persamaan diferensialsabri.staff.gunadarma.ac.id/downloads/...+persamaan+diferensial.pdf · pd...

30
Persamaan Diferensial Dr. Ahmad Sabri Universitas Gunadarma

Upload: duongnhi

Post on 04-Mar-2019

252 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Persamaan Diferensialsabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/...+Persamaan+Diferensial.pdf · PD Biasa orde 1 PD Biasa orde 2 PD ... Persamaan bentuk standar dan bentuk diferensial

Persamaan DiferensialDr. Ahmad Sabri

Universitas Gunadarma

Page 2: Persamaan Diferensialsabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/...+Persamaan+Diferensial.pdf · PD Biasa orde 1 PD Biasa orde 2 PD ... Persamaan bentuk standar dan bentuk diferensial

Definisi

• Persamaan diferensial (PD)/differential equation (DE) adalah sebuah persamaan yang terdiri dari sebuah fungsi yang tidak diketahui dan turunannya

• Sebuah PD dikatakan `PD biasa' (ordinary differential equation) jika fungsi yang dimaksud hanya bergantung pada satu variabel bebas. Jika bergantung pada dua atau lebih variabel bebas, maka PD tersebut dikatakan`parsial' (partial differential equation)

• Orde dari sebuah PD adalah turunan tertinggi dari fungsi yang ada pada PD tersebut

Page 3: Persamaan Diferensialsabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/...+Persamaan+Diferensial.pdf · PD Biasa orde 1 PD Biasa orde 2 PD ... Persamaan bentuk standar dan bentuk diferensial

Contoh

PD Biasa orde 1

PD Biasa orde 2

PD Biasa orde 3

PD Biasa orde 2

PD Parsial orde 2

Page 4: Persamaan Diferensialsabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/...+Persamaan+Diferensial.pdf · PD Biasa orde 1 PD Biasa orde 2 PD ... Persamaan bentuk standar dan bentuk diferensial

Notasi

• Misalkan y=f(x). Notasi y', y'',y''', y(4), ..., y(n) secara berurutan menyatakan turunan pertama, kedua, ketiga, keempat, sampai ke-n (atau dy/dx, d2y/dx2, d3y/dx3, d4y/dx4,...,dny/dxn).

Page 5: Persamaan Diferensialsabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/...+Persamaan+Diferensial.pdf · PD Biasa orde 1 PD Biasa orde 2 PD ... Persamaan bentuk standar dan bentuk diferensial

Solusi dari PD

• Sebuah solusi dari PD dengan fungsi tak-diketahui y dan variabel bebas x pada interval I, adalah fungsi y(x) yang memenuhi PD yang identik untuk semua x dalam interval I

• Solusi dari PD:– Tak-hingga solusi– Tidak ada solusi– Solusi tunggal

Page 6: Persamaan Diferensialsabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/...+Persamaan+Diferensial.pdf · PD Biasa orde 1 PD Biasa orde 2 PD ... Persamaan bentuk standar dan bentuk diferensial

• Periksalah apakah y(x)=c1sin x + c2cos x, di mana c1 dan c2 adalah sebarang konstanta, merupakan solusi dari y''+4y=0 dalam interval (-∞,∞) ?

• Periksalah apakah y=x2-1 merupakan solusi dari PD (y')4+y2=-1

• Tentukan solusi dari (y')4+y2=0

Page 7: Persamaan Diferensialsabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/...+Persamaan+Diferensial.pdf · PD Biasa orde 1 PD Biasa orde 2 PD ... Persamaan bentuk standar dan bentuk diferensial

• Solusi khusus dari sebuah PD adalah sebarang sebuah solusi dari himpunan solusi untuk PD tersebut

• Solusi umum dari sebuah PD adalah himpunan dari semua solusi untuk PD tersebut

Page 8: Persamaan Diferensialsabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/...+Persamaan+Diferensial.pdf · PD Biasa orde 1 PD Biasa orde 2 PD ... Persamaan bentuk standar dan bentuk diferensial

Problem nilai awal

• Jika PD disertai dengan kondisi di mana fungsi dan turunannya diberikan nilai pada variabel bebas yang sama, maka kondisi ini disebut problem nilai awal

• Contoh:

Page 9: Persamaan Diferensialsabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/...+Persamaan+Diferensial.pdf · PD Biasa orde 1 PD Biasa orde 2 PD ... Persamaan bentuk standar dan bentuk diferensial

Problem nilai batas

• Jika PD disertai dengan kondisi di mana fungsi dan turunannya diberikan nilai pada variabel bebas yang berbeda, maka kondisi ini disebut problem nilai batas

• Contoh:

Page 10: Persamaan Diferensialsabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/...+Persamaan+Diferensial.pdf · PD Biasa orde 1 PD Biasa orde 2 PD ... Persamaan bentuk standar dan bentuk diferensial

Persamaan bentuk standar dan bentuk diferensial

• Sebagian besar, namun tidak semuanya, PD orde satu dapat dituliskan dalam bentuk standar

y'=f(x,y).• f(x,y) selalu dapat dinyatakan dalam bentuk M(x,y)/-N(x,y),

sehingga diperoleh bentuk diferensial M(x,y)dx + N(x,y)dy=0.

Page 11: Persamaan Diferensialsabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/...+Persamaan+Diferensial.pdf · PD Biasa orde 1 PD Biasa orde 2 PD ... Persamaan bentuk standar dan bentuk diferensial

Tuliskan PD berikut dalam bentuk standar, jika memungkinkan1. xy'-y2=02. exy'+e2xy = sin x3. (y'+y)5=sin(y'/x)

Tuliskan dalam bentuk diferensial: y(yy'-1)=x

Page 12: Persamaan Diferensialsabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/...+Persamaan+Diferensial.pdf · PD Biasa orde 1 PD Biasa orde 2 PD ... Persamaan bentuk standar dan bentuk diferensial

Jenis-jenis PD orde satu (First order DE)

• PD homogen• PD variabel terpisah• PD eksak• PD linier orde satu• PD non linier orde satu (PD Bernoulli)

Page 13: Persamaan Diferensialsabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/...+Persamaan+Diferensial.pdf · PD Biasa orde 1 PD Biasa orde 2 PD ... Persamaan bentuk standar dan bentuk diferensial

PD homogen (homogenous DE)

• PD orde satu dalam bentuk y'=f(x,y) dikatakan homogen jika, untuk sebarang bilangan real t, berlaku:

f(tx,ty)=f(x,y)

Page 14: Persamaan Diferensialsabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/...+Persamaan+Diferensial.pdf · PD Biasa orde 1 PD Biasa orde 2 PD ... Persamaan bentuk standar dan bentuk diferensial

Periksalah apakah PD berikut homogen:

Page 15: Persamaan Diferensialsabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/...+Persamaan+Diferensial.pdf · PD Biasa orde 1 PD Biasa orde 2 PD ... Persamaan bentuk standar dan bentuk diferensial

Persamaan diferensial terpisahkan (separable DE)

Bentuk umum:

Solusi:

Page 16: Persamaan Diferensialsabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/...+Persamaan+Diferensial.pdf · PD Biasa orde 1 PD Biasa orde 2 PD ... Persamaan bentuk standar dan bentuk diferensial

Periksalah apakah PD berikut terpisahkan

Page 17: Persamaan Diferensialsabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/...+Persamaan+Diferensial.pdf · PD Biasa orde 1 PD Biasa orde 2 PD ... Persamaan bentuk standar dan bentuk diferensial

Carilah solusi dari PD berikut:

2

2 3

2

1. 02. '

23.

4. 0; (0) 1x

xdx y dyy y xdy xdx ye dx ydy y

Page 18: Persamaan Diferensialsabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/...+Persamaan+Diferensial.pdf · PD Biasa orde 1 PD Biasa orde 2 PD ... Persamaan bentuk standar dan bentuk diferensial

Persamaan diferensial eksak

Sebuah persamaan diferensial

adalah eksak jika terdapat fungsi g(x,y) sehingga

Page 19: Persamaan Diferensialsabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/...+Persamaan+Diferensial.pdf · PD Biasa orde 1 PD Biasa orde 2 PD ... Persamaan bentuk standar dan bentuk diferensial

Persamaan diferensial eksak: uji eksak

Jika M(x,y) dan N(x,y) adalah fungsi kontinu dan memiliki turunan parsial pertama yang kontinu di domain persegi panjang pada bidang xy, maka:

adalah eksak jika dan hanya jika

Page 20: Persamaan Diferensialsabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/...+Persamaan+Diferensial.pdf · PD Biasa orde 1 PD Biasa orde 2 PD ... Persamaan bentuk standar dan bentuk diferensial

• Periksalah apakah PD berikut adalah eksak

Page 21: Persamaan Diferensialsabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/...+Persamaan+Diferensial.pdf · PD Biasa orde 1 PD Biasa orde 2 PD ... Persamaan bentuk standar dan bentuk diferensial

Persamaan diferensial eksak: solusi

1. Temukan g(x,y) dengan mencari solusi persamaan

2. Solusi: g(x,y)=c, di mana c adalah sebarang konstanta

Page 22: Persamaan Diferensialsabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/...+Persamaan+Diferensial.pdf · PD Biasa orde 1 PD Biasa orde 2 PD ... Persamaan bentuk standar dan bentuk diferensial

• Carilah solusi dari PD eksak berikut:

1.

2.

Page 23: Persamaan Diferensialsabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/...+Persamaan+Diferensial.pdf · PD Biasa orde 1 PD Biasa orde 2 PD ... Persamaan bentuk standar dan bentuk diferensial

• Apakah PD terpisahkan adalah selalu eksak?

Page 24: Persamaan Diferensialsabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/...+Persamaan+Diferensial.pdf · PD Biasa orde 1 PD Biasa orde 2 PD ... Persamaan bentuk standar dan bentuk diferensial

Persamaan diferensial linier tingkat satu: solusi umum

Page 25: Persamaan Diferensialsabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/...+Persamaan+Diferensial.pdf · PD Biasa orde 1 PD Biasa orde 2 PD ... Persamaan bentuk standar dan bentuk diferensial
Page 26: Persamaan Diferensialsabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/...+Persamaan+Diferensial.pdf · PD Biasa orde 1 PD Biasa orde 2 PD ... Persamaan bentuk standar dan bentuk diferensial

Persamaan diferensial linier tingkat satu: solusi khusus

Page 27: Persamaan Diferensialsabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/...+Persamaan+Diferensial.pdf · PD Biasa orde 1 PD Biasa orde 2 PD ... Persamaan bentuk standar dan bentuk diferensial

Persamaan diferensial homogen tingkat dua

Page 28: Persamaan Diferensialsabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/...+Persamaan+Diferensial.pdf · PD Biasa orde 1 PD Biasa orde 2 PD ... Persamaan bentuk standar dan bentuk diferensial

Persamaan diferensial homogen tingkat dua: solusi umum

Page 29: Persamaan Diferensialsabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/...+Persamaan+Diferensial.pdf · PD Biasa orde 1 PD Biasa orde 2 PD ... Persamaan bentuk standar dan bentuk diferensial
Page 30: Persamaan Diferensialsabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/...+Persamaan+Diferensial.pdf · PD Biasa orde 1 PD Biasa orde 2 PD ... Persamaan bentuk standar dan bentuk diferensial

Persamaan diferensial Bernoulli

• Bentuk umum:

• Solusi: gunakan substitusi

sehingga bentuk umum di atas menjadi persamaan diferensial linier dalam z(x). • Carilah solusi dari y'+xy=xy2