kalkulus : limit & kekontinuan fungsi
DESCRIPTION
download : http://bit.ly/limitfungsiTRANSCRIPT
BAB III
LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI
Pembahasan bab ini dibagi dalam dua bagian. Pada bagian pertama
dibahas limit fungsi yang meliputi pengertian, sifat, dan penghitungan nilai limit
suatu fungsi. Pada bagian kedua dibahas pengertian kekontinuan fungsi dan sifat-
sifatnya.
TIK: Setelah mempelajari pokok bahasan ini mahasiswa diharapkan dapat
1. menghitung nilai limit fungsi yang diberikan.
2. menentukan kontinuitas suatu fungsi yang diberikan
3.1. Pengertian limit
Pengertian limit fungsi dapat disajikan secara aljabar dan secara
geometri/grafis.
Pengertian Secara Aljabar
Misalkan . Dengan mengambil beberapa nilai x untuk x
mendekati 1 dari kanan atau kiri, diperoleh tabel nilai berikut.
x 0,9 0,99 0,999 0,9999 1 1,0001 1,001 1,01 1,1
f(x) 1,9 1,99 1,999 1,999 2,0001 2,001 2,01 2,1
Dari tabel di atas terlihat jika x mendekati 1 (ditulis x→1), maka nilai f(x) akan
mendekati 2. Hal ini dapat ditulis .
35
Pengertian Secara Grafis
Jika nilai-nilai x dan f(x) pada tabel di atas digambarkan sebagai titik-titik
pada sistem koordinat kemudian dihubungkan, akan diperoleh gambar berikut
2
1
Definisi Limit
Jika f suatu fungsi yang terdefinisi pada selang terbuka tertentu yang
memuat bilangan a kecuali mungkin pada a itu sendiri, maka dikatakan bahwa
limit f(x) untuk x mendekati a adalah L , dan ditulis
jika untuk setiap bilangan > 0 terdapat bilangan yang berpadanan yaitu > 0
sehingga bilamana 0 < < .
Contoh :
Tunjukkan bahwa = 7.
Penyelesaian :
a. Secara Aljabar
36
1. Analisis awal masalah (menebak nilai untuk ). Misalkan sebuah
bilangan positif yang diberikan. Akan dicari sebuah bilangan positif sehingga
< bilamana 0 < < .
Perhatikan = = =4 . Selanjutnya diinginkan
4 < bilamana 0 < < yakni
< bilamana 0 < < .
Ini menyarankan bahwa seharusnya dipilih = .
2. Pembuktian (menunjukkan bahwa yang dipilih berlaku). Diberikan
>0, pilihlah = . Jika 0 < < , maka
= = 4 < 4 = 4( ) = .
Jadi < bilamana 0 < < .
Dengan demikian menurut definisi limit, terbukti bahwa
= 7
b. Secara grafis contoh di atas diilustrasikan sebagai berikut
37
Limit kiri dan limit kanan
Definisi limit kiri
Jika nilai x mendekati a dari sebelah kiri menyebabkan f(x) mendekati L,
dituliskan ,
mempunyai arti jika untuk setiap bilangan > 0 terdapat bilangan yang
berpadanan > 0 sehingga bilamana
Definisi Limit Kanan
Jika nilai x mendekati a dari sebelah kanan menyebabkan f(x) mendekati
L, dituliskan ,
mempunyai arti jika untuk setiap bilangan > 0 terdapat bilangan yang
berpadanan > 0 sehingga bilamana
7+
7
7-
y= 4x-5
3- 3 3+ 0 x
y
38
Teorema : Nilai ada dan sama dengan L jika dan hanya jika
dan keduanya ada dan sama dengan L.
Contoh.
1. Buktikan bahwa = 0.
Penyelesaian :
a. Menebak nilai . Diketahui a = 0 dan L = 0. Misalkan sebuah bilangan
positif yang diketahui, akan dicari bilangan positif sehingga
bilamana 0 < x < .
yakni bilamana 0 < x < .
Dengan mengkuadratkan kedua sisi ketidaksamaan diperoleh x< . Hal
ini mengisyaratkan untuk memilih = .
b. Menunjukkan bahwa nilai ini berlaku. Diberikan > 0 , misalkan
= . Jika 0 < x < , maka < = = .
sehingga . Hal ini menunjukkan bahwa
= 0.
2. Misalkan fungsi g didefinisikan oleh
g(x) =
a. Gambarkan sketsa grafik fungsi g.
b. Hitunglah bila ada.
Penyelesaian :
39
a. Sketsa grafik fungsi g disajikan di bawah ini.
b. = = 0.
= = 0.
Karena dan keduanya ada dan bernilai sama yaitu nol,
maka ada dan nilainya sama dengan nol. Nilai g(0) = 2 tidak
memberikan pengaruh pada , demikian juga grafik fungsi g yang terputus
di x = 0.
3. Misalkan fungsi h didefinisikan sebagai
h(x) =
a. Gambarkan sketsa grafik h.
b. Tentukan bila ada.
Penyelesaian :
a. Sketsa grafik h diberikan berikut ini.
40
x
y
b. = = 3
= = 3
Karena = = 3, maka = 3.
3.2. Operasi limit
Operasi limit yang dimaksud di sini adalah operasi aljabar yang meliputi
penjumlahan, pengurangan, pembagian, perkalian, dan penarikan akar. Misalkan n
bilangan bulat positif, k konstanta, dan f, g adalah fungsi-fungsi yang mempunyai
limit di x = c, maka
1. = k
2. = c
3. = k. f(x)
4. [ f(x) + g(x) ] = f(x) + g(x)
1
3
x
y
41
5. [ f(x) - g(x) ] = f(x) - g(x)
6. [ f(x)g(x) ] = f(x). g(x)
7. , asalkan g (x) 0
8. [ f(x) ]n = [ f(x)]n
9. , asalkan f (x) > 0 bilamana n genap.
3.3. Menghitung nilai limit
Contoh :
Dengan menggunakan sifat-sifat limit, tentukan nilai limit berikut
1.
2.
3. , jika diketahui = 3 dan =8.
Penyelesaian :
1. = - = 3 - 2 = 3 -2 (4)= 40.
2. = = =
= = = .
42
3. = =
= = 18.
3.4. Limit hasil e dan limit ke tak hingga
Limit hasil e didasarkan pada rumus berikut ini
= e
Contoh.
Hitunglah
1.
2.
Penyelesaian :
1. Misalkan x = 4y maka = . Untuk x , maka y sehingga
= = = .
2. =
43
= = 002
003lim
x
= .
Limit fungsi trigonometri
Untuk mendapatkan rumus limit fungsi trigonometri, perhatikan gambar berikut
Fakta : AC < busur AD < AB
r sin x < r x < r tan x
diperoleh :
a). r sin x < r x < r tan x , dibagi r sin x
untuk x 0 maka cos x 1
x
r
CC
D B
A
Y
X
44
dan
b). r sin x < r x < r tan x , dibagi r tan x
untuk x 0, maka nilai 1
dan
Contoh. Hitunglah
1.
2.
Penyelesaian:
1. = = = 3.1 = 3.
2. Misalkan arcsin x = y, maka x = sin y
Untuk x 0, maka y 0.
=
Dengan cara serupa (berdasarkan contoh no.2) diperoleh rumus :
, , ,
3.5. Kontinuitas Fungsi
45
Limit sebuah fungsi ketika x mendekati c seringkali dapat ditemukan
secara sederhana dengan menghitung nilai fungsi tersebut di x=c. Definisi
matematika untuk kontinuitas sangat dekat dengan arti kata kontinuitas dalam
kehidupan sehari-hari, yaitu istilah yang digunakan untuk menjelaskan suatu
proses yang berjalan terus menerus tanpa terputus oleh gangguan.
Definisi (kontinu di satu titik)
Suatu fungsi f dikatakan kontinu di x = c, jika
1. f(c) ada
2. ada
3.
Jika f tidak kontinu di x=c, dikatakan f diskontinu di x=c.
Contoh .
1. Gambar 1 memperlihatkan grafik suatu fungsi f. Di bilangan manakah f
diskontinu dan mengapa?
Gambar 1
Penyelesaian:
46
Akan diselidiki apakah fungsi f kontinu di x = -1, x = 1, dan x = 2.
Karena f(2) tidak ada, maka f diskontinu di x = 2.
Grafik terputus di x = 1, tetapi alasan diskontinuitas untuk titik ini berbeda. Di sini
f(1) ada, tetapi tidak ada (karena limit kiri dan limit kanannya
berbeda). Oleh karena itu f diskontinu di x=1.
Bagaimana dengan x=-1? Walaupun f(-1)=1 (ada) dan = 3 (ada), akan
tetapi , sehingga f diskontinu di x = -1.
2. Di bilangan manakah masing-masing fungsi berikut diskontinu?
a. b. c.
Penyelesaian :
a. Perhatikan bahwa f(2) tidak ada, maka f diskontinu di x = 2.
b. Perhatikan bahwa f(2) tidak ada dan juga tidak ada, maka f
diskontinu di x = 2.
c. Di sini f(2) = 1 (ada), dan = 4 (ada), tetapi . Jadi f
diskontinu di x = 2.
Gambar 2 di bawah ini memperlihatkan grafik tiga fungsi di atas.
47
a b c
Gambar 2
Jenis diskontinuitas yang digambarkan pada bagian a dan c disebut
diskontinuitas dapat dihapuskan, karena diskontinuitasnya dapat dihapuskan
dengan cara mendefinisikan ulang fungsi f di x = 2 sehingga menjadi fungsi
kontinu, yakni
Sementara untuk jenis diskontinuitas yang digambarkan pada bagian b disebut
diskontinuitas yang tidak dapat dihapuskan.
Kontinu kanan dan kiri
Suatu fungsi f dikatakan kontinu dari kanan pada sebuah bilangan c jika
dan dikatakan kontinu dari kiri pada sebuah bilangan c jika
.
48
Kontinu pada suatu selang
Fungsi f dikatakan kontinu pada selang terbuka (a,b) jika f kontinu di setiap titik
dalam selang terbuka tersebut. Fungsi f dikatakan kontinu pada selang tertutup
[a,b], jika f kontinu pada (a,b), kontinu kanan di a, dan kontinu kiri di b.
Sifat
Fungsi polinom kontinu di setiap bilangan real c.
Fungsi rasional kontinu di setiap bilangan real c dalam daerah asalnya,
kecuali pada pembuat nol dari penyebutnya.
Fungsi nilai mutlak kontinu di setiap bilangan real c.
Fungsi akar ke-n kontinu di setiap bilangan real c jika n gasal, dan kontinu
di setiap bilangan real positif c jika n genap.
Teorema
Jika k suatu konstanta dan fungsi f, g keduanya kontinu di c, maka demikian
juga kf, f + g, f – g, fg, f / g (asalkan g(c) ≠ 0), fn, dan (asalkan f(c) > 0 jika n
genap).
Teorema (limit komposit)
Jika g(x) = L dan jika f kontinu di L, maka f(g(x)) = f = f (L).
49
Khususnya, jika g kontinu di c dan f kontinu di g(c), maka fungsi komposit f◦g
kontinu di c.
Latihan 3.
Buktikan limit berikut dengan menggunakan definisi limit secara aljabar,
kemudian ilustrasikan secara grafis.
1. 3.
2. 4.
Hitunglah nilai limit di bawah ini, jika ada
5. 12.
6. 13.
7. 14.
8. 15.
9. 16.
10. 17.
11. 18.
12. 19. x cot x
50
13. 20.
14. 21.
15. 22.
23. Misalkan .
Sketsalah grafik f dan tentukan
a. b. c. f(1) d. f(0)
24. Misalkan .
Sketsalah grafik f dan tentukan
a. b. c. d. f(2)
25. Selidiki kontinuitas fungsi di x = 0.
26. Selidiki kontinuitas fungsi di x = 2.
Hitunglah nilai limit berikut:
51
27. 29.
28. 30.
Tentukan apakah fungsi di bawah ini kontinu pada nilai x yang diberikan :
31.
di x = 0 dan x = 1.
32.
di x = 1 dan x = 2
33.
di x = 1
34.
di x = 1
35.
52
di x = 0.
36.
di x =
37.
di x = 0.
38.
di x = 0.
Selidiki apakah diskontinuitas fungsi f berikut pada x = a dapat dihapuskan. Jika
diskontinuitasnya dapat dihapuskan, definisikan kembali fungsi tersebut sehingga
menjadi fungsi kontinu.
39. , a = -2.
40. , a = 7.
@@@
53
54