integral · 2020. 1. 23. · integral tentu • sebagai konsekuensi dari teorema ini, fungsi...

13
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Integral Pertemuan - 9 Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV – 101 SKS : 3 SKS

Upload: others

Post on 23-Nov-2020

12 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Integral · 2020. 1. 23. · Integral Tentu • Sebagai konsekuensi dari teorema ini, fungsi berikut terintegrasikan pada tiap interval tertutup [a,b] : fungsi polinomial, fungsi

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Integral

Pertemuan - 9

Mata Kuliah : Kalkulus

Kode : CIV – 101

SKS : 3 SKS

Page 2: Integral · 2020. 1. 23. · Integral Tentu • Sebagai konsekuensi dari teorema ini, fungsi berikut terintegrasikan pada tiap interval tertutup [a,b] : fungsi polinomial, fungsi

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

• Kemampuan Akhir yang Diharapkan

Mahasiswa mampu:

• mencari anti turunan fungsi

• menghitung integral tak tentu

• mengaplikasikan penggunaan integral

Page 3: Integral · 2020. 1. 23. · Integral Tentu • Sebagai konsekuensi dari teorema ini, fungsi berikut terintegrasikan pada tiap interval tertutup [a,b] : fungsi polinomial, fungsi

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

• Sub Pokok Bahasan :

Integral Tak Tentu

Integral Tentu

Teorema Dasar Kalkulus

Integral Tak Tentu dengan Substitusi

Page 4: Integral · 2020. 1. 23. · Integral Tentu • Sebagai konsekuensi dari teorema ini, fungsi berikut terintegrasikan pada tiap interval tertutup [a,b] : fungsi polinomial, fungsi

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Definisi

F adalah anti turunan dari fungsi f pada interval I, jika Dx(F(x)) = f(x) pada I, F’(x)= f(x) untuk semua x dalam I.

Contoh : x4 adalah anti turunan dari 4 x3 sebab Dx(x4)= 4 x3

untuk semua x pada (-,).

Note: x4 + c adalah solusi umum anti turunan dari 4 x3 sebab Dx(x

4+c)= 4 x3 untuk tiap nilai x pada (-,) untuk tiap konstan c.

Notasi : Anti turunan dari F(x) F(x)dx

tanda integral

F(x) integran

Contoh : 4 x3 dx = x4 + c

Page 5: Integral · 2020. 1. 23. · Integral Tentu • Sebagai konsekuensi dari teorema ini, fungsi berikut terintegrasikan pada tiap interval tertutup [a,b] : fungsi polinomial, fungsi

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Teorema Dasar Integral

-1r

1kecuali r rasional bilangan semua untuk

Cr

xgdxxgxg

dxxgdxxfdxxgxf

dxxfkdxxkf

Cxdxx

Cxdxx

Cr

xdxx

rr

rr

1

)]([)(')]([.6

)()()]()([.5

)()(.4

sincos.3

cossin.2

1.1

1

1

Page 6: Integral · 2020. 1. 23. · Integral Tentu • Sebagai konsekuensi dari teorema ini, fungsi berikut terintegrasikan pada tiap interval tertutup [a,b] : fungsi polinomial, fungsi

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Contoh :

Temukan anti turunan dari fungsi berikut :

Problem Set 3.8 No. 1 – 42

dxxxx

dxxxdttt

xdxxduuu

dxxxxdxxx

xdxxdxx

343.5

32/.9)/1(

4.8)143(.3

1266.7)43(.2

cossin.6.1

3304

2222

1022/3

2532

103/4

4.

Page 7: Integral · 2020. 1. 23. · Integral Tentu • Sebagai konsekuensi dari teorema ini, fungsi berikut terintegrasikan pada tiap interval tertutup [a,b] : fungsi polinomial, fungsi

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Integral Tentu

Definisi : menyatakan luas bertanda daerah

yang terkurung di antara kurva y = f(x) dan

sumbu-x dalam interval [a,b]

bawahatas

b

a

AAdxxf )(

b

a

dxxf )(

Aatas

Abawah

Page 8: Integral · 2020. 1. 23. · Integral Tentu • Sebagai konsekuensi dari teorema ini, fungsi berikut terintegrasikan pada tiap interval tertutup [a,b] : fungsi polinomial, fungsi

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Integral Tentu

• Sebagai konsekuensi dari teorema ini, fungsi berikut terintegrasikan pada

tiap interval tertutup [a,b] : fungsi polinomial, fungsi sinus dan kosinus, fungsi rasional, asalkan interval [a,b] tidak memuat titik yang mengakibatkan penyebut nol.

Teorema Keintegrasian Jika f terbatas pada [a,b] dan f kontinu di sana kecuali pada sejumlah titik yang berhingga, maka f terintegrasikan pada [a,b]. Khususnya, jika f kontinu pada seluruh interval [a,b], maka f terintegrasikan pada [a,b]

Teorema Sifat Tambahan Pada Interval Jika f terintegrasikan pada sebuah interval yang memuat titik a, b, dan c, maka

c

b

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxf )()()(

Page 9: Integral · 2020. 1. 23. · Integral Tentu • Sebagai konsekuensi dari teorema ini, fungsi berikut terintegrasikan pada tiap interval tertutup [a,b] : fungsi polinomial, fungsi

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Teorema Dasar Kalkulus Pertama

Anggaplah f kontinu pada interval tertutup [a,b] dan anggaplah x

sebagai sebuah titik (perubah) pada (a,b). Maka

)()( xfdxxfdx

dx

a

Contoh : Selesaikan dengan Teorema Dasar Kalkulus Pertama

x

x

dtt

t

dx

d

dttdx

d

12

2/3

0

3

7.2

.1

Page 10: Integral · 2020. 1. 23. · Integral Tentu • Sebagai konsekuensi dari teorema ini, fungsi berikut terintegrasikan pada tiap interval tertutup [a,b] : fungsi polinomial, fungsi

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Teorema Dasar Kalkulus Pertama

Kelinearan Integral

Andaikan bahwa f dan g terintegrasikan pada [a,b] dan bahwa k konstanta. Maka kf dan f+g terintegrasikan dan :

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxgf

dxxfkdxxkf

)()(.2

)()(.1

Page 11: Integral · 2020. 1. 23. · Integral Tentu • Sebagai konsekuensi dari teorema ini, fungsi berikut terintegrasikan pada tiap interval tertutup [a,b] : fungsi polinomial, fungsi

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Teorema Dasar Kalkulus Kedua

Anggaplah f kontinu pada interval tertutup [a,b] dan anggaplah F

sembarang anti turunan f pada [a,b], maka

aFbFdxxf

b

a

Contoh :

x

x tdtD

dxxx

dxxx

0

8

1

3/43/1

2

1

2

sin3.3

.2

64.1

Page 12: Integral · 2020. 1. 23. · Integral Tentu • Sebagai konsekuensi dari teorema ini, fungsi berikut terintegrasikan pada tiap interval tertutup [a,b] : fungsi polinomial, fungsi

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Aturan Substitusi untuk Integral Tak Tentu

Jika g adalah fungsi yang terdiferensiasi and anggap F adalah anti

turunan dari f, maka :

CxgFdxxgxgf /

dxxx

xdxxdxxx

dxxxxdxx

11.3

2cos2sin.5sin.2

12.43sin.1

43

4/

0

32

4

0

2

Contoh :

Page 13: Integral · 2020. 1. 23. · Integral Tentu • Sebagai konsekuensi dari teorema ini, fungsi berikut terintegrasikan pada tiap interval tertutup [a,b] : fungsi polinomial, fungsi

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Aturan Substitusi untuk Integral Tentu

Jika g mempunyai turunan kontinu pada [a,b], dan f kontinu pada

range g, maka :

)(

)(

/

bg

ag

b

a

duufdxxgxgf

dxx

x

dxxx

x

4/

9/

1

0

22

2

2

cos.2

62

1.1

Contoh : Problem Set 4.4 No. 1 - 52