luas daerah di bawah kurva suatu fungsi · pdf file1 limit dan turunan 2 titik ekstrim 3...

LUAS DAERAH DI BAWAH KURVA SUATUFUNGSI

Afrizal, S.Pd, M.PMat

Matematika MAN Kampar

Juli 2010

Afrizal, S.Pd, M.PMat (Matematika) Luas Daerah Dibawah Kurva Juli 2010 1 / 29

Outline

Outline

1 Limit dan Turunan

2 Titik Ekstrim

3 Teorema Nilai Rata-rata

4 Luas daerah dibawah kurva

5 Integral Tentu

6 Volume Benda Putar

7 Teknik Pengintegralan


Limit dan Turunan

Limit dan turunan

Limit dan turunan

Misalkan kecepatan dengan aturan tertentu didapatkan formulaV (t) = 3t2.

Dapat dibuat tabel sebagai berikut :Waktu(t) 1 2 3 4 ... tKecepatan(V(t)) 3 12 27 ... ... 3t2

Percepatan Rata-rataPercepatan rata-rata waktu t = 2 sampai dengan t = 5 adalah :V (25) = V (5)−V (2)

5−2 = 75−123 = 63

3 = 21

Percepatan rata-rata waktu t = 2 sampai dengan t = 2,25V (22,25) = V (2,25)−V (2)

2,25−2 = 15,1875−120,25 = 3,1875

0,25 = 12, 75


Limit dan Turunan

Limit dan turunan

Percepatan sesaatPercepatan rata-rata waktu t = 2 sampai dengan t = mendekati 2 (lebihsedikit dari 2)V (2dekat2) = V (dekat2)−V (2)

dekat2−2 = dekat0dekat0 .

Andaikan ;percepatan rata-rata waktu t = 2 sampai dengan t = 2+hV (22+h) = V (2+h)−V (2)

2+h−2 = 3(2+h)2−3.22

h ( h mendekati 0)

diperolehV (22+h) = limh→0

V (2+h)−V (2)2+h−2 = limh→0

3(2+h)2−3.22

h

Keadaan seperti ini disebut dengan turunan atau percepataan sesaat(selang waktu mendekati 0), dapat dibuatV ′(t = 2) = V (22+h) = limh→0

V (2+h)−V (2)2+h−2 = limh→0

3(2+h)2−3.22

h


Limit dan Turunan

Limit dan turunan

SehinggaV ′(t = 2) = limh→0

V (2+h)−V (2)2+h−2 = limh→0

3(2+h)2−3.22

h =

limh→03(4+4h+h2)−12

h = limh→0(12+4h+h2)−12

h = limh→012h+3h2

h =limh→012 + 3h = 12 + 3.0 = 12

Jadi Percepataan sesaat pada t =2 atau percepatan rata-rata dari t=2sampai t= mendekati 2 atau turunan dari kecepatan untuk t = 2 dariV (t) = 3t2 adalah :V ′(t = 2) = limh→0

f (2+h)−f (2)h = limh→0

3(2+h)2−3.22

h = 12

LatihanTentukan turunan daria. V (t) = 4t2 pada t =3b. f (x) = 3x2 pada x = 5


Limit dan Turunan

Limit dan turunan

Turunan suatu fungsi

Selanjutnya dilihat turunan dari sebuah fungsi f (x) = 3x2 pada x = x

f ′(x = x) = limh→0f (x+h)−f (x)

h = limh→03(x+h)2−3.x2

h =

limh→03(x2+2xh+h2)−3x2

h = limh→03x2+6xh+h2−3x2

h = limh→06xh+h2

h =

limh→0h(6x+h)

h = limh→06x + h = 6x + 0 = 6x

Jadi turunan dari f (x) = 3x2, adalahf ′(x) = 6x

Dengan mudah kita dapat menentukan turunan f (x) = 3x2 pada x= 2dan x = 5 adalah ;f ′(x) = 6xf ′(2) = 6.2 = 12, danf ′(5) = 6.5 = 30


Limit dan Turunan

Limit dan turunan

Defenisi

Turunan suatu fungsi f adalah fungsi lain f ′ (dibaca ”f aksen”) yangnilainya pada sebarang bilangan c adalah

f ′(c) = limh→0f (c+h)−f (c)

h

asalkan limit itu ada


Titik Ekstrim

Titik Ekstrim

Titik Ekstrim

Kita tahu bahwa turunan atau kecepatan sesaat atau kecepatanrata-rata tidak lain adalah merupakan gradien.Perhatikan defenisi berikut

Andaikan S, daerah asal f, mengandung titik c, kita katakan bahwa :1 f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f (c) ≥ f (x) untuk semua

x di S.2 f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f (c) ≤ f (x) untuk semua x

di S.3 f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum

atau nilai minimum.Dari defenisi tersebut andaikan f(c) bukan merupakan tititk ujung,makaf ′(c) ≤ 0 dan f ′(c) ≥ 0 didapatkan f ′(c) = 0Afrizal, S.Pd, M.PMat (Matematika) Luas Daerah Dibawah Kurva Juli 2010 8 / 29

Titik Ekstrim

Titik Ekstrim

sehingga kita bisa buat sebuah teorema :

Teorema nilai antaraSuatu fungsi f terdeferensial pada S, dan c bagian dari S, dan f(c)bukan maksimum atau minimum pada ujung f maka terdapat f ′(c) = 0

Dengan kata lainSuatu fungsi f terdefenisial pada S, dan nilai fungsi dari batas bawahdan batas atas pada S sama maka terdapat f ′(c) = 0


Teorema Nilai Rata-rata


Teorema Nilai Rata-rata untuk turunan

Misalkan dua fungsi f(x) dan g(x) saling berpotongan pada (a,f(a)) dan(b,f(b)).

Pada fungsi g(x) kita bisa dapatkan gradien f (b)−f (a)b−a , sehingga

g(x)− f (a) = f (b)−f (a)b−a (x − a)




Karena s(x) = f (x)− g(x), akan menghasilkan

s(x) = f (x)− g(x) = f (x)− f (a)− f (b)−f (a)b−a (x − a)

Diperoleh s(b)=f(b)-g(b)=f(b)-f(b)=0, dan s(a)=s(b)=0, menurutteorema nilai antara terdapat c pada interval tertutup a dan b sehinggas′(c) = 0

Dans′(x) = f ′(x)− f (b)−f (a)

b−a

s′(c) = f ′(c)− f (b)−f (a)b−a , s′(c) = 0

f ′(c) = f (b)−f (a)b−a

Persamaan terakhir sering dikatakan dengan teorema nilai rata-ratauntuk turunan




Teorema nilai rata-rata

Jika f kontinu pada selang tutup [a,b] dan terdefenisi pada titik-titikdalam (a,b), maka terdapat paling sedikit satu bilangan c sehinggadalam (a,b) dengan

f ′(c) = f (b)−f (a)b−a


Luas daerah dibawah kurva


Pengertian integral

Integral tidak lain didefenisikan dengan anti turunan atau kebalikanturunan dengan simbol

∫Luas daerah dibawah kurva




Misalkan kurva atau fungsi pada gambar diatas adalah fungsi f ′(x) ,dengan luas dibawah kurva dengan batas dari a sampai dengan b.Selanjutnya interval a dan b dibagi beberapa bagian.

Dengan bantuan teorema nilai rata-rata, didapatkanInterval f ′(c) = f (b)−f (a)

b−a luas persegi panjang Keteranganbatas an dan an−1

a s/d a1 f ′(x1) = f (a1)−f (a)a1−a f (a1)− f (a) = f ′(x1)(a1 − a) x1 pada [a, a1]

a1 s/d a2 f ′(x2) = f (a2)−f (a1)a2−a1

f (a2)− f (a1) = f ′(x2)(a2 − a1)

a2 s/d a3 f ′(x3) = f (a3)−f (a2)a3−a2

f (a3)− f (a2) = f ′(x3)(a3 − a2)

. . .

. . .

. . .an−1 s/d b f ′(xn) =

f (b)−f (an−1)b−an−1

f (b)− f (an−1) = f ′(xn)(b − an−1)




Untuk n menuju tak hingga, artinya kita sama saja menentukan luasdaerah dibawah kurva f ′(x)

Jadi Luas =f ′(x1)(a1 − a) + f ′(x2)(a2 − a1) + f ′(x3)(a3 − a2) + ... + f ′(xn)(b −an−1)=f (a1)− f (a) + f (a2 − f (a1) + f (a3)− f (a2) + ... + f (b)− f (an−1)

Kita ambil an+1 − an = ∇xnL = lim∇xi→0

∑i=ni=1 f ′(xi)∇xi = −f (a) + f (b) , atau

L = lim∇x→0∑b

a f ′(x)∇x = f (b)− f (a) , jadi

Luas daerah dibawah kurva f ′(x) adalahL = f (b)− f (a), atau dengan perkataan lain

Luas daerah dibawah kurva f (x), adalahL = F (b)− F (a), dimana F (x) =

∫f (x)dx




F (b)− F (a) disimbolkan saja dengan∫ b

a f (x)dx

Dapat kita simpulkan

Luas daerah dibawah kurva f (x), adalah

L = lim∇xi→0∑i=n

i=1 f (xi)∇xi =∫ b

a f (x)dx = F (b)− F (a)


Integral Tentu

Integral Tentu

Integral Tentu

Kita sudah dapatkan dan disepakati bahwa∫ b

a f (x)dx adalah simboldari F (b)− F (a), untuk mudahnya dalam penulisan kita buat saja∫ b

a f (x)dx = F (x)|ba = F (b)− F (a).∫ ba f (x)dx sering disebut dengan integral tentu dengan batas bawah a

dan batas atas b.

Sehingga:∫ 52 (x2 + 3x)dx = 1

3x3 + 32x2|52

= 1353 + 3

252 − (1323 + 3

252) = 1253 + 75

2 −83 −

122

= 1173 − 63

2 = 2346 − 189

6 = 456 = 73

6 = 712 .


Integral Tentu

Integral Tentu

LatihanTentukan nilai dari integral tentu berikut :1.

∫ 31 (3x + 1)dx

2.∫ 2

0

√x3


Volume Benda Putar

Volume benda putar

Volume benda putar

Misalkan suatu daerah dibatasi fungsi f (x) dan sumbu x pada asampai dengan b diputar 3600 pada sumbu x akan membentuk bendaputar.


Volume Benda Putar

Volume benda putar

Volume benda putar pada ∇xi adalah ∇Vi = π[f (xi)]2.∇xi

Sehingga jumlah volume benda putar untuk kesuluruhan pada∇xi → 0 adalah volume benda putar yang kita inginkan, yakni;V = lim∇xi→0

∑i=ni=1 π[f (xi)]

2.∇xi =∫ b

a π[f (x)]2dxAfrizal, S.Pd, M.PMat (Matematika) Luas Daerah Dibawah Kurva Juli 2010 20 / 29

Volume Benda Putar

Volume benda putar

Contoh

Daerah yang dibatasi oleh garis y = x + 2, sumbu x , sumbu y , dangaris x = 2, diputar sejauh 3600 mengelilingi sumbu x . Hitunglahvolume benda putar yang terjadi.

Jawab :Dengan bantuan V =

∫ ba π[f (x)]2dx , kita dapat menentukan

volumenya yakni:V =

∫ 20 π(x + 2)2dx = 182

3π

LatihanLatihan di Erlangga halaman 67 dan 68.


Teknik Pengintegralan


Integral fungsi aljabar

Terdahulu sudah kita peroleh bahwa∫

axndx = an+1xn+1 + C,

sehingga dengan mudah kita bisa dapatkan :∫x(x − 1)√

xdx =

∫x2 − x√

xdx

=

∫x

32 dx −

∫x

12 dx

=1

32 + 1

x32 +1 − 1

12 + 1

x12 +1 + C

=25

x52 − 2

3x

32 + C

=25

x2√x − 23

x√

x + C




Integral fungsi Trigonometri

Misalkan fungsi f (x) = sin(x), maka

f ′(x) = limh→0f (x + h)− f (x)

h

= limh→0sin(x + h)− sin(x)

h

= limh→0sin(x)cos(h) + cos(x)sin(h)− sin(x)

h

= limh→0sin(x)(−1 + cos(h)) + cos(x)sin(h)

h

= limh→0−sin(x)(1− cos(h)) + cos(x)sin(h)

h= −sin(x).0 + cos(x).1= cos(x)




sehingga∫cos(x)dx = sin(x) + C




Pengintregralan yang dapat diubah ke dalam bentuk∫

f (u)du.

Contoh :Tentukanlah integral dari

∫(2x + 5)9

Jawab:Misalkan u = 2x + 5, maka du

dx = 2 atau dx = 12du, sehinnga∫

(2x + 5)9dx =

∫u9(

12

du)

=12

∫u9du

=12(

19 + 1

u9+1) + C

=12

u10 + C

=12(2x + 5)10 + C




Pengintegralan yang memuat bentuk√±a2 ± x2

Contoh :Tentukan pengintegralan dari

∫ √a2 − x2

JawabMisalkan

√a2 − x2 = acosθ ⇒ dx = acosθdθ, sehingga∫ √

a2 − x2 =

∫acosθ(acosθdθ)

= a2∫

cos2θdθ

=a2

2

∫(1 + cos2θ)dθ

=a2

2(θ +

12

sin2θ) + C

=a2

2(θ + sinθcosθ) + C




Pengintegralan dengan rumus Parsial

Teknik pengintegralan bisa juga dilakukan dengan integral parsialMisalkan u(x) dan v(x) masing-masing adalah fungsi dalam variabelx , maka pengintegralan

∫u dv di tentukan oleh hubungan∫

udv = uv −∫

vdu.Bukti :misalkan y = uv maka dy

dx = dudx v + u dv

dx , dan

∫dy =

∫duv +

∫udv

y =

∫vdu +

∫udv∫

udv = uv −∫

vdu




Contoh :Dengan menggunakan rumus integral parsial, tentukanlah∫

x√

1 + xdxJawabMisalkanu = x , sehingga du = dx , dandv =

√1 + xdx , sehingga

v =∫

dv =∫ √

1 + xdx =∫

(1 + x)12 dx = 2

3(1 + x)32 ,

dan ∫x√

1 + xdx =23

x(1 + x)32 −

∫23(1 + x)

32 dx

=23(1 + x)

32 − 4

15(1 + x)

52 + C

Bangkinang, Minggu, 20 Juni 2010



S E L E S A I


luas daerah di bawah kurva suatu fungsi · pdf file1 limit dan turunan 2 titik ekstrim 3...

Documents