riset operasi program linier
DESCRIPTION
By Susi SetiawatiTRANSCRIPT
Riset OperasiProgram Linier
Powerpoint TemplatesPage 1
Powerpoint Templates
Program Linierby Susi Setiawani
Pengertian Riset Operasi
• Operations dapat didefinisikan sebagai tindakan-tindakanyang diterapkan pada beberapa masalah atau hipotesa.
• Research adalah suatu proses yang terorganisasi dalammencari kebenaran akan masalah atau hipotesa tadi
• riset operasi berkenaan dengan pengambilan keputusan
Powerpoint TemplatesPage 2
• riset operasi berkenaan dengan pengambilan keputusan yang optimal dalam, dan penyusunan model dari sistem-sistem baik yang diterministik maupun probabilistik yang berasal dari kehidupan nyata. Atau dunia pengelolaan atau dunia usaha yang memakai pendekatan ilmiah atau pendekatan sistematis disebut riset operasi (Operations
Resech).
Mathematic (Simbolic) ModelDibedakan menjadi 2 kelompok yaitu :
• Deterministik
Dibentuk dalam situasi kepastian (certainty). Model inimemerlukan penyederhanaan-penyederhanaan darirealitas karena kepastian jarang terjadi. Keuntungan model ini adalah dapat dimanipulasi & diselesaikan lebih mudah.
Powerpoint TemplatesPage 3
ini adalah dapat dimanipulasi & diselesaikan lebih mudah.
• Probabilistik
Meliputi kasus-kasus dimana diasumsikan ketidakpastian(uncertainty). Meskipun penggabungan ketidakpastiandalam model dapat menghasilkan suatu penyajian sistemnyata yang lebih realistis, model ini umumnya lebih sulituntuk dianalisa.
Cara Pembuatan ModelKadang-kadang, model yang pertama kali dibuat masih terlalu
rumit. Ada beberapa cara untuk membuat model menjadi lebih sederhana, misalnya :
• Melinierkan hubungan yang tidak linier
• Mengurangi banyaknya variabel atau kendala
• Mengubah sifat variabel, misalnya dari diskrit menjadi
Powerpoint TemplatesPage 4
• Mengubah sifat variabel, misalnya dari diskrit menjadi kontinyu
• Mengganti tujuan ganda menjadi tujuan tunggal
• Mengeluarkan unsur dinamik (membuat model menjadi statik)
• Mengasumsikan variabel random menjadi suatu nilai tunggal (deterministik)
Tahap-Tahap Dalam Riset Operasi
• Definisi Masalah (Identifikasi Model)
• Pembentukan Model (Penyusunan Model)
• Mencari Penyelesaian Masalah (Analisa Model)
• Validasi Model (Pengesahan Model)
Powerpoint TemplatesPage 5
• Validasi Model (Pengesahan Model)
• Penerapan Hasil Akhir (Implementasi Hasil)
DEFINISI PROGRAM LINIER (1)
• Program tidak ada hubungannya dengan program komputer.
• Program berarti memilih serangkaian tindakan/perencanaan untuk memecahkan masalah dalammembantu manajer mengambil keputusan.
• Contoh: masalah produksi, biaya, pemasaran, distribusi,
Powerpoint TemplatesPage 6
• Contoh: masalah produksi, biaya, pemasaran, distribusi, dan periklanan.
• Pimpinan perusahaan harus mampu memanfaatkan sumber daya yang ada untuk menetapkan jenis dan jumlah barang yang harus diproduksi sehingga diperolehkeuntungan maksimal atau digunakan biaya minimal.
DEFINISI PROGRAM LINIER (2)
• Program linear dan variasinya merupakan kelompok teknik analisis kuantitatif yang memakai model matematika (model simbolik). Artinya setiap penyelesaian masalah harus didahului dengan perumusan masalah ke dalam simbol-simbol matematika.
Powerpoint TemplatesPage 7
matematika.
• Dalam program linier, pada umumnya masalah berasal dari dunia nyata kemudian dibentuk menjadi model simbolik yang merupakan dunia abstrak yang dibuat mendekati kenyataan. Dikatakan linear karena peubah-peubah pembentuk model dianggap linear.
LANGKAH-LANGKAH (1)
1. Menentukan jenis permasalahan program linier– Jika permasalahan membicarakan keuntungan
(profit), maka jenis permasalahan PL adalah maksimalisasi.
– Jika permasalahan membicarakan biaya (cost), maka jenis permasalahan PL adalah minimalisasi.
Powerpoint TemplatesPage 8
maka jenis permasalahan PL adalah minimalisasi.– Jika ada informasi tentang selisih antara hasil
penjualan (sales) dan biaya dengan pokok pembicaraan profit, maka jenis permasalahannya adalah maksimalisasi.
LANGKAH-LANGKAH (2)
2. Mendefinisikan peubah keputusan (decision variable), yaitu pernyataan dalam permasalahan yang hendak dicari penyelesaiannya
Beberapa hal yang harus diperhatikan adalah:– Banyaknya koefisien peubah keputusan membantu dalam
mengidentifikasikan peubah-peubah keputusan.
Powerpoint TemplatesPage 9
mengidentifikasikan peubah-peubah keputusan.
– Jika x dimisalkan sebagai peubah keputusan berkaitan dengan kursi yang diproduksi, maka x ≠ kursi, tetapi x = banyaknya kursi yang diproduksi.
LANGKAH-LANGKAH (3)
3. Merumuskan fungsi tujuan/sasaran (objective function)
– Jenis permasalahan PL dan definisi peubah keputusan akan merumuskan fungsi tujuan.
Powerpoint TemplatesPage 10
keputusan akan merumuskan fungsi tujuan.
– Jika peubah keputusan terdefinisi dengan jelas, maka fungsi tujuan akan mudah ditetapkan.
LANGKAH-LANGKAH (4a)
4. Merumuskan model kendala/syarat/ batasan (constraint)
Dua pendekatan umum perumusan model kendala:
Powerpoint TemplatesPage 11
model kendala:
– Pendekatan “ruas kanan”
– Pendekatan “ruas kiri”
LANGKAH-LANGKAH (4b)
– Pendekatan ruas “kanan”
• Ruas kanan suatu kendala tunggal dan konstan.
• Maksimalisasi: ruas kanan sering menyatakan “total sumber daya yang ada”. Prosedur pembentukannya:
– Identifikasikan nilai total sumber daya dan sesuaikan tanda
Powerpoint TemplatesPage 12
– Identifikasikan nilai total sumber daya dan sesuaikan tanda pertidaksamaan dengan masing-masing total sumber daya, biasanya “≤”.
– Kelompokkan peubah keputusan yang terkait di sebelah kiri tanda pertidaksamaan .
– Tentukan koefisien setiap peubah keputusan. Model kendala terbentuk.
LANGKAH-LANGKAH (4b)
• Minimalisasi: ruas kanan sering menyatakan“minimal sumber daya yang dibutuhkan”. Prosedur idem, kecuali tanda pertidaksamaan, biasanya “≥”.
– Pendekatan “ruas kiri”
Powerpoint TemplatesPage 13
– Pendekatan “ruas kiri”
• Semua nilai koefisien dan peubah-peubah keputusan disusun dalam bentuk matriks. Setelah matriks ini terbentuk, identifikasikan nilai-nilai ruas kanan dan tambahkan tanda pertidaksamaan.
LANGKAH-LANGKAH (5)
5. Menetapkan syarat non negatif
– Setiap peubah keputusan dari kedua jenis permasalahan PL tidak boleh negatif (harus lebih besar atau sama dengan nol)
Powerpoint TemplatesPage 14
lebih besar atau sama dengan nol)
MODEL DASAR PL
• Maksimumkan atau minimumkan:
Z = c1x1 + c2x2 + ….+ cnxn (1)
• Memenuhi kendala-kendala:
a11x1 + a12x2 + …. + a1nxn ≥ atau ≤ b1 (2)
a21x1 + a22x2 + …. + a2nxn ≥ atau ≤ b2
Powerpoint TemplatesPage 15
a21x1 + a22x2 + …. + a2nxn ≥ atau ≤ b2
.
.
am1x1 + am2x2 + …. + amnxn ≥ atau ≤ bm
dan xj ≥ 0 untuk j = 1,2,…,n. (3)
PENYELESAIAN (1)
• Aplikasi pemrograman linear di dunia nyata cukup banyak, misalnya di bidang industri, kedokteran, transportasi, ekonomi, dan pertanian. Masalah pemrograman linear dapat diselesaikan dengan berbagai cara/algoritma, seperti metode grafik, metode simpleks, revised simplex method, dan algoritma
Powerpoint TemplatesPage 16
simpleks, revised simplex method, dan algoritma Karmakar. Algoritma yang akan dibahas di sini adalah metode grafik dan metode simpleks. Masalah program linear dua variabel (n=2) diselesaikan dengan metode grafik, sedangkan untuk n≥2 diselesaikan dengan metode simpleks.
METODE GRAFIK
• Masalah program linear dengan dua variabel dapat diselesaikan dengan metode grafik.
• Meskipun dalam praktek masalah program linear jarang yang hanya memuat dua peubah,
Powerpoint TemplatesPage 17
linear jarang yang hanya memuat dua peubah, tetapi metode grafik mempermudah orang dalam memahami pengertian-pengertian yang timbul dalam program linear.
METODE GRAFIK (Contoh 1)
• Selesaikan masalah program linear berikut ini dengan metode grafik:
Maksimumkan Z = 5x1 + 4x2
dengan kendala 6x1 + 4x2 ≤ 24
Powerpoint TemplatesPage 18
dengan kendala 6x1 + 4x2 ≤ 24
x1 + 2x2 ≤ 6
-x1 + x2 ≤ 1
x2 ≤ 2
x1, x2 ≥ 0
METODE GRAFIK (Contoh 2)
• Selesaikan masalah program linear berikut ini dengan metode grafik:
Minimumkan Z = 20x1 + 30x2
dengan kendala 2x + x ≥ 12
Powerpoint TemplatesPage 21
dengan kendala 2x1 + x2 ≥ 12
5x1 + 8x2 ≥ 74
x1 + 6x2 ≥ 12
x1, x2 ≥ 0
KEJADIAN KHUSUS PL (1)
• Masalah program linear belum tentu mempunyai satu penyelesaian optimal.
• 3 kejadian khusus dari masalah PL:1. Mempunyai beberapa penyelesaian
Contoh :
Powerpoint TemplatesPage 24
Contoh :
Maksimumkan Z = 300x1 + 200x2
dengan kendala : 6x1 + 4x2 ≤ 240x1 + x2 ≤ 50x1 , x2 ≥ 0
KEJADIAN KHUSUS PL (2)
2. Tidak mempunyai penyelesaian optimal (infeasible solution).
Contoh :
Maksimumkan Z = x + x
Powerpoint TemplatesPage 25
Maksimumkan Z = x1 + x2
dengan kendala : x1 + x2 ≤ 4
x1 - x2 ≥ 5
x1 , x2 ≥ 0
KEJADIAN KHUSUS PL (3)
3. Mempunyai penyelesaian tak terbatas (unbounded solutions) � tidak mempunyai penyelesaian optimal.
Contoh :
Powerpoint TemplatesPage 26
Contoh :
Maksimumkan Z = 2x1 - x2
dengan kendala : x1 - x2 ≤ 1
2x1 + x2 ≥ 6
x1 , x2 ≥ 0
CONTOH KASUS
• Suatu perusahaan memproduksi pembersih mobil X dan polisher Y dan menghasilkan profit $10 untuk setiap X dan $30 untuk setiap Y. Kedua produk membutuhkan pemrosesan melalui mesin-mesin yang sama A dan B, tetapi X membutuhkan 4 jam di A dan 8 jam di B, sedangkan Y membutuhkan 6 jam di A dan 4 jam di B.
Powerpoint TemplatesPage 27
sedangkan Y membutuhkan 6 jam di A dan 4 jam di B. Dalam minggu-minggu akan datang, mesin A dan B memiliki kapasitas masing-masing 12 dan 16 jam. Anggap ada permintaan untuk kedua produk, berapa banyak produk dari keduanya harus dihasilkan untuk memaksimalkan profit ?
Soal
• Suatu pabrik farmasi menghasilkan dua macam kapsul obat flu yang diberi nama Fluin dan Fluon. Masing-masing memuat tiga unsur utama. 1 kapsul Fluin mengandung 2 gr aspirin, 5 gr bikarbonat, 1 gr kodein. 1 kapsul Fluon mengandung 1 gr aspirin, 8 gr bikarbonat, 6 gr kodein. Seseorang yang sakit flu biasa akan
Powerpoint TemplatesPage 28
6 gr kodein. Seseorang yang sakit flu biasa akan sembuh dalam 3 hari, minimum menelan 12 gr aspirin, 74 gr bikarbonat, 24 gr kodein. Harga Fluin Rp 200 dan Fluon Rp 300, berapa kapsul yang harus dibeli supaya sembuh?
Bentuk Matematis
• Maksimumkan Z = 3X1 + 5X2
• Batasan (constrain)
(1) 2X1 ≤ 8
≤
Powerpoint TemplatesPage 30
(2) 3X2 ≤ 15
(3) 6X1 + 5X2 ≤ 30
LINEAR PROGRAMMING METODE SIMPLEKS
• Langkah-langkah metode simpleks
Langkah 1: Mengubah fungsi tujuan dan batasan-batasan
• Fungsi tujuan
Z = 3X + 5X diubah menjadi Z - 3X - 5X = 0.
Powerpoint TemplatesPage 31
Z = 3X1 + 5X2 diubah menjadi Z - 3X1 - 5X2 = 0.
• Fungsi batasan (diubah menjadi kesamaan & di + slack variabel)
(1) 2X1 ≤ 8 menjadi 2X1 + X3 = 8
(2) 3X2 ≤ 15 menjadi 3X2 + X4 = 15
(3) 6X1 + 5X2 ≤ 30 menjadi 6X1 + 5X2 + X5 = 30
Slack variabel adalah variabel tambahan yang mewakili tingkat pengangguran atau kapasitas yang merupakan batasan
LINEAR PROGRAMMING METODE SIMPLEKS
• Fungsi tujuan : Maksimumkan Z - 3X1 - 5X2 = 0
• Fungsi batasan
(1) 2X1 + X3 = 8
Powerpoint TemplatesPage 32
1 3
(2) 3X2 + X4 = 15
(3) 6X1 + 5X2 + X5 = 30
Langkah 2:
Menyusun persamaan-persamaan di dalam tabel
Beberapa Istilah dlm Metode Simplek
• NK adalah nilai kanan persamaan, yaitu nilai di belakang tanda
sama dengan ( = ). Untuk batasan 1 sebesar 8, batasan 2 sebesar
15, dan batasan 3 sebesar 30.
• Variabel dasar adalah variabel yang nilainya sama dengan sisi
Powerpoint TemplatesPage 33
• Variabel dasar adalah variabel yang nilainya sama dengan sisi
kanan dari persamaan. Pada persamaan 2X1 + X3 = 8, kalau belum
ada kegiatan apa-apa, berarti nilai X1 = 0, dan semua kapasitas
masih menganggur, maka pengangguran ada 8 satuan, atau nilai X3
= 8. Pada tabel tersebut nilai variabel dasar (X3, X4, X5) pada fungsi
tujuan pada tabel permulaan ini harus 0, dan nilainya pada batasan-
batasan bertanda positif
1. Tabel simpleks yang pertama
Variabel
Z = 3X1 + 5X2 diubah menjadi Z Z = 3X1 + 5X2 diubah menjadi Z -- 3X1 3X1 -- 5X2 = 0.5X2 = 0.
(1) 2X1(1) 2X1 ≤≤ 8 menjadi 8 menjadi 2X12X1 + X3 + X3 = 8= 8(2) 3X2(2) 3X2 ≤≤ 15 menjadi 15 menjadi 3X23X2 + X4 + X4 = 15= 15(3) 6X1 + 5X2(3) 6X1 + 5X2 ≤≤ 30 menjadi 30 menjadi 6X1 + 6X1 + 5X25X2 + X5+ X5 = 30= 30
Powerpoint TemplatesPage 34
VariabelDasar
Z X1 X2 X3 X4 X5 NK
Z 1 -3 -5 0 0 0 0
X3 0 2 0 1 0 0 8
X4 0 0 3 0 1 0 15
X5 0 6 5 0 0 1 30
Langkah 3: Memilih kolom kunci
• Kolom kunci adalah kolom yang
merupakan dasar untuk mengubah tabel
simplek. Pilihlah kolom yang mempunyai
Powerpoint TemplatesPage 35
nilai pada garis fungsi tujuan yang
bernilai negatif dengan angka terbesar.
Dalam hal ini kolom X2 dengan nilai pada
baris persamaan tujuan –5. Berilah tanda
segi empat pada kolom X2, seperti tabel
berikut
VariabelDasar
Z X1 X2 X3 X4 X5 NKKeterangan
(Indeks)
Z 1 -3 -5 0 0 0 0
X3 0 2 0 1 0 0 8
2 Tabel simpleks: pemilihan kolom kunci pada tabel pertama
Powerpoint TemplatesPage 36
X4 0 0 3 0 1 0 15
X5 0 6 5 0 0 1 30
JikaJika suatusuatu tabeltabel sudahsudah tidaktidak memilikimemiliki nilainilai negatifnegatif padapada barisbaris fungsifungsi tujuan,tujuan, berartiberartitabeltabel ituitu tidaktidak bisabisa dioptimalkandioptimalkan lagilagi (sudah(sudah optimal)optimal)..
Langkah 4: Memilih baris kunci
• Baris kunci adalah baris yang merupakan dasar untuk mengubah tabel simplek, dengan cara mencari indeks tiap-tiap baris dengan membagi nilai-nilai pada kolom NK dengan nilai yang sebaris pada kolom kunci.
• Indeks = (Nilai Kolom NK) / (Nilai kolom kunci)Untuk baris batasan 1 besarnya indeks = 8/0 = ∼, baris batasan 2 = 15/3 = 5, dan baris batasan 3 = 30/5 = 6. Pilih baris yang mempunyai indeks positif dengan angka terkecil. Dalam hal ini batasan ke-2 yang terpilih sebagai baris kunci. Beri tanda segi empat pada baris kunci. Nilai yang masuk dalam kolom kunci dan juga masuk dalam baris kunci disebut angka kunci
Powerpoint TemplatesPage 37
juga masuk dalam baris kunci disebut angka kunci
Langkah 5: Mengubah nilaiLangkah 5: Mengubah nilai--nilai baris kunci nilai baris kunci
Nilai baris kunci diubah dengan cara membaginya dengan angka kunci,seperti tabel 3. bagian bawah (0/3 = 0; 3/3 = 1; 0/3 = 0; 1/3 = 1/3; 0/3 = 0;15/3 = 5). Gantilah variabel dasar pada baris itu dengan variabel yangterdapat di bagian atas kolom kunci (X2).
3 Tabel simpleks: Cara mengubah nilai baris kunci
VariabelDasar
Z X1 X2 X3 X4 X5 NKKeterangan (Indeks)
Z 1 -3 -5 0 0 0 0
X3 0 2 0 1 0 0 8
X4 0 0 3 0 1 0 15
X 0 6 5 0 0 1 30
8/0 = ∞
15/3 = 5
30/5 = 6
Powerpoint TemplatesPage 38
X5 0 6 5 0 0 1 30
Z
X3
X2
X5
0/3 0/3 3/3 0/3 1/3 0/3 15/3
30/5 = 6
0 0 1 0 01/3 15/3
LangkahLangkah 6: Mengubah nilai6: Mengubah nilai--nilai selain pada baris kunci nilai selain pada baris kunci
Rumus :Rumus :
Baris baru = baris lama Baris baru = baris lama –– (koefisien pada kolom kunci) x nilai baru baris kunci(koefisien pada kolom kunci) x nilai baru baris kunci
[-3 -5 0 0 0, 0 ]
(-5) [ 0 1 0 1/3 0, 5 ] ( - )
Nilai baru = [-3 0 0 5/3 0, 25]
BarisBaris pertamapertama (Z)(Z)
Powerpoint TemplatesPage 39
Nilai baru = [-3 0 0 5/3 0, 25]
Baris keBaris ke--2 (batasan 1)2 (batasan 1)
[2 0 1 0 0, 8 ]
(0) [ 0 1 0 1/3 0, 5 ] ( - )
Nilai baru = [2 0 1 0 0, 8]
Baris ke-4 (batasan 3)
[ 6 5 0 0 1, 30 ]
(5) [ 0 1 0 1/3 0, 5 ] ( - )
Nilai baru = [ 6 0 0 -5/3 1, 5 ]
Variabel Dasar
Z X1 X2 X3 X4 X5 NK
Z 1 -3 -5 0 0 0 0
Tabel pertama nilai lama dan tabel kedua nilai baruTabel pertama nilai lama dan tabel kedua nilai baru
Powerpoint TemplatesPage 40
Z 1 -3 -5 0 0 0 0
X3 0 2 0 1 0 0 8
X4 0 0 3 0 1 0 15
X5 0 6 5 0 0 1 30
Z 1 -3 0 0 5/3 0 25
X3 0 2 0 1 0 0 8
X2 0 0 1 0 1/3 0 5
X5 0 6 0 0 -5/3 1 5
VariabelDasar
Z X1 X2 X3 X4 X5 NKKeterangan
(Indeks)
Z 1 -3 0 0 5/3 0 25
X3 0 2 0 1 0 0 8
Langkah 7: Melanjutkan perbaikan
Ulangilah langkah-langkah perbaikan mulai langkah 3 sampai langkah ke-6 untuk memperbaiki tabel-tabel yang telah diubah/diperbaiki nilainya. Perubahan baru berhenti setelah pada baris pertama (fungsi tujuan) tidak ada yang bernilai
negatif
= 8/2 = 4
Powerpoint TemplatesPage 41
X3 0 2 0 1 0 0 8
X4 0 0 1 0 1/3 0 5
X5 0 6 0 0 -5/3 1 5
Z 1
X3 0
X2 0
X1 0 6/6 0 0 -5/18 1/6 5/6
6/6 0/6 0/6 (-5/3)/6 1/6 5/6
= 8/2 = 4
= 5/6 (minimum)
Nilai baruNilai baru
BarisBaris keke--11
[-3 0 0 5/3 0, 25 ]
(-3) [ 1 0 0 -5/18 1/6, 5/6] ( - )
Nilai baru = [ 0 0 0 5/6 ½, 271/2]
[ 2 0 1 0 0, 8 ]
Baris keBaris ke--2 (batasan 1)2 (batasan 1)
Powerpoint TemplatesPage 42
[ 2 0 1 0 0, 8 ]
(2) [ 1 0 0 -5/18 1/6, 5/6] ( - )
Nilai baru = 0 0 1 5/9 -1/3, 61/3]
BarisBaris keke--33 tidaktidak berubahberubah karenakarena nilainilai padapada kolomkolom kuncikunci == 00
[ 0 1 0 1/3 0, 5 ]
(0) [ 1 0 0 -5/18 1/6, 5/6] ( - )
Nilai baru = 0 1 0 1/3 0, 5]
Tabel simpleks final hasil perubahanTabel simpleks final hasil perubahan
Variabel Dasar
Z X1 X2 X3 X4 X5 NK
Z 1 0 0 0 5/6 ½ 271/2
X3 0 0 0 1 5/9 -1/3 61/3
X2 0 0 1 0 1/3 0 5
X1 0 1 0 0 -5/18 1/6 5/6
Baris pertama (Z) tidak ada lagi yang bernilai negatif. Sehingga tabel tidak Baris pertama (Z) tidak ada lagi yang bernilai negatif. Sehingga tabel tidak
Powerpoint TemplatesPage 43
Baris pertama (Z) tidak ada lagi yang bernilai negatif. Sehingga tabel tidak Baris pertama (Z) tidak ada lagi yang bernilai negatif. Sehingga tabel tidak dapat dioptimalkan lagi dan tabel tersebut merupakan hasil optimal dapat dioptimalkan lagi dan tabel tersebut merupakan hasil optimal
Dari tabel final didapatDari tabel final didapat
XX11 = 5/6= 5/6XX22 = 5= 5ZZmaksimummaksimum = 27= 2711//22