MA 2121 Aljabar Linier ElementerUAS - Semester I - 2011 / 2012

12 Desember 2011

1. Tentukan balikan A−1 untuk A =

0 1 0 01 0 1 00 1 0 10 0 1 1

.

2. Diketahui u, v, w ⊂ Rn. Jika himpunan S = {u, v, w} bebas linier, buktikan bahwahimpunan S′ = {u, u + 2v, u + 2v + 3w} juga bebas linier.

3. Diketahui V suatu ruang hasil kali dalam dan u, v, w ∈ V yang memenuhi

〈u, v〉 = 2, 〈v, w〉 = −3.

(a) Hitung 〈2u + 7w, v〉(b) Tentukan semua vektor di Span{u, w} yang tegak lurus dengan v

4. Diketahui P2 ruang vektor yang terdiri dari semua polinom berderajat maksimum 2dan f : P2 −→ P2 suatu operator linier pada P2 dengan aturan bahwa untuk setiapp(x) ∈ P2, f (p(x)) = p(x) + p(x + 1).

(a) Buktikan bahwa f satu-satu dan pada (artinya f−1 ada).

(b) Tentukan f−1(a0 + a1x + a2x2) untuk sebarang a0 + a1x + a2x2 ∈ P2.

5. Diketahui M22 ruang vektor yang terdiir dari semua matriks berukuran 2× 2 dan

B =

{E1 =

(1 00 0

); E2 =

(0 10 0

); E3 =

(0 01 0

); E4 =

(0 00 1

)}basis dari M22. Misalkan pula T : M22 −→ M22 suatu operator linier pada M22 denganaturan bahwa untuk setiap A ∈ M22, T(A) = A + AT.

(a) Tentukan T(E2) dan [T(E2)]B.

(b) Tentukan [T]B, yaitu matriks transformasi T terhadap basis B.

(c) Jika A ∈ M22 dengan [A]B = (1, 0, 1, 0)T, tentukan T(A).

6. Berikan sebuah matriks berukuran 2× 2 yang memenuhi sekaligus ketiga syarat berikut:

(a) Semua komponen matriks adalah bilangan cacah

(b) Nilai-nilai karakteristik matriks adalah 1 dan 2.

(c) Ada dua vektor karakteristik yang membentuk sudut π4 .

Tunjukkan bahwa matriks yang Anda berikan memenuhi ketiga syarat tersebut.