KELOMPOK 5GEOMETRI TRANSFORMASI

WORKSHOP

Tinjauan ulang jenis-jenis transformasi

Matriks yang bersesuaian dengan

transformasi

Menentukan bayangan suatu kurva oleh

suatu transformasi

1

2

3

JENIS-JENIS TRANSFORMASI

Translasi ( pergeseran) adalah pemindahan suatu objek sepajang garis lurus dengan arah dan jarak tertentu.

Jika translasi memetakan titik P (x,y) ke titik P’ (x’,y’), maka x’=x+a dan y’=y+d atau p’(x+a,y+b)

dapat dituliskan dalam bentuk:

PERGESERAN ATAU TRANSLASI

b

a

0

Y

X

Contoh soal:

1. Tentukan bayangan dari titik-titik A(3,4) dan B(1,-5) oleh translasi Jawab:Untuk titik A(3,4)

: A(3,4) A’(3+5,4+6) = A’(8’10)Untuk titik B(1,-5)

: B(1,5)B’(1+5,-5+6)= B’(6,1)Jadi, bayangan titik-titik A(3,4) dan B(1,-5) oleh translasi berturut-turut adalah A’(8,10) dan B’(6,1).

Lanjutan

2. Tentukan bayangan dari bangun jajargenjang ABCD yang melalui titik A(-2,6), B(-3,3), C(3,-4),dan D(4,-1) yang ditranslasikan terhadap Jawab:untuk titik A(-2,6)→A’(-2+4,6+1)=A’(2,7)titik B(-3,3)→B’(-3+4,3+1)=B’(1,4) titik C(3,-4)→C’(3+4,-4+1)=C’(7,-3)titik D(4,-1)→D’(4+4,-1+1)=D’(8,0)Jadi bayangan dari bangun jajargenjang ABCD itu adalah jajargenjang A’B’C’D’ dengan titik A’(2,7),B’(1,4), C’(7,-3),dan D’(8,0).

0-1-2-3-4-6-7-8 1 2 3 4 5 6 7 8-1

-2-3-4-5

-6

1

23

45

6A(-2,6)

B (-3,3)

D(4,-1)

C(3,-4)

7 A’(2,7)

B’(1.4)

●

C’(7, -3)

D’(8

,0)

Y

X

Back

PENCERMINAN ATAU REFLEKSI

suatu transformasi yang memindahkan setiap titikpada bidang dengan menggunakan sifat bayangancermin dari titik-titik yang hendak di dipindahkan itu.Pada suatu refleksi,segmen garis yang menghubungkan setiap titik dengan hasil refleksiakan dibagi dua dan tegak lurus pada sumburefleksinya.a.Refleksi Titik terhadap Sumbu X, Sumbu Y,

Garis y = x, dan Garis y = -x.b. Refleksi Titik terhadap Garis x = a dan y = b

a.Refleksi Titik terhadap Sumbu X, Sumbu Y, Garis y = x, dan Garis y = -x. perhatikan gambar6.2

• Titik P(x,y) dicerminkan terhadap sumbu x, bayangannya adalah titik p (x, -y).

• Titik P(x,y) dicerminkan terhadap sumbu Y, bayangannya adalah p (-x,y).

• Titik P(x,y) dicerminkan terhadap sumbu y = x, bayangannya adalah p (y,x).

• Titik P(x,y) dicerminkan terhadap sumbu y = -x, bayangannya adalah p (-y, x).

Y

X0

P3(Y,X)

P(X,Y)

P1(X,-Y)

P2 (-X,Y)

P4 (-Y,-X)

Y=X

Y=-X

Gambar 6.2

Back

b.Refleksi Titik terhadap Garis x = a dany = b

• perhatikan gambar 6.3:• Titik P(x,y) dicerminkan terhadap

sumbu x = a, bayangannya adalah titikP’(2a – x,y).

• Titik P(x,y) dicerminkan terhadapsumbu y= b, bayangannya adalah titikP’’(x, 2b – y).

Y x=a

X

Y=b

P(x,y)

P’’(x, 2b-y)

P;(2a-x,y)

Gambar 6.3

Jawab:• Bayangan titik-titik P(2,1), Q(5,3), dan R(4,5) jika

dicerminkan terhadap sumbu X adalah P’(2,-1), Q’(5,-3), dan R’(4,-5).

• Bayangan titik-titik P(2,1), Q(5,3), dan R(4,5) jika dicerminkan terhadap sumbu Y adalah P’’(-2,1), Q’’(-5,3), dan R’’(-4,5).

Contoh soal 1.Diketahui segitiga PQR, dengan P(2,1), Q(5,3), dan R(4,5).

Gambarkan bayangan segitiga PQR dalam sebuah koordinat cartesius,

jika masing-masing dicerminkan terhadap sumbu X

dan sumbu Y.

0-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5

-1-2

1

2

34

5

-3-4

-5

P(2,1)

Q(5,3)

R(4,5)

P’ (2,-1)

Q’(5,-

3)

R’ (4,-5)

P’’ (-2,1)

Q’’ (-5,3)

R’’ (-4,5)Y

X

Back

PERPUTARAN ATAU ROTASI

Rotasi(perputaran) pada bidang geometri ditentukan oleh titik pusat, besar sudut dan arah sudut rotasi. Suatu rotasi dikatakan memiliki arah positif, jika rotasi itu berlawanan arah rotasi itu searah dengan arah putaran jarum jam.

• Rotasi Terhadap Titik Pusat O(0,0)• Rotasi Terhadap Titik Pusat A(a,b)

Rotasi Terhadap Titik Pusat O(0,0)

jika titik P(x,y) diputar sebesar αradian berlawanan arah dengan arah putaran jarum jam terhadap titik pusat O dan diperoleh bayangan P’(x’,y’), maka :

x’= x cos α – y sin αy’= x sin α + y cos α

b. Rotasi Terhadap Titik Pusat A(a,b)

Jika titik P(x,y) diputar sebesar αradian berlawanan arah dengan arah putaran jarum jam terhadap titik pusat A(a,b) dan diperoleh bayangan P’(x’,y’), maka:

x’-a = (x-a) cos α – (y-b) sin αy’-b = (x-a) sin α + (y-b) cos α

Segitiga ABC, dengan A(8,0), B(0,-4),

dan C(-2,6) diputar sejauh 900 searah

dengan arah putaran jarum jam terhadap titik pusat O(0,0). Tentukan

hasil transformasi berikut.

CONTOH

SOAL

Untuk titik A(8,0)A(8,0) → A’(x’,y’), dengan

x’= 8 cos (-900) – 0 sin (-900) = 0y’= 8 sin (-900) + 0 cos (-900) = -8

untuk titik B(0,-5)B(0,-4) → B’(x’,y’), dengan

x’= 0 cos (-900) – (-4) sin (-900) = -5y’= 0 sin (-900) + (-4) cos (-900) = 0

Untuk titik C(-3,6)C(-2,6) → C’(x’,y’), dengan

x’= (-2) cos (-900) – 6 sin (-900) = 6y’= (-2) sin (-900) + 6 cos (-900) = 3

Jadi, hasil transformasi tersebut adalah A’(0,-8), B’(-5,0), dan C’(6,3)

0-1-2-3-4-5-6-7-8

1234

5

67

8

-1-2-3-4

-5

-6

-7-8

1 2 3 4 5 6 7 8●

●

A(8,0)

A’(0,-8)

●

●

B(0,-5)

B’(-5,0)

C(-3,6)

C’(6,3)

Y

X

back

PERKALIAN ATAU DILATASI

• Dilatasi (perbesaran atau perkalian) adalah suatu transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu bangun, tetapi tidak mengubah bentuk bangun yang bersangkutan. Dilatasi ditentukan oleh titik pusat dan faktor (faktor skala) dilatasi. Dilatasi yang berpusat dititik asal 0 dan dititik sembarang P(x,y) dengan masing-masing faktor skala k dilambangkan berturut-turut dengan [O,k] dan [P,k].

lanjutan

a. Dilatasi Terhadap Titik Pusat O(0,0)Jika titik P(x,y) didilatasikan terhadap titik pusat O(0,0) dengan faktor skala k didapat bayangan titik P’(x’,y’) maka:

x’= kxy’= ky

b. Dilatasi Terhadap Titik Pusat A(a,b)Jika titik P(x,y) didilatasikan terhadap titik pusat A(a,b) dengan faktor skala k didapat bayangan titik P’(x’,y’) maka:

x’= a+k(x-a)y’= b+k(y-b)

Contoh soal

1. Tentukan bayangan titik P(12,-5) oleh dilatasi:a. [0,3]b. c. [0,-3]

Jawaban: x’= kxy’=ky

a. P(12,-5) P’(36,-15)

b,. P(12,-5) P’

c. P(12,-5) P’(-36,15)

2. Sebuah segitiga DEF dengan D(x,y), E(1,4),dan F(2,6) dilatasi terhadap [p,-2] dimana P(1,2) meghailkan segitiga D’E’F’, dengan D’(-7,-2), maka tentukanlah titik D,E’,dan F’ serta gambarlah bayangan segitiga DEF.Jawab :

• D(x,y) [p,-2] D’(1-2(x-1),2-2(y-2))=d’(-7,-2) sehingga diperoleh persamaan:1-2(x-1) =-7, maka x=-72-2(x-2) =-2, maka x=4

• Koordinat titik D(5,4) dan D’(-7,-2)E(1,4) E’(1-2(1-10,2-2(4-2))=E’(1,-2)F(2,6) F’(1-2(2-1),2-2(6-2)=F’(-1,-6)

0-1-2-3-4-5-6-7-8 1 2 3 4 5 6 7

1

23

45

6

-1-2

-3

-4

-5-6

y

X

D(5,4)E(1,4)

F(2,6)

E’(1,-2)

F’(-1,-6)

D‘(-7,-2)

MATRIKS YANG BERSESUAIAN DENGAN TRANSFORMASI

Matriks yang bersesuaian dengan dilatasi

Matriks yang bersesuaian dengan rotasi

Transformasi gusuran dan regangan serta matriks transformasinya

Persamaan transformasi dilatasi terhadappusat O dengan faktor skala k, ditulis [0,k].

Untuk pemetaan dari (x,y) ke(x’,y’) dapat dinyatakan sebagai berikut.

MATRIKS YANG BERSESUAIAN DENGAN dilatasi

Contoh soal

Carilah bayangan daripersegipanjang OABC

dengan A(6,0), B(6,6), danC(0,6) oleh dilatasi [0,3].

• Jawaban:Matriks yang bersesuain dengandilatasi [0,k] adalah . Bayangan titik O(0,0), A(6,0), B(6,6), dan C(0,6) ditentukan sebagai berikut.

Jadi, bayangan titik O, A, B, dan C berturut-turut adalah O’(0,0), A’(18,0), B’(18,18), dan C’(0,18).

Back

Persamaan transformasi dengan pusat O (0,0)dan sudut rotasi berlawanan arah jarum jam,ditulis R[O, θ], untuk pemetaan (x,y) ke (x’,y’)dapat dinyatakan sebagai berikut.

Matriks yang bersesuaian dengan Rotasi

Tentukan matriksyang bersesuaindengan rotasi

sebesar radsearah jarum jam

terhadap O.

soal

Jawaban:Rotasi sebesar searah jarumjam, artinya Dengandemikian, matriks transformasinyaadalah

Back

TRANSFORMASI GUSURAN

• Transformasi gusuran adalah suatutransformasi yang menggeser suatutitik menurut arah sumbu X atausumbu Y.

• Ada 2 macam transformasi gusuran, yaitu:a. Transformasi gusuran arah sumbu Xb. Transformasi gusuran dengan arahsumbuY

A. Transformasi gusuran arah sumbuX• Matriks transformasi yang

bersesuaian adalah denganfaktor skala.

• Titik A ( x, y ) ditransformasikanmenjadi ( x' , y' ) dengan :

x' = x + qyy' = y

B. Transformasi gusuran dengan arah sumbu Y

• Matriks transformasi yang bersesuaian adalah denganfaktor skala.

• Titik A ( x, y ) ditransformasikanmenjadi ( x' , y' ) dengan :

x' = x y' = y + p

Contoh Soal1. Diketahui titik (2 , -3 ) . Tentukan bayangan titik itu

oleha. gusuran searah sumbu Y dengan faktor skala -3 b. gusuran searah sumbu X dengan faktor skala 4

Jawab:a.

b.

TRANSFORMASI REGANGAN

Suatu transformasi yang memetakanhimpunan titik pada bidang ke himpunan titiklainnya dengan caramemperbesar/memperkecil jarak titik-titik ituke garis tertentu (invariant) . Perbandinganantara jarak titik peta ke garis invariant dengan jarak titik semula ke garis invariant disebut faktor regangan. Arah garis yang tegak lurus dengan garis invariant disebutarah regangan.

A. Regangan searah sumbu X• Garis searah sumbu Y ( garis invariant) dengan faktor

regangan k • Matriks transformasi yang bersesuaian• Titik A ( x, y ) ditransformasikan menjadi ( x' , y' ) dengan :

x' = kxy' = y

B. Regangan searah sumbu Y • garis searah sumbu X ( garis invariant) dengan faktor regangan

k • Matriks transformasi yang bersesuaian• Titik A ( x, y ) ditransformasikan menjadi ( x' , y' ) dengan :

x' = x y' = k y

CONTOH SOAL

• Carilah persamaan bayangan kurva 3x + y = 9 oleh regangan

jawab:

Maka sehingga diperoleh

Jadi bayangan dari 3x’ + y’=3x – 2y = -18

MENENTUKAN BAYANGAN SUATU KURVAOLEH SUATU TRANSFORMASI

Pengertian transformasi invers

Menentukan bayangan suatu kurva oleh

suatu transformasi

Pengertian transformasi invers

Jika diberikan matriks transformasi M dapat diperolehkoordinat bayangan (a’,b’) dari koordinat benda (a,b) melaluipersamaan matriks;

Proses kebalikannya (atau invers) adalah dapat memperolehkoordinat benda (a,b) jika koordinat bayangan (a’,b’) diberikan,yaitu melalui invers dari matriks transformasi.

dengan demikian,

Dalam hal ini , adalah invers dari matriks transformasiM.

Contoh soal

Persamaan garis 3x + y – 2 = 0dicerminkan terhadap garis y = -x. Tentukan persamaan bayangannya.

Jawaban:

Jadi, kurva bayangannyaadalah

Back

MENENTUKAN BAYANGAN SUATU KURVA OLEH SUATU TRANSFORMASI

Langkah-langkah menentukan persamaan bayangankurva hasil transformasi dengan menggunakan matrikstransformasi.

• Langkah 1:Tentukan matriks transformasi M dan inversnya.

• Langkah 2:Misalkan, titik (a,b) terletak pada kurva y=f(x)yang diberikan, maka (a,b) dinyatakan dalam a’ dan b’ dapat diperoleh dari persamaan

LANJUTANDari uraian tersebut, diperoleh hubungan

a=f(a’,b’) ..... (1)b=f(a’,b’) .....(2)

• Langkah 3:Titik (a,b) terletak pada kurva y=f(x) sehingga memenuhipersamaan y=f(x) dengan mensubstitusi dan . Dari langkah tersebut, diperoleh

b=f(a) .... (3)Selanjutnya, substitusikan a=f(a’,b’) dari persamaan (1) dan b=f(a’,b’) dari (2) untuk memperoleh persamaankurva bayangan, yang dinyatakan dalam a’ dan b’.

lanjutan

• Langkah 4:

(a’,b’) adalah koordinat bayangan sehinggapersamaan bayangan kurva diperoleh denganmensubstitusikan a’=x dan b’=y ke dalampersamaan kurva bayangan dalam a’,b’ yang telah diperoleh dari langkah 3.

Tentukan persamaanbayangan dari lingkaranx2 + y2 + 4x – 6y – 3 = 0 , oleh transformasi yang

bersesuaian denganmatriks

soal

Jawab:• Langkah 1

Menentukan matriks transformasiM dan inversnya M-1. Oleh karena

telah diberikan makatentukanlah M-1.

lanjutan•Langkah 2:Misalkan, titik (a,b) terletak pada kurvalingkaran maka (a,b) dapat dinyatakan dalama’ dan b’ dengan (a’,b’) adalah koordinatbayangan, dengan persamaan matriks.

• Langkah 3:Titik (a,b) terletak pada lingkaran x2+y2+4x-6y=0 sehingga dipenuhi a2+b2+4a-6b-3=0 Selanjutnya, substitusikan a=-b’ daripersamaan (1) dan b=a’ dari persamaan (2)Dalam persamaan (3) tersebut untukmemperoleh persamaan kurva bayangandalam a’ dan b’. a2+b2+4a-6b-3=0(-b’)2+(a’)2+4(-b’)-6(a’)-3=0(b’)2+(a’)2-4b’-6a’-3=0 ..... (4)

lanjutan

lanjutan• Langkah 4:

(a’,b’) adalah koordinat bayangan sehinggapersamaan bayangan kurva dapat diperolehdengan mensubstitusikan a’=x dan b’=y kedalam persamaan (4).

(b’)2+(a’)2-4b’-6a’-3=0y2+x2-4y-6x-3=0

Ataux2+y2-6x-4y-3=0

TERIMA KASIH

SEMOGA BERMANFAAT