mata kuliah statistika komputer pak urip bab iii

7/29/2019 Mata Kuliah Statistika Komputer Pak Urip Bab III

1/10

1

Beberapa distribusi peluang diskret.

1. Distribusi seragam adl distribusi peluang diskret yg paling sederhana.

Distribusi seragam bila peubah acak X mendapat harga x1, x2,,xk dgpeluang yg sama, maka distribusi seragam diskret dinyatakan.

F(x;k) = k

1

, x = x1, x2,, xkNotasi : f(x;k) sebagai pengganti f(x) untuk menyatakan bahwa

distribusi seragam tersebut tergantung atas parameter k.

Contoh : Bila sebuah dadu dilantumkan, tiap elemen ruang sample S ={ 1,2,3,4,5,6 } muncul dg peluang 1/6.

Jadi distribusi peluang dg f(x;6) = 1/6, x = 1,2,3,4,5,6

Histogram distribusi seragam akan sll membentuk persegi panjang.

f(x;6)

1/6

x1 2 3 4 5 6

Teorema 1 : Rataan dan variansi distribusi seragam diskret f(x;k)

adalah.

= k

xik

i

=1

dan 2 = k

xik

i

=

1

2)(

Contoh : dari contoh diatas distribusi peluang diperoleh .

F(x;6) = 1/6 , x =1,2,3,4,5,6

Jadi rataan dan variansi diperoleh.

= 6

654321 +++++

= 3,5

2 = 6

)5,36(....)5,32()5,31(222

+++

= 1 2

3 5


2/10

2

Distribusi binomial dan multinomial

Percobaan binomial harus memenuhi persyaratan sbb :Percobaan terdiri atas n usaha yang berulang.

Tiap usaha memberi hasil yg dpt ditentukan dg sukses atau gagal

Peluang sukses, dinyatakan dg P, tdk berubah dr usaha yg satu ke yg

berikutnya.

Tiap usaha bebas dg usaha lainnya.

Misal : Bila tiap kartu dikembalikan lalu dikocok sebelum kartu

berikutnya ditarik mk penarikan kartu merah atau hitam mempunyaisifat yg sama, yaitu bahwa tiap usaha atau penarikan kartu bebas satu dr

yg lain dan peluang sukses tidak berubah, tidak tergantung atas urutan

keberapa kartu tersebut ditarik.

Distribusi binomial : Bila usaha binomial dapat menghasilkan sukses

dg peluang p dan gagal dg peluang q = 1- p, mk distribusi peluang

peubah acak binomial X, yaitu banyaknya sukses dlm n usaha bebas

adl.

b(x;n,p) =

n

x px qn-x x = 0,1,2,,n

Contoh : Suatu suku cadang dapat menahan uji goncangan tertentu dg

peluang 3/4. Hitunglah peluang bahwa tepat 2 dari 4 suku cadang yg

diuji tidak akan rusak.

Jawab :Misalkan setiap pengujian adl bebas , jd pengujian yg satu tdk

mempengaruhi atau dipengaruhi yg berikutnya. Jadi p = 3/4 utk tiap

keempat pengujian shg.

b (2;4,3/4) =

4

2 (3/4)2 (1/4)2

= !2!2

!4

x4

2

4

3

= 128

27


3/10

3

Distribusi dibawah ini termasuk distribusi binomial:

(q+p)n = (

n

0 ) qn + (n1 )pqn-1 + (

n

2 )p2qn-2 +.+ (

n

n )pn

= b(0;n,p) + b(1;n,p) + b(2;n,p) + .+ b(n;n,p)

Karena p + q = 1, mk jelas=

=n

x

pnxb0

1),;(suatu syarat yg harus

dipenuhi oleh setiap distribusi peluang.

Biasanya soal yg dihadapi mengharuskan kita menghitung P(X


4/10

4

P(X=5) = b(5;15,0,4)

==

5

0

)4,0,15;(x

xb

-

=

4

0

)4,0,15;(x

xb

= 0,4032 0,2173

= 0,1859

Teorema : Distribusi binomial b(x;n,p) mempunyai rataan dan variansi.

= n p dan 2 = n p q

Contoh : Dengan menggunakan teorema chebyshev Dari contoh diatas

hitung dan taksirkan selang 2untuk contoh diatas.Jawab : Karena contoh diatas mengenai percobaan binomial dengan

n = 15 dan p = 0,4 maka menurut teorema diatas diperoleh :

= (15) (0,4) = 6 dan 2 = (15)(0,4)(0,6) = 3,6

=6,3

= 1,897

Jadi selang yang ditanyakan = 2 = 6 (2)(1,897) = 6 3,794Atau dari 2,206 sampai 9,794.

Menurut teorema chebyshev tingkat kesembuhan 15 penderita penyakit

darah diatas mempunyai peluang paling sedikit 3/4 jatuh antara 2,206

dan 9,794.

Catatan : Dalam teorema chebyshev peluang setiap peubah acak Xmendapat nilai dalam k simpangan baku dari nilai rataan adalah paling

sedikit (1 1/k2). Yaitu P( - k < X < +k) 1 1/k2.Untuk k=2 teorema menyatakan bahwa peubah acak X mempunyai

peluang paling sedikit 1- 1/22 = 3/4 mendapat nilai dlm jarak dua

simpangan baku dari nilai rataan yaitu 3/4 atau lebih pengamatan setiap

distribusi terletak dlm selang 2. Begitu pula teorema tersebut

menyatakan bahwa paling sedikit 8/9 pengamatan setiap distribusiterletak dalam selang 3.

Percobaan multinomial adl bila tiap usaha dapat memberikan lebih dari

dua hasil yang mungkin, missal : pembagian hasil pabrik menjadi

ringan, berat, atau masih dapat diterima ; pencatatan kecelakaan

disimpang jalan menurut hari dalam minggu dll.


5/10

5

Distribusi multinomial : Bila suatu usaha tertentu dapat menghasilkank macam hasil E1, E2, ,Ek dengan peluang p1, p2,,pk maka distribusi

peluang acak X1, X2, ,Xk yang menyatakan terjadinya E1, E2,,Ekdalam n usaha bebas adalah.

n X1 X2 XkF(x1, x2,..,xk; p1, p2,.., pk, n) = p1 p2 pk

x1, x2,,xk

dengan :=

=k

i

nxi1 dan

11

==

k

i

ip

Contoh : Bila 2 dadu dilantumkan 6 kali, berapakah peluang mendapat

jumlah 7 atau 11 muncul 2 kali, sepasang bilangan yang sama 1 kali dan

pasangan lainnya 3 kali ?

Jawab :

Misalkan kejadian berikut menyatakan :E1 : Jumlah 7 atau 11 muncul.

E2 : Pasangan bilangan yang sama muncul.

E3 : Baik pasangan yang sama maupun jumlah 7 atau 11 tdk muncul.

Peluang kejadian diatas masing-masing p1 = 2/9, p2 = 1/6, dan p3 =

11/18.

Nilai tidak berubah selama ke 6 usaha dilakukan. Dengan menggunakan

distribusi multinomial dengan x1 = 2, x2 = 1, dan x3 = 3, maka diperolehpeluang.

6

f( 2,1,3; 2/9,1/6,11/18,6 ) = 2,1,3 (2/9)2 (1/6)1(11/18)3

=!3!1!2

!6. 2

2

9

2

.

6

1.

3

3

18

11

= 0,1127


6/10

6Distribusi hipergeometrik

Suatu percobaan hipergeometrik memiliki sifat berikut :

Sampel acak ukuran n diambil dari N benda.

Sebanyak k benda dapat diberi nama sukses sedangkan sisanya, N

k, diberi nama gagal.

Distribusi peluang peubah acak hipergeometrik X, yaitu banyaknya

sukses dalam sample acak ukuran n yang diambil dari N benda yang

mengandung k bernama sukses dan N k bernama gagal adalah.

h ( x;N,n,k) =( )Nn

kN

xn

k

x

x = 0,1,2,.,n

Contoh 1: Suatu kotak berisi 40 suku cadang dikatakan dapat diterima

bila mengandung paling banyak 3 yang cacat. Suatu kotak akan ditolakbila sample acak ukuran 5 suku cadang yang terpilih mengandung satu

yang cacat. Berapakah peluang mendapatkan tepat satu yang cacat

dalam sample bila kotak tersebut mengandung 3 suku cadang yang

cacat ?

Jawab:

Dengan menggunakan distribusi hipergeometrik untuk n = 5, N = 40,

k = 3 dan x = 1, peluang untuk mendapatkan tepat satu yang cacat adl.

h( 1;40,5,3) =( )40

5

37

4

3

1

= 0,3011

Teorema 1: Rataan dan variansi distribusi hipergeometrik h (x;N,n,k)

adalah . = N

nk

dan 2 =

N

k

N

kn

N

nN1..

1

Contoh 2: Gunakan teorema chebyshev untuk menemukan dan

menaksirkan selang 2 untuk contoh 1 diatas.


7/10

7Jawab :

Karena contoh 1diatas merupakan percobaan hipergeometrik dengan

N = 40, n = 5 dan k = 3 maka dari teorema 1 diatas diperoleh :

= 40

)3)(5(

= 8

3

= 0,375

2 =

( )

40

31

40

35

39

540

= 0,3113

=3113,0

= 0,558

Jadi selang yang ditanyakan : 2 = 0,375 (2)(0,558)

= 0,375 1,116= - 0,714 sampai 1,491

Teorema chebyshev menyatakan bahwa banyaknya suku cadang cacat

yang terambil akan jatuh antara 0,714 dan 1,491 bila 5 suku cadangdipilih secara acak dari kotak berisi 40 suku cadang, 3 diantaranya cacat

dan mempunyai peluang paling sedikit 3/4 . Yaitu 3/4 dari seluruh

sample ukuran 5 suku cadang yang mungkin diambil mengandung

kurang dari 2 yang cacat.

Bila n kecil dibanding dengan N maka peluang tiap penarikan hanya

akan berubah sedikit. Maka distribusi hipergeometrik dapat dihampiridengan distribusi binomial dengan p = k/N.

Rataan dan variansi dapat dihampiri dengan rumus :

= np = N

nk

dan 2 = npq = n .

N

k

N

k1

Bila rumus ini dibandingkan dengan rumus pada teorema 1 diatas maka

terlihat bahwa rataan sama sedangkan variansi berbeda dalam factor

koreksi sebesar (N n)/(N 1). Dimana besaran ini dapat diabaikanjika n cukup kecil dibandingkan dengan N.

Contoh 3: Suatu pabrik ban melaporkan bahwa dari pengiriman

sebanyak 5000 ban ke toko tertentu terdapat 1000 yang cacat. Bila

seseorang membeli 10 ban ini secara acak dari toko tersebut, berapakah

peluangnya mengandung tepat 3 yang cacat ?


8/10

8

Jawab :

Karena n = 10 cukup kecil dibandingkan dengan N = 5000 maka

peluangnya dapat diselesaikan dengan distribusi binomial. Peluang

mendapat 1 ban yg cacat 1000/5000 = 0,2 Jadi peluang mendapat tepat

3 ban yang cacat.

h( x;N,n,k ) b( x;n,p )

h(3;5000,10,1000) b(3;10,0.2)

=

= =

3

0

2

0

)2.0,10;()2.0,10;(x x

xbxb

= 0,8791 0,6778 = 0,2013

Perluasan distribusi hipergeometrik : Bila N benda dapat

dikelompokkan dalam k sel A1,A2,,Ak masing2

berisi a1,a2,,ak bendamaka distribusi peluang peubah acak X1, X2,,Xk yang menyatakan

banyaknya benda ( anggota ) yang terambil dari A1,A2,,Ak dalam

suatu sample acak ukuran n adalah.

f(x1,x2,,xk; a1,a2,,ak,N,n) =

( )( ) ( )( )Nn

a

x

a

x

a

xk

k....2

2

1

1

Dengan

=

=k

i

i nx1 dan

=

=k

i

i Na1

Contoh 4: Sejumlah 10 orang dipakai dalam suatu penelitian biologi. 3

diantara mereka bergolongan darah O, 4 golongan A dan 3 golongan B.

Berapakah peluang suatu sample ukuran 5 akan beranggota 1orang

bergolongan darah O, 2 bergolongan A dan 2 lainnya bergolongan B ?

Jawab:

Dengan menggunakan perluasan distribusi hipergeometrik diatas untukx1=1, x2=2, x3=2, a1=3, a2=4, a3=3, N=10 dan n=5 peluang yang dicari

adalah.

f(1,2,2;3,4,3,10,5) =

( ) ( ) ( )( ) 14

310

5

3

2

4

2

3

1=


9/10

9

Distribusi paisson

Suatu percobaan Paisson memiliki sifat :

Banyaknya sukses terjadi dalam suatu selang waktu atau daerah

tertentu tidak terpengaruh oleh apa yang terjadi pada selang waktu

atau daerah lain yang terpilih.

Peluang terjadinya suatu sukses (tunggal) dalam selang waktu yangamat pendek atau dalam daerah yang kecil sebanding

dengan panjang selang waktu atau besarnya daerah dan tidak

tergantung pada banyaknya sukses yang terjadi diluar selang

waktu atau daerah tersebut.

Peluang terjadinya lebih dari satu sukses dalam selang waktu yang

pendek atau daerah yang sempit tersebut diabaikan.

Distribusi poisson adalah distribusi peluang peubah acak poisson X,

yang menyatakan banyaknya sukses yang terjadi dalam suatu selang

waktu atau daerah tertentu adl.

P(x;) = !x

e x

x = 0,1,2,,

menyatakan rata-rata banyaknya sukses yg terjadi dalam selangwaktu atau daerah tertentu tersebut dan e = 2,71828

Tabel 3 ( lihat tabel statistik ) berisi jumlah peluang poisson p(r ;) =

=

r

x

xp0

);(

Untuk beberapa nilai tertentu dari 0,1 sampai 18.Contoh : Rata-rata banyaknya partikel radioaktif yang melewati suatu

penghitung selama 1 milidetik dalam suatu percobaan di laboratorium

adalah 4 Berapakah peluang 6 partikel melewati penghitung dalamsuatu milidetik tertentu ?

Jawab :

Dengan menggunakan distribusi Poisson untuk x = 6 dan = 4diperoleh dari tabel


10/10

p( 6 ; 4) =

= =

==6

0

5

0

64

7851,08893,0)4;()4;(!6

4

x x

xpxpe

= 0,1042

10

Teorema 1 : Rataan dan variansi distribusi Poisson p(x;) keduanya

sama dengan

Teorema 2 : Misalkan X peubah acak binomial dengan distribusi

peluang b(x;n,p). Bila n , p 0, dan = np tetap sama maka

b(x;n,p) p(x;)

Contoh : Dlm proses produksi yg menghasilkan barang dari gelas,

terjadi gelembung atau cacat yg kadang2 menyebabkan barang tersebut

sulit dipasarkan. Diketahui bahwa rata2

1 dari 1000 barang ygdihasilkan mempunyai 1 atau lebih gelembung. Berapakah peluang

bahwa dalam sample acak sebesar 8000 barang akan berisi kurang dari

7 yang bergelembung?

Jawab:

Pada dasarnya percobaan ini binomial dengan n = 8000 dan p = 0,001

karena p sangat dekat dg nol dan n cukup besar, maka akan diselesaikan

dg distribusi poisson dg = (8000)(0,001) = 8 jadi kalau X menyatakanbanyak barang yg bergelembung maka.

P(x

mata kuliah statistika komputer pak urip bab iii

Documents