaurin orde 4 dari f(x) = cos x. Gunakan polinom ini untuk menghampirinilai cos 0 1 Taksirlah kesalahan maksimumnyanilai cos 0.1. Taksirlah kesalahan maksimumnya.

Jawab:

2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 22

Contoh 2Contoh 2

Taksirlah nilai e0.1 dengan kesalahan tak lebihTaksirlah nilai e dengan kesalahan tak lebihdaripada 0.01.

Jawab:Jawab:

2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 23

Bahan DiskusiBahan Diskusi

Diketahui f(x) = x4 Tentukan polinom TaylorDiketahui f(x) = x . Tentukan polinom Taylor orde 4 dari f di 1. Jelaskan mengapa polinomini menyatakan f secara eksakini menyatakan f secara eksak. 

2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 24