transformasi linier " matematika geodesi "

Download Transformasi linier

Post on 29-Jun-2015

1.361 views

Category:

Engineering

27 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Matematika Geodesi > Transformasi linier

TRANSCRIPT

  • 1. TRANSFORMASI LINIER

2. ANGGOTA KELOMPOK Muhammad Irsyadi Firdaus (352100015) Ghulam Arfi Ghifari (352100016) Dedy Kurniawan (352100017) Fristama Abrianto (352100018) 3. Pengertian1 Contoh Pengaplikasian2 Sifat - Sifat3 Matrik Transformasi L.4 BATASAN MATERI 4. APLIKASI Transformasi linier banyak dipakai dalam bidang- bidang keilmuan seperti: ekonomi, fisika, keteknikan,. Khusus untuk GEOMATIKA banyak dipakai dalam bidang INTERPRETASI citra (image). 5. PEMETAAN Pemetaaan F dari ruang vektor V ke ruang vektor W, berarti setiap anggota V dikaitkan dengan tepat satu anggota di W. V = Domain W = Kodomain Himpunan hasil pemetaan F: V W = Range V W F: V W 6. PENGERTIAN pemetaan dari satu ruang vektor ke ruang vektor yang lain yang memenuhi syarat kelinieran a. F(u + v)=F(u) + F(v), untuk setiap u dan v anggota V. b. F(ku)=kF(u), untuk setiap u anggota V dan setiap k skalar TRANSFORMASI LINIER 7. Contoh soal 1 Misalkan F pemetaan dari R3 Ke R2 , biasanya ditulis F : R3 R2 dengan rumus: F(x, y, z)=(x + 2y, 2x - 3z). Apakah fungsi tersebut merupakan transformasi linier? Lakukan tes 2 syarat transformasi linier F(u + v)=F(u) + F(v) .F(ku)=kF(u) 1 2 8. Penyelesaian soal 1 misalkan u=(x1, y1, z1) dan v=( x2, y2, z2) Aturan penjumlahan vektor u+v=( x1+ x2, y1 + y2, z1 + z2) maka nilai fungsi u+v adalah: F(u + v) = (( x1+ x2) + 2(y1 + y2), 2(x1+ x2) 3(z1 + z2)) {definisi fungsi} F(u + v) = (x1+ x2 + 2y1 + 2y2, 2x1+ 2x2 3z1 3z2) {sifat distributif bilangan riil} F(u + v) = ((x1 + 2y1) + (x2 + 2y2), (2x1 3z1) + (2x2 3z2)) {sifat asosiatif bilangan riil} F(u + v) = (x1 + 2y1, 2x1 3z1) + (x2 + 2y2, 2x2 3z2) {aturan penjumlahan vektor} F(u + v) = F(u) + F(v) {definisi fungsi} Terpenuhi1 9. Penyelesaian soal 1 Asumsikan k skalar, maka dengan mengingat perkalian vektor dengan skalar, ku=( kx1, ky1, kz1), maka nilai fungsi ku adalah: F(ku) = (kx1 + 2ky1, 2kx1 - 3kz1) {definisi fungsi} F(ku) = (k(x1 + 2y1), k(2x1 - 3z1)) {sifat distributif bilangan riil} F(ku) = k(x1 + 2y1, 2x1 - 3z1) {aturan perkalian vektor dengan skalar} F(ku) = kF(u) {definisi fungsi} Terpenuhi Jadi F(x, y, z)=(x + 2y, 2x - 3z) merupakan transformasi linier 2 10. Contoh soal 2 Tinjaulah basis S = {v1, v2, v3} untuk R3 dimana V1 = (1, 1, 1); V2 =(1, 1, 0); V3 =(1, 0, 0), adalah transformasi linier T: R3R2 sehingga T(v1) = (1, 0); T(v2) = (2,-1); T(v3) = (4,3). Carilah T(2, -3, 5) 11. Penyelesaian soal 2 Nyatakan v = (2, -3, 5)sebagai kombinasi linier dari v1, v2, dan v3: v = k1v1 + k2v2 + k3v3 Didapat k1=5; k2=-8; dan k3=5 Sehingga: (2,-3,5) = 5v1 8v2 + 5v3 T(2,-3,5) = 5T(v1) 8T(v2) + 5T(v3) =5(1,0) 8(2,-1) + 5(4,3) =(9,23) 12. TRANSFORMASI MATRIK Misalkan A matrik berordo m x n yang tetap. Maka fungsi T(x)=Ax , dimana xRn, merupakan transformasi linier. Karena misalkan x1, x2 Rn, maka T(x1 + x2) = A(x1 + x2) = Ax1 + Ax2 = T(x1) + T(x2). Dan yang kedua, misalkan x1Rn, dan k skalar, maka T(kx1) = A(kx1) = k(Ax1) = kT(x1). Syarat Transformasi linier 13. Lakukan tes 2 syarat transformasi TRANSFORMASI MATRIK (Soal) Lakukan tes 2 syarat transformasi linier 14. TRANSFORMASI MATRIK (Penyelesaian) 15. TRANSFORMASI MATRIK (Penyelesaian) T(m1+m2)=T(m1)+T(m2) Jadi syarat 1 terpenuhi. 16. TRANSFORMASI MATRIK (Penyelesaian) , Jadi syarat 2 terpenuhi. Jadi T, termasuk transformasi linier 17. TRANSFORMASI FUNGSI NOL Fungsi yang memetakan setiap vektor di V ke vektor nol, disebut fungsi nol, yang secara lambang ditulis: T(v) = 0 Apakah fungsi nol termasuk transformasi linier ? Tes dengan 2 syarat TL. 18. TRANSFORMASI Fungsi Nol (Penyelesaian) Syarat 1 dan 2 terpenuhi, berarti fungsi nol merupakan transformasi linier 19. TRANSFORMASI FUNGSI IDENTITAS Fungsi yang memetakan setiap vektor di V ke dirinya sendiri, disebut fungsi identitas, yang secara lambang ditulis: T(v) = v Apakah fungsi Identitas termasuk transformasi linier ? Tes dengan 2 syarat TL. 20. TRANSFORMASI Fungsi Identitas (Penyelesaian) Syarat 1 dan 2 terpenuhi, berarti fungsi identitas merupakan transformasi linier 21. SIFAT TRANSFORMASI LINIER Jika T transformasi linier dari vektor V ke ruang vektor W, T : V W maka dipenuhi sifat-sifat berikut: a. T(oV) = oW b. T(-u) = -T(u) c. T(u - v) = T(u) - T(v) 22. JENIS TRANSFORMASI LINIER Refleksi / Pencerminan 1. Terhadap sumbu y 1. Terhadap sumbu x 1. Terhadap garis y = x 23. JENIS TRANSFORMASI LINIER Perbesaran Pengecilan Pergeseran 1. Arah y, dg faktor k 2. Arah x, dg faktor k 24. JENIS TRANSFORMASI LINIER Ekspansi, Kompresi 1. Pada arah x k 0 0 1 1. Pada arah y 1 0 0 k Rotasi / Perputaran Nilai tergantung besar sudut Yang digunakan untuk melakukan Rotasi / perputaran 25. KERNEL Misalkan V dan W ruang vektor, misalkan T: V W transformasi linier. Kernel transformasi linier T adalah himpunan semua anggota V yang dipetakan T ke dalam 0. Dinyatakan oleh ker(T) X1 0 X2 = 0 X3 0 ...... ..... Xn 0 A Ket : A = Sistem matriks ordo m x n x1, x2, x3 = ker(T) 0 = Hasil Pemetaan 26. JANGKAUAN misalkan T: V W Jangkauan transformasi linier T atau Range T adalah himpunan semua anggota W dengan syarat ada anggota V sehingga anggota V tersebut adalah prapeta dari anggota W yang bersesuaian. Dinyatakan oleh R(T) 27. Contoh Soal ker(T) = 1 1 0 didapat x1 = 0, dan x2 = 0 -2 1 0 -1 2 0 Dari sebuah transformasi linier berikut. 28. Contoh Soal 29. Contoh Soal 30. Rank dan Nutilitas Jika T:VW adalah transformasi linier, maka dimensi jangkauan dari T dinamakan rank T, dan dimensi kernel dinamakan nulitas T Jika T:VW adalah trasnformasi linier, maka Kernel dari T adalah sub-ruang dari V Jangkauan dari T adalah subruang dari W