Teori Pita EnergiGilang Ramdhany, Utami Yuliani, Iman Rosiman.

PENGERTIAN PITA ENERGI

Berdasarkan asas larangan Pauli, dalam satu tingkat energi, tidak boleh ada lebih dari satu elektron pada keadaan yang sama. Kumpulan garis pada tingkat eneri yang sama akan saling berhimpit dan membentuk satu pita, pita inilah yang dinamakan sebagai pita energi. Pita energi terbagi menjadi dua yaitu : pita valensi dan pita konduksi. Pita energi teratas yang terisi penuh oleh elektron disebut sebagai pita valensi, sedangkan pita energi diatas pita valensi yang terisi sebagian atau tidak terisi (kosong) disebut sebagai pita konduksi. Diantara pita valensi dan pita konduksi terdapat celah energi yang tidak boleh terisi elektron.

Dimana, pada keadaan kesetimbangan pita energi terspenergi pada bahan padat kristal dapat dilihat pada gambar h daerah dimana elektron tidak bisa bergerak.lit menjadi dua bagian dan dipisahkan oleSecara sederhana, struktur pita

Asal Mula Teori Pita Energi

Elektron bebas pada logam dapat menerangkan sifat logam Sebagai konduktor. Namun, tidak mampu menerangkan sifat-sifat semikonduktor dan hubungan antara esistivitas Konduktor dengan suhu. Untuk itu dikembangkanlah teori pita energi. Teori elektron bebas menganggap elektron konduksi Tidak mengalami perubahan energi potensial. Elektron Dianggap dapat bergerak bebas dalam potensial. Energi Ini merupakan fungsi posisi elektron.

Kegagalan teori elektron kemudian diperbaharui dengan menganggap bahwa badan atom diam dan energi potensial merupakan fungsi yang periodik dari konstanta kisi kristal

Energi potensial yang periodik merupakan dasar dari teori pita energi dalam zat padat. Tingkah laku elektron didalam potensial dapat dijelaskan dengan mengkonstruksi fungsi gelombang elektron dengan menggunakan pendekatan elektron tunggal.

Gerak elektron dalam energi potensial

Pita pita energi yang dipisahkan oleh celah

Fungsi energi elektron adalah periodik

Pendekatan ini memodifikasi teori elektron bebas menjadi teori elektron hampir bebas. Menurut teori elektron hampir bebas, V [ ( x ) 0] elektron tidak lagi kontinu untuk semua k, tetapi pada nilai-nilai k tertentu, energi elektron mengalami diskontiniu, yaitu pada nilai , k = / a dimana n = 1, 2, 3, ...

Fungsi gelombang dititik merupakan gelombang yang berjalan k = /a kekanan dan kekiri. Hasilnya gelombang dititik tsb adalah gelombang berdiri, yang terdiri atas gelombang yang saling menguatkan dan saling melemahkan. Secara matematis kedua gelombang tersebut dapat dituliskan :( ix / a ) + exp ( ix / a ) = 2 cos ( x / a ) ( + ) = exp Dan) = exp ( ix / a ) exp ( ix / a ) = 2i cos ( x / a ) (

Rapat pelung kedua fungsi gelombang adalah :

( + ) = * ( + ) ( + ) = ( + ) = 4 cos 2 (x / a )Pers diatas menyatakan elektron ditumpukkan diatas ion positif. Yaitu, elektron berada pada daerah yang energi potensialnya rendah.

2

( ) = ( ) ( ) = ( ) = 4 sin 2 (x / a )*

2

Pers diatas menjelaskan elektron ditumpukkan ditengah-tengah antar ion positif, sehingga elektron ini memiliki energi potensial yang tinggi.

Beberapa hal yang diperhatikan pada model PITA ENERGI :

Adanya energi potensial periodik dalam keristal dengan keberkalaan kisi kristal. Fungsi gelombangnya untuk kisi sempurna (tanpa vibrasi termal, cacar geometri ataupun kimiawi). Merupakan teori elektron tunggal; hanya menelaah perilaku satu elektron saja yang mana elektron ini dipengaruhi oleh potensial periodik yang mempresentasikan semua interaksinya. Teorema yang dapat digunakan untuk menguraikan bentuk dan sifat fungsi Schroedinger untuk satu elektron dalam potensial berkala adalah Teorema Bloch. Fungsi-fungsinya dikenal dengan Funsi Bloch.

Teorema BlochDalam Telaah Bloch potensial periodiknya merupakan superposisi dua potensial: Potensial berkala dari kisi-kisi gugus-gugus atom atau ion. Potensial yang berasal dari semua elektron terluar atom-atom kristal. Fungsi gelombang Schroedinger ketika ada potensial periodik untuk keberkalaan kisi adalah:

Teori Pita Energi Untuk Zat Padat (Teorema Bloch, Dalam Telaah Bloch potensial periodiknya merupakan superposisi dua potensial:Sifat Fungsi ) Bentuk dan 1.Potensial berkala dari kisi-kisi gugus-gugus atom atau ion. 2.Potensial yang berasal dari semua elektron terluar atom-atom kristal. Fungsi gelombang Schroedinger ketika ada potensial periodik untuk keberkalaan kisi adalah:Merupakan fungsi yang memiliki keberkalaan kisi kristal Gambaran potensial periodik untuk kisi linier monoatomik Persamaan Schroedinger untuk elektron dalam kristal linier monoatomik dengan Kesimpulan dari persamaan Schroendinger di atas adalah; 1.Jika punya solusi untuk harga energi E, maka juga punya solusi E. Jika tedapat degenerasi maka

Teori Pita Energi Untuk Zat Padat (Teorema Bloch, Kesimpulan dari persamaan ) Bentuk dan Sifat Fungsi Schroendinger di atas adalah;

2.Untuk setiap X akan didapat yang berulang setelah N buah sel satuan. Panjang kristal l=Na. Sehingga didapat; 3.Fungsi gelombang elektron bebas dalam satu dimensi adalah ; untuk potensial nol. Untuk potensial yang tidak nol fungsinya : Dari fungsi merupakan didapat yang

fungsi periodik dengan keberkalaan a. Potesial bernilai riil, artinya sehingga didapat Keduanya memiliki nilai eigen E, sehingga .

Vektor k dan vektor kisi G memiliki dimensi yang sama. Semua harga k yang tepat dapat dikembalikan ke selang harga k dalam daerah . Selang ini dinamakan Brillouin zone I. Teorema Bloch memberikan bentuk dan sifat umum solusi persamaan Schroedinger elektron dalam kisi periodik satu dimensi

Teorema Bloch Persamaan Schrodinger untuk elektron yang bergerak dalam energi potensial yang nilainya tetap Vo dan satu dimensi dapat ditulis :

d ( x ) 2m + 2 ( E Vo )( x ) = 0 2 dx 2

Dengan solusi persamaan tersebut berupa gelombang datar yang berbentuk :

x ) =e (k Dimana (E Vo) 2=2 / 2m

ik x

= energi kinetik

Bentuk elektron yang bergerak dalam energi yang periodik satu dimensi, persamaan Schrodingernya adalah :

d 2 x ) 2m ( + 2 ( E V ( x ) ) x ) = 0 ( 2 dx Berdasarkan teorema Bloch, solusi dari persamaan diatas yaitu : x ) = e ikx U k ( x ) ( Dimana U(x) = U (x + a) Persamaan diatas disebut sebagai fungsi Bloch yang digunakan untuk menghitung nilai celah energi

Model ini menjelaskan tingkah laku elektron dalam sebuah energi potensial yang periodik, dengan perioda a + b. Didasar sumur yaitu 0 < x < a, Ep dianggap 0. Untuk diluar sumur, yaitu b < x < 0, Ep = Vo. Fungsi gelombang untuk kedua daerah diatas yaitu :Untuk 0 < x < a : d 2( x ) 2( x ) = 0 2dx

Dan solusinya adalah :

U i = Ae i ( k ) x + Be i ( +k ) x

Untuk b < x < 0 : d 2 ( x )dx 2

2 ( x ) = 0

Dan solusinya adalah :

U 2 = Ce ( k ) x + De ( + ik ) x2 Dimana =2m E

2 dan =

2m (Vo E )

adalah dua besaran real, A, B, C dan D adalah tetapan yang biasa ditentukan dengan syarat batas: d 1 U d 2 UU1(0) = U2(0) sehingga,

d x

=

d x

U1(a) = U2(-b) sehingga,

dU 1 dU 2 ( untuk , x = a ) = ( untuk , x = b ) dx dx

Dengan menerapkan syarat batas diatas diperoleh persamaan :Ai ( ) Bi ( + ) = C ( ik ) D( + ik ) Ae i ( k ) a + Be i ( + k ) a = Ce ( ik ) b + De ( + ik ) b Ai ( k )e i ( k ) a Bi ( + k )e i ( + k ) a = C ( ik )e ( ik ) b D( + ik )e ( + ik ) b

Solusi yang tidak sama dengan nol untuk persamaan diatas ada hanya jika persamaan determinan yang digunakan untuk menentukan fungsi gelombang adalah : 2 2

+ sin( b ) sin(a ) + cosh( b ) cos(a ) = cos k (a + b ) 2

Pada model Kronig Penney terdapat daerah energi yang terlarang dan daerah energi yang diijinkan bagi elektron. Kesimpulan yang dapat diperoleh tentang pembagian daerah ini yaitu : 1. Spektrum energi elektron terdiri dari pitapita energi yang diijinkan dan pita-pita (a ) energi yang terlarang. 2.

Lebar pita energi(a ) diijinkan sebanding yang dengan nilai , artinya makin besar nilai makin besar pula lebar pita energi.

3. Lebar suatu pita energi yang diijinkan berbanding terbalik dengan nilai P, yaitu dengan energi ikat elektron.