Program Perkuliahan Dasar Umum

Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

Persamaan Diferensial Orde I

2/6/2015 [MA 1124]

KALKULUS II

2

Persamaan DiferensialPersamaan Diferensial

Definisi

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui.

Jika persamaan diferensial memiliki satu peubah tak bebas maka disebut Persamaan Diferensial Biasa (PDB).

Sedangkan jika peubah bebasnya lebih dari satu dinamakan Persamaan Diferensial Parsial.

2/6/2015 [MA 1124]

KALKULUS II

3

Persamaan Diferensial (2)Persamaan Diferensial (2)

Persamaan diferensial biasa dikatakan linear, apabila persamaan diferensial tersebut mempunyai peubah tak bebas maupun turunannya bersifat linear.

Bentuk umum PDBL orde-n adalah sebagai berikut

an(x) yn + an-1(x) y

n-1 + + a0(x) y = f(x)

dengan an(x) 0 dan an(x), an-1(x), , a0(x) adalah

koefisien PD.

Bila f(x) = 0 disebut PDBL Homogen, sebaliknya jika tidak disebut PDBL tak homogen.

Orde PDB adalah turunan tertinggi yang terlibat dalam PDB

2/6/2015 [MA 1124]

KALKULUS II

4

ContohContoh

dt

dN(1)

(2) y + 2 cos 2x = 0

(3) y + ex y + sin xy = ex sin x , orde 2

x3 y+ cos 2x (y)3= x2 y2 , orde 2

= kN , N = N(t)

(4)

, orde 1 dimana N peubah tak bebas t peubah bebasnya

, orde 1 dimana y peubah tak bebas x peubah bebasnya

2/6/2015 5

SolusiSolusi

Solusi PDB adalah suatu fungsi y = f (x), jika disubtitusikan ke PDB diperoleh persamaan identitas.

Solusi umum dan solusi khusus

Jika fungsi y = f (x) memuat konstanta sembarang maka solusi disebut solusi umum, sebaliknya disebut solusi khusus.

2/6/2015 [MA 1124]

KALKULUS II

6

ContohContoh

(1) y = cos x + c solusi umum

Persamaan Diferensial y + sin x = 0

Karena

(cos x + c) + sin x = -sin x + sin x = 0

(2) y = cos x + 6 solusi khusus

Persamaan Diferensial y + sin x = 0

Karena

(cos x + 6) + sin x = -sin x + sin x = 0

2/6/2015 [MA 1124]

KALKULUS II

7

PDB Orde 1PDB Orde 1

PDB dengan variabel terpisah

PDB Linear

PDB dengan koefisien fungsi homogen

2/6/2015 8

1. PDB 1. PDB variabelvariabel terpisahterpisah

PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk :

g(y) dy = f(x) dx disebut PDB dengan variabel terpisah.

Penyelesaian : integralkan kedua ruas

( ) ( )g y dy f x dx

3dy xdx

3 3dy x dy x dxdx

3dy x dx

41

4y x C

Contoh : 1. tentukan solusi umum PD

2/6/2015 9

Jawab:

ydx

dyxx ln

xx

dx

y

dy

ln

xxdx

y

dy

ln

cxy lnlnlnln

xcy lnlnln

xcy ln

Jadi solusi umum PD tersebut

adalah

xcy ln

2. tentukan solusi umum PD ( ln ) 'x x y y

( ln ) 'x x y y

2/6/2015 10

yexdx

dy 3

dxxe

dyy

3

dxxdyey 3

cxe y 4

4

1

cxy 4

4

1ln

c4)2(

4

1ln0

Jadi solusi khusus PD tersebut

adalah

41ln 34

y x

Diketahui y(2) = 0, sehingga

341 cc

3' ; (2) 0yy x e y 3. Tentukan Solusi Khusus dari

2/6/2015 [MA 1124]

KALKULUS II

11

LatihanLatihan

2

21

dy x

dx y

2

3'

(1 )

xy

y x

2 2' 1y x y xy

1)0(,21

cos2

yy

xy

dx

dy

2' 2(1 )(1 ), (0) 0y x y y

2 3' (1 2 )(1 2 )y y x x

1)0(,0)1( yyedx

dye xx

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Tentukan solusi Persamaan diferensial dibawah ini

2

34

xdy e

dx y

2/6/2015 12

2. PDB Linear2. PDB Linear

PDB linear adalah PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk :

' ( ) ( )y P x y r x

Penyelesaian : kalikan kedua ruas dengan faktor integral dxxPe

)(

( ) ( )

( ) ' ( )P x dx P x dx

ye r x e

Integralkan kedua ruas terhadap x

( ) ( )( )

P x dx P x dxye e r x dx c

( ) ( ) ( )' ( ) ( )

P x dx P x dx P x dxy e P x ye r x e

Solusi Umum PDB linear : ( ) ; ( )h hy e e r x dx c h P x dx

2/6/2015 13

ContohContoh

Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini

Jawab:

xexyx

y 22

' (bagi kedua ruas dengan x)

Jadi solusi umumnya adalah 22 xcexy x

2 2( ) ( ) 2lnP x h x dx x

x x

( )h hy e e r x dx c cdxexee xxx 2)ln(ln .

22

2 xx e dx c

31. ' 2 xxy y x e

2/6/2015 14

Jawab:

22. ' ( 1) ; (0) 3y y x y

( ) 1 ( ) 1P x h x dx x

( )h hy e e r x dx c 2( 1)x xe e x dx c 21 2( 1)x x xe x e x e dx (dengan integral parsial) 21 2( 1) 2x x x xe x e x e e c

xcexxy 2121 2 2 1 xy x ce

(0) 3 3 1 2y c c

Sehingga SK : 2 1 2 xy x e

2/6/2015 15

LatihanLatihan

Selesaikan persamaan diferensial di bawah ini:

211

2'.4

x

x

yyxxyy sectan'.3

xeyy 2'.1 1')1(.2 2 xyyx

6. ' 1 , (1) 0xxy x y e y

22'.5 xyy

27. ' 3 ; (0) 1xy e y y

8. sin ' 2 cos sin 2 , 26

x y y x x y

2/6/2015 [MA 1124]

KALKULUS II

16

Fungsi homogenFungsi homogen

Fungsi A(x,y) disebut fungsi homogen dengan derajat n, jika

A(kx,ky) = knA(x,y), k konstan sembarang

Contoh : Periksa apakah fungsi berikut homogen atau tidak !

1. A(x,y) = x + y A(kx,ky) = kx + ky = k (x + y) = k A(x,y) A(x,y) = x + y , fungsi homogen dengan derajat 1 2. A(x,y) = x2 + xy A(kx,ky) = k2x2 + kx ky = k2 (x2+xy) = k2 A(x,y) A(x,y) = x2 + xy , fungsi homogen dengan derajat 2

2/6/2015 [MA 1124]

KALKULUS II

17

3. PD 3. PD dengandengan koefisienkoefisien fungsifungsi homogenhomogen

PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk ( , )

'( , )

A x yy

B x y

dengan A,B fungsi homogen dengan derajat yang sama disebut PDB dengan koefisien fungsi homogen.

Penyelesaian : gunakan subtitusi y = ux, u = u(x)

uxuy ''

dx

dy

dx

du

= x + u

dy = x du + u dx

dengan

2/6/2015 [MA 1124]

KALKULUS II

18

ContohContoh

Selesaikan solusi persamaan diferensial berikut

'x y

yx

1.

Jawab:

Misalkan y = ux, sehingga dy = x du + u dx

x

yx

dx

dy

x

y

dx

dy1 u

dx

dxudux

1 dxudxudux 1

dxdux x

dxdu x

dxdu cxu ln

cxx

y ln xcxxy ln

Jadi solusi umum dari PD di atas adalah xcxxy ln

2/6/2015 [MA 1124]

KALKULUS II

19

ContohContoh

2.

Jawab:

Misalkan y = ux, sehingga dy = x du + u dx

2

2 2

x

xyy

dx

dy

x

y

x

y

dx

dy2

2

uudx

dxudux22

dxuudxudux 22

dxuudux 2 x

dx

uu

du

2 xdx

uu

du2

cxuu

dulnln

)1(

cxduuuln

1

11

cxuu ln1lnln

0xy2ydx

dyx 22 , y(1)=1

2/6/2015 [MA 1124]

KALKULUS II

20

Contoh (no.2 lanjutan)Contoh (no.2 lanjutan)

cxuu

ln1

ln

cx

xyxy

ln1

ln

cxxyy

lnln

cxxy

y

2)1( cxcxy

cx

cxy

1

2

Diketahui y(1) = 1, sehingga

c

c

11

2

1c

Jadi solusi khusus PD di atas adalah x

xy

2

2

2/6/2015 [MA 1124]

KALKULUS II

21

LatihanLatihan

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Tentukan solusi Persamaan diferensial dibawah ini

xy

yx

dx

dy

2

3 22

2

2 2

x

xyy

dx

dy

yx

yx

dx

dy

3

2

22

x

yxyx

dx

dy

yx

yx

dx

dy

2

34

yx

xy

dx

dy

2

34

2y dx x dy = 0

2/6/2015 [MA 1124]

KALKULUS II

22

Trayektori OrtogonalTrayektori Ortogonal

Masalah dalam TO ini adalah bagaimana mendapatkan keluarga kurva yang ortogonal atau tegak lurus terhadap keluarga kurva lain.

Cara untuk mendapatkan trayektori ortogonal dari suatu kurva adalah sebagai berikut:

Turunkan secara implisit f(x,y) = c terhadap x, nyatakan parameter c dalam x dan y.

Karena tegak lurus maka trayeksi Ortogonal (TO) harus memenuhi:

1

'( , )

yDf x y

Trayektori Ortogonal dari f(x,y) = c, didapatkan dengan mencari solusi dari

1'

( , )y

Df x y

2/6/2015 [MA 1124]

KALKULUS II

23

ContohContoh

2cxy Tentukan trayektori ortogonal dari keluarga kurva

Jawab:

Langkah-langkah menentukan TO :

1. Tuliskan 2cxy dalam bentuk

2

yc

x

Kemudian turunkan yaitu: 2cxy

2. TO akan memenuhi PD

cxy 2'

22'

x

yxy

x

yy 2'

1'

2 / 2

xy

y x y

2/6/2015 [MA 1124]

KALKULUS II

24

Contoh (lanjutan)Contoh (lanjutan)

3. TO dari adalah solusi dari PD berikut:

)(2

22

ellipscyx

'2

xy

y

y

x

dx

dy

2

xdxydy2 cx

y 2

22

2cxy

Jadi keluarga yang tegak lurus terhadap parabola 2cxy

adalah )(2

22

ellipscyx

x

y

2/6/2015 [MA 1124]

KALKULUS II

25

LatihanLatihan

Tentukan solusi trayektori ortogonal dari keluarga kurva berikut :

2 2 2x y c y x c 2 2 2x y c 4 x2 + y2 = c

4.

2.

1.

5.

y = cx 3.