VERA HERAWATI TR – ROZI RUBIANTI – DAYANGKU FENDRIA – EFRIANTO – RAHMITO RAMADHAN – DELI SUHAIMI

ISOMORFISMA RING MERUPAKAN HOMOMORFISMA RING YANG BERSIFAT

BIJEKTIF

Misalkan (R,+,.) dan (R’, , ) merupakan ring-ring

Pemetaan f:R R’ disebut homomorfisma dari R ke R’ jika memenuhi sifat-sifat:

f(a+b) = f(a) f(b) f(a.b) = f(a) f(b)

Jika f:R R’ di atas merupakan pemetaan 1-1 danonto, maka f disebut isomorfisma; R dikatakan

isomorfik dengan R’, dan ditulis R R’.

Misalkan R dan S suatu ring dan f : R → S suatu homomorfisma ring. Misalkan juga I = ker(f) dan R’ = im(f). Jelas bahwa I merupakan

ideal dari R dan R’ merupakan subring dari S. Akibatnya R/I merupakan ring kuosien. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa ring

kuosien R/I isomorfik dengan ring R’ = im(f).Untuk membuktikan ini, yang pertama didefinisikan

Rɸ/I → R’ dengan (ɸI + a) = f(a).

Dalam rangka membuktikan bahwa sɸuatu pemetaan, diambilsebarang (I + a), (I + b) di R/I dengan I + a = I + b. AkibatnyaI + a = I + b → ( a – b) I→ f(a – b) = 0→ f(a) – f(b) = 0→ f(a) = f(b)→ (ɸI + a) = (ɸI + b).

Sekarang misalkan (I + a) dan (I + b) sebarang dua koset didalam ring kuosien R/I, maka berlaku

[ɸ(I + a) + (I + b)] = [ɸI + (a + b)]= f(a + b)= f(a) + f(b)= (ɸI + a) + (ɸI + b)dan

[ɸ(I + a) (I + b)] = [ɸI + (ab)]= f(ab)= f(a) f(b)= (ɸI + a) (ɸI + b).

Ini berarti mɸerupakan homomorfisma ring.

Untuk membuktikan bahwa pɸemetaan satu-satu, diambil sebarang(I + a) dan (I + b) di R/I dengan (ɸI + a) = (ɸI + b). Akibatnya

(ɸI + a) = (ɸI + b) → f(a) = f(b)→ f(a) – f(b) = 0→ f(a – b) = 0→ (a – b) I→ I + a = I + b.

Sekarang ditunjukkan bahwa pɸada (surjektif), untuk ini diambil sebaranga’ R’ = im(f). Karena f merupakan homomorfisma ring dari ring R pada R’

= im(f) maka terdapat elemen a di R sedemikian hingga f(a) = a’, tetapif(a) merupakan peta dari elemen (I + a) di dalam R/I, sehingga diperoleh

a’ = f(a) = (ɸI + a).

Dengan pembahasan di atas dapat disimpulkan bahwa mɸerupakanisomorfisma ring dari ring kuosien R/I ke R’ = im(f). Dengan kata lain, ring kuosien R/I isomorfik dengan ring R’ = im(f), dituliskan dengan R/I im(f).

Bila h : Z 2Z didefinisikan : h(a) = 2a untuk Ʉ a ϵZ merupakan homomorfisma,

Buktikan bila h merupakan isomorfisma !

h merupakan isomorfisma, sebab:

h injektif :Ʉa,b ϵ Z, jika h(a) = h(b) maka 2a = 2b atau a = b

h surjektif : Ʉ x ϵ 2Z maka h(n) = 2n = x, untuksuatu n ϵ Z

Diberikan D gelanggang , dimana D adalahmatriks 2×2 dalam bentuk

Tunjukkan bahwa D isomorfisma di bilangankompleks C.

Dimana D adalah lapangan.

Diberikan f : C → D didefinisikan denganJelas f satu-satu dan pada

MisalkanDan

sehingga

Dan Jadi

Terakhir ,identitas

matriks .Jadi f adalah isomorfisma.

Misalkan R dan K Ring (Gelanggang)f ∶R → K homomorfisma

Tunjukan bahwa f merupakan isomorfismajika dan hanya jika I(f) = (0).

Misalkan R & K ring & f isomorfismaAdit I(f) = (0).Ambil sebarang a∈ I(f)

Adit a unsur di (0), yaitu a = 0.Perhatikan : a∈I(f) , maka I(f) = 0 = f(0)karena f 1-1, maka a = 0.jadi a unsur di (0), I(f) bagiandari (0).

Ambil 0∈(0)karena f(0) = 0, maka 0 unsurdi I(f)(0)bagian dari I(f)jadi I(f) = (0).

R dan K ringf homomorfisma & I(f) = (0)Adit f isomorfisma, untuk itucukup menunjukan bahwa f 1-1.Ambil sebarang a,b ∈R sehingga f(a) = f(b)Adit a = b.Perhatikan :f(a) = f(b) maka f(a) – f(b) = 0f(a) + f-(b) = 0, f (a – b) = 0.ini berarti a – b unsur di I(f)=(0)jadi a – b = 0 ⇔ a = b.∴ f isomorfisma.

Adit = akan ditunjukkan

Misalkan (Z x Z,+,-) adalah suatu ring homomorfisma

f: Z Z x ZTunjukan bahwa f merupakan isomorfisma!

MisalkanZ x Z = {(x,y) | x , y ϵ Z}

- Operasi Penjumlahan:(x1,y1)+(x2,y2)= (x1+x2,y1+y2)

- Operasi Perkalian :(x1,y1).(x2,y2)= (x1x2,y1y2)

Ʉ (x1,y1), (x2,y2) ϵ Z x Z

Ambil sebarang x,y ϵ Zdengan f(x) = f(y) adalah

x =yf(x) = f(y) (x,0) = (y,0)

x = yMaka f satu-satu (injektif)

Ambil sebarang p ϵ ZxZMaka p=(x,0) untuk suatu

x ϵ ZJadi, Ʉ p ϵ Z x Z, x ϵ Z

P=(x,0) = f(x)Maka, f pada (surjektif)

Misalkan f: (R,+) ( , x)X

adalah suatu ring . Tunjukan bahwa f merupakan isomorfisma!

xeR

TIDAK PEDULI SEBERAPA BAKATNYA DIRIMU, JIKA KAU HANYA SENDIRIAN. KAU

TIDAK AKAN PERNAH BISA MERUBAH DUNIA #L