INTEGRAL TAK TENTU

(subtitusi – parsial)

Agustina Pradjaningsih, M.Si.

Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

agustina.fmipa@unej.ac.id

Untuk fungsi f yang terdefinisi

pada selang terbuka I, dpt

ditentukan fungsi F yg

memenuhi pada I.

Fungsi F ini dinamakan anti

turunan dari fungsi f pada

selang I.

)()(' xfxF

DEFINISI 1

Fungsi f(x)=sin 2x, mempunyai

beberapa anti turunan. Disini terdapat

tiga fungsi F yg memenuhi

pada R yaitu

Rx

)()(' xfxF

xxFxxFxxF 2

3

2

221

1 cos)( ,sin)( ,2cos)(

)(2sin)sin)((cos2)('

)(2sincossin2)('

)(2sin2)2sin()('

3

2

21

1

xfxxxxF

xfxxxxF

xfxxxF

karena

Maka F1, F2, dan F3 semuanya anti

turunan dari fungsi f pada R. Hubungan

antara ketiga anti turunan dari fungsi f

tersebut :

212

212

21 cossin2cos xxx

Hal diatas menyatakan bahwa anti

turunan tidak tunggal, yang berbeda

pada konstanta real.

TEOREMA 1

Misalkan fungsi f terdiferensialkan pada

selang terbuka I. Jika pada I, maka

f(x)=c.

0)(' xf

Bukti :

Tetapkan fungsi f yang diferensiabel

pada I memenuhi Teorema Nilai Rata Rata

(TNR) pada selang tertutup yang ujungnya x

dan x1 dengan

I1 x

Ix

1

1)()()('

xx

xfxfpf

Karena pada I, maka

Shg pada selang I berlaku

Ambil c=f(x1) maka f(x)=c, c konstanta

)()( 1xfxf

0)(' pf0)(' xf

Akibatnya terdapat p antara x dan x1

sedemikian sehingga

AKIBAT

Jika pada selang I maka

f(x) = g(x)+c, c konstanta real)(')(' xgxf

Bukti :

Karena pada I maka

pada I. Berdasarkan

Teorema 1 sehingga

f(x) = g(x)+c, c konstanta real

)(')(' xgxf

0)()'( xgf

c)()'( xgf

DEFINISI 2

)()(' xfxF

Anti diferensial dari fungsi f pada

selang I adalah fungsi y=F(x)+c

dengan pada I)()(' xfxF

Karena anti turunan dari suatu

fungsi tidak tunggal, maka terdapat

bentuk umum anti turunan dari

suatu fungsi pada selang I yang

dinamakan anti diferensial

Proses menentukan anti diferensial dari

fungsi f pada selang I dinamakan

integral tak tentu dari fungsi f pada

selang I dan ditulis dengan lambang

D

E

F

I

N

I

S

I

Integral Tak Tentu

c)()( xFdxxf

dengan

F anti turunan f pada I

integral tak tentu dari f dxxf )(

....dxLeibniz notasiadalah dipakai yang Notasi

turunananti tak tentuintegral

)()( rhadapturunan te

x

x

D

xfdxx fDx

anti turunan → mengintegralkan

dxx f )(

tanda integrasi Integran

Mengintegralkan integran → Integral tak tentu

NOTASI

)1,0( Cln

C

)0( Cln

)0( C)ln(

)0( Cln

)1(,C1

1

aaa

adxa

edxe

xx

xx

xx

x

dx

nn

xdxx

xx

xx

nn

Rumus Integrasi Dasar (1)

Ccsccotcsc

Csectansec

Ccotcsc

Ctansec

Csincos

Ccossin

2

2

x x dx x

x x dx x

x x dx

x x dx

x x dx

x - x dx

Rumus Integrasi Dasar (2)

Ccscarc

Csecarc

1

Carccos

Carcsin

1

Ccotarc

Carctan

1

2

2

2

x-

x

xx

dx

x-

x

x

dx

x-

x

x

dx

Rumus Integrasi Dasar (3)

TEOREMA 2

1. Faktor konstan dapat diletakkan diluar

tanda integral, yaitu jika k konstanta

maka dxxfkdxxkf )()(

2. Integral dari jumlah dua fungsi sama

dengan jumlah integral masing masing

fungsi.

dxxgdxxfdxxgxf )()())()((

dxxxxdxx

xx

dxx

xxdx

xx

dxxxxdx

dxxxdxx

dxxdx

xx

)32518( 10. 132

9.

834

8. 61

7.

)6720( 6. .5

)166( 4. .3

)42(.2 4.1

248

2

23

5

56

73

47234

2

45

32

Cari anti turunan F(x)+C untuk yang berikut

Contoh 1

C11

C

3434

.5

C32

66)166(.4

C5

3C

1.3

C442)42(.2

C44.1

34

34

45

45

23

22

33

32

2

35

33

32

32

xx-

xx

dxxdxxdxxx

xxx

dxxdxdxxdxxx

xxdxx

xxdxxdxdxx

xdx

C2

32

C232

)834(834

.8

C1

2

1

C2

1)6(

61.7

C22

)6720()6720( 6.

4

2

42

5

5

56

62

6273

73

3710

269472

xxx

xxx

dxxxdxx

xx

xx

xxdxxxdxxx

xxx

dxxxxdxxxx

C52)32518( .10

C1

3

C3

)32(132

9.

359248

2

12

2

2

23

xxxdxxxx

xxx

xxx

dxxxdxx

xx

Untuk mencari yang tdk dpt

langsung diperoleh dari sifat-sifat anti

derivatif dan rumus integrasi dasar yang

telah ada.

dxxf )(

INTEGRASI SUBTITUSI

mengubah variabel yang terdapat dibawah

tanda integral dengan suatu subtitute,

sehingga diperoleh integral dalam variabel

baru yang diharapkan lebih mudah daripada

integral yang diberikan.

Jika yang didefinisikan pada

suatu interval, mempunyai invers

dan fungsi-fungsi g dan g-1 keduanya

mempunyai derivatif yang kontinu pada

intervalnya masing-masing, dan f kontinu

pada interval dimana g-1 didefinisikan,

maka

)(tgx

)(1 xgt

dttgtgfdxxf )('))(()(

TEOREMA 3

BUKTI :

Teorema akan terbukti apabila dpt

diperlihatkan samanya derivatif terhadap x

dari fungsi ruas kiri dan fungsi ruas kanan

dalam kesamaan diatas. Jadi harus

diperlihatkan bahwa

Menurut definisi

dttgtgfdx

ddxxf

dx

d)('))(()(

)()( xfdxxfdx

d

Sedangkan menurut teori hitung diferensial

)())((

)('

1)('))((

1)('))((

)('))((

)('))(()('))((

xftgf

tgtgtgf

tgtgf

dx

dttgtgf

dx

dtdttgtgf

dt

ddttgtgf

dx

d

dtdx

Csin2Csin2

cos22coscos

2 Misal

21

21

21

x t

dttdttdxx

dtdxxt

Contoh 2

dxx21cosCarilah

dxx 9)52( Hitung

Contoh 3

C)52(20

1

C20

1

2

1

2)52( Jadi

252 Subtitusi

10

10

999

x

y

dyydy

ydxx

dxdyxy

dxx )1( Hitung 3 2

Contoh 4

C5

3

C1

C1

)1( Jadi

1 Subtitusi

35

35

33

32

32

35

33

32

3 23 2

u

uu

duudxudxx

dxduxu

dxxxx )3cos()32( Hitung 2

Contoh 5

C)3(sin

Csincos

)32()3cos(

)3cos()32( Jadi

)32(3 Subtitusi

2

2

2

2

xx

uudu

dxxxx

dxxxx

dxxduxxu

ARCUS TANGENS

Dalam daftar rumus dasar dipunyai rumus

Carctan1 2

xx

dx

Carctan1

Carctan1

)1( 2222

a

x

ay

aya

dya

xa

dx

Dengan subtitusi x = ay maka

Diperoleh

Carctan1

22

a

x

axa

dx

22222 )(2 py

dy

pbx

dx

cbxx

dx

Jika dimana diskriminan

maka f(x) definit positip dan

selalu dapat dibawa ke bentuk

Dengan jadi

cbxxxf 2)( 2

042 cbD

22)()( pbxxf

022 bcp

Dengan y=x+b, diperoleh

Carctan1

22

p

bx

pcbxx

dx

LOGARITMA

Cln xx

dx

Cln)(

)(' y

y

dydx

xg

xg

Dalam daftar rumus dasar dipunyai rumus

Dengan subtitusi y= g(x) jadi dy = g’(x)dx

Diperoleh

C)(ln)(

)(' xg

y

dydx

xg

xg

C3

1arctan

3

1

3)1(42.1

22

x

x

dx

xx

dx

c2

3arctan136ln

2

1

136

5

136

2

136

)62(

136

2)62(

136

)102(

136

52.

2

2

22

21

2

21

2

21

2

xxxdx

xx

x

xx

dxdx

xx

x

dxxx

xdx

xx

xdx

xx

x

Contoh 6

Rumus derivatif hasilkali dua fungsi dapat

ditulis

Jadi

Dengan subtitusi atau

Maka

Demikian juga

Sehingga

)(')()(')(')()( xfxgxgxfxgxf

dxxfxgdxxgxfdxxgxf )(')()(')(')()(

)(xfy )(1 yfx

)()()()(')( 1 xdfxgdyyfgdxxfxg

)()()(')( xdgxfdxxgxf

)()()()()()( xdfxgxdgxfxgxf

INTEGRASI PARSIAL

Kalau f(x) dan g(x) berturut-turut ditulis u

dan v maka hubungan itu menjadi

duvdvuvu duvvudvuatau

Hubungan terakhir ini disebut Rumus Integrasi Parsial

Hal yang harus diperhatikan dalam

pemakaian rumus integrasi parsial :

1. Cari bagian dv yang segera bisa diintegralkan

duv dvu 2. tidak lebih kompleks dari

TEOREMA 4

Jika fungsi u dan v keduanya

didefinisikan dalam interval yang sama dan

mempunyai derivatif yang kontinu, maka

berlaku

duvvudvu

Rumus ini sangat bermanfaat untuk

menentukan integral tak tentu dari fungsi

transenden.

dxxxxxxxxdxxx

xv

dxxxxdu

dxdv

xxu

)cos(sinsin sin

)cos(sinsin (a)

Ada 3 kemungkinan

Hasil dari integral lebih kompleks dari integral

awal maka pilihan ini diabaikan.

Contoh 7

Carilah dxxx sin

Hasil dari integral lebih kompleks dari integral awal

maka pilihan ini diabaikan.

dxxxxxdxxx

xv

dxxdu

dxxdv

xu

cossin sin

cos

sin (b)

2

212

21

2

21

Csincos

coscos sin

cos sin (c).

xxx

dxxxxdxxx

xv

dxdu

dxxdv

xu

dxxx lnCarilah

Contoh 8

Clnln

1ln

)(lnln

lnln

maka dan lnMisalkan

xxxdxxx

dxx

xxx

xdxxx

dxxxdxxx

xvxu

dxxxarctanCarilah

Contoh 9

C1ln2

1arctan

1

2

2

1arctan

1arctan

)(arctanarctanarctan

dan arctanMisalkan

2

2

2

xxx

dxx

xxx

x

dxxxx

xdxxxdxxx

xvxu

dxxex cosCarilah

Contoh 10

C)sin(cos2

1cos

cos)sin(cos

sinsincos

)(sincossincos

)(coscos)(coscos

maka,dan cosMisalkan

x xedxxe

dxxe x xe

dxxe xe xe

edx xedxxe xe

xdee xedxdxxe

evxu

xx

xx

xxx

xxxx

xxxx

x