matematika geodesi-transformasi linier

40
TRANSFORM ASI LINIER

Upload: aullia-rachhmaa

Post on 25-May-2015

303 views

Category:

Science


9 download

TRANSCRIPT

Page 1: matematika geodesi-transformasi linier

TRANSFORMASI LINIER

Page 2: matematika geodesi-transformasi linier

Lilik Widiastuti(3513100009)

Irma’atus Solihah(3512100004)

Aulia Rachmawati(3513100035)

Syaiful Budianto (3512100099)

Achmad Rizal Al-amin(3513100081)

Page 3: matematika geodesi-transformasi linier

Pengantar Kepada

Transformasi LInier

Page 4: matematika geodesi-transformasi linier

Fungsi yang berbentuk w=F(v),dimana variable bebas v dan variable bebas w kedua-duanya adalah vektor yang dinamakan transformasi linier

Page 5: matematika geodesi-transformasi linier

Jika V dan W adalah ruang vektor dan F adalah suatu fungsi yang mengasosiasikan vektor unik di W dengan setiap vektor yang terletak di dalam V, maka dikatakan F memetakan V ke dalam W. Ditulis F: V W. Jika F mengasosiasikan vektor w dengan vektor v, maka w = F(v). w adalah bayangan dari v dibawah F. Ruang vektor V dikatakan domain F.jika v = (x, y) adalah suatu vektor di dalam R2,maka rumus

F(v) = (x, x + y, x - y) (5.1)Contoh:Mendefinisikan sebuah fungsi yang memetakan R2 ke dalam R3. Khususnya, jika v = (1,1)

Page 6: matematika geodesi-transformasi linier

Definisi jika F: V W adalah suatu fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W, maka F dikatakan transformasi linier jika:

F(u + v) = F(u) + F(v) untuk semua vektor u dan v di dalam V.F(ku) = k F(u) untuk semua vektor u di dalam V dan semua skalar k.

Untuk melukiskannya, misalkan F : R2 R3 adalah fungsi yang didefinisikan oleh (5.1). Jika u = (x1,y1) dan v = (x2,y2), maka u+v = ( x1 + x2,y1 + y2 ), sehingga

F(u+v) = ( x1 + x2, [x1+x2] + [y1 + y2], [x1+x2] - [y1 + y2])

=( x1, x1 + y1, x1 - y1) + (x2, x2 + y2, x2 - y2)

F(u+v) = F(u) + F(v)

jika k adalah sebuah scalar, ku = (kx1,ky1), sehingga

F(ku) = (kx1, kx1 + ky1, kx1 – ky1)

= k(x1, x1 + y1, x1 - y1)

F(ku) = kF(u)

Jadi F adalah sebuah tranformasi linier.

Page 7: matematika geodesi-transformasi linier

Jika F: V W adalah sebuah transformasi linier, maka untuk sebarang v1 dan v2 di dalam V dan sebarang skalar k1 dan

k2, kita memperoleh

F(k1v1 + k2v2) = F(k1v1) + F(k2v2) = k1F(v1) + k2F(v2)

Demikian juga, jika v1 , v2, . . . . . ,vn adalah vektor-vektor di dalam V dan k1, k2, . . . . . ,kn adalah scalar, maka

(5.2)

F(k1v1 + k2v2 + . . . +knvn) = k1F(v1) + k2F(v2) + . . . + knF(vn)

Page 8: matematika geodesi-transformasi linier

Cotoh:Misalkan F:R2R3 adalah fungsi yang didefinisikan oleh F(v) = (2x, y) dengan v = (x, y) di R2. buktikan bahwa F merupakan transformasi linier. Misalkan u = (x1, y1) dan v = (x2, y2)

Page 9: matematika geodesi-transformasi linier

Bukti pertama:F(u + v) = F((x1, y1) + (x2, y2))

= F(x1+x2, y1+y2) = (2(x1+x2), (y1+y2))

= ((2x1, y1) + (2x2, y2)) F(u + v) = F(u) + F(v) => terbukti

Bukti kedua:F(ku) = F(kx1, ky1)

= (2kx1, ky1)= k (2x1, y1)

F(ku) = k F(u) => terbukti

Jadi F adalah sebuah tranformasi linier.

Page 10: matematika geodesi-transformasi linier

Sifat Transformasi Linier, Kernel dan

Jangkauan

Page 11: matematika geodesi-transformasi linier

KERNEL adalah ruang nol dari T : himpunan vector yang didalam V yang dipetakan T kedalam 0,dan dinotasikan dengan Ker(T)

JANGKAUAN adalah Himpunan semua vector didalam W yang merupakan bayangan dibawah T paling sedikit satu vector didalam V.dinotasikan dengan R(T).

Page 12: matematika geodesi-transformasi linier

Teorema 1Jika

BUKTIMisal v adalah sembarang vektor di dalam V.dan 0v = 0, maka :

Page 13: matematika geodesi-transformasi linier

CONTOHMisal adalah Transformasi nol dan T memetakan tiap-tiap vector kedalam 0,maka Ker(T) = V dan 0 adalah satu-satunya bayangan yang mungkin dibawah T, maka R(T) terdiri dari vector Nol.Misalkan adalah perkalian oleh

Ker(T) terdiri dari semua

Vektor pemecahan dari system homogen

R(T) terdiri dari vector

Page 14: matematika geodesi-transformasi linier

Teorema 2Jika adalah transformasi Linier, maka :a) Kernel dari T adalah subruang dari V

Ker(T) tertutup dibawah penjumlahan dan perkalian skalar.

Misalkan v1 dan v2 adalah vector didalam Ker(T), dan k adalah sembarang skalar.

Maka

= 0 + 0 = 0Sehingga v1 + v2 berada didalam ker(T)

Sehingga kv1 berada didalam ker(T). 

Page 15: matematika geodesi-transformasi linier

b) Jangkauan dari T adalah subruang dari WMisal w1 dan w2 adalah vector di dalam jangkauan T atau R(T).Harus dicari vector a dan b di dalam V sehingga didapat:

Di dalam V sehingga

Sebuah Transformasi linier ditentukan secara lengkap oleh “nilainya” pada sebuah basis.

Page 16: matematika geodesi-transformasi linier

Contoh:Tinjau basis untuk R3 , dimana v1 = ,

Carilah T(2, -3, 5).

Pemecahan:Nyatakan Jadi Komponen yang didapat yaitu:

Yang menghasilkan k1 = 5,k2= -8,k3= 5,sehingga didapat: Jadi

Page 17: matematika geodesi-transformasi linier

Jika adalah transformasi Linier, maka :Dimensi dari jangkauan atau R(T) dinamakan rank dari T ,dan dimensi dari kernel dinamakan nulitas dari T.

Contoh:Misal T:R2 R2 adalah rotasi dari R2 melalui sudut Jelas secara geometric jangkauan dari T adalah semua R2 dan kernel dari T adalah (0).maka T memiliki rank 2 dan nulitas = 0 .

Contoh:Misal T:Rn Rm adalah perkalian oleh sebuah matriks A yang berukuran m x n. Rank dari T adalah dimensi ruang kolom dari A,yang sama persis dengan rank dari A.maka:Rank (T) = Rank(A)Kernel dari T adalah ruang pemecahan dari AX = 0,jadi nulitas dari T adalah dimensi ruang pemecahan.

Page 18: matematika geodesi-transformasi linier

Teorema 3Jika adalah transformasi Linier dari sebuah ruang vector V yang berdimensi n kepada sebuah ruang Vektor W,maka :(Rank dari T) + (nulitas dari T) = nUntuk kasus V = Rn , W = Rm ,dan T:Rn Rm adalah perkalian matriks A berukuran m x n maka berlaku:Nulitas dari T = n – (rank dari T) = banyak kolom dari A – (rank dari T)

Teorema 4Jika A adalah matriks m x n ,Maka dimensi ruang pemecahan dari Ax = 0 adalah N – Rank(A)

Page 19: matematika geodesi-transformasi linier

Contoh: 2x1 + 2x2 – x3 + x5 = 0

-x1 - x2 + 2x3 – 3x4 + x5 = 0 x1+ x2 – 2x3-x5 = 0 x3 + x4 + x5 = 0

Maka harus memenuhi 2 = 5 – rank(A)Rank(A) = 3 

Page 20: matematika geodesi-transformasi linier

Transformasi Linier dari ke ,Geometri

Transformasi Linier dari ke

Page 21: matematika geodesi-transformasi linier

Dalam bagian ini akan membahas mengenai Transformasi linear dari ke dan mendapatkan sifat-sifat geomatrik dari transformasi linier dari ke .

Page 22: matematika geodesi-transformasi linier

Jika adalah sebarang transformasi linear, maka ada matriks berukuran sehingga adalah perkalian oleh .Misalkan adalah basis baku untuk dan misalkan adalahmatriks yang mempunyai sebagai vektor-vektorkolomnya.Jika diberikan oleh , maka:

dan

          

 

Page 23: matematika geodesi-transformasi linier

Secara lebih umum, jika :

Maka:

Matriks ini dinamakan matriks bentuk baku untuk . Akan ditunjukkan bahwa transformasi linear adalah perkalian .

 

Page 24: matematika geodesi-transformasi linier

Perhatikan bahwa :

Maka, karena linieritas dari ,

Sebaliknya,

 

Page 25: matematika geodesi-transformasi linier

 

dihasilkan yakni adalah perkalian oleh . Sehingga didapat:

Teorema 5

Jika adalah transformasi linear dan jika adalah basis baku untuk , maka adalah perkalian oleh , di mana matriks yang menghasilkan vektor kolom

Page 26: matematika geodesi-transformasi linier

Contoh:Carilah matriks baku untuk transformasi yang didefinisikan oleh Penyelesaian: 

Dengan menggunakan dan sebagai vektor-vektor kolom, maka diperoleh 

Sebagai pemeriksaan, perhatikanlah bahwa: 

Page 27: matematika geodesi-transformasi linier

Terdapat lima jenis transformasi linier bidang (Transformasi Geometri) yaitu : perputaran (rotasi), refleksi, ekspansi dan kompresi, serta geseran.

1. Perputaran (rotasi) Jika untuk masing-masing titik dalam bidang terhadap titik asal

atau O(0,0) melalui sudut , kita dapatkan bahwa matriks baku untuk adalah

2. Refleksi(−𝑥 , 𝑦 ) (𝑥 , 𝑦 )

Reflexi terhadap sumbu

Page 28: matematika geodesi-transformasi linier

3. ekspansi dan kompresiJika koordinat x dari setiap titik di dalam bidang dikalikan dengan konstanta k yang positif, maka efeknya adalah mengekspansi atau mengkompresi setiap bidang dalam arah xJika :

(−𝑥 , 𝑦 )

(𝑥 , 𝑦 ) Reflexi terhadap sumbu

(𝑦 , 𝑥 )

(𝑥 , 𝑦 )Reflexi terhadap

garis

a. 0 <k< 1, maka hasilnya adalah kompresi,b. k > 1, maka hasilnya adalah ekspansi.

Page 29: matematika geodesi-transformasi linier

Jika adalah ekspansi atau kompresi dalam arah dengan factor ,Maka

Sehingga matriks baku untuk T adalah  Demikian juga matriks baku untuk ekspansi atau kompresi untuk arah y adalah

kondisi awal

(2 𝑥 , 𝑦 )

ekspansi

( 12 𝑥 , 𝑦)

kompresi

(𝑥 , 𝑦 )

Page 30: matematika geodesi-transformasi linier

4. Geseran 

Page 31: matematika geodesi-transformasi linier

Sebuah geseran dalam arah x dengan faktor k adalah transformasi yang menggerakkan masing-masing titik sejajar dengan sumbu x sebanyak ky menuju kedudukan yang baru (x + ky, y). Dengan transformasi seperti itu, maka sumbu x sendiri tidak bergeser, karena y=0

Sebuah geseran dengan arah y dengan faktor k adalah sebuah transformasi yang menggerakkan setiap titik (x,y) sejajar sumbu y sebanyak kx ke kedudukan yang baru (x, y+kx).

Jika adalah sebuah geseran yang faktornya k didalam arah x, maka:

Sehingga matriks standar untuk T adalah

Demikian juga, matriks baku untuk geseran dalam arah y dengan faktor k adalah:

Page 32: matematika geodesi-transformasi linier

matriksTransformasi

LInier

Page 33: matematika geodesi-transformasi linier

Transformasi linier dapat dipandang sebagai TRANSFORMASI MATRIKS. Jika dipilih basis B dan B’ untuk V dan W , maka untuk setiap x di dalam V, matriks kordinat [x]B akan merupakan sebuah vektor didalam Rn dan matriks kordiat [T(x)]B, akan merupakan vector di dalam Rm . jadi di dalam proses pemetaan x ke dalam T(x), transformasi linier T menghasilkan sebuah pemetaan Rn ke Rm dengan mengirimkan [x]B ke dalam [T(x)]B’. Maka mariks A standar untuk transformasi ini adalah

A[x]B = [T(x)]B

Untuk mencari matriks A dapat dihitung dalam 3 langkah dengan metode tak langsung berikut:1)Hitung matriks kordinat [x]B

2)Kalikan [x]B di sebelah kiri dengan A untuk menghasilkan [T(x)]B’

3)Bangun kembali T(x) dari matriks kordinatnya [T(x)]B’

Page 34: matematika geodesi-transformasi linier

Contoh 1:Misalkan adalah transformasi linier yang didefinisikan oleh T(p()x)=xp(x)Carilah matriks untuk T terhadap basis B={u1,u2} dan B’= {u’1,u’2, u’3} Dimana u1=1, u2= x, u’1 =1, u’2= x, u’3 = x2

Pemecahan:Dari rumus T didapat

T(u1) = T(1) = (x)(1) = x T(u2) = T(x) = (x)(x) = x2

Maka matriks kordinat untuk T(u1) dan T(u2) relative kepada B’ yakni: [T(u1)]B = , [T(u2)]B’ =

Jadi matriks T terhadap baris B dan B’ adalahA=[ [T(u1)]B [T(u2)]B’] =

Page 35: matematika geodesi-transformasi linier

Contoh 2:Misalkan adalah basis di dalam contoh sebelumnya dan dimisalkan x= 1-2xGunakan hasil matriks contoh sebelumya untuk menghitung T(x) menurut prosedut tak langsung !

Pemecahan:Matriks kordinat x terhadap B adalah [x]B=Maka [T(x)]B’ = A[x]B = = Jadi T(x)= 0 u’1 + 1u’2 + 2u’3 =0(1) + 1(x)- 2(x2) = x-2x2

Jika dihitung dengan metode langsungT(x)= T (1-2x) = x(1-2x) = x-2x2

Jadi untuk pemeriksaan,

hasil perhitungan

dengan metode langsung dan tak langsung harus sama

Page 36: matematika geodesi-transformasi linier

Keserupaan

Page 37: matematika geodesi-transformasi linier

Jika T : V->V adalah sebuah operator linier pada suatu ruang vektor berdimensi terhingga V, dan jika B dan B’ adalah basis basis untuk V, maka

[T]B’= P-1 [T]BP

Dimana P adalah matriks transisi dari B’ ke B

Page 38: matematika geodesi-transformasi linier

DEFINISI KESERUPAANJika A dan B adalah matriks bujur sangkar, kita

mengatakan bahwa B serupa dengan A jika terdapat matriks P yang dapat di balik sedemikian rupa sehingga

B=P-1AP

Invarian Keserupaan Determinan Keterbalikan Rank Nulitas Polinomial karakteristik Nilai Eigen Dimensi Ruang Eigen

 

Page 39: matematika geodesi-transformasi linier

Contoh:

Misalkan T : R2->R2

T x1 = x1 + x2 x2 -2x1 + 4x2 Tentukan matriks untuk T berkenaan dengan basis

standart B ={e1,e2}untuk R2. Kemudian gunakan teorema yang tadi untuk menentukan matriks T berkenaan dengan basis B’={u1’,u2’} dimana

u1’ = 1 u2’ = 1 1 2

Page 40: matematika geodesi-transformasi linier