laporan runge kutta orde 1 - 4

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam pandangan formalis, ”matematika adalah penelaahan struktur

abstrak yang didefinisikan secara aksioma dengan menggunakan logika simbolik

dan notasi matematika”. Sedangkan secara umum, ”matematika ditegaskan

sebagai penelitian pola dari suatu struktur, perubahan dan ruang”. Struktur

spesifik yang diselidiki oleh matematika sering kali berasal dari ilmu pengetahuan

alam termasuk di dalamnya biologi, akan tetapi yang paling umum berasal dari

fisika.

Pada perkembangannya, matematika tingkat lanjut digunakan sebagai alat

untuk mempelajari berbagai fenomena fisik yang kompleks khususnya berbagai

fenomena alam yang teramati agar pola struktur, perubahan ruang dan sifat-sifat

fenomena tersebut bisa didekati atau dinyatakan dalam sebuah bentuk perumusan

yang sistematis dan penuh dengan berbagai konvensi, simbol dan notasi. Hasil

perumusan yang menggambarkan prilaku dan proses fenomena fisik tersebut biasa

disebut model matematika. Karena kebanyakan fenomena fisik secara alamiah

berujung pada hubungan antara kuantitas dan laju perubahannya, maka

dibangunlah kalkulus, yang secara khusus topik tersebut dibahas dalam persamaan

diferensial.

Persamaan diferensial yang pada mulanya disebut sebagai “persamaan

turunan” merupakan persamaan yang diperkenalkan oleh Leibniz pada tahun 1676

(Finizio dan Ladas, 1988: 1). Secara definisi, ”persamaan diferensial merupakan

persamaan yang menyangkut turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas

terhadap satu atau lebih variabel bebas” (Ross, 1984: 3).

Dan berdasarkan pada kasus kali ini adalah untuk menyelesaikan

persamaan defleksi dengan berbagai metode pendekatan secara numerik, yaitu

dengan metode euler, metode heun, metode polygon, metode raltson. Untuk itu

dilakukanlah praktikum ini untuk mengetahui perbedaan di antara metode-metode

tersebut.

2

1.2 Tujuan

1. Menyelesaikan persamaan profil muka air dengan menggunakan metode

euler, heun, polygon, raltson, runge kutta orde 3, dan runge kutta orde 4

2. Mengetahui besarnya nilai atau hasil antara metode euler, heun, polygon,

raltson, runge kutta orde 3, dan runge kutta orde 4

3

BAB II

TINJAUAN PUTAKA

Metode artinya cara, sedangkan numerik artinya angka, sehingga metode

numerik secara harfiah berarti cara berhitung dengan menggunakan angka-angka.

Sedangkan secara istilah, metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk

memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan

operasi perhitungan atau aritmetika biasa (tambah, kurang, kali dan bagi) (Munir,

2006: 5). Secara lebih sederhana metode numerik merupakan cabang atau bidang

matematika khususnya matematika rekayasa, yang menggunakan bilangan untuk

menirukan proses matematika (Djojodiharjo, 2000: 1).

Metode numerik disebut juga sebagai alternatif dari metode analitik, yang

merupakan metode penyelesaian persoalan matematika dengan rumus-rumus

aljabar yang sudah baku atau lazim. Disebut demikian, karena adakalanya

persoalan matematik sulit diselesaikan atau bahkan tidak dapat diselesaikan secara

analitik sehingga dapat dikatakan bahwa persoalan matematik tersebut tidak

mempunyai solusi analitik. Sehingga sebagai alternatifnya, persoalan matematik

tersebut diselesaikan dengan metode numerik. Perbedaan utama antara metode

numerik dengan metode analitik terletak pada dua hal, yaitu:

a) Solusi dengan metode numerik selalu berbentuk angka, sedangkan dengan

metode analitik biasanya menghasilkan solusi dalam bentuk fungsi

matematikyang selanjutnya fungsi matematik tersebut dapat dievaluasi untuk

menghasilkan nilai dalam bentuk angka.

b) Dengan metode numerik hanya diperoleh solusi yang menghampiri atau

mendekati solusi sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi

hampiran approximation) atau solusi pendekatan. Akan tetapi, solusi

hampiran tersebut apat dibuat seteliti yang diinginkan. Solusi hampiran tentu

tidak tepat sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih antara keduanya,

dan selisih tersebut dinamakan sebagai galat (error). Sedangkan dengan solusi

analitik sudah pasti dihasilkan solusi sejati yang sesuai dengan kenyataannya

(Munir, 2006:5).

4

Metode penyelesaian persamaan diferensial biasa secara numerik terbagi

menjadi 2, yaitu metode satu langkah dan metode banyak langkah. Metode yang

termasuk satu langkah adalah metode deret Taylor, metode Euler, metode Runge

Kutta dan metode Heun. Sedangkan metode yang termasuk banyak langkah

adalah metode Adam-Bashforth-Moulton, metode Milne-Simpson dan metode

Hamming.

1. Metode Euler

Metode Euler adalah salah satu dari metode satu langkah yang paling

sederhana. Di banding dengan beberapa metode lainnya, metode ini paling kurang

teliti. Namun demikian metode ini perlu dipelajari mengingat kesederhanaannya

dan mudah pemahamannya sehingga memudahkan dalam mempelajari metode

lain yang lebih teliti.

Akan diselesaikan persamaan diferensial biasa dengan bentuk sebagai

berikut:

Persamaan tersebut dapat didekati dengan bentuk berikut:

atau

atau

dengan adalah perkiraan kemiringan yang digunakan untuk ekstrapolasi dari

nilai yi ke yi + 1 yang berjarak x yaitu selisih antara x = xi + 1 xi. Persamaan

diatas dapat digunakan untuk menghitung langkah nilai y secara bertahap.

Metode Euler dapat diturunkan dari Deret Taylor:

),( yxfdx

dy

)y,x(fxx

yy

x

y

dx

dy

1

1

ii

ii

Δ

Δ

)xx)(y,x(fyy 11 iiii

...(1)xyy 1 ΔΦii

...!2

xy

!1

xyyy

2'''

1

ΔΔiiii

5

Apabila nilai x kecil, maka suku yang mengandung pangkat lebih tinggi

dari 2 adalah sangat kecil dan dapat diabaikan, sehingga persamaan diatas dapat

ditulis menjadi:

Dengan membandingkan persamaan (1) dan persamaan (2) dapat

disimpulkan bahwa pada metode Euler, kemiringan = = f (xi , yi), sehingga

persamaan (2) dapat ditulis menjadi:

dengan i = 1, 2, 3, … Persamaan (3) adalah metode Euler, nilai yi + 1 diprediksi

dengan menggunakan kemiringan fungsi (sama dengan turunan pertama) di titik xi

untuk diekstrapolasikan secara linier pada jarak sepanjang pias x. Gambar 1,

adalah penjelasan secara grafis dari metode Euler.

Gambar1. Metode Euler

Kesalahan Metode Euler

Penyelesaian numerik dari persamaan diferensial biasa menyebabkan

terjadinya dua tipe kesalahan, yaitu:

1. Kesalahan pemotongan, yang disebabkan oleh cara penyelesaian yang

digunakan untuk perkiraan nilai y.

....(2)xyyy '

1 Δiii

...(3)x)y,x(fyy 1 Δiiii

6

2. Kesalahan pembulatan, yang disebabkan oleh keterbatasan jumlah angka (digit)

yang digunakan dalam hitungan.

Kesalahan pemotongan terdiri dari dua bagian.

1. Pertama adalah kesalahan pemotongan lokal yang terjadi dari pemakaian suatu

metode pada satu langkah.

2. Kedua adalah kesalahan pemotongan menyebar yang ditimbulkan dari

perkiraan yang dihasilkan pada langkah-langkah berikutnya. Gabungan dari

kedua kesalahan tersebut dikenal dengan kesalahan pemotongan global.

Besar dan sifat kesalahan pemotongan pada metode Euler dapat dijelaskan

dari deret Taylor. Untuk itu dipandang persamaan diferensial berbentuk:

sedang x dan y adalah variabel bebas dan tak bebas.

Penyelesaian dari persamaan tersebut dapat diperkiraan dengan deret Taylor:

Apabila persamaan (4) disubstitusikan ke persamaan (5), akan menghasilkan:

Perbandingan antara persamaan (3) dan persamaan (6) menunjukkan

bahwa metode Euler hanya memperhitungkan dua suku pertama dari ruas kanan

persamaan (6). Kesalahan yang terjadi dari metode Euler adalah karena tidak

memperhitungkan suku-suku terakhir dari persamaan (6) yaitu sebesar:

dengan t adalah kesalahan pemotongan lokal eksak. Untuk x yang sangat kecil,

kesalahan seperti yang diberikan oleh persamaan (7)adalah berkurang

dengan bertambahnya order (order yang lebih tinggi). Dengan demikian suku

)4....()y,x(f'y

dx

dy'y

)5...(R!n

xy...

!2

xy

!1

xyyy

2'''

1 nΔΔΔ n

n

iiiii

)6...(R...!3

x)y,x(''f

!2

x)y,x('f

!1

x)y,x(fyy

32

1 niiiiiiii

ΔΔΔ

)7...(R...!3

x)y,x(''f

!2

x)y,x('f

32

niiiit

ΔΔ

7

yang mengandung pangkat lebih besar dari dua dapat diabaikan, sehingga

persamaan (7) menjadi:

dengan a adalah perkiraan kesalahan pemotongan lokal.

2. Metode Heun

Metode Heun merupakan Perbaikan Metode Euler, Metode Euler

mempunyai ketelitian yang rendah karena galatnya besar (sebanding dengan h).

Kekurangan galat ini diperbaiki dengan menggunakan metode Heun.

Pada metode Heun, solusi dari metode Euler dijadikan sebagai solusi

perkiraan awal (predictor) selanjutnya perkiraan awal diperbaiki dengan metode

Heun (corrector). Metode Heun diturunkan sbb :

Pandang PDB (Persamaan Differensial Biasa) orde satu

Persamaan (*), suku

Bersesuaian dengan aturan trapesium pada integrasi numerik. Dapat dibuktikan

bahwa galat perlangkah metode Heun sama dengan galat kaidah trapezium

Galat Metode Heun :

Bukti:

Misalkan ;

Yr+1 adalah nilai y sejati di xr+1

yr+1 adalah hampiran nilai y di xr+1

)8...(!2

x)y,x('f

2Δiia

)(,()(' xyxfxy

...(*))],(),([:

),(:Pr

1)0(

121

1)0(

rrrrh

rr

rrrr

yxfyxfyyCorrector

yxhfyyedictor

1)0(

1,,2

rrrr yxfyxfh

3

1

''3

),(12

hO

xtxtyh

E rrp

8

Uraikan Yr+1 di sekitar xr

Menghasilkan:

Dengan menyatakan

Persamaan menjadi

Dari persamaan (*)

Uraikan

Dengan menggunakan Deret Taylor di sekitar xr , menghasilkan:

Persamaan (*) menjadi

Galat perlangkah = nilai sejati-nilai hampiran

3. Metode Poligon

Metode Poligon dapat juga disebut sebagai modifikasi dari metode Euler. Metode

Euler digunakan untuk memprediksi kemiringan nilai y pada titik tengah interval.

Untuk itu pertama kali dihitung nilai yi + 1/2 berikut ini. Gambar 2 adalah

penjelasan dari metode tersebut.

)1...(...'''6

''2

')(32

11 rrrr yh

yh

hyyxY

makafyxfy rrrr ,),('

)2...(...''6

'2

)(32

1 rrrrr fh

fh

hfyxY

)],(),([ 1)0(

121 rrrrh

rr yxfyxfyy

),( 1)0(

1 rr yxf

)3...(...''4

'2

),(32

10(

1 rrrrrr fh

fh

hfyyxf

)4...(...''4

'2

32

1 rrrrr fh

fh

hfyy

11 rr yY

1

3

),(''12

rrr xtxtfh

9

2

Δ),( iii

2

1i

xyxfyy

Gambar 2. Metode Euler yang dimodifikasi (Poligon)

Kemudian nilai tersebut digunakan untuk mengestimasi kemiringan pada

titik tengah interval, yaitu :

),(2

1i

2

1i

'

2

1i

yxfy

Kemiringan tersebut merupakan perkiraan dari kemiringan rerata pada interval,

yang kemudian digunakan untuk ekstrapolasi linier dari xi ke xi + 1 dengan

menggunakan metode Euler:

xyxfyy Δ),(2

1i

2

1i

i1i

4. Metode Runge-Kutta

Pada metode Euler memberikan hasil yang kurang teliti maka untuk

mendapatkan hasil yang lebih teliti perlu diperhitungkan suku yang lebih banyak

dari deret Taylor atau dengan menggunakan interval x yang kecil. Kedua cara

tersebut tidak menguntungkan. Penghitungan suku yang lebih banyak

memerlukan turunan yang lebih tinggi dari fungsi nilai y (x), sedang penggunaan

x yang kecil menyebabkan waktu hitungan lebih panjang.

10

Metode Runge-Kutta memberikan hasil ketelitian yang lebih besar dan

tidak memerlukan turunan dari fungsi, bentuk umum dari metode Runge-Kutta

adalah:

xxyxyy Δ)Δ,,(Φ iii1i (12)

dengan (xi, yi, x) adalah fungsi pertambahan yang merupakan kemiringan

rerata pada interval.

Fungsi pertambahan dapat ditulis dalam bentuk umum:

nn2211 ...Φ kakaka (13)

dengan a adalah konstanta dan k adalah:

k1 = f (xi, yi)

k2 = f (xi + p1x, yi + q11 k1x)

k3 = f (xi + p2x, yi + q21 k1x + q22 k2x)

kn = f (xi + pn – 1x, yi + qn – 1, 1 k1x + qn – 1, 2 k2x + + qn – 1, n – 1 kn – 1x)

Persamaan tersebut menunjukkan bahwa nilai k mempunyai hubungan berurutan.

Nilai k1 muncul dalam persamaan untuk menghitung k2, yang juga muncul

dalam persamaan untuk menghitung k3, dan seterusnya. Hubungan yang berurutan

ini membuat metode Runge-Kutta adalah efisien dalam hitungan.

Ada beberapa tipe metode Runge-Kutta yang tergantung pada nilai n yang

digunakan.

Untuk n = 1, yang disebut Runge-Kutta order satu, persamaan (13) menjadi:

),(Φ ii111 yxfaka

Untuk a1 = 1 maka persamaan (12) menjadi:

xyxfyy Δ),( iii1i

yang sama dengan metode Euler.

Di dalam metode Runge-Kutta, setelah nilai n ditetapkan, kemudian nilai

a, p dan q dicari dengan menyamakan persamaan (8.19) dengan suku-suku dari

deret Taylor.

1) Metode Runge-Kutta order 2

Metode Runge-Kutta order 2 mempunyai bentuk:

11

xkakayy Δ)( 2211i1i (8.22a)

dengan:

),( ii1 yxfk (8.22b)

)Δ,Δ( 111i1i2 xkqyxpxfk (8.22c)

Nilai a1, a2, p1 dan q11 dievaluasi dengan menyamakan persamaan (8.22a) dengan

deret Taylor order 2, yang mempunyai bentuk:

2

Δ),('

1

Δ),( iiiii1i

xyxf

xyxfyy

(15)

dengan ),(' ii yxf dapat ditentukan dari hukum berantai (chain rule) berikut:

dx

dy

y

f

x

fyxf

),(' ii (16)

Substitusi persamaan (16) ke dalam persamaan (15) menghasilkan:

2

Δ)(

1

Δ),( iii1i

x

dx

dy

y

f

x

fxyxfyy

(17)

Dalam metode Runge-Kutta ini dicari nilai a1, a2, p1 dan q11 sedemikian

sehingga persamaan (8.22a) ekivalen dengan persamaan (17). Untuk itu

digunakan deret Taylor untuk mengembangkan persamaan (8.22c). Deret Taylor

untuk fungsi dengan dua variabel mempunyai bentuk:

...),(),(

y

gs

x

gryxgsyrxg

Dengan cara tersebut, persamaan (8.22c) dapat ditulis dalam bentuk:

)Δ(ΔΔ),()Δ,Δ( 2

1111ii111i1i x0y

fxkq

x

fxpyxfxkqyxpxf

Bentuk diatas dan persamaan (8.22b) disubstitusikan ke dalam persamaan (8.22a)

sehingga menjadi:

)x(0x

f)y,x(fxqa

x

fxpa)y,x(fxa)y,x(fxayy

32

112

2

12211

ΔΔ

ΔΔΔ

ii

iiiiii

atau

12

)Δ(Δ),(

Δ),(),(

32

ii11212

ii2ii1i11

x0xx

fyxfqa

x

fpa

xyxfayxfayy

(8.26)

Dengan membandingkan persamaan (17) dan persamaan (8.26), dapat

disimpulkan bahwa kedua persamaan akan ekivalen apabila:

a1 + a2 = 1. (8.27a)

a2 p1 = 2

1. (8.27b)

a2 q11 = 2

1. (8.27c)

Sistem persamaan diatas yang terdiri dari tiga persamaan mengandung

empat bilangan tak diketahui, sehingga tidak bisa diselesaikan. Untuk itu salah

satu bilangan tak diketahui ditetapkan, dan kemudian dicari ketiga bilangan yang

lain. Dianggap bahwa a2 ditetapkan, sehingga persamaan (8.27a) sampai

persamaan (8.27c) dapat diselesaikan dan menghasilkan:

21 1 aa (8.28a)

2

1112

1

aqp (8.28b)

Karena nilai a2 dapat dipilih sembarang, maka akan terdapat banyak metode

Runge-Kutta order 2.

Dibawah ini merupakan 3 metode Runge-Kutta order 2 yang sering

digunakan.

a) Metode Heun

Apabila a2 dianggap 2

1, maka persamaan (8.28a) dan persamaan (8.28b)

dapat diselesaikan dan diperoleh:

.1

.2

1

111

1

qp

a

Parameter tersebut apabila disubstitusikan ke dalam persamaan (8.22a) akan

menghasilkan:

13

xkkyy Δ)2

1

2

1( 21i1i

(8.29a)

dengan:

),( ii1 yxfk (8.29b)

)Δ,Δ( 1ii2 xkyxxfk (8.29c)

dimana k1 adalah kemiringan fungsi pada awal interval dan k2 adalah kemiringan

fungsi pada akhir interval. Dengan demikian metode Runge-Kutta order 2 adalah

sama dengan metode Heun.

b) Metode Poligon (a2 = 1)

Apabila a2 dianggap 1, maka persamaan (8.28a) dan persamaan (8.28b) dapat

diselesaikan dan diperoleh:

.2

1

.0

111

1

qp

a

Parameter tersebut apabila disubstitusikan ke dalam persamaan (8.22a) akan

menghasilkan:

xkyy Δ2i1i (8.30a)

dengan:

),( ii1 yxfk (8.30b)

)Δ2

1,Δ

2

1( 1ii2 xkyxxfk (8.30c)

c) Metode Ralston

Dengan memilih a2 =3

2, akan menghasilkan kesalahan pemotongan minimum

untuk metode Runge-Kutta order 2. Dengan a2 =3

2, didapat:

.4

3

.3

1

111

1

qp

a

sehingga :

14

xkkyy Δ)3

2

3

1( 21i1i

(8.31a)

dengan:

),( ii1 yxfk (8.31b)

)Δ4

3,Δ

4

3( 1ii2 xkyxxfk (8.31c)

Pada saat membahas metode Euler untuk penyelesaian persamaan

diferensial, kita telah sampai pada kesimpulan bahwa truncation error metode

Euler terus membesar seiring dengan bertambahnya iterasi. Dikaitkan dengan hal

tersebut, metode Runge-Kutta Orde Empat menawarkan penyelesaian persamaan

diferensial dengan pertumbuhan truncation error yang jauh lebih kecil.

Persamaan-persamaan yang menyusun metode Runge-Kutta Orde Empat

adalah

15

BAB III

METODE KERJA

3.1 Kasus

Saluran dengan tampang segi empat mempunyai lebar dasar B = 5m. Debit

Q = 10m3/s , kemiringan dasar saluran Io = 0.0005 dan koefisien manning n =

0.025. Kedalaman air diujung.

Hitung profil muka air disebelah hulu sepanjang 1500m dengan ∆x =

100m , dengan metode:

1. Euler 4. Raltson

2. Heun 5. Runge kutta orde 3

3. Poligon 6. Runge kutta orde 4

Persamaan Profil muka air:

f(x,y) = Io – (n2 Q

2 / A

2 R

4/3) / 1 – (Q

2 T / g A

3)

Dengan: A = By T = B

P = B + 2y R = A / P

g= 9.81 m/s2

3.2 Algoritma

3.2.1 Metode Euler

1. Tentukan panjang saluran (L = 1500)

2. Tentukan selang (∆x = 100)

3. Tentukan beberapa konstanta

B = 5 m (Lebar dasar)

Q = 10 m3/s (Debit)

Io = 0.0005 (Kemiringan dasar saluran)

n = 0.025 (Koefisien manning)

y = 2.0 m (Kedalaman ujung hilir)

4. Masukkan angka atau konstanta-konstanta kedalam persamaan

5. Hitung dengan menggunakan metode euler

16

3.2.2 Metode Heun





Q = 10 m3/s (Debit)





5. Hitung dengan menggunakan metode heun

3.2.3 Metode Poligon





Q = 10 m3/s (Debit)





5. Hitung dengan menggunakan metode poligon

3.2.4 Metode Raltson





Q = 10 m3/s (Debit)


17




5. Hitung dengan menggunakan metode raltson

3.2.5 Metode Runge kutta orde 3





Q = 10 m3/s (Debit)





5. Hitung dengan menggunakan metode rungr kutta orde 3

3.2.6 Metode Runge kutta orde 4





Q = 10 m3/s (Debit)





5. Hitung dengan menggunakan metode runge kutta orde 4

18

3.3 Flowchart

3.3.1 Metode Euler

NO

YES

Start

Input L, D

O=0.0005 Q=10 Io=0.0005 n=0.025 y=2.0

Do I = 1,10000

A(I)=B*Y(I) P(I)=B+(2*Y(I)) R(I)=A(I)/P(I) C(I)=O-(((N**2)*(Q**2))/((A(I)**2)*(R(I)**(4./3)))) E(I)=1.0-(((Q**2)*B)/(G*(A(I)**3))) J(I)=1*I F(I)=C(I)/E(I) Y(I+1)=Y(I)+(F(I)*D)

TULIS J(I),Y(I)

IF J(I)==L/D

END IF

END DO

STOP

END

19

3.3.2 Metode Heun

no

yes

Start

Input L, X

Do I = 1,10000

TULIS J(I),Y(I)

IF J(I)==L/D

END IF

END DO

STOP

END

O=0.0005 Q=10 Io=0.0005 n=0.025 y=2.0

A(I)=B*Y(I) P(I)=B+(2*Y(I)) R(I)=A(I)/P(I) C(I)=O-(((N**2)*(Q**2))/((A(I)**2)*(R(I)**(4./3)))) E(I)=1.0-(((Q**2)*B)/(G*(A(I)**3))) J(I)=1*I F(I)=C(I)/E(I) M(I)=F(I)*Y(I) Y(I+1)=Y(I)+((((0.5*F(I))+(0.5*M(I))))*D)

20

3.3.3 Metode Poligon

no

yes

Start

Input L, D

O=0.0005 Q=10 Io=0.0005 n=0.025 y=2.0

Do I = 1,10000

A(I)=B*Y(I) P(I)=B+(2*Y(I)) R(I)=A(I)/P(I) C(I)=O-(((N**2)*(Q**2))/((A(I)**2)*(R(I)**(4./3)))) E(I)=1.0-(((Q**2)*B)/(G*(A(I)**3))) J(I)=1*I F(I)=C(I)/E(I) M(I)=Y(I)*(0.5*F(I)) Y(I+1)=Y(I)+(M(I)*D)

TULIS J(I),Y(I)

IF J(I)==L/D

END IF

END DO

STOP

END

21

3.3.4 Metode Raltson

no

yes

Start

Input L, D

O=0.0005 Q=10 Io=0.0005 n=0.025 y=2.0

Do I = 1,10000

A(I)=B*Y(I) P(I)=B+(2*Y(I)) R(I)=A(I)/P(I) C(I)=O-(((N**2)*(Q**2))/((A(I)**2)*(R(I)**(4./3)))) E(I)=1.0-(((Q**2)*B)/(G*(A(I)**3))) J(I)=1*I F(I)=C(I)/E(I) M(I)=(1/Y(I))*((3./4)*F(I)) Y(I+1)=Y(I)+((((1./3)*F(I))+((2./3)*M(I)))*D)

TULIS J(I),Y(I)

IF J(I)==L/D

END IF

END DO

STOP

END

22

3.3.5 Metode runge kutta orde 3

no

yes

Start

Input L, D

O=0.0005 Q=10 Io=0.0005 n=0.025 y=2.0

Do I = 1,10000

A(I)=B*Y(I) P(I)=B+(2*Y(I)) R(I)=A(I)/P(I) C(I)=O-(((N**2)*(Q**2))/((A(I)**2)*(R(I)**(4./3)))) E(I)=1.0-(((Q**2)*B)/(G*(A(I)**3))) J(I)=1*I F(I)=C(I)/E(I) M(I)=Y(I)*(0.5*F(I)) X(I)=Y(I)*((F(I))*(2*M(I))) Y(I+1)=Y(I)+(((1/6.)*(F(I)+(4*M(I))+X(I)))*D)

TULIS J(I),Y(I)

IF J(I)==L/D

END IF

END DO

STOP

END

23

3.3.6 Metode runge kutta orde 4

no

yes

Start

Input L, D

O=0.0005 Q=10 Io=0.0005 n=0.025 y=2.0

Do I = 1,10000

A(I)=B*Y(I) P(I)=B+(2*Y(I)) R(I)=A(I)/P(I) C(I)=O-(((N**2)*(Q**2))/((A(I)**2)*(R(I)**(4./3)))) E(I)=1.0-(((Q**2)*B)/(G*(A(I)**3))) J(I)=1*I F(I)=C(I)/E(I) M(I)=Y(I)*(0.5*F(I)) X(I)=Y(I)*(0.5*M(I)) S(I)=Y(I)*X(I) Y(I+1)=Y(I)+(((1/6.)*(F(I)+(2*M(I))+(2*X(I))+S(I)))*D)

TULIS J(I),Y(I)

IF J(I)==L/D

END IF

END DO

STOP

END

24

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Hasil

4.1.1 Metode Euler 4.1.2 Metode Heun 4.1.3 Metode Poligon

NO HASIL 1 2.000 2 1.995 3 1.991 4 1.985 5 1.980 6 1.973 7 1.967 8 1.959 9 1.952 10 1.943 11 1.934 12 1.923 13 1.912 14 1.900 15 1.887

4.1.4 Metode Ratlson 4.1.5 Runge kutta orde 3 4.1.6 Runge kutta orde 4

NO HASIL 1 2.000 2 1.997 3 1.995 4 1.992 5 1.989 6 1.985 7 1.982 8 1.979 9 1.975 10 1.971 11 1.967 12 1.963 13 1.958 14 1.954 15 1.949

NO HASIL 1 2.000 2 1.993 3 1.986 4 1.977 5 1.968 6 1.957 7 1.945 8 1.931 9 1.916 10 1.899 11 1.880 12 1.858 13 1.832 14 1.803 15 1.770

NO HASIL 1 2.000 2 1.995 3 1.991 4 1.985 5 1.980 6 1.974 7 1.967 8 1.960 9 1.952 10 1.944 11 1.935 12 1.925 13 1.915 14 1.903 15 1.891

NO HASIL 1 2.000 2 1.995 3 1.989 4 1.983 5 1.976 6 1.968 7 1.960 8 1.952 9 1.942 10 1.932 11 1.920 12 1.908 13 1.894 14 1.879 15 1.863

NO HASIL 1 2.000 2 1.996 3 1.992 4 1.988 5 1.983 6 1.978 7 1.973 8 1.968 9 1.962 10 1.956 11 1.949 12 1.942 13 1.934 14 1.926 15 1.917

25

4.2 Grafik

26

4.3 Pembahasan

Metode Euler adalah salah satu dari metode satu langkah yang paling

sederhana. Di banding dengan beberapa metode lainnya, metode ini paling kurang

teliti. Namun demikian metode ini perlu dipelajari mengingat kesederhanaannya

dan mudah pemahamannya sehingga memudahkan dalam mempelajari metode

lain yang lebih teliti.

Metode euler atau disebut juga metode orde pertama karena

persamaannya kita hanya mengambil sampai suku orde pertama saja.

Misalnya diberikan PDB orde satu,

= dy/dx = f(x,y) dan nilai awal y(x0) = x0

Misalkan

yr = y(xr)

adalah hampiran nilai di xr yang dihitung dengan metode euler. Dalam hal ini

xr = x0 + rh, r = 1, 2, 3,…n

metode euler diturungkan dengan cara menguraikan y(xr+1) di sekitar xr ke dalam

deret taylor :

y(xr+1)=y(xr)+

1

1!

r rx x

y’(xr)+

2

1

2!

r rx x y”(xr)+… (1)

bila persamaan di atas dipotong samapai suku orde tiga, peroleh

y(xr+1) = y(xr) +

1

1!

r rx x

y’(xr) +

2

1

2!

r rx x y”(t), xr<t<xr+1

(2)

berdasarkan persamanan bentuk baku PDB orde orde satu maka

y’(xr ) = f(xr, yr)

dan

xr+1 – xr = h

maka persamaan 2 dapat ditulis menjadi

y(xr+1) y(xr)+hf(xr,yr)+2

2

hy”(t) (3)

dua suku pertama persamaan di atas yaitu :

27

y(xr+1) = y(xr) + hf(xr, yr) ; r = 0, 1, 2,…,n (4)

atau dapat ditulis

yr+1 = yr + hfr

yang merupakan metode Euler.

Metode Euler mempunyai ketelitian yang rendah karena galatnya besar

(sebanding dengan h). buruknya galat ini dapat dikurangi dengan menggunakan

metode Heun, yang merupakan perbaikan metode Euler (modifified Euler’s

method ). Pada metode Heun , solusi dari metode Euler dijadikan sebagai solusi

perkiraan awal (prediktor), selanjutnya solusi perkiraan awal diperbaiki dengan

metode Heun (Corrector).

Metode Heun diturunkan sebagai berikut:

Pandang PDB orde Satu

'( ) ( , ( ))y x f x y x

Integrasikan kedua ruas persamaan dari xr sampai xr+1 :

1 1 '( , ( )) ( )r r

r r

x x

x xf x y x dx y x dx

= y(xr+1)-y(xr)

= yr+1-yr

Nyatakan yr+1 di ruas kiri dan suku-suku lainnya di ruas kanan:

1

1 ( , ( ))r

r

x

r r

x

y y f x y x dx

(p.7)

Suku yang mengandung integral di ruas kanan ,

1

( , ( ))r

r

x

x

f x y x dx

,

dapat diselesaikan dengan kaidah trapezium menjadi

1

1 1( , ( )) [ ( , ) ( , )]2

r

r

x

r r r r

x

hf x y x dx f x y f x y

(p.8)

Sulihkan persamaan (p.7) ke dalam persamaan (p.8) , menghasilkan persamaan

1 1 1[ ( , ) ( , )]2

r r r r r r

hy y f x y f x y (p.9)

28

Yang nerupakan metode Heun , atau metode Euler-Cauchy yang

diperbaiki. Dalam persamaan (p.8) suku ruas kanan mengandung yr+1 ini adalah

solusi perkiraan awal (prediktor) yang dihitung dengan metode Euler. Persamaan

(p.9) dapat dituls sebagai :

predictor : (0)

1 ( , )r r r ry y hf x y

Corrector : (0)

1 1 1[ ( , ) ( , )]2

r r r r r r

hy y f x y f x y (p.10)

Atau ditulis dalam satu kesatuan,

1 1[ ( , ) ( , ) ( , )]2

r r r r r r r r

hy y f x y f x y hf x y (p. 11)

Dan berdasarkan hasil dari perhitungan yang telah kita buat menggunakan

program fortran, disitu bisa kita lihat bahwa masing-masing dari metode tersebut

mempunyai nilai yang berbeda-beda, hal itu bisa kita lihat berdasarkan hasil

output program dari masing-masing metode. Dimana Metode euler-lah yang

memang memiliki tingkat ketelitian yang rendah.

Dan jika kita lihat dari grafik yang telah ditampilkan perbedaannya sangat

signifikan antara metode euler dengan metode-metode yang lainnya (heun,

polygon, raltson metode runge kutta orde 3, dan metode runge kutta orde 4). Dan

dari grafik juga bisa kita lihat pperbedaan kedalaman dari masing-masing nilai

hasil perhitungan, dan tiap metode juga telah dibedakan dengan warna-warna.

Dan pada pengerjaan ini juga seharusnya digunakan nilai error atau galat

agar diketahui perbandingan dari masing-masing metode dan tingkat ketilitian dari

metode-metode tersebut.

5 m

1500 m

2 m

dan dapat dilihat pada grafik

disamping dan berdasarkan hasil

perhitungan maka dapat disimpulkan

bahwa kedalaman air semakin

menngalami pendangkalan.

29

BAB V

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

1. Untuk menyelesaikan kasus profil muka air ini dengan menggunakan

metode euler, heun, polygon, raltson, runge kutta orde 3 dan runge kutta

orde 4. Anda terlebih dahulu mengerti perbedaan dari masig-masing

metode ini dan juga mengetahui persamaannya sehingga dapat

dimasukkan kedalam pemrograman untuk menghitung nilainya dengan

cepat dan singkat.

2. Dari praktikum yang telah dikerjakan maka dapat anda lihat hasil

perhitungannya dari masing-masing metode dan juga dari grafik bisa anda

lihat perbedaannya masing-masing.

5.2 Saran

Mungkin bisa juga untuk menggunakan metode deret taylor untuk

menyelesaikan kasus ini dan juga dicari nilai errornya sehingga bisa dibandingkan

metode mana yang benar-benar akurat dalam perhitungannya.

30

DAFTAR PUSTAKA

Agus Setiawan, ST, MT. 2006.Pengantar Metode Numerik. yogyakata : penerbit

Andy Yogyakarta.

Drs. Sahid, M.Sc. 2005. Pengantar Komputasi Numerik dengan Matlab.

yogyakata : penerbit Andy Yogyakarta.

Rinaldi Munir. 2008. Metode Numerik, Revisi kedua. Bandung : informatika

Bandung.

31

LAMPIRAN

Script Program

PROGRAM PROFIL_MUKA_AIR IMPLICIT REAL (Q,B,I,F,X,M,N,Y,A,P,R,G,C,E) PARAMETER (H=10000) DIMENSION F(H),X(H),J(H),Z(H),M(H),Y(H),A(H),P(H),R(H),C(H),E(H),S(H) WRITE(*,*)'INI ADALAH PROGRAM UNTUK MENGHITUNG PROFIL MUKA AIR' WRITE(*,*)'' WRITE(*,*)'MASUKKAN PANJANG SALURAN :' READ(*,*)L WRITE(*,*)'MASUKKAN SELANGNYA (DELTA X) :' READ(*,*)D WRITE(*,*)'' 7 WRITE(*,*)'ANDA INGIN MENGGUNAKAN METODE APA?' WRITE(*,*)'1. METODE EULER' WRITE(*,*)'2. METODE HEUN' WRITE(*,*)'3. METODE POLIGON' WRITE(*,*)'4. METODE RALTSON' WRITE(*,*)'5. METODE RUNGE KUTTA ORDE 3' WRITE(*,*)'6. METODE RUNGE KUTTA ORDE 4' WRITE(*,*)'' WRITE(*,*)'MASUKKAN PILIHAN ANDA :' READ(*,*)K Q=10.0 !DEBIT B=5.0 !LEBAR O=0.0005 !KEMIRINGAN N=0.025 !KOEFFISIEN MANNING Y(1)=2.0 !KEDALAMAN G=9.81 !GRAVITASI IF(K==1)THEN WRITE(*,*)'ANDA MEMILIH METODE EULER' WRITE(*,*)'' OPEN(3,FILE='EULER.TXT',STATUS='UNKNOWN') WRITE(3,*)' NO HASIL' WRITE(3,*)'' WRITE(*,*)' NO HASIL' WRITE(*,*)'' DO I=1,H A(I)=B*Y(I) !====\ P(I)=B+(2*Y(I)) !=====> TETAPAN RUMUS R(I)=A(I)/P(I) !====/ C(I)=O-(((N**2)*(Q**2))/((A(I)**2)*(R(I)**(4./3)))) E(I)=1.0-(((Q**2)*B)/(G*(A(I)**3))) J(I)=1*I !NOMER F(I)=C(I)/E(I) !F(X,Y) atau K1 Y(I+1)=Y(I)+(F(I)*D) !HASIL WRITE(3,2)J(I),Y(I) WRITE(*,2)J(I),Y(I) IF (J(I)==(L/D)) THEN WRITE(*,*)'' GO TO 1 END IF END DO ELSE IF(K==2)THEN WRITE(*,*)'ANDA MEMILIH METODE HEUN' WRITE(*,*)''

32

OPEN(4,FILE='HEUN.TXT',STATUS='UNKNOWN') WRITE(4,*)' NO HASIL' WRITE(4,*)'' WRITE(*,*)' NO HASIL' WRITE(*,*)'' DO I =1,H A(I)=B*Y(I) P(I)=B+(2*Y(I)) R(I)=A(I)/P(I) C(I)=O-(((N**2)*(Q**2))/((A(I)**2)*(R(I)**(4./3)))) E(I)=1.0-(((Q**2)*B)/(G*(A(I)**3))) J(I)=1*I F(I)=C(I)/E(I) M(I)=F(I)*Y(I) !K2 Y(I+1)=Y(I)+((((0.5*F(I))+(0.5*M(I))))*D) WRITE(4,2)J(I),Y(I) WRITE(*,2)J(I),Y(I) IF (J(I)==L/D) THEN WRITE(*,*)'' GO TO 1 END IF END DO ELSE IF(K==3)THEN WRITE(*,*)'ANDA MEMILIH METODE POLIGON' WRITE(*,*)'' OPEN(5,FILE='POLIGON.TXT',STATUS='UNKNOWN') WRITE(5,*)' NO HASIL' WRITE(5,*)'' WRITE(*,*)' NO HASIL' WRITE(*,*)'' DO I =1,H A(I)=B*Y(I) P(I)=B+(2*Y(I)) R(I)=A(I)/P(I) C(I)=O-(((N**2)*(Q**2))/((A(I)**2)*(R(I)**(4./3)))) E(I)=1.0-(((Q**2)*B)/(G*(A(I)**3))) J(I)=1*I F(I)=C(I)/E(I) M(I)=Y(I)*(0.5*F(I)) Y(I+1)=Y(I)+(M(I)*D) WRITE(5,2)J(I),Y(I) WRITE(*,2)J(I),Y(I) IF (J(I)==L/D) THEN WRITE(*,*)'' GO TO 1 END IF END DO ELSE IF(K==4)THEN WRITE(*,*)'ANDA MEMILIH METODE RALTSON' WRITE(*,*)'' OPEN(10,FILE='RALTSON.TXT',STATUS='UNKNOWN') WRITE(10,*)' NO HASIL' WRITE(10,*)'' WRITE(*,*)' NO HASIL' WRITE(*,*)'' DO I =1,H A(I)=B*Y(I) P(I)=B+(2*Y(I)) R(I)=A(I)/P(I) C(I)=O-(((N**2)*(Q**2))/((A(I)**2)*(R(I)**(4./3)))) E(I)=1.0-(((Q**2)*B)/(G*(A(I)**3)))

33

J(I)=1*I F(I)=C(I)/E(I) M(I)=(1/Y(I))*((3./4)*F(I)) Y(I+1)=Y(I)+((((1./3)*F(I))+((2./3)*M(I)))*D) WRITE(10,2)J(I),Y(I) WRITE(*,2)J(I),Y(I) IF (J(I)==L/D) THEN WRITE(*,*)'' GO TO 1 END IF END DO ELSE IF(K==5)THEN WRITE(*,*)'ANDA MEMILIH METODE RUNGE KUTTA ORDE 3' WRITE(*,*)'' OPEN(8,FILE='ORDE 3.TXT',STATUS='UNKNOWN') WRITE(8,*)' NO HASIL' WRITE(8,*)'' WRITE(*,*)' NO HASIL' WRITE(*,*)'' DO I =1,H A(I)=B*Y(I) P(I)=B+(2*Y(I)) R(I)=A(I)/P(I) C(I)=O-(((N**2)*(Q**2))/((A(I)**2)*(R(I)**(4./3)))) E(I)=1.0-(((Q**2)*B)/(G*(A(I)**3))) J(I)=1*I F(I)=C(I)/E(I) M(I)=Y(I)*(0.5*F(I)) X(I)=Y(I)*((F(I))*(2*M(I))) !K3 Y(I+1)=Y(I)+(((1/6.)*(F(I)+(4*M(I))+X(I)))*D) WRITE(8,2)J(I),Y(I) WRITE(*,2)J(I),Y(I) IF (J(I)==L/D) THEN WRITE(*,*)'' GO TO 1 END IF END DO ELSE IF(K==6)THEN WRITE(*,*)'ANDA MEMILIH METODE RUNGE KUTTA ORDE 4' WRITE(*,*)'' OPEN(9,FILE='ORDE 4.TXT',STATUS='UNKNOWN') WRITE(9,*)' NO HASIL' WRITE(9,*)'' WRITE(*,*)' NO HASIL' WRITE(*,*)'' DO I =1,H A(I)=B*Y(I) P(I)=B+(2*Y(I)) R(I)=A(I)/P(I) C(I)=O-(((N**2)*(Q**2))/((A(I)**2)*(R(I)**(4./3)))) E(I)=1.0-(((Q**2)*B)/(G*(A(I)**3))) J(I)=1*I F(I)=C(I)/E(I) M(I)=Y(I)*(0.5*F(I)) X(I)=Y(I)*(0.5*M(I)) S(I)=Y(I)*X(I) !K4 Y(I+1)=Y(I)+(((1/6.)*(F(I)+(2*M(I))+(2*X(I))+S(I)))*D) WRITE(9,2)J(I),Y(I) WRITE(*,2)J(I),Y(I) IF (J(I)==L/D) THEN WRITE(*,*)''

34

GO TO 1 END IF END DO ELSE WRITE(*,*)'' WRITE(*,*)'SORRY SOB! PILIHAN LOE SALAH!!!' WRITE(*,*)'' GO TO 7 END IF 2 FORMAT(I5,F10.3) 1 END

script grafik

a=[2,1.995,1.991,1.985,1.98,1.973,1.967,1.959,1.952,1.943,1.934,1.923,1.912,1.9,1.887]; b=[2,1.993,1.986,1.977,1.968,1.957,1.945,1.931,1.916,1.899,1.88,1.858,1.832,1.803,1.77]; c=[2,1.995,1.991,1.985,1.98,1.974,1.967,1.96,1.952,1.944,1.935,1.925,1.915,1.903,1.891]; d=[2,1.997,1.995,1.992,1.989,1.985,1.982,1.979,1.975,1.971,1.967,1.963,1.958,1.954,1.949]; e=[2,1.996,1.992,1.988,1.983,1.978,1.973,1.968,1.962,1.956,1.949,1.942,1.934,1.926,1.917]; f=[2,1.995,1.989,1.983,1.976,1.968,1.96,1.952,1.942,1.932,1.92,1.908,1.894,1.879,1.863]; g=[100,200,300,400,500,600,700,800,900,1000,1100,1200,1300,1400,1500]; plot(g,a,'-r*',g,b,'-b*',g,c,'-g*',g,d,'-y*',g,e,'-m*',g,f,'-k*','LineWidth',3) xlabel('Panjang Saluran (Meter)') ylabel('Kedalaman (Meter)') title('Merah(Euler), Biru(Heun), Hijau(Poligon), Kuning(Raltson), Ungu(Orde 3), Hitam(Orde 4)')

laporan runge kutta orde 1 - 4

Documents