(Teorema Limit Fungsi)

KELAS H

MASNUR (14B07105)

PENDIDIKAN MATEMATIKA

PROGRAM PASCASARJANA

UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR

2015

4.2 Teorema Limit

Definisi 4.2.1 Misalkan A⊆R, f :→ R dan c∈R titik limit dari A. Fungsi f

dikatakan terbatas pada persekitaran c jika terdapat persekitaran – δ V δ(c) dan

konstanta M >0 sehingga, |f (x )|≤ M ,∀ x∈ A ∩V δ(c).

Teorema 4.2.2 Misalkan A⊆R, f :→ R mempunyai limit di c∈R, maka f

terbatas pada suatu persekitaran dari c.

Bukti: Jikamaka menurut Defenisi 4.1.4 dengan ε=1, terdapat δ >0 sehingga

untuk 0<|x−c|<δ , x∈ A, maka |f ( x )−L|<1. Akibatnya:

|f (x )|−|L|≤|f ( x )−L|<1

Jadi, jika x∈ A ∩V δ(c), maka x≠ c , maka |f (x )|≤|L|+1. Jika c∉ A ambil

M=|L|+1, sedangkan jika c∈ A ambil M≔maks {|L|+1 , f (c)}. Itu mengikuti

jika x∈ A ∩V δ(c), maka |f (x )|≤ M . Hal ini menunjukkan bahwa f terbatas pada

persekitaran – δ dari c.

Definisi 4.2.3 Misalkan A⊆R, f : A → R dan g : A → R. Didefinisikan:

( f +g ) (x )=f ( x )+g (x),

( f −g ) ( x )=f ( x )−g (x),

( fg ) ( x )=f (x ) g(x ).

∀ x∈ A , b∈ R dan h( x)≠ 0 didefinisikan:

(bf ) ( x )=bf ( x )

( fh ) ( x )= f (x )

g(x)

(Bartle, 2011:111)

Teorema 4.2.4 Misalkan A⊆R, f : A → R dan g : A → R dan c∈R, dengan c titik

limit dari A. Misalkan b∈R, Jika dan maka:

(a) limx →c

f ( x )+g (x)=L+ M

Bukti 1:

Teorema ini dapat dibuktikan dengan menggunakan Kriteria Barisan 3.2.3.

Ambil sebarang barisan (xn) di dalam A dengan xn≠ c sehingga konvergen ke c.

Menurut Teorema 4.1.7 berlaku:

limn → ∞

f (xn)=L dan limn → ∞

g(xn)=M

Dipihak lain, menurut Definisi 4.2.3,

( f +g ) ( xn )=f ( xn )+g ( xn ) untuk n∈N

Dengan Teorema 3.2.4 diperoleh:

limn → ∞

( f +g)(xn)=limn→∞

f (xn)+ limn→∞

g (xn)=L+M

(Bartle, 2011:112)

Bukti 2: Ambil ε>0 sebarang.

Misalkan artinya ∃ δ1>0 ,∋ untuk 0<|x−c|<δ 1 dan x∈ A berlaku

|f ( x )−L|< ε2

Misalkan artinya ∃ δ2>0 ,∋ untuk 0<|x−c|<δ 2 dan x∈ A berlaku

|g ( x )−M|< ε2

Akan ditunjukkan limx →c

( f +g )( x)=L+M

Pilih δ=¿ min(δ 1 ,δ 2), sehingga untuk 0<|x−c|<δ dan x∈ A dipenuhi

|f ( x )−L|< ε2

dan|g ( x )−M|< ε2

maka berlaku:

|( f +g ) ( x )−(L+M )|=|(f ( x )−L )+(g (x )−M )|

≤|f ( x )−L|+|(g ( x )−M )|< ε2+ ε

2=ε

Karena ε>0 sebarang maka:

limx →c

(f +g ) ( x )=L+M

(Abdillah, 2013:85)

(b) limx →c

(f −g )(x)=L−M

(c) limx →c

( fg )(x )=LM

Bukti:

Analisis:

|f ( x ) g ( x )−LM|=|f ( x ) g ( x )−Lg ( x )+ Lg (x )−LM|≤|f ( x ) g ( x )−Lg (x)|1+|Lg ( x )−LM|¿|g(x )||f ( x )−L|+|L||g ( x )−M|

Ambil ε>0 sebarang.

Misalkan artinya ∃ δ1>0 ,∋ untuk 0<|x−c|<δ 1 dan x∈ A berlaku

|f ( x )−L|<12

ε

|M|+1 (1)

Misalkan artinya ∃ δ2>0 ,∋ untuk 0<|x−c|<δ 2 dan x∈ A berlaku

|g ( x )−M|<12

ε

|L| (2)

Juga terdapat δ 3>0 sehingga jika 0<|x−c|<δ 3

berlaku |g ( x )−M|<1 atau |g ( x )|<|M|+1 (3)

Pilih δ=min{δ 1 , δ 2 ,δ 3}, maka apabila 0<|x−c|<δ berlaku (1), (2),dan (3).

Akibatnya

|f ( x ) g ( x )−LM|≤|g( x)||f ( x )−L|+|L||g (x )−M|

¿ (|M|+1 ) ( 12

ε

|M|+1 )+|L|( 12

ε

|L| )¿ ε

2+ ε

2=ε

maka:

limx →c

(fg )(x )=LM

(d) limx →c

bf (x)=bL

(e) Jika h : A → R, g(x )≠ 0, ∀ x∈ A , dan limx →c

g ( x )=M ≠ 0 maka:

limx →c ( f

g )(x )= LM

Bukti:

Pertama-tama ditunjukkan bahwa:

limx →c ( 1

g )(x )= 1M

Analisis:

| 1g(x )

− 1M

=|M−g(x )||M g(x )| |

Ambil ε>0 sebarang

Pilih δ 1>0 sehingga |g ( x )|>|M|2

apabila 0<|x−c|<δ 1

Pilih δ 1>0 sehingga |g ( x )−M|< ε M 2

2 apabila 0<|x−c|<δ 2

Pilih δ=min {δ1 , δ2 } maka apabila 0<|x−2|<δ diperoleh:

limx →c

f (x)g(x )

=limx→ c

f (x ) 1g(x)

¿ limx →c

f (x ) limx → c

1g (x)

¿ LM

(Dwijanto, 1994:87-90)

(f) Jika p fungsi polinomial, maka:

limx →c

p ( x )=p (c)

Misalkan p ( x )=an xn+an−1 xn−1+…+a1 x+a0 untuk semua x∈ R. Dari Teorema

4.2.4 dan kenyataan bahwa limx →c

xk=ck, maka:

limx →c

p ( x )= limx → c

(an xn+an−1 xn−1+…+a1 x+a0)

¿ limx →c

an xn+ limx → c

an−1 xn−1+…+ limx →c

a1 x+ limx → c

a0

¿ancn+an−1cn−1+…+a1 c+a0

¿ p(c )

Jadi, limx →c

p ( x )=p (c) untuk sebarang fungsi polinomial p.

Teorema 4.2.5 Misalkan A⊆R, f : A → R dan c∈R adalah titik limit dari A.

Jika a ≤ f ( x ) ≤b ,∀ x∈ A , x ≠ c dan jika limx →c

f ( x ) ada maka a ≤ limx→ c

f ( x )≤ b.

Bukti: Jika L=limx → c

f ( x ), menurut Teorema 4.1.7, jika (xn) adalah sebarang

barisan bilangan real di dalam A dengan xn≠ c, ∀n∈N , maka barisan ¿)

konvergen ke L. Karena a ≤ f ( x ) ≤b ,∀ x∈ A , x ≠ c, maka:

a ≤ limx→ c

f ( x )≤ b

Teorema4.2.6 (Teorema Apit) Misalkan A⊆R, f , g , h : A → R dan c∈R adalah

titik limit dari A. Jika f ( x ) ≤ g ( x ) ≤h ( x ) ,∀ x∈ A , x≠ c dan jika

limx →c

f ( x )=L=limx → c

h ( x ), maka limx →c

g ( x )=L .

(Bartle, 2011:114)

Referensi

Abdillah. 2013. Pengantar Analisis Real. Komunitas Studi Alkwarizmi.

Bartle, Sherbert. 2011. Introduction to Real Analysis Fourth Edition. John

Wilwey & Sons, Inc.

Dwijanto. 1994. Analisis Riil Landasan untuk Berfikir Formal dalam Matematika.

IKIP Semarang Press: Semarang.