persamaan diferensial orde i
DESCRIPTION
matematikaTRANSCRIPT
Program Perkuliahan Dasar UmumSekolah Tinggi Teknologi Telkom
Persamaan Diferensial Orde I
7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II
2
PersamaanPersamaan DiferensialDiferensialDefinisi
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidakdiketahui.Jika persamaan diferensial memiliki satu peubah takbebas maka disebut Persamaan Diferensial Biasa(PDB).Sedangkan jika peubah bebasnya lebih dari satudinamakan Persamaan Diferensial Parsial.
7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II
3
PersamaanPersamaan DiferensialDiferensial (2)(2)Persamaan diferensial biasa dikatakan linear, apabila persamaan diferensial tersebut mempunyai peubah tak bebas maupun turunannya bersifat linear.Bentuk umum PDBL orde-n adalah sebagai berikutan(x) yn + an-1(x) yn-1 + … + a0(x) y = f(x)
dengan an(x) ≠ 0 dan an(x), an-1(x), … , a0(x) adalah koefisien PD.Bila f(x) = 0 disebut PDBL Homogen, sebaliknya jika tidak disebut PDBL tak homogen.Orde PDB adalah turunan tertinggi yang terlibat dalam PDB
7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II
4
ContohContoh
dtdN(1) = kN , N = N(t), orde 1 dimana N peubah tak bebas
t peubah bebasnya
(2) y ’ + 2 cos 2x = 0 , orde 1 dimana y peubah tak bebasx peubah bebasnya
(3) y” + ex y’ + sin xy = ex sin x , orde 2
x3 y”+ cos 2x (y’)3= x2 y2(4) , orde 2
7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II
5
SolusiSolusiMisal ada suatu persamaan diferensial dimana ysebagai peubah tak bebas yang bergantung pada peubah bebas x atau suatu fungsi y = f (x) disebut solusi PDB jika fungsi y = f (x) disubtitusikan ke PDB diperolehpersamaan identitas. Solusi umum dan solusi khususJika fungsi y = f (x) memuat konstanta sembarangmaka solusi disebut solusi umum, sebaliknya disebutsolusi khusus.
7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II
6
ContohContoh
(1) y = cos x + c solusi umumPersamaan Diferensial y’ + sin x = 0Karena (cos x + c)’ + sin x = -sin x + sin x = 0
(2) y = cos x + 6 solusi khususPersamaan Diferensial y’ + sin x = 0Karena(cos x + 6)’ + sin x = -sin x + sin x = 0
7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II
7
PDB Orde 1PDB Orde 1
PDB terpisahPDB dengan koefisien fungsi homogenPDB Linier
7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II
8
PDB PDB terpisahterpisah
PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk : g(y) dy = f(x) dx disebut PDB terpisah.
Penyelesaian : integralkan kedua ruasContoh : tentukan solusi umum PD
(x ln x) y' = y , (y’= dxdy
)
1y yex −3= , y(2) = 0
1.
2.
7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II
9
ContohContoh
1. Jawab:
(x ln x) y' = y
ydxdyxx =ln
xxdx
ydy
ln=
∫∫ =xx
dxy
dyln
( ) cxy lnlnlnln +=
( )xcy lnlnln =
( )xcy ln=
Jadi solusi umum PD tersebut
adalah
( )xcy ln=
7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II
10
ContohContoh
2. Jawab:⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += cxy 4
41ln
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += c4)2(
41ln0
Jadi solusi khusus PD tersebut
adalah
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= 3
41ln 4xy
Diketahui y(2) = 0, sehingga
341 −=→+= cc
y' = x3 e-y
yexdxdy −= 3
dxxedy
y3=−
∫∫ = dxxdyey 3
cxey += 4
41
7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II
11
LatihanLatihan
Tentukan solusi Persamaan diferensial dibawah ini
2
2
1 yx
dxdy
−= )21)(21(' 32 xxyy +++=1. 5.
)1(2243 2
−++
=y
xxdxdy 0)0(),1)(1(2' 2 =++= yyxy2. 6.
)1(' 3
2
xyx
y+
= 1)0(,21
cos2 =
+= y
yxy
dxdy
3. 7.
1)0(,0)1( ==++ yyedxdy
e xx221' xyyxy +++=4. 8.
7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II
12
FungsiFungsi homogenhomogen
Fungsi A(x,y) disebut fungsi homogen dengan derajat n, jika
A(kx,ky) = knA(x,y), k konstan sembarang
Contoh : Periksa apakah fungsi berikut homogen atau tidak !
1. A(x,y) = x + yA(kx,ky) = kx + ky
= k (x + y) = k A(x,y) A(x,y) = x + y , fungsi homogen dengan derajat 1
2. A(x,y) = x2 + xyA(kx,ky) = k2x2 + kx ky
= k2 (x2+xy) = k2 A(x,y)A(x,y) = x2 + xy , fungsi homogen dengan derajat 2
7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II
13
PD PD dengandengan koefisienkoefisien fungsifungsi homogenhomogen
PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk),(),(
'yxByxA
y =
dengan A,B fungsi homogen dengan derajat yang sama disebut PDB dengan koefisien fungsi homogen.
Penyelesaian : gunakan subtitusi y = ux, u = u(x)
uxuy += ''
dxdy
dxdu= x + u
dengan
dy = x du + u dx
7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II
14
ContohContohSelesaikan solusi persamaan diferensial berikut
xyxy +
=11.
Jawab:
Misalkan y = ux, sehingga dy = x du + u dxx
yxdxdy +
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=
xy
dxdy 1 u
dxdxudux
+=+ 1 ( )dxudxudux +=+ 1
dxdux =xdxdu = ∫∫ =
xdxdu cxu += ln
cxxy
+= ln xcxxy += ln
Jadi solusi umum dari PD di atas adalah xcxxy += ln
7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II
15
ContohContoh
2.
Jawab:
Misalkan y = ux, sehingga dy = x du + u dx
2
2 2x
xyydxdy +
= ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⇒
xy
xy
dxdy 2
2
0xy2ydxdy
x 22 =−− , y(1)=1
( )dxuudxudux 22 +=+uudx
dxudux 22 +=+
xdx
uudu
=+2 ∫∫ =
+ xdx
uudu2( )dxuudux += 2
cxuudu lnln
)1(+=
+∫ cxduuu
ln1
11=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+−∫ ( ) cxuu ln1lnln =+−
7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II
16
ContohContoh (no.2 (no.2 lanjutanlanjutan))
cxx
yx
yln
1ln =
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
+cx
uu ln
1ln =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+
cxxy
y=
+2)1( cxcxy =−cx
xyy lnln =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
cxcxy−
=1
2
Diketahui y(1) = 1, sehingga
cc−
=1
121
=c
xxy−
=2
2
Jadi solusi khusus PD di atas adalah
7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II
17
LatihanLatihan
Tentukan solusi Persamaan diferensial dibawah ini
2
22
xyxyx
dxdy ++
=
yxyx
dxdy
++
−=2
34
2y dx – x dy = 0 5.
6.
1.
xyyx
dxdy
23 22 +
=2.
3.
4.
7.2
2 2x
xyydxdy +
=
yxyx
dxdy
−+
=3
yxxy
dxdy
−−
=2
34
7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II
18
PDB LinierPDB Linier
PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk : 1y + P(x) y = r(x)
disebut PDB linier.
Penyelesaian : kalikan kedua ruas dengan faktor integral
∫ dxxPe
)(
∫ dxxPe
)(1y ∫ dxxPe
)( ∫ dxxPe
)(
1)()( ∫ dxxP
ye ∫ dxxPe
)(+ P(x)y r(x)
= r(x)
Kemudian, kalikan kepada kedua ruas, sehingga diperoleh:
Integralkan kedua ruas
∫= dx + c∫ dx)x(Pye ∫ dxxPe
)(r(x) Solusi Umum PDB
=
7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II
19
ContohContoh
Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini
1. xy’ – 2y = x3 ex
Jawab:xexy
xy 22' =−
Sehingga diperoleh faktor integrasi:
(bagi kedua ruas dengan x)
2lnln22
2 −−−===∫ −
xeee xxdxx
kalikan kedua ruas dengan x-2, yaitu:
xeyx
yx
=− 32
2'1 xeyx
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
1
2
1 ceyx
x +=2
1
22 xcexy x +=Jadi solusi umumnya adalah 22 xcexy x +=
7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II
20
ContohContoh
Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini
2. y’ + y = (x + 1)2, y(0) = 3Jawab:
Faktor integrasi dari PD di atas adalah:xdx
ee =∫1
kalikan kedua ruas dengan ex, yaitu:
( )21' +=+ xeyeye xxx )1()'( 2 += xeye xx
∫ += dxxeye xx 2)1( ( ) ∫ +−+= dxexexye xxx )1(21 2
( ) ( ) xcexxy −+++−+= 2121 2
( ) ceexexye xxxx +++−+= 2)1(21 2
xcexy −++= 12sehingga
7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II
21
ContohContoh (no. 2 (no. 2 LanjutanLanjutan))
Diketahui y(0) = 3, sehingga
2=cc+=13
Jadi solusi khusus PD di atas adalah xexy −++= 212
7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II
22
LatihanLatihanSelesaikan persamaan diferensial di bawah ini:
xeyy −=+2'.1
1')1(.2 2 −=++ xyyx
( )211
2'.4 +=
++ x
xy
y
xxyy sectan'.3 =+
22'.5 xyy =+
( ) 0)1(,1.6 1 ==++ − yeyxxy x
26
,2sincos2'sin.7 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=+π
yxxyyx
7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II
23
TrayektoriTrayektori OrtogonalOrtogonalMasalah dalam TO ini adalah bagaimanamendapatkan keluarga kurva yang ortogonal atautegak lurus terhadap keluarga kurva lain.Cara untuk mendapatkan trayektori ortogonal darisuatu kurva adalah sebagai berikut:
Turunkan secara implisit f(x,y) = c terhadap x, nyatakan parameter c dalam x dan y.Karena tegak lurus maka trayeksi Ortogonal (TO) harus memenuhi:
),(11
yxDfy −=
Trayektori Ortogonal dari f(x,y) = c, didapatkandengan mencari solusi dari
),(11
yxDfy −=
7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II
24
ContohContoh2cxy =Tentukan trayektori ortogonal dari keluarga kurva
Jawab:
Langkah-langkah menentukan TO :
1. Tuliskan 2cxy = dalam bentuk 2xyc =
Kemudian turunkan yaitu:2cxy =
2. TO akan memenuhi PD
cxy 2'= ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= 22'
xyxy
xyy 2'=
y2x
x/y21y1 −=−=
7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II
25
ContohContoh ((lanjutanlanjutan))3. TO dari adalah solusi dari PD berikut:
)(2
22
ellipscyx⇒=+
yxy
21 −=
yx
dxdy
2−=
∫ ∫ −= xdxydy2 cxy +−=2
22
2cxy =
x
y
Jadi keluarga yang tegak lurus terhadap parabola2cxy =
adalah )(2
22
ellipscyx⇒=+
7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II
26
LatihanLatihan
Tentukan solusi trayektori ortogonal dari keluarga kurva berikut :
222 cyx =+ cxy +=222 cyx =− 4 x2 + y2 = c
4.
2.
1.
5.
y = cx3.
Program Perkuliahan Dasar UmumSekolah Tinggi Teknologi Telkom
PenggunaanPenggunaan PD PD OrdeOrde II
7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II
28
PenerapanPenerapan dalamdalam RangkaianRangkaian ListrikListrik
Sesuai dengan Hukum Kirchhoff,
rangkaian listrik sederhana (gambar
samping) yang mengandung sebuah
tahanan sebesar R ohm dan sebuah
kumparan sebesar L Henry dalam
rangkaian seri dengan sumber gaya
elektromotif (sebuah baterai atau
generator) yang menyediakan suatu
voltase E(t) volt pada saat t memenuhi
( ) ( ) ( )tEtIRtIL =+'Dengan I adalah arus listrik dalam ampere.
7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II
29
ContohContoh
Tentukan arus I sebagai fungsi dari waktu t dari suatu
rangkaian RL dengan R = 6 ohm, L = 2 henry dan sebuah
baterai yang menyediakan voltase sebesar E = 12 Volt dan
diasumsikan saat awal arusnya adalah nol (I = 0 pada saat
t = 0, jika saklar S ditutup).JawabPersamaan diferensialnya adalah
Atau bisa disederhanakan menjadi126'2 =+ II
63' =+ II
1.
7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II
30
ContohContoh ((LanjutanLanjutan))
Kemudian kedua ruas kalikan dengan faktor integrasi te3
( ) ttt eCCeeI 333 22 −− +=+=Kita peroleh
Syarat awal, I = 0 pada saat t = 0, memberikan C = –2
Sehingga, teI 322 −−=
7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II
31
ContohContoh
Dari contoh sebelumnya baterai diganti dengan generator
arus bolak – balik dengan E = 12 sin 9t Volt dan
diasumsikan saat awal arusnya adalah nol (I = 0 pada saat
t = 0, jika saklar S ditutup).JawabPersamaan diferensialnya adalah
Atau bisa disederhanakan menjadi
tII 9sin126'2 =+
tII 9sin63' =+Kemudian kedua ruas kalikan dengan faktor integrasi te3
( )∫−= dtteeI tt 9sin6 33Kita peroleh
2.
7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II
32
ContohContoh ((LanjutanLanjutan))Dengan integral parsial, didapat hasil integralnya adalah
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
+= − CtCostSin
eeI
tt 9993
8196 3
3
Jadi,teCttI 39cos
53
9sin51 −+−=
Syarat awal, I = 0 pada saat t = 0, memberikan
C+−=53
053
=C
tettI 3
53
9cos53
9sin51 −+−=
Sehingga,
⇔
7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II
33
LatihanLatihan
Tentukan arus I sebagai fungsi dari waktu t dari suatu
rangkaian RL dengan R = 106 ohm, L = 1 henry dan
sebuah sumber gaya elektromotif yang menyediakan
voltase sebesar E = 1 Volt dan diasumsikan saat awal
arusnya adalah nol (I = 0 pada saat t = 0, jika saklar S
ditutup).
1.
Tentukan arus I sebagai fungsi dari waktu t dari suatu
rangkaian RL dengan L = 3,5 Henry dan sebuah sumber
gaya elektromotif yang menyediakan voltase sebesar
E(t) = 120 sin 377t Volt dan diasumsikan saat awal arusnya
adalah nol (I = 0 pada saat t = 0, jika saklar S ditutup).
2.
7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II
34
LatihanLatihan
Tentukan arus I sebagai fungsi dari waktu t dari suatu
rangkaian RL dengan R = 1000 ohm dan sebuah sumber
gaya elektromotif yang menyediakan voltase sebesar
E(t) = 120 sin 377 t Volt dan diasumsikan saat awal
arusnya adalah nol (I = 0 pada saat t = 0, jika saklar S
ditutup).
3.
Tentukan arus I sebagai fungsi dari waktu t dari suatu
rangkaian RL dengan R = 1000 ohm, L = 3,5 henry dan
sebuah sumber gaya elektromotif yang menyediakan
voltase sebesar E(t) = 120 sin 377t Volt dan diasumsikan
saat awal arusnya adalah nol (I = 0 pada saat t = 0, jika
saklar S ditutup).
4.