persamaan diferensial orde satu dan dua

8/20/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu Dan Dua

1/29

PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE

SATU

TRAYEKTORI

PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE N

DENGAN OPERATOR D

TRANSFORMASI LAPLACE

Adapted dari Kalkulus Diferensial. pdf


2/29

Kalkulus Diferensial

Topik utama dalam pembelajaran kalkulus diferensial adalah turunan.Turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu menjelaskan sifat-sifatfungsi yang mendekati nilai input.

Untuk fungsi yang bernilai real dengan variabel real tunggal, turunanpada sebuah titik sama dengan kemiringan dari garis singgung grafik

fungsi pada titik tersebut.

Secara umum, turunan suatu fungsi pada sebuah titik menentukanpendekatan linear terbaik fungsi pada titik tersebut.

Proses pencarian turunan disebut pendiferensialan (differentiation).

Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa

pendiferensialan adalah proses keterbalikan dari pengintegralan.


3/29

Persamaan diferential

Persamaan diferensial adalah hubungan antara sekelompok fungsidengan turunan-turunannya.

Persamaan diferensial biasa adalah sebuah persamaan diferensialyang menghubungkan fungsi dengan sebuah variabel ke turunannyaterhadap variabel itu sendiri.

Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yangmenghubungkan fungsi yang memiliki lebih dari satu variable keturunan parsialnya. Persamaan diferensial muncul secara alami dalamsains fisik, model matematika, dan dalam matematika itu sendiri.


4/29

Persamaan diferential

Persamaan diferensial adalah hubungan antara sekelompok fungsidengan turunan-turunannya.

Persamaan diferensial biasa adalah sebuah persamaan diferensial yang

menghubungkan fungsi dengan sebuah variabel ke turunannya terhadap variabel

itu sendiri

Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang

menghubungkan fungsi yang memiliki lebih dari satu variable ke turunan

parsialnya. Persamaan diferensial muncul secara alami dalam sains fisik, model

matematika, dan dalam matematika itu sendiri.


5/29

Persamaan diferensial parsial

Sebagai contoh, Hukum kedua Newton yang menggambarkan hubungan antara

percepatan dengan posisi dapat dimulai dengan persamaan diferensial biasa:

Teorema nilai purata

Teorema nilai purata memberikan hubungan antara nilai dari turunan dengan nilai

dari fungsi asal. Jika f ( x ) adalah fungsi yang bernilai real dan a dan b adalah

bilangan dengan a < b, maka teorema nilai purata mengatakan bahwa kemiringan

antara dua titik (a, f (a)) dan (b, f (b)) adalah sama dengan kemiringan garis singgungf di titik c di antara a and b. Dengan kata lain:


6/29

Teorema nilai purata

Dalam prakteknya, teorema nilai purata ini mengontrol sebuah fungsi terhadap

turunannya. Sebagai contoh, misalkan f memiliki turunan yang sama dengan nol di

setiap titik, maka fungsi tersebut haruslah horizontal.

Teorema nilai purata membuktikan bahwa hal ini haruslah benar, bahwa

kemiringan antara dua titik di grafik f haruslah sama dengan kemiringan salah satu

garis singgung di f . Semua kemiringan tersebut adalah nol, jadi garis sembarang

antara titik yang satu dengan titik yang lainnya di fungsi tersebut memiliki

kemiringan yang bernilai nol.

Namun hal ini juga mengatakan bahwa fungsi tersebut tidak naik maupun turun.


7/29

CONTOH-CONTOH PERSAMAAN

DIFERENSIAL BIASA BERORDE 1, 2, 3

+2 sin = 0

+ 3

2 = 0

+

= 0


8/29

1. Persamaan Linear Orde Pertama

Suatu persamaan yang mengandung satu atau

beberapa turunan dari suatu fungsi yang tidak

diketahui kita sebut persamaan diferensial.

Khususnya, suatu persamaan berbentuk: (Varberg,Purcell)

,, , … . . , = 0

Dengan

menyatakan turunan terhadap yang ke- , disebut persamaan diferensial biasaberorde n.


9/29

Persamaan Linear Orde Pertama yang

Umum

Persamaan-persamaan yang sering kita pandangdapat dibuat dalam bentuk

+ = ()

Pada prinsipnya, suatu persamaan jenis ini selalu dapatdiselesaikan. Pertama-tama kita mengalikan keduaruas dengan faktor integral

Yang menghasilkan

+

= ()


10/29

Persamaan Linear Orde Pertama yang

Umum

Persamaan yang digunakan adalah

+ = ()

Pada prinsipnya, suatu persamaan jenis ini selaludapat diselesaikan. Pertama-tama kita mengalikankedua ruas dengan faktor integral

Yang menghasilkan

+

= ()


11/29

Pengerjaan Pers. Diferensial

Cara Pengerjaan.

Tentukan faktor Integral nya terlebih dahulu dari

persamaan diferensial tsb.

Kemudian kedua ruas persamaan dikalikan dengan

faktor integral tsb.

Ruas kiri yaitu

+

dikenal sebagai turunan dari = ,sehingga persamaan mengambil bentuk


12/29


13/29

Telaah Ulang Konsep

1. Persamaan diferensial linier orde pertama yang

umum mempunyai bentuk + = . Faktor integral untuk persamaan ini adalah

______ 2. Dengan mengalikan kedua ruas persamaan

diferensial orde pertama dalam Pertanyaan 1

dengan faktor integral membuat ruas kiri


14/29

Telaah Ulang Konsep (2)

Faktor Integral untuk (1 ) = adalah = −

=

;

= 1

Untuk mendapatkan faktor integral

Gunakan tabel formula atau rumus integraldiadaptasi di buku Kalkulus Edisi ke 2 Purcell.

Dapat dipelajari juga pada bab Integral Tak Wajar

pada materi matematika 2. Rumusan Integral yangdigunakan dalam pengerjaan tugas yaitu rumus no63.


15/29

Tambahan Penjelasan Integral Lipat

Dalam pengerjaan atau perhitungan Luas daerah

ataupun luas permukaan, volume, diperlukan sketsa

grafik persamaan.

Penjelasan selengkapnya tentang menggambarkangrafik suatu persamaan dibahas di Matematika 1.

Pada slide berikut terdapat sedikit redaksional

penjelasannya.


16/29

Prosedur tiga langkah (penggambaran

grafik)

Langkah 1 : Dapatkan koordinat-koordinat beberapa titikyang memenuhi persamaan

Langkah 2 : Plotlah titik-titik tersebut pada bidang

Langkah 3 : Hubungkan titik-titik tersebut dengan sebuah

kurva mulus.Contoh 1. pp 25. Gambarkan grafik persamaan = 3 Penyelesaian :

1. Buatlah tabel nilai2. Plot titik – titik tersebut

3. Hubungkan titik-titik ini dengan kurva mulus


17/29

PERSAMAAN HOMOGENORDE KEDUAMatematika 3

Universitas Balikpapan


18/29

Definisi

11/12/2015By Martheana Kencanawati, M.T

18

Suatu persamaan diferensial linear orde kedua mempunyaibentuk ′′ + ′ + = () Dalam sub bab ini, kita membuat dua anggapan

1. dan adalah konstanta2. () secara identik adalah nol (kasus homogen)Jadi tugas kita menyelesaikan

" + ′ + = 0

Dalam kenyataannya, suatu persamaan linier homogen ordekedua selalu mempunyai dua penyelesaian mendasar () dan () yang saling bebas satu sama lain (yakni fungsiyang satu bukan kelipatan fungsi yang lain)


19/29

Persamaan Bantu


19

Dari kelinieran operator

+ + Persamaan Bantu () =

1. + + = 0 + + = () + D() +

= + + = ( + + )

Ekspresi yang terakhir adalah nol, asalkan

2. + + = 0, persamaan 2 adalah persamaan bantu (persamaankuadrat biasa yang bisa diselesaikan dengan pemfaktoran atau jika perludengan rumus kuadrat)


20/29

Diadaptasi dari Kalkulus Jilid 2 pp 612, Penyelesaian dari

persamaan diferensial dengan menggunakan persamaan

bantu.


20


21/29

Penyelesaian dari persamaan diferensial dengan menggunakan

persamaan bantu diselesaikan dengan Rumus Kuadrat


21


22/29

Tugas tambahan


22


23/29


23


24/29


25/29


25


26/29

Contoh soal pengerjaan jika persamaan bantu menpunyai akar-akar kompleks

Pp 614 Kalkulus. Jilid 2


26


27/29

Persamaan Orde Lebih Tinggi


27

Melihat contoh 5

Selesaikan4

4

20


28/29

Persamaan Linier Tak Homogen Umum Dengan

Koefisien Konstan


28

Persamaan dasarnya :

+ − + ⋯ . + −′ + = Persamaan ini dapat direduksi menjadi 3 langkah

1. Tentukan penyelesaian umumℎ= + +……+

2. Tentukan suatu penyelesaian khusus terhadappersamaan tak homogen tersebut

3. Tambahkan penyelesaian 2 dari langkah 1 dan 2


29/29

persamaan diferensial orde satu dan dua

Documents