02 persamaan diferensial orde i

Program Perkuliahan Dasar Umum

Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

Persamaan Diferensial Orde I

Persamaan DiferensialPersamaan Diferensial

Definisi

� Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui.

� Jika persamaan diferensial memiliki satu peubah tak bebas maka disebut Persamaan Diferensial Biasa(PDB).

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

2

(PDB).

� Sedangkan jika peubah bebasnya lebih dari satu dinamakan Persamaan Diferensial Parsial.

Persamaan Diferensial (2)Persamaan Diferensial (2)

� Persamaan diferensial biasa dikatakan linear, apabila persamaan diferensial tersebut mempunyai peubah tak bebas maupun turunannya bersifat linear.

� Bentuk umum PDBL orde-n adalah sebagai berikut

an(x) yn + an-1(x) y

n-1 + … + a0(x) y = f(x)

dengan an(x) ≠ 0 dan an(x), an-1(x), … , a0(x) adalah

koefisien PD.


3

koefisien PD.

� Bila f(x) = 0 disebut PDBL Homogen, sebaliknya jika tidak disebut PDBL tak homogen.

� Orde PDB adalah turunan tertinggi yang terlibat dalam PDB

ContohContoh

dt

dN(1)

(2) y ’ + 2 cos 2x = 0

= kN , N = N(t), orde 1 dimana N peubah tak bebast peubah bebasnya

, orde 1 dimana y peubah tak bebasx peubah bebasnya


4

(3) y” + ex y’ + sin xy = ex sin x , orde 2

x3 y”+ cos 2x (y’)3= x2 y2 , orde 2(4)

SolusiSolusi

� Misal ada suatu persamaan diferensial dimana ysebagai peubah tak bebas yang bergantung pada peubah bebas x atau suatu fungsi y = f (x) disebut solusi PDB jika fungsi y = f (x) disubtitusikan ke PDB diperoleh persamaan identitas.

� Solusi umum dan solusi khusus

Jika fungsi y = f (x) memuat konstanta sembarang


5

Jika fungsi y = f (x) memuat konstanta sembarang maka solusi disebut solusi umum, sebaliknya disebut solusi khusus.

ContohContoh

(1) y = cos x + c � solusi umum

Persamaan Diferensial y’ + sin x = 0

Karena

(cos x + c)’ + sin x = -sin x + sin x = 0

(2) y = cos x + 6 � solusi khusus


6

(2) y = cos x + 6 � solusi khusus

Persamaan Diferensial y’ + sin x = 0

Karena

(cos x + 6)’ + sin x = -sin x + sin x = 0

PDB Orde 1PDB Orde 1

� PDB terpisah

� PDB dengan koefisien fungsi homogen

� PDB Linier


7

ContohContoh

1. Jawab:

(x ln x) y' = y

ydx

dyxx =ln

dxdy =

( )xcy lnlnln =

( )xcy ln=

Jadi solusi umum PD tersebut


9

xx

dx

y

dy

ln=

∫∫ =xx

dx

y

dy

ln

( ) cxy lnlnlnln +=

Jadi solusi umum PD tersebut

adalah

( )xcy ln=

ContohContoh

2. Jawab:

y' = x3 e-y

yexdx

dy −= 3

dxxdy 3=

+= cxy 4

4

1ln

+= c4)2(4

1ln0

Diketahui y(2) = 0, sehingga


10

dxxe

dyy

3=−

∫∫ = dxxdye y 3

cxe y += 4

4

1

4

Jadi solusi khusus PD tersebut

adalah

−= 34

1ln 2xy

341 −=→+= cc

LatihanLatihan

2

2

1 y

x

dx

dy

−=

243 2 ++= xxdy 0)0(),1)(1(2' 2 =++= yyxy

)21)(21(' 32 xxyy +++=1.

2.

5.

6.

Tentukan solusi Persamaan diferensial dibawah ini


11

)1(2

243

−++=

y

xx

dx

dy

)1('

3

2

xy

xy

+=

221' xyyxy +++=

1)0(,21

cos2

=+

= yy

xy

dx

dy

0)0(),1)(1(2' =++= yyxy

1)0(,0)1( ==++ yyedx

dye xx

2.

3.

4.

6.

7.

8.

Fungsi homogenFungsi homogen

� Fungsi A(x,y) disebut fungsi homogen dengan derajat n, jika

A(kx,ky) = knA(x,y), k konstan sembarang

� Contoh : Periksa apakah fungsi berikut homogen atau tidak !1. A(x,y) = x + y


12

1. A(x,y) = x + yA(kx,ky) = kx + ky

= k (x + y) = k A(x,y) A(x,y) = x + y , fungsi homogen dengan derajat 1

2. A(x,y) = x2 + xyA(kx,ky) = k2x2 + kx ky

= k2 (x2+xy) = k2 A(x,y)A(x,y) = x2 + xy , fungsi homogen dengan derajat 2

PD dengan koefisien fungsi homogen PD dengan koefisien fungsi homogen

� PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk),(

),('

yxB

yxAy =

dengan A,B fungsi homogen dengan derajat yang sama disebut PDB dengan koefisien fungsi homogen.

Penyelesaian : gunakan subtitusi y = ux, u = u(x)


13

Penyelesaian : gunakan subtitusi y = ux, u = u(x)

uxuy += ''

dx

dy

dx

du= x + u

dy = x du + u dx

dengan

ContohContoh

Selesaikan solusi persamaan diferensial berikut

x

yxy

+=11.

Jawab:

x

yx

dx

dy +=


14

Misalkan y = ux, sehingga dy = x du + u dx

+=x

y

dx

dy1 � u

dx

dxudux +=+1 � ( )dxudxudux +=+ 1 �

dxdux = �x

dxdu = � ∫∫ =

x

dxdu � cxu += ln �

cxx

y += ln � xcxxy += ln

Jadi solusi umum dari PD di atas adalah xcxxy += ln

ContohContoh

2.

Jawab:


2

2 2

x

xyy

dx

dy +=

+

=⇒x

y

x

y

dx

dy2

2

0xy2ydx

dyx 22 =−− , y(1)=1


15


uudx

dxudux22 +=+

� ( )dxuudxudux 22 +=+ �

( )dxuudux += 2� x

dx

uu

du =+2 � ∫∫ =

+ x

dx

uu

du2 �

cxuu

dulnln

)1(+=

+∫ � cxduuu

ln1

11 =

+−∫ � ( ) cxuu ln1lnln =+−

Contoh (no.2 lanjutan)Contoh (no.2 lanjutan)

� cxu

uln

1ln =

+ � cx

xy

xy

ln1

ln =

+

� cxxy

ylnln =

+ � cxxy

y =+ �

2)1( cxcxy =−

cx2


16

� cx

cxy

−=

1

2


�c

c

−=

11

2

1=c

Jadi solusi khusus PD di atas adalahx

xy

−=

2

2

LatihanLatihan

1.

2.

5.

6.

Tentukan solusi Persamaan diferensial dibawah ini

xy

yx

dx

dy

2

3 22 +=

2

22

x

yxyx

dx

dy ++=

yx

yx

dx

dy

++−=

2

34

2y dx – x dy = 0


17

3.

4.

7.

xydx 2

2

2 2

x

xyy

dx

dy +=

yx

yx

dx

dy

−+= 3

yxdx +2

yx

xy

dx

dy

−−=

2

34

PDB LinierPDB Linier

PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk :

1y + P(x) y = r(x)

disebut PDB linier.

Penyelesaian : kalikan kedua ruas dengan faktor integral

∫


18

∫ dxxPe

)(

∫ dxxPe

)(1y ∫ dxxPe

)( ∫ dxxPe

)(

1)()( ∫ dxxP

ye ∫ dxxPe

)(

+ P(x)y r(x)

= r(x)

Kemudian, kalikan kepada kedua ruas, sehingga diperoleh:

Integralkan kedua ruas

∫= dx + c∫ dx)x(Pye ∫ dxxP

e)(

r(x) Solusi Umum PDB

=

ContohContoh

1. xy’ – 2y = x3 ex

Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini

Jawab:

xexyx

y 22' =− (bagi kedua ruas dengan x)

Sehingga diperoleh faktor integrasi:


19

Sehingga diperoleh faktor integrasi:

2lnln22

2 −−−===∫ −

xeee xxdx

x

kalikan kedua ruas dengan x-2, yaitu:

xeyx

yx

=−32

2'

1�

xeyx

=

1

2

1� cey

xx +=

2

1�

22 xcexy x +=Jadi solusi umumnya adalah

22 xcexy x +=

ContohContoh

2. y’ + y = (x + 1)2, y(0) = 3

Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini

Jawab:

Faktor integrasi dari PD di atas adalah:

xdxee =∫1


20

ee =kalikan kedua ruas dengan ex, yaitu:

( )21' +=+ xeyeye xxx� )1()'( 2 += xeye xx

�

∫ += dxxeye xx 2)1( � ( ) ∫ +−+= dxexexye xxx )1(21 2

( ) ( ) xcexxy −+++−+= 2121 2

�

( ) ceexexye xxxx +++−+= 2)1(21 2

sehingga xcexy −++= 12�

Contoh (no. 2 Lanjutan)Contoh (no. 2 Lanjutan)


�c+=13 2=c

Jadi solusi khusus PD di atas adalah xexy −−+= 212


21

LatihanLatihan

Selesaikan persamaan diferensial di bawah ini:

xxyy sectan'.3 =+

xeyy −=+2'.1

1')1(.2 2 −=++ xyyx


22

( )211

2'.4 +=

++ xx

yy

xxyy sectan'.3 =+

( ) 0)1(,1.6 1 ==++ − yeyxxy x

22'.5 xyy =+

26

,2sincos2'sin.7 =

=+ πyxxyyx

Trayektori OrtogonalTrayektori Ortogonal

� Masalah dalam TO ini adalah bagaimana mendapatkan keluarga kurva yang ortogonal atau tegak lurus terhadap keluarga kurva lain.

� Cara untuk mendapatkan trayektori ortogonal dari suatu kurva adalah sebagai berikut:

� Turunkan secara implisit f(x,y) = c terhadap x, nyatakan parameter c dalam x dan y.


23

nyatakan parameter c dalam x dan y.

� Karena tegak lurus maka trayeksi Ortogonal (TO) harus memenuhi:

),(

11

yxDfy −=

� Trayektori Ortogonal dari f(x,y) = c, didapatkan dengan mencari solusi dari

),(

11

yxDfy −=

ContohContoh

2cxy =Tentukan trayektori ortogonal dari keluarga kurva

Jawab:

Langkah-langkah menentukan TO :

1. Tuliskan2cxy = dalam bentuk 2x

yc =

Kemudian turunkan yaitu:2cxy =


24

Kemudian turunkan yaitu:2cxy =

2. TO akan memenuhi PD

cxy 2'= �

=2

2'x

yxy �

x

yy 2'=

y2

x

x/y2

1y1 −=−=

Contoh (lanjutan)Contoh (lanjutan)

3. TO dari adalah solusi dari PD berikut:

y

xy

21 −=

y

x

dx

dy

2−=

∫ ∫−= xdxydy2 cx

y +−=2

22

2cxy =

�

��

�

x

y


25

)(2

22

ellipscyx

⇒=+

∫ ∫ 2

Jadi keluarga yang tegak lurus terhadap parabola2cxy =

adalah )(2

22

ellipscyx

⇒=+

LatihanLatihan

Tentukan solusi trayektori ortogonal dari keluarga kurva berikut :

222 cyx =+ cxy +=222 cyx =− 4 x2 + y2 = c

4.

2.

1.

5.


26

4 x + y = c

y = cx3.

Program Perkuliahan Dasar Umum

Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

Penggunaan PD Orde IPenggunaan PD Orde I

Penerapan dalam Rangkaian ListrikPenerapan dalam Rangkaian Listrik

Sesuai dengan Hukum Kirchhoff,

rangkaian listrik sederhana (gambar

samping) yang mengandung sebuah

tahanan sebesar R ohm dan sebuah

kumparan sebesar L Henry dalam


28

rangkaian seri dengan sumber gaya

elektromotif (sebuah baterai atau

generator) yang menyediakan suatu

voltase E(t) volt pada saat t memenuhi

( ) ( ) ( )tEtIRtIL =+'

Dengan I adalah arus listrik dalam ampere.

ContohContoh

Tentukan arus I sebagai fungsi dari waktu t dari suatu

rangkaian RL dengan R = 6 ohm, L = 2 henry dan sebuah

baterai yang menyediakan voltase sebesar E = 12 Volt dan

diasumsikan saat awal arusnya adalah nol (I = 0 pada saat

t = 0, jika saklar S ditutup).

1.


29

Jawab

Persamaan diferensialnya adalah

Atau bisa disederhanakan menjadi

126'2 =+ II

63' =+ II

Contoh (Lanjutan)Contoh (Lanjutan)

Kemudian kedua ruas kalikan dengan faktor integrasi te3

( ) ttt eCCeeI 333 22 −− +=+=

Syarat awal, I = 0 pada saat t = 0, memberikan C = –2

Kita peroleh


30

Sehingga,

teI 322 −−=

ContohContoh

Dari contoh sebelumnya baterai diganti dengan generator

arus bolak – balik dengan E = 12 sin 9t Volt dan

diasumsikan saat awal arusnya adalah nol (I = 0 pada saat

t = 0, jika saklar S ditutup).

Jawab

2.


31

Persamaan diferensialnya adalah

Atau bisa disederhanakan menjadi

tII 9sin126'2 =+

tII 9sin63' =+Kemudian kedua ruas kalikan dengan faktor integrasi

te3

( )∫−= dtteeI tt 9sin6 33

Kita peroleh

Contoh (Lanjutan)Contoh (Lanjutan)

( )

+−

+= − CtCostSin

eeI

tt 9993

819

6 33

teCttI 39cos5

39sin

5

1 −+−=

Dengan integral parsial, didapat hasil integralnya adalah

Jadi,


32

55

C+−=5

30

5

3=C

tettI 3

5

39cos

5

39sin

5

1 −+−=

Syarat awal, I = 0 pada saat t = 0, memberikan

Sehingga,

⇔

LatihanLatihan


rangkaian RL dengan R = 106 ohm, L = 1 henry dan

sebuah sumber gaya elektromotif yang menyediakan

voltase sebesar E = 1 Volt dan diasumsikan saat awal

arusnya adalah nol (I = 0 pada saat t = 0, jika saklar S

1.


33

ditutup).


rangkaian RL dengan L = 3,5 Henry dan sebuah sumber

gaya elektromotif yang menyediakan voltase sebesar

E(t) = 120 sin 377t Volt dan diasumsikan saat awal arusnya

adalah nol (I = 0 pada saat t = 0, jika saklar S ditutup).

2.

LatihanLatihan


rangkaian RL dengan R = 1000 ohm dan sebuah sumber

gaya elektromotif yang menyediakan voltase sebesar

E(t) = 120 sin 377 t Volt dan diasumsikan saat awal

arusnya adalah nol (I = 0 pada saat t = 0, jika saklar S

3.


34

ditutup).


rangkaian RL dengan R = 1000 ohm, L = 3,5 henry dan

sebuah sumber gaya elektromotif yang menyediakan

voltase sebesar E(t) = 120 sin 377t Volt dan diasumsikan

saat awal arusnya adalah nol (I = 0 pada saat t = 0, jika

saklar S ditutup).

4.

02 persamaan diferensial orde i

Documents