MTE3108 BASIC CALCULUS

TAJUK 2HAD DAN KESELANJARAN 12 JAM

SINOPSISAplikasi had banyak digunakan dalam bidang matematik, misalnya semasa melakukan graf. Aplikasi had juga diperlukan dalam kalkulus pembezaan atau terbitan dan keselanjaran.

HASIL PEMBELAJARAN Menyatakan konsep had dan takrif had Menyatakan teorem had Menggunakan teorem had untuk melakukan pengiraan had Menentukan had kiri dan kanan secara pengiraan dan lakaran graf. Menentukan had terhingga dan tak terhingga Menentukan garis asimptot dalam lakaran graf Menyatakan takrif keselanjaran pada titik Menggunakan teorem keselanjaran untuk membuktikan keselanjaran pada sesuatu titik Mengira had dengan menggunakan Teorem Pinching Menyatakan had bagi fungsi trigonometri

KERANGKA TAJUK 22.1 Konsep had 2.2 Takrif had2.3Teorem had2.4Had kiri dan had kanan2.5Had terhingga dan tak terhingga2.6Garis asimptot dan lakaran graf2.7Keselanjaran pada titik2.8Teorem Pinching2.9Had bagi Fungsi Trigonometri 1.1. KONSEP HAD

Pertimbangkan y = f(x) merupakan suatu fungsi. Dimana c dan L merupakan suatu nilai nyata, apabila x menghampiri c tetapi tidak semestinya tertakrif pada c, f(x) akan menghampiri L;

Apabila x menghampiri c, f(x) akan menghampiri suatu nombor L.Pernyataan ini boleh ditulis sebagai;

Contoh 1 : Diberi fungsi f : di mana Kaedah Jadual:

x2.82.92.993.013.13.2

f(x) = x+4

6.86.96.997.017.17.2

Kaedah Algoritma:

3 + 4 = 7

Contoh 2 : Cari

Penyelesaian:

3

Contoh 3 : Cari

Penyelesaian:

Latihan 1 :

Cari had bagi fungsi berikut :

(a)

(b)

(c)

(d)

1.1.1 Teknik Menilai Had

Had boleh dinilai menggunakan penggantian terus. Jika penggantian gagal, ianya memberikan . Jadi anda boleh gunakan

i) Teknik penghapusanii) Mengrationalkan ungkapan

1.1.1.1 Teknik PenghapusanContoh 3 :

Penggantian terus memberikan , oleh itu faktorkan

1.1.1.2 Mengrationalkan ungkapanMengrationalkan ungkapan ialah mendarabkan fungsi dengan konjugat

Contoh 4 :

Cari

Penggantian terus memberikan

1.1.2 Kriteria bagi kewujudan had

Suatu lengkungan yang dtunjukkan adalah graf fungsi f. Suatu nombor c pada paksi- x dan had L pada paksi-y. Apabila x menghampiri c pada paksi-x, f(x) menghampiri L pada paksi-y.

Terdapat tiga kes; Kes Satu :

Kes Dua: tidak tertakrif pada

Kes Tiga : tertakrif pada , tetapi

Walau bagaimana pun semua kes menunjukkan;

Rajah dibawah menunjukkan had semasa menghampiri 2.

yyyxxx111222000

Dalam semua kes di atas kita boleh tulis bahawa :

Contoh 5 :

Lengkapkan jadual di bawah dan anggarkan nilai hadnya.

(a)

Kaedah Jadual :

x1.91.991.9992.0012.012.1

f(x)

3.93.993.9994.0014.014.1

Kaedah Algoritma:

4

Graf Fungsi.

xf(x)42xxf(x)f(x)f

(b)

Kaedah Jadual:

x-0.9-0.99-0.999-1.001-1.01-1.1

f(x)

0.10.010.001-0.001-0.01-0.1

Kaedah Algoritma:

(c) =

Kaedah Jadual:x1.81.91.992.012.12.2

f(x)

1.21.11.010.990.90.8

Kaedah Algoritma

1

f(x)Graf fungsi f(x):

3

x

3

(d)

x1.91.991.99922.12.2

f(x)

0.34480.33440.33340.3330.32260.3125

Graf fungsi .

LATIHAN 2 :

Kira had untuk setiap yang berikut dengan menukar persamaan kepada bentuk yang sesuai.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e) (f)

1.2TAKRIF HAD

Katakan tertakrif pada semua x dalam suatu selang terbuka yang terdiri daripada c, f(x) boleh jadi tertakrif atau tidak pada titik c. Maka boleh ditulis sebagai

jika diberi nombor , maka kita boleh cari suatu nombor supaya

jika, maka didapati

Contoh 6 : Buktikan

Penyelesaian:

Kita hendak menunjukkan bagi sebarang , kita boleh cari nilai supaya jika maka

Untuk mendapatkan kita tulis

.

iaitu atau .

Kita hendak pilih supaya jika maka

Dengan mengambil didapati maka , iaitu

Ini menunjukkan bahawa

y = 4x-50xy37

LATIHAN 3 : (HAD )

1.Buktikan pernyataan berikut menggunakan definisi bagi had.

(a)(b)

(c)(d)

(e)(f)

2.3 TEOREM HAD

TEOREMJika c adalah nombor nyata, k adalah pemalar dan n adalah integer positif.

1.

2.

3.

4.

5.

Jika wujud, maka

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

Contoh 7 : Cari had bagi fungsi berikut;

1.-1

2.7

3. 2

4.81

5. 4

6.

= 39

7.

LATIHAN 4 :

1. Cari had-had yang berikut :

(a)(b)

(c) (d)

2. Diberi bahawa

Cari nilai-nilai had yang berikut :

(a)

(b)

(c) (d)

2.4 HAD KIRI DAN KANAN

(a) Had kiri Hanya merujuk nilai x yang kurang dari c (sebelah kiri c pada paksi x)

dan disebut had sebelah kiri bagi semasa menghampiri c adalah sama dengan .

(b) Had kanan Hanya merujuk nilai x yang lebih dari c (sebelah kanan c pada paksi x)

dan disebut had sebelah kanan bagi semasa menghampiri c adalah sama dengan .

xxyx > cyx < cx menghampiri c dari kananx menghampiri c dari kiriHad dari kananHad dari kiri

Contoh 8 : Katakan f(x) ditakrif seperti berikut;

Lakarkan graf f(x) serta tentukan dan

Penyelesaian:

Graf f(x)

xx > 0x < 0y

2.4.1 Teorem Kewujudan Had

Jika dan kedua-duanya wujud dan bersamaan dengan L, maka adalah wujud dan bersamaan dengan L

adalah wujud.

Merujuk kepada graf di bawah semasa menghampiri 2.

yyyxxx11122200

Ketiga-tiga kes menunjukkan ,

Contoh 9 : Katakan f(x) ditakrif seperti berikut:

Lakarkan graf f(x) serta tentukan dan

Penyelesaian:

dan

Graf fungsi f(x) menunjukkan had kiri tidak sama dengan had kanan maka

tidak wujud.

xf(x)01-1

Contoh 10 : Jika , Tentukan dan . Seterusnya cari

Penyelesaian :

dan

Maka

Graf menunjukkan semasa x = 1, f(x) = 2 (graf tidak putus).

Contoh 11 : Diberi

Cari had g(x) semasa x menghampiri 1 dari kanan dan kiri. Seterusnya tentukan had g(x) semasa x menghampiri -1 . Seterusnya lakarkan graf g(x)

Penyelesaian:

Graf g(x)

Contoh 12 :

Cari , bagi

Penyelesaian: Had dari kanan

Had dari kiri

Maka ,

Lakarkan Graf g(x)

Contoh 13 : Cari , bagi

Penyelesaian:

Had dari kanan

Had dari kiri

Maka , tidak wujud

Lakarkan graf f(x)

Contoh 14 :Diberi

Cari (i)(ii)(iii)Lakarkan graf f(x)

Penyelesaian:

(i) (ii)(iii)

Contoh 15 :Diberi

Cari (i)(ii)(iii)Lakarkan graf f(x)

Penyelesaian:

LATIHAN 5 : (Had kiri dan kanan)

1.Cari had bagi yang berikut jika wujud.

(a)(b)

(c)(d)

(e)(f)

(g)(h)

(i)(j)

(k)(l)

(m)

(n)

(o)

(p)

(q)

2.Diberi

(a) Lakarkan graf g(x).

(b) Cari had bagi yang berikut sekiranya wujud. Jika tidak jelaskan.

(i)(ii)

(iii)(iv)3.Diberi

(a) Kira setiap yang berikut jika hadnya wujud.

(i)(ii)(iii)

(iv)(v)(vi)

4.Diberi

(a)

Cari (b) Adakah wujud ?(c) Lakarkan graf bagi .

5.. (a) Cari

(i)(ii)(b) Adakah wujud ?

(c)Lakarkan graf

2.4.2 Had Kanan dan Kiri Graf

Contoh 16 :

Diberi graf suatu fungsi seperti di bawah.

f(x)

Y1xY2baCari nilai bagi

(i)Y1(iv) Y2

(ii)Y2(v) Y2

(iii)tidak wujud(vi) Y2

Contoh 17 :

Graf suatu fungsi ditunjukkan seperti di bawah. Tentukan had yang berikut sekiranya wujudxy3210124345y = g(x)g(5)=1

(a)(b)

(c)tidak wujud(d)

(e)(f)

LATIHAN 6 : Dalam Lampiran

2.5 HAD TERHINGGA DAN TAK TERHINGGA

2.5.1. Had Terhingga

Contoh 18 :

(a) Pertimbangkan

x02y(b) Pertimbangkan dan lakarkan graf fungsi tersebut.

Kesimpulan :

(a) Jika

(b) Jika

(c) Jika

Contoh 19 :

Lakarkan graf fungsi dan tentukan

Penyelesaian :

x01y2

Daripada rajah di atas, didapati bahawa dan

Ini bermakna . Iaitu apabila x menghampiri 1, had f(x) tidak wujud

2.5.2 Had Tak Terhingga

Contoh 20 :

Kira

Penyelesaian :

Latihan 7 :

Kira had bagi setiap yang berikut :

(a)

(b)

(c) (d)

2.6 GARIS ASIMPTOT

Terdapat dua jenis garis asimptot, iaitu(a) asimptot mengufuk(b) asimptot mencancang

Contoh 21 :

Rajah menunjukkan lakaran fungsi

x01y2

Garis lurus x = 1 dikatakan asimptot mencancang sementara garis lurus y = 2 dikatakan asimptot mengufuk

2.7 KESELANJARAN

Bilakah suatu fungsi dikatakan selanjar?Suatu fungsi dikatakan selanjar apabila grafnya berkeadaan;

Tidak putus Tidak ada lompang Tidak ada jurang/terpisah

Takrif : Keselanjaran pada suatu titik

Suatu fungsi dikatakan selanjar pada titik jika dan hanya jika kesemua syarat berikut dipenuhi;.

(i). tertakrif

(ii). wujud

(iii).

Contoh 22 : Pertimbangkan fungsi Adakah f(x) selanjar pada x = 1 ? Lakarkan graf f(x).

Penyelesaian:

Syarat keselanjaran;(i) f(1) = 2

(ii) dan

maka wujud

(iii)Didapati Oleh kerana syarat (iii) tidak dipenuhi, maka f(x) tidak selanjar pada x = 1

Contoh 23 : Diberi

Adakah f(x) selanjar pada x = 2 ? Lakarkan graf f(x)Penyelesaian:Syarat keselanjaran;

(i) f(2) = 3

(ii) dan

maka tidak wujud

(iii)Didapati Syarat (ii) dan (iii) tidak dipenuhi. Maka f(x) tidak selanjar pada x = 2

Contoh 24 : Diberi

Tentukan keselanjaran f(x) pada x = 1 dan x = 3. Lakarkan graf f(x)Penyelesaian :

Contoh 25 : Diberi

Dimanakah f(x) tidak selanjar ? Lakarkan graf f(x)

Penyelesaian:

2.7.1 Jenis Ketidakselanjaran

xaaabbbxxyyy

(c) Ketidakselanjaran Bolehubah(b) Ketidakselanjaran Tidak BolehubahKetidakselanjaran Bolehubah

Ketidakselanjaran bolehubah pada c berlaku apabila jika nilai boleh dicari/diubah supaya sama dengan nilai had pada titik c.

Apakah jenis ketidakselanjaran pada contoh 22, 23, 24 dan 25 diatas ?2.7.2 Keselanjaran Pada Selang Terbuka

Sesuatu fungsi f(x) dikatakan selanjar pada selang terbuka jika dan hanya jika fungsi itu selanjar pada semua titik dalam selang terbuka (a , b).

Contoh 26 : Pertimbangkan fungsi

Fungsi f(x) selanjar pada semua titik kecuali x = 2, Maka daripada takrif di atas, f(x) selanjar pada semua selang terbuka yang tidak mengandungi 2.

Contoh 27 : Dimanakah setiap fungsi berikut tidak selanjar ?

(a)

Penyelesaian :

(a) tidak tertakrif, jadi tidak selanjar pada 2.

(b) adalah tertakrif tetapi tidak wujud. Jadi tidak selanjar pada 0.

(d) adalah tertakrif dan

wujud tetapi . Jadi tidak selanjar pada 2.

2.7.3 Keselanjaran Dari Kanan

Sesuatu fungsi f(x) dikatakan selanjar dari kanan pada c jika dan hanya jika kesemua syarat berikut dipenuhi.

(i). tertakrif

(ii). wujud

(iii).

Contoh 28 : Fungsi

Fungsi g(x) dikatakan selanjar dari kanan pada 0. Graf g(x) adalah ditunjukkan seperti di bawah.

xy0 g(x)

2.7.4 Keselanjaran Dari Kiri

Sesuatu fungsi f(x) dikatakan selanjar dari kiri pada c jika dan hanya jika kesemua syarat berikut dipenuhi.

(i). tertakrif

(ii). wujud

(iii).

Contoh 29 : Fungsi

Fungsi h(x) dikatakan selanjar dari kiri pada 0. Graf h(x) adalah ditunjukkan seperti di bawah.

y x0 h(x)

2.7.5 Keselanjaran Pada Selang Tertutup

Sesuatu fungsi f(x) dikatakan selanjar pada selang tertutup [a , b] jika dan hanya jika fungsi itu selanjar pada selang terbuka (a , b). dan juga selanjar dari kanan a dan selanjar dari kiri b

dan

bayx

Selanjar pada selang tertutup [a , b]

Contoh 30 : Fungsi dimana x [-3 , 3]

Diketahui f(x) selanjar pada selang terbuka (-3 , 3) dan juga didapati

dan maka f(x) selanjar pada selang tertutup [-3 , 3]

2.7.6 Teorem Keselanjaran

Jika dan selanjar pada , maka

(i) selanjar pada ;

(ii) selanjar pada ;

(iii) selanjar pada untuk semua nilai ;

(iv) selanjar pada ;

(v) selanjar pada dimana

2.7.6.1 Teorem : Keselanjaran Fungsi Gubahan

Jika fungsi selanjar pada dan selanjar pada , maka fungsi gubahan juga selanjar pada .

Contoh 31 :

Diberi . Tentukan nilai x di mana h selanjar.

Penyelesaian :

Jika dan , maka .Oleh kerana g adalah fungsi polinomial, maka g selanjar di mana-mana sahaja. Seterusnya f selanjar pada semua nombor positif. Didapati h selanjar pada semua x di mana g(x) > 0. Iaitu jika 9 x2 > 0, maka h selanjar pada selang terbuka (-3, 3).2.7.7 Sifat Asas Fungsi Selanjar

Fungsi yang selanjar pada sesuatu titik itu grafnya tidak terputus pada titik itu. Seterusnya fungsi yang selanjar pada sesuatu selang pula grafnya tidak terputus dalam selang berkenaan.

TEOREM NILAI PERTENGAHAN (The Intermediate Value Theorem)

Didapati adalah suatu fungsi selanjar dalam selang tertutup dan sebarang nombor antara dan , maka terdapat dalam supaya = . Fungsi selanjar mencapai setiap nilai antara nilai-nilai hujungnya. .

Contoh 32 :

Sepuluh minit sesudah berlepas, kelajuan sebuah kapal terbang mencapai 500 knot. Bagaimanakah anda dapat membuat kesimpulan bahawa beberapa minit sebelum itu kapal terbang tersebut telah mencapai kelajuan 345 knot?

Penyelesaian :

Laju kapal terbang, , adalah fungsi selanjar dengan pemboleh ubah masa. Khususnya fungsi laju itu selanjar dalam selang masa [0, 10] minit. Laju pada hujung-hujung selang ialah

Oleh kerana 345 knot berada antara 0 dan 500 knot, dan selanjar dalam selang [0, 10] maka menurut TNP, terdapat c dalam (0, 10) sehinggakan

Ini bermakna pada suatu ketika, laju kapal terbang adalah 345 knot.

Contoh 33 :

Dengan menggunakan Teorem Nilai Pertengahan (TNP), cari punca bagi persamaan yang berada diantara selang (1,2).

Penyelesaian :

Misalnya ; selanjar.

dan 0 berada antara -1 dan 12.

Menurut TNP, terdapat sehinggakan .

Ini menunjukkan adalah punca persamaan

Contoh 34 :

Jika , tunjukkan wujud suatu nilai supaya .

Penyelesaian:

Fungsi adalah selanjar, misalnya dalam , dan lagi .

Menurut TNP, terdapat sehingga .

2.8 TEOREM PINCHING

Jika adalah fungsi dengan keadaan

untuk semua dalam selang terbuka yang mengandungi suatu , Jika dan mempunyai nilai had yang sama semasa menghampiri ,

maka juga mempunyai nilai had yang sama semasa menghampiri iaitu

Contoh 35 : Kira dengan menggunakan Pinching Theorem, diberi

dimana

Penyelesaian :

Menggunakan Teorem Pinching, f(x) = 5

2.9 HAD BAGI FUNGSI TRIGONOMETRI

Fungsi Sinus dan kosinus adalah selanjar pada semua nombor nyata .

2.9.1 Teorem Pinching Untuk Fungsi Trigonometri:

(a) (b)

Contoh 36 : cari

(a) (b) (c)

Penyelesaian :

(a)

(b)

Gantikan , dan adalah benar jika

. Ini akan menghasilkan

(c)

Contoh 37 :

Kenal pasti selang dimana setiap fungsi berikut adalah selanjar.

(a) (b)

(c)

Penyelesaian:

LATIHAN 8 : KESELANJARAN

1. Cari had sekiranya wujud.(a)

(b)

(c)

2. Cari nilai-nilai x dimana f adalah tidak selanjar jika wujud. Yang manakah ketidakselanjaran boleh ubah?

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

3. Dimanakah fungsi berikut tidak selanjar ?. Seterusnya lakarkan graf bagi fungsi tersebut.(a)

(b)

4. Tentukan samada fungsi berikut selanjar pada titik-titik yang diberikan.(a)

(b)

(c) (d)

(e) x = 3, 0

(f) x = 0, -1

5. Berikan sebab kenapa fungsi berikut selanjar pada semua titik.(a)

(b) (c) 6. Cari semua nilai ketidakselanjaran.(a)

(b) (c)

(d) (e) (f)

(g) (h) (i)

(j) (k)

LATIHAN 9 : HAD FUNGSI TRIGONOMETRI

1. Cari(a)

(b) (c)

(d) (e) (f)

(g) (h) (i)

(j) (k) (l)

Rujukan

1. Salas, Hille and Etgen (2010) Calculus One And Several Variables (Tenth Edition)

2. Amran Hussin et.al (1998) Matematik Tulen Pra-Universiti. Penerbit Fajar Bakti Sdn. Bhd.

40