tajuk 2 had dan keselanjaran

7/28/2019 TAJUK 2 Had Dan Keselanjaran

1/40

MTE3108 BASIC CALCULUS

1

TAJUK 2 HAD DAN KESELANJARAN 12 JAM

SINOPSIS

Aplikasi had banyak digunakan dalam bidang matematik, misalnya semasa melakukan

graf. Aplikasi had juga diperlukan dalam kalkulus pembezaan atau terbitan dan

keselanjaran.

HASIL PEMBELAJARAN

Menyatakan konsep had dan takrif had

Menyatakan teorem had

Menggunakan teorem had untuk melakukan pengiraan had Menentukan had kiri dan kanan secara pengiraan dan lakaran graf.

Menentukan had terhingga dan tak terhingga

Menentukan garis asimptot dalam lakaran graf

Menyatakan takrif keselanjaran pada titik

Menggunakan teorem keselanjaran untuk membuktikan keselanjaran pada

sesuatu titik

Mengira had dengan menggunakan Teorem Pinching

Menyatakan had bagi fungsi trigonometri

KERANGKA TAJUK 2

2.1 Konsep had

2.2 Takrif had

2.3 Teorem had

2.4 Had kiri dan had kanan

2.5 Had terhingga dan tak terhingga

2.6 Garis asimptot dan lakaran graf

2.7 Keselanjaran pada titik

2.8 Teorem Pinching

2.9 Had bagi Fungsi Trigonometri


2/40


2

1.1. KONSEP HAD

Pertimbangkan y = f(x) merupakan suatu fungsi. Dimana c dan L merupakan suatunilai nyata, apabila x menghampiri c tetapi tidak semestinya tertakrif pada c, f(x) akanmenghampiri L;

Contoh 1 : Diberi fungsi f : di mana ?4hadhad33

xxfxx

Kaedah Jadual:

x 2.8 2.9 2.99 3.01 3.1 3.2

f(x) = x+4 6.8 6.9 6.99 7.01 7.1 7.2

Kaedah Algoritma:

4hadhad33xxxf

x3 + 4 = 7

Contoh 2 : Cari 7had2

xx

Penyelesaian:

9727hadhad22x

xxfx

3

Contoh 3 : Cari1

12had

2

1

x

xx

x

Penyelesaian:

22

4

11

1)1(21

1

12had

22

1

x

xx

x

Latihan 1 :

Apabila x menghampiri c, f(x) akan menghampiri suatu nomborL.Pernyataan ini boleh ditulis sebagai;

Lxfcx

had


3/40


3

Cari had bagi fungsi berikut :

(a) )52(had3

xx

(b) )3(had2

4

x

x

(c) 4

22had

22

x

x

x

(d) 22had1

xx

1.1.1 Teknik Menilai Had

Had boleh dinilai menggunakan penggantian terus. Jika penggantian gagal, ianya

memberikan

. Jadi anda boleh gunakan

i) Teknik penghapusan

ii) Mengrationalkan ungkapan

1.1.1.1 Teknik Penghapusan

Contoh 3 :

Penggantian terus memberikan

, oleh itu faktorkan

1.1.1.2 Mengrationalkan ungkapan

Mengrationalkan ungkapan ialah mendarabkan fungsi dengan konjugat

Contoh 4 :


4/40


4

Cari

Penggantian terus memberikan

( )

1.1.2 Kriteria bagi kewujudan had

Suatu lengkungan yang dtunjukkan adalah graf fungsi f. Suatu nombor c pada paksi- xdan had L pada paksi-y. Apabila x menghampiri c pada paksi-x, f(x) menghampiri Lpada paksi-y.

Terdapat tiga kes;

Kes Satu : Lcf

Kes Dua: f tidak tertakrif pada c

Kes Tiga : f tertakrif pada c , tetapi Lcf

Walau bagaimana pun semua kes menunjukkan;

Lxfcx

had

Rajah dibawah menunjukkan had semasa x menghampiri 2.


5/40


5

Dalam semua kes di atas kita boleh tulis bahawa : 1had2

xfx

Contoh 5 :

Lengkapkan jadual di bawah dan anggarkan nilai hadnya.

(a)2

4had

2

2

x

x

x

Kaedah Jadual :

x 1.9 1.99 1.999 2.001 2.01 2.1

f(x) 3.9 3.99 3.999 4.001 4.01 4.1

Kaedah Algoritma:

22)2(had

2

)2)(2(had

2

4had

22

2

2x

x

xx

x

x

xxx4

Graf Fungsi.

y

2

3

y y

xxx

111

222

00

2)1(

dan

1

f

xf

2,2

3

2,1

x

x

xf

2,1 xxf

0


6/40


6

(b)

1

12had

2

1x x

xx

Kaedah Jadual:

x -0.9 -0.99 -0.999 -1.001 -1.01 -1.1

f(x) 0.1 0.01 0.001 -0.001 -0.01 -0.1

Kaedah Algoritma:

011)1(had1

)1)(1(had

1

12had

11

2

1

x

x

xx

x

xx

xxx

x

f(x)

4

2 xx

f(x)

f(x)

f


7/40


8/40


8

Kira had untuk setiap yang berikut dengan menukar persamaan kepada bentuk yangsesuai.

(a)

1

1had

21

x

x

x

(b)

8

2had

32

x

x

x

(c)8

4had

3

2

2

x

xx

(d)3

9had

9

y

y

y

(e)64

4had

3

1

64

x

xx

(f)h

hx

2)2(22

0had

1.2 TAKRIF HAD

Katakan )(xf tertakrif pada semua x dalam suatu selang terbuka yang terdiri daripada

c, f(x) boleh jadi tertakrif atau tidak pada titik c. Maka boleh ditulis sebagai

Lxfcx

had

jika diberi nombor 0 , maka kita boleh cari suatu nombor 0 supaya

jika cx0 , maka didapati Lxf

Contoh 6 : Buktikan 754had3

xx

Penyelesaian:

Kita hendak menunjukkan bagi sebarang 0 , kita boleh cari nilai 0 supaya jika 30 x maka

754x

Untuk mendapatkan

kita tulis

3434124754 xxxx .


9/40


9

iaitu 34x atau4

3

x.

Kita hendak pilih supaya jika 30 x maka

43

x

Dengan mengambil4

didapati4

30 x

maka 34x

, iaitu

754x

Ini menunjukkan bahawa 754had3

xx

LATIHAN 3 : (HAD )

1. Buktikan pernyataan berikut menggunakan , definisi bagi had.

(a) 423had2

xx

(b) 325had4

xx

(c) 385had1 xx (d) 743had1 xx

(e)2

93

4had

6

x

x(f) 31had 2

2

x

x

y = 4x-5

0 x

y

7

3

7

7

33


10/40


10

2.3 TEOREM HAD

TEOREM

Jika c adalah nombor nyata, k adalah pemalar dan n adalah integer positif.

1. cxcx

had

2. cxcx

had

3. kkcx

had

4. nncx

cx had

5. nncx

cx

had

Jika xgxf cxcx haddanhad wujud, maka

6. xgxfxgxfcxcxcx

hadhadhad

7. xgxfxgxfcxcxcx

hadhadhad

8. xfkxfkcxcx

hadhad

9. xgxfxgxfcxcxcx

hadhadhad

10.

0hadjikahad

had

had

xgxg

xf

xg

xfcx

cx

cx

cx

11. ncx

n

cxxfxf

hadhad

12. ncx

n

cxxfxf

hadhad

13. cfxfcx

had

Contoh 7: Cari had bagi fungsi berikut;

1.

xx 1had -1

2.

7had0x

7

3. x

x 2had 2


11/40


11

4.

4

3had xx

81

5.

3

64had xx

4

6. 55

2

5

2

54had3had2had432had

xxxxxxxx

55

2

54hadhad3had2

xxxxx

4)5(352 2 = 39

7.

111

)6(5

188

35had

12had

35

12had

2

23

223

2

x

xx

x

xx

x

x

x

LATIHAN 4 :

1. Cari had-had yang berikut :

(a))3(

24had

2

2

x

xx

x

(b) )4(had2

xx

(c)93

3had

33

y

y

yy(d)

t

t

t

1

1had

1

2. Diberi bahawa 2)(had

xfcx

1)(had,

xgcx

0)(had

xhdancx

Cari nilai-nilai had yang berikut :

(a) )]()([had xgxfcx

(b) )( 2had xfcx

(c))(

)(had

xf

xh

cx(d)

)()(

1had

xgxfcx


12/40


12

2.4 HAD KIRI DAN KANAN

(a) Had kiri cx Hanya merujuk nilai x yang kurang dari c (sebelah kiri c pada paksi x)

Lxfcx

had

dan disebut had sebelah kiri bagi xf semasa x menghampiri c adalah samadengan L .

(b) Had kanan cx Hanya merujuk nilai x yang lebih dari c (sebelah kanan c pada paksi x)

Lxf cx

had

dan disebut had sebelah kanan bagi xf semasa x menghampiri c adalah samadengan L .

Contoh 8 :Katakan f(x) ditakrif seperti berikut;

x

y

x > c

y

x < c

x menghampiri cdari kanan

x menghampiric dari kiri

Had dari kanan Had dari kiri

x


13/40


13

01

00

01

x

x

x

xf

Lakarkan graf f(x) serta tentukan xf

x 0had dan xf

x 0had

Penyelesaian:

1had0

xfx

1had0

xfx

Graf f(x)

2.4.1 Teorem Kewujudan Had

x

x > 0x < 0

y


14/40


14

Jika xfcx

had dan xf

cx

had kedua-duanya wujud dan bersamaan dengan L, maka

xfcx

had adalah wujud dan bersamaan dengan L

xfLxfxf cxcxcx hadhadhad adalah wujud.

Merujuk kepada graf di bawah semasa x menghampiri 2.

Ketiga-tiga kes menunjukkan 1had2

xfx

,

Contoh 9 :Katakan f(x) ditakrif seperti berikut:

x

xxf

Lakarkan graf f(x) serta tentukan xfx 0had dan xf

x0

had

Penyelesaian:

1had0

xfx

dan 1had0

xfx

Graf fungsi f(x) menunjukkan had kiri tidak sama dengan had kanan maka

y

2

3

y y

xxx

111

222

00

1xf

2,2

3

2,1

x

x

xf 2,1 xxf


15/40


15

x

x

x 0had

tidak wujud.

Contoh 10 : Jika , Tentukan xfx 1had

dan xf

x 1had

.

Seterusnya cari xfx 1had

Penyelesaian :

dan

Maka 2had1

xfx

Graf menunjukkan semasa x = 1, f(x) = 2 (graf tidak putus).

x

f(x)

0

1

-1


16/40


16

Contoh 11:Diberi

Cari had g(x) semasa x menghampiri 1 dari kanan dan kiri. Seterusnya tentukanhad g(x) semasa x menghampiri -1 . Seterusnya lakarkan graf g(x)

Penyelesaian:

Graf g(x)


17/40


17

Contoh 12 :

Cari xghadx 0 , bagi

01

012 xifx

xifxxg

Penyelesaian:

Had dari kanan

1101hadhad00

xxg

xx

Had dari kiri

1101hadhad 2200

xxg

xx

Maka 1had0

xgx

,

Lakarkan Graf g(x)

Contoh 13 : Cari xfx 0had

, bagi

0

05

xx

xxxf

Penyelesaian:

Had dari kanan

5505hadhad00

xxf

xx


18/40


18

Had dari kiri

0hadhad00

xxf

xx

Maka xfx 0had

, tidak wujud

Lakarkan graf f(x)

Contoh 14 : Diberi

428

44

xifx

xifxxf

Cari (i) xfx 4had (ii) xf

x4

had (iii) xfx 4had Lakarkan graf f(x)

Penyelesaian:

(i) (ii) (iii)

0)4(28had4

xfx

044had4

xfx

0had4

xfx

Contoh 15 : Diberi

313

325

22

1

2

xx

xx

xx

xf

Cari (i) xfx 2had

(ii) xf

x 0had

(iii) xf

x 3had

Lakarkan graf f(x)

Penyelesaian:


19/40


20/40


20

01

00

01

xjika

xjika

xjika

xg

(a) Lakarkan graf g(x).

(b) Cari had bagi yang berikut sekiranya wujud. Jika tidak jelaskan.

(i) xgx

0lim (ii) xg

x0

lim

(iii) xgx 0lim

(iv) xgx 0lim

3. Diberi

28

20

0

2

xifx

xifx

xifx

xh

(a) Kira setiap yang berikut jika hadnya wujud.

(i) xhhadx 0

(ii) xhhadx 0

(iii) xhx 1lim

(iv) xhx 2lim (v) xh

x 2lim (vi) xh

x 2lim

4. Diberi

13

1222

xifx

xifxxxf

(a) Cari danxfx

1lim xf

x 1lim

(b) Adakah xfx 1lim

wujud ?

(c) Lakarkan graf bagi f.

5. 1

1Diberi

2

x

xxf .

(a) Cari(i) xf

x 1lim (ii) xf

x 1lim

(b) Adakah xfx 1lim

wujud ?

(c) Lakarkan graf f


21/40


21

2.4.2 Had Kanan dan Kiri Graf

Contoh 16 :

Diberi graf suatu fungsi seperti di bawah.

Cari nilai bagi

(i)

xfax

had Y1 (iv)

xfbx

hadY2

(ii) xfaxhad Y2 (v) xfbxhad Y2

(iii)

xfax

had tidak wujud (vi)

xfbx

hadY2

Contoh 17 :

Y1

x

Y2

b

a

f(x)


22/40


22

Graf suatu fungsi ditunjukkan seperti di bawah. Tentukan had yang berikut sekiranya

wujud

(a) 3had2

xgx

(b) 1had2

xgx

(c)

xgx 2had tidak wujud (d) 2had

5

xg

x

(e) 2had5

xgx

(f) 2had5

xgx

LATIHAN 6 : Dalam Lampiran

2.5 HAD TERHINGGA DAN TAK TERHINGGA

2.5.1. Had Terhingga

x

y

3

2

10

1

2

4

3

4

5

y = g(x)

g(5)=1

xfcx

had

xgcx

had


23/40


23

Contoh 18 :

(a) Pertimbangkan )2( 221had

xx

(b) Pertimbangkan )2( 221

hadxx

dan lakarkan graf fungsi tersebut.

Kesimpulan :

(a) Jika

xfmakaxfxfcxcxcx

had,hadhad

(b) Jika

xfmakaxfxfcxcxcx

had,hadhad

(c) Jika sebaliknyaatauxfmakaxfdanxfcxcxcx

had,hadhad

Contoh 19 :

Lakarkan graf fungsi

dan tentukan xfx 1had

Penyelesaian :

x0 2

y


24/40


24

Daripada rajah di atas, didapati bahawa

xf

x 1had

dan

xf

x 1had

Ini bermakna

xf

x 1had

. Iaitu apabila x menghampiri 1, had f(x) tidak wujud

2.5.2 Had Tak Terhingga

Contoh 20 :

Kira52

34had

x

x

x

Penyelesaian :

x

x

x

x

x

x

x

x

xx 52had

34had

52

34

had52

34had

x

x

x

x

xxx

xxx

xx

xx

1had5had2had

1had3had4had

5had2had

3had4had

x0 1

y

2

Lxfx

had


25/40


25

Latihan 7 :

Kira had bagi setiap yang berikut :

(a)4

had4 x

x

x (b) x

x

x 2

2

3 9

had 4

(c)25

12had

x

x

x(d)

5

4had

32

x

x

x

2.6 GARIS ASIMPTOT

Terdapat dua jenis garis asimptot, iaitu(a) asimptot mengufuk(b) asimptot mencancang

Contoh 21 :

Rajah menunjukkan lakaran fungsi

Garis lurus x = 1 dikatakan asimptot mencancang sementara garis lurus y = 2 dikatakanasimptot mengufuk

x0 1

y

2


26/40


26

2.7 KESELANJARAN

Bilakah suatu fungsi dikatakan selanjar?Suatu fungsi dikatakan selanjar apabila grafnya berkeadaan;

Tidak putus Tidak ada lompang Tidak ada jurang/terpisah

Takrif : Keselanjaran pada suatu titik

Suatu fungsi f dikatakan selanjar pada titik c jika dan hanya jika kesemua syaratberikut dipenuhi;.

(i). cf tertakrif

(ii). cx

xf

had wujud

(iii). cfxfcx

had

Contoh 22 : Pertimbangkan fungsi

1

1

2

1

)1(

)(

x

xx

xx

xf

Adakah f(x) selanjar pada x = 1 ? Lakarkan graf f(x).

Penyelesaian:

Syarat keselanjaran;(i) f(1) = 2

(ii) 1had1

xfx

dan 1had1

xfx

maka 1had1 xfx wujud

(iii) Didapati )1(had1

fxfx

Oleh kerana syarat (iii) tidak dipenuhi, maka f(x) tidak selanjar pada x = 1


27/40


27

Contoh 23 :Diberi

2

2

3

2

1

)(

x

xxxf

Adakah f(x) selanjar pada x = 2 ? Lakarkan graf f(x)

Penyelesaian:

Syarat keselanjaran;

(i) f(2) = 3

(ii)

xfx 2had

dan

xf

x 2had

maka xfx 2had

tidak wujud

(iii) Didapati )2(had2

fxfx

Syarat (ii) dan (iii) tidak dipenuhi. Maka f(x) tidak selanjar pada x = 2

Contoh 24 : Diberi

3

3

1

1

2

1

2

)(

x

x

x

xxf

Tentukan keselanjaran f(x) pada x = 1 dan x = 3. Lakarkan graf f(x)

Penyelesaian :


28/40


28

Contoh 25 : Diberi

0x,1

0x,1

)(2

xxf

Dimanakah f(x) tidak selanjar ? Lakarkan graf f(x)

Penyelesaian:

2.7.1 Jenis Ketidakselanjaran

Ketidakselanjaran bolehubah pada c berlaku apabila jika nilai cf bolehdicari/diubah supaya sama dengan nilai had pada titik c.

Apakah jenis ketidakselanjaran pada contoh 22, 23, 24 dan 25 diatas ?

a aa

bbbxx

yyy

x

(a) Ketidakselanjaran

Bolehubah

(b) KetidakselanjaranTidak Bolehubah

(c) KetidakselanjaranBolehubah


29/40


29

2.7.2 Keselanjaran Pada Selang Terbuka

Sesuatu fungsi f(x) dikatakan selanjar pada selang terbuka jika dan hanya jikafungsi itu selanjar pada semua titik dalam selang terbuka (a , b).

Contoh 26 :Pertimbangkan fungsi 21 xxf

Fungsi f(x) selanjar pada semua titik kecuali x = 2, Maka daripada takrif di atas, f(x)selanjar pada semua selang terbuka yang tidak mengandungi 2.

Contoh 27 : Dimanakah setiap fungsi berikut tidak selanjar ?

(a) 2

22

x

xxxf

01

01

)( 2

xif

xifxxfb

2,1

2,2

22

xif

xifx

xx

xfc

Penyelesaian :

(a) 2f tidak tertakrif, jadi f tidak selanjar pada 2.

(b) 10 f adalah tertakrif tetapi 2001

xhadxfhadxx

tidak wujud. Jadi f tidak selanjar

pada 0.

(d) 12 f adalah tertakrif dan

2

22

22 x

xxhadxfhadxx

2

12

2

x

xxxfhad

x

312

xhad

x

wujud tetapi 22

fxfhadx

. Jadi f tidak selanjar pada 2.


30/40


30

2.7.3 Keselanjaran Dari Kanan

Sesuatu fungsi f(x) dikatakan selanjar dari kanan pada c jika dan hanya jikakesemua syarat berikut dipenuhi.

(i). cf tertakrif

(ii). cxxfhad wujud

(iii). cfxfcx

had

Contoh 28 : Fungsi xxg

Fungsi g(x) dikatakan selanjar dari kanan pada 0. Graf g(x) adalah ditunjukkan sepertidi bawah.

2.7.4 Keselanjaran Dari Kiri

Sesuatu fungsi f(x) dikatakan selanjar dari kiri pada c jika dan hanya jikakesemua syarat berikut dipenuhi.

(i). cf tertakrif

(ii). cxxfhad wujud

(iii). cfxfcx

had

x

y

0

g(x)


31/40


31

Contoh 29 :Fungsi )( xxh

Fungsi h(x) dikatakan selanjar dari kiri pada 0. Graf h(x) adalah ditunjukkan seperti dibawah.

2.7.5 Keselanjaran Pada Selang Tertutup

Sesuatu fungsi f(x) dikatakan selanjar pada selang tertutup [a , b] jika dan hanyajika fungsi itu selanjar pada selang terbuka (a , b). dan juga selanjar dari kanan adan selanjar dari kiri b

dan

ba

y

x

x0

h(x)

afxfax had bfxfbx

had

Selanjar pada selang tertutup [a , b]

y


32/40


32

Contoh 30 :Fungsi 29 xxf

dimana x [-3 , 3]

Diketahui f(x) selanjar pada selang terbuka (-3 , 3) dan juga didapati

3had3

fxfx

dan 3had3

fxfx

maka f(x) selanjar pada selang tertutup [-3 , 3]

2.7.6 Teorem Keselanjaran

Jika f dan g selanjar pada c , maka

(i) gf selanjar pada c ;

(ii) gf selanjar pada c ;

(iii) f selanjar pada c untuk semua nilai ;

(iv) gf selanjar pada c ;

(v)

g

f selanjar pada c dimana 0cg

2.7.6.1 Teorem : Keselanjaran Fungsi Gubahan

Jika fungsi gselanjar pada c dan f selanjar pada cg , maka fungsi gubahan xgfxgf juga selanjar pada c .

Contoh 31 :

Diberi . Tentukan nilai x di mana h selanjar.

Penyelesaian :

Jika dan , maka .

Oleh kerana g adalah fungsi polinomial, maka g selanjar di mana-mana sahaja.

Seterusnya f selanjar pada semua nombor positif.


33/40


33

Didapati h selanjar pada semua x di mana g(x) > 0. Iaitu jika 9 x2

> 0, maka h selanjar

pada selang terbuka (-3, 3).

2.7.7 Sifat Asas Fungsi Selanjar

Fungsi yang selanjar pada sesuatu titik itu grafnya tidak terputus pada titik itu.Seterusnya fungsi yang selanjar pada sesuatu selang pula grafnya tidak terputus dalamselang berkenaan.

TEOREM NILAI PERTENGAHAN (The Intermediate Value Theorem)

Didapati f adalah suatu fungsi selanjar dalam selang tertutup ba, dan ksebarang nombor antara af dan bf , maka terdapat c dalam ba, supaya cf = k. Fungsi selanjar mencapai setiap nilai antara nilai-nilai hujungnya.

.

Contoh 32 :

Sepuluh minit sesudah berlepas, kelajuan sebuah kapal terbang mencapai 500 knot.Bagaimanakah anda dapat membuat kesimpulan bahawa beberapa minit sebelum itukapal terbang tersebut telah mencapai kelajuan 345 knot?

Penyelesaian :

Laju kapal terbang, , adalah fungsi selanjar dengan pemboleh ubah masa. Khususnyafungsi laju itu selanjar dalam selang masa [0, 10] minit. Laju pada hujung-hujung selangialah

Oleh kerana 345 knot berada antara 0 dan 500 knot, dan selanjar dalam selang [0, 10]maka menurut TNP, terdapat c dalam (0, 10) sehinggakan

Ini bermakna pada suatu ketika, laju kapal terbang adalah 345 knot.

Contoh 33 :

Dengan menggunakan Teorem Nilai Pertengahan (TNP), cari punca bagi persamaan

0236423 xxx yang berada diantara selang (1,2).


34/40


34

Penyelesaian :

Misalnya 2364 23 xxxxf ; f selanjar.

12211 fdanf dan 0 berada antara -1 dan 12.

Menurut TNP, terdapat 2,1c sehinggakan 02364 23 ccccf .

Ini menunjukkan c adalah punca persamaan

02364 23 xxxxf

Contoh 34 :

Jika xxxxf 23 , tunjukkan wujud suatu nilai c supaya 10cf .

Penyelesaian:

Fungsi f adalah selanjar, misalnya dalam 3,0 , 21300 fdanf dan lagi21100 .

Menurut TNP, terdapat 3,0c sehingga 1023 ccccf .

2.8 TEOREM PINCHING

Jika hgf dan, adalah fungsi dengan keadaan

xhxfxg untuk semua x dalam selang terbuka yang mengandungi suatu c , Jika gdan h mempunyai nilai had yang sama semasa x menghampiri c ,

Lxhxg cxcx hadhad

maka f juga mempunyai nilai had yang sama semasa x menghampiri c iaitu

Lxfcx

had


35/40


35

Contoh 35 :Kira xfx 1had

dengan menggunakan Pinching Theorem, diberi

423 3 xxfx dimana 20 x

Penyelesaian :

Menggunakan Teorem Pinching, f(x) = 5

2.9 HAD BAGI FUNGSI TRIGONOMETRI

Fungsi Sinus dan kosinus adalah selanjar pada semua nombor nyata c .

2.9.1 Teorem Pinching Untuk Fungsi Trigonometri:

0sinhad0 xx

1coshad0

xx

cxcx

sinsinhad

cxcx

coscoshad

cxcx

tantanhad


36/40


36

(a) (b)

Contoh 36 : cari

(a)x

x

x

tanhad

0(b)

2sinhad

0(c)

x

x

x 5sin

3sinhad

0

Penyelesaian :

(a)1)1)(1(

cos

1sinlim

tanlim

00

xx

x

x

xxx

(b)

2

2sinlim2

2

2sin2lim

2sinlim

000

Gantikan 2x , dan adalah benar jika

00 apabilax . Ini akan menghasilkan

2)1(2sin

lim22

2sinlim2

2sinlim

000

x

x

(c)

5

3

15

13

5

5sin5

3

3sin3

lim5sin

3sin

lim5sin

3sinlim

000

x

xx

x

x

xx

x

x

xxxx

Contoh 37 :

Kenal pasti selang dimana setiap fungsi berikut adalah selanjar.

(a) xxf tan (b)

0,0

0,1

sin

x

xxxg

1sin

had0

x

x

x

0cos1

had0

x

x

x


37/40


37

(c)

0,0

0,1

sin

x

xx

xxh

Penyelesaian:


38/40


38

LATIHAN 8 : KESELANJARAN

1. Cari had sekiranya wujud.

(a)4

2had

22

x

x

x

(b)2

2had

2

x

x

x

(c)

2,24

2,64)(nahad

2

2

2 xxx

xxxxhmadixh

x

2. Cari nilai-nilai x dimana f adalah tidak selanjar jika wujud. Yang manakahketidakselanjaran boleh ubah?

(a) 1

1

x

xf (b) 103

22

xx

xxf

(c)3

3)(

x

xxf (d)

1,

1,32)(

2 xx

xxxh

(e)

2,3

2,12

1

)(

xx

xxxf (f)

2,14

2,2)(

2 xxx

xxxf

3. Dimanakah fungsi berikut tidak selanjar ?. Seterusnya lakarkan graf bagi fungsitersebut.

(a)

2,1

2,2

2

)(

2

xif

xifx

xx

xf (b)

4,3

4,4

82

)(

2

xif

xifx

xx

xf

4. Tentukan samada fungsi berikut selanjar pada titik-titik yang diberikan.

(a) 0,2;2

4

xx

xxf (b) 2,2;

6

442

x

xxxf

(c) 3,3;9

32

xx

xxf (d) 2,2;

4

22

xx

xf

(e)

3,1

3,7)(

2 xx

xxxf x = 3, 0

(f)

2,0

0,1

)(

x

xxxf x = 0, -1


39/40


39

5. Berikan sebab kenapa fungsi berikut selanjar pada semua titik.

(a) 42 2 xxf (b) 3

12

x

xxf (c) )2( xxxf

6. Cari semua nilai ketidakselanjaran.

(a) 222

xxf (b) 3xxf (c) 34

xxf

(d) 4

432

x

xxxf (e)

3

)2( 22

xxf (f) 3xf

(g) 152

962

2

xx

xxxf (h)

xx

xxf

2

4(i)

0,2

0,2)(

x

xxf

(j)

1,1

1,13)(

x

xxxf (k)

1,1

1,0)(

xx

xxf

LATIHAN 9 : HAD FUNGSI TRIGONOMETRI

1. Cari

(a)

xx

1

coshad (b)

xx

2

sinhad (c)

xx

x 32sinhad

(d)h

h

h 2

sinhad

0(e)

3sinhad

0(f) 2

2

0 3

sinhad

x

x

x

(g)x

x

x 8sin

6sinhad

0(h)

x

x

x 3sin

7tanhad

0(i)

h

h

h cos1

sinhad

0

(j)t

t

t 2

2

0 cos1had

(k)

17cos

5cos1had

0

h

h

h(l)

x

xx

x

sin3had

2

0


40/40


Rujukan

1. Salas, Hille and Etgen (2010) Calculus One And Several Variables (Tenth Edition)

2. Amran Hussin et.al (1998) Matematik Tulen Pra-Universiti. Penerbit Fajar Bakti Sdn.Bhd.

tajuk 2 had dan keselanjaran

Documents