makalah orde 2

BAB I

PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG

Di dalam perkuliahan matematika II terdapat bab yang menjelaskan mengenai

Persamaan Diferensial Parsial Orde 2. Persamaan Diferensial Parsial adalah

persamaan yang di dalamnya terdapat suku-suku diferensial parsial, yang dalam

matematika diartikan sebagai suatu hubungan yang mengaitkan suatu fungsi yang

tidak diketahui, yang merupakan fungsi dari beberapa variabel bebas, dengan

turunan-turunannya melalui variabel-variabel yang dimaksud.

Dalam rangka memenuhi proyek akhir perkuliahan matematika II maka dibuatlah

suatu aplikasi untuk memenuhi penyelesaian beberapa persoalan matematika yang

secara khusus mengenai Persamaan Diferensial Parsial . Software yang digunakan

dalam pembuatan aplikasi ini adalah VISUAL BASIC 6.0. Algoritma yang sudah

dirancang lalu diaplikasikan pada syntax visual basic, kemudian di uji cobakan

dengan membandingkan antara hasil perhitungan manual dengan hasil dari output

program aplikasi ini, sehingga terdapat kesesuaian hasil yang sama dan valid.

Dengan adanya aplikasi untuk menyelesaikan permasalahan matematika,

khususnya persamaan diferensial parsial, maka diharapkan pengguna aplikasi ini

dapat menggunakannya dalam menyelesaikan persoalan persamaan diferensial

parsial dengan lebih cepat, mudah, dan akurat karena menggunakan aplikasi yang

didesain praktis. Para pengguna aplikasi inipun diharapkan dapat mengerti juga cara

membuat program ini karena syntax dari program ini bisa dilihat dalam VISUAL

BASIC 6.0. Adapun aplikasi ini dapat dijadikan pembanding untuk mengalibrasi

(calibrate)/adjustment hasil perhitungan manual dengan perhitungan hasil operasi

program dari aplikasi ini.

PERS.DIFERENSIAL PARSIAL ORDE 2 MATEMATIKA II 1

B. RUMUSAN MASALAH

1. Apakah para pengguna dapat mengerti cara membuat program ini dan sistem

kerja program ini dengan melihat informasi syntax/list program yang tersedia?

2. Apakah penyajian dari aplikasi ini sudah memudahkan pengguna?

3. Apakah aplikasi ini sudah bisa membantu menyelesaikan persoalan matematika

khususnya persamaan diferensial parsial orde 2 ?

4. Apakah aplikasi ini dapat dijadikan acuan tetap atau hanya sebatas media

pembanding antara perhitungan manual dengan perhitungan program?

C. TUJUAN

1. Dapat mengerti pembuatan program sehingga menjadi suatu aplikasi dengan

bantuan software VISUAL BASIC 6.0, dari mulai perancangan algoritma

sampai mengonversinya menjadi suatu syntax sehingga program dapat

dijalankan dan berfungsi dengan baik.

2. Menyajikan aplikasi persamaan diferensial parsial orde 2 dengan penggunaan

yang mudah.

3. Membantu menyelesaikan persoalan persamaan diferensial parsial orde 2 dengan

cara praktis dan cepat dengan bantuan aplikasi yang dibuat dengan software

VISUAL BASIC 6.0.

4. Sebagai acuan tetap pembantu perhitungan atau sebagai media pembanding

antara hasil perhitungan manual dengan output perhitungan program komputer.

5. Dapat memahami konsep dan prosedur diferensial parsial orde dua untuk fungsi

dua variabel atau lebih


BAB II

PEMBAHASAN

A. DEFINISI PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL

Persamaan diferensial parsial (PDP) adalah persamaan diferensial di mana

fungsi yang tidak diketahui adalah fungsi dari banyak variabel bebas, dan

persamaan tersebut juga melibatkan turunan parsial.

Persamaan diferensial parsial adalah persamaan yang di dalamnya terdapat suku-

suku diferensial parsial, yang dalam bentuk matematika diartikan sebagai suatu

hubungan yang mengaitkan suatu fungsi yang tidak diketahui, yang merupakan

fungsi dari beberapa variabel bebas, dengan turunan-turunannya melalui variabel-

variabel yang dimaksud. Lambang ∂ adalah lambang khas dalam matematika

dan disebut tanda turunan parsial.

Persamaan diferensial parsial juga merupakan persamaan yang memuat satu atau

lebih turunan parsial dengan dua variabel independen x dan y .

z=f (x , y )

Karena x dan y independen maka :

(i) x berubah-ubah sedangkan y tertentu.

(ii) y berubah-ubah sedangkan x tertentu.

Diferensial parsial terhadap variabel x

Jika x berubah-ubah dan y tertentu, maka z merupakan fungsi x.

Diferensial parsial z=f (x , y ) terhadap x adalah:

∂ z∂ x

= ∂∂ x

f ( x , y )=∂ z∂ x

=zx

Diferensial parsial terhadap variabel y


http://id.wikipedia.org/wiki/Turunan_parsial

http://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan_diferensial_parsial

Jika y berubah-ubah dan x tertentu, maka z merupakan fungsi y .

Diferensial parsial z=f (x , y ) terhadap y adalah:

∂ z∂ y

= ∂∂ y

f ( x , y )= ∂ z∂ y

=z y

Dari notasi turunan di atas, maka dapat diketahui turunan dari turunan parsial dari

z=f (x , y ) yaitu :

Untuk mencari zx nilai x berubah – ubah lalu pandang y sebagai konstanta dan

diferensialkan f (x , y ) terhadap x

Untuk mencari z y nilai y berubah – ubah lalu pandang x sebagai konstanta dan

diferensialkan f (x , y ) terhadap y

B. PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL ORDE 2 FUNGSI 2

VARIABEL

Dalam menganalisa suatu fungsi persamaan diferensial parsial orde 2, diperlukan

pemahaman dalam materi persamaan diferensial parsial orde 1, sehingga kita dapat

memahami materi persamaan diferensial parsial orde 2 dengan rumus:

Jika z=f (x , y ) adalah fungsi dengan dua variabel bebas (independen) x dan y ,

maka diferensial parsial orde 2 fungsi z=f (x , y ) adalah:

a. Diferensial kearah x dari Zxatau ∂2 z

∂ x∂ x=∂2 z

∂ x2 =zxx

b. Diferensial kearah ydari Zxatau ∂2 z∂ y∂ x

=z yx

c. Diferensial kearah y dari Z yatau ∂2 z∂ x∂ y

=zxy

d. Diferensial kearah y dari Z yatau∂2 z

∂ y∂ y= ∂2 z

∂ y2 =z yy

Maka,


z=f (x , y )

Orde-1 :∂ z∂ x

=z x∂ z∂ y

=z y

Orde-2 : ∂∂ x ( ∂ z

∂ x )= ∂2 z∂ x∂ x

=zxx∂

∂ x ( ∂ z∂ y )= ∂2 z

∂ x ∂ y=z xy

∂∂ y ( ∂ z

∂ x )= ∂2 z∂ y ∂ x

=z yx ∂∂ y ( ∂ z

∂ y )= ∂2 z∂ y ∂ y

=z yy

C. PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL ORDE 2 FUNGSI 3

VARIABEL

Jika W =f ( x , y , z )adalah fungsi dengan tiga variabel bebas( x , y , z )maka

diferensial parsial orde dua fungsiW =f ( x , y , z ) adalah :

(i) Diferensial w x kearah x atau ∂2 w∂ x2 =W xx

(ii) Diferensial w x kearah y atau ∂2 w∂ y∂ x

=W yx

(iii) Diferensial w x kearah z atau ∂2 w∂ z∂ x

=W zx



(i) Diferensial w y kearah x atau ∂2 w∂ y∂ x

=W yx

(ii) Diferensial w y kearah y atau ∂2 w∂ y2 =W yy

(iii) Diferensial w y kearah z atau ∂2 w∂ z∂ y

=W zy




(i) Diferensial w z kearah x atau ∂2 w∂ x∂ z

=W xz

(ii) Diferensial w y kearah y atau ∂2 w∂ y∂ z

=W yz

(iii) Diferensial w y kearah z atau ∂2 w∂ z2 =W zz

Maka,

W =f ( x , y , z )

Orde-1 : ∂ w∂ x

=W x ∂ w∂ y

=W y∂ w∂ z

=W z

Orde-2 : ∂∂ x ( ∂ w

∂ x )=∂2 w∂ x2 =W xx

∂∂ x ( ∂ w

∂ y )= ∂2 w∂ x∂ y

=W xy

∂∂ x ( ∂ w

∂ z )= ∂2 w∂ x∂ z

=W xz

∂∂ y ( ∂ w

∂ x )= ∂2 w∂ y ∂ x

=W yx

∂∂ y ( ∂ w

∂ y )=∂2 w∂ y2 =W yy

∂∂ y ( ∂ w

∂ z )= ∂2w∂ y ∂ z

=W yz

∂∂ z ( ∂ w

∂ x )= ∂2 w∂ y ∂ x

=W zx


∂∂ z ( ∂ w

∂ y )= ∂2 w∂ z∂ y

=W zy

∂∂ z ( ∂ w

∂ z )=∂2 w∂ z2 =W zz

D. PENERAPAN PD Parsial Orde-2

Jika I=VR

dan V=250Volt , R=50 Ohm carilah perubahan I yang terjadi

akibat kenaikanV sebesar 1 Volt dan kenaikan R sebesar 0,5 Ohm!

Jawab :

I=f (V , R ) → perubahan I=δI= ∂ I∂V

δV + ∂ I∂ R

δ

∂ I∂ V

= IR

dan ∂ I∂ R

=−V

R2 sehingga δI= IR

δV + V

R2δR

Untuk R=50O hmdan V=250Volt , δV =1 Volt danδR=0,5O hm

Jadi : δI= 150

(1 )− 2502500

(0,5 )

δI= 150

− 120

δI=−0,03 Ampere

Artinya I turun sebesar0,03 Ampere

E. CONTOH SOAL

Aljabar

- Tentukan persamaan differensial orde 2 dari fungsi aljabar dua variable

berikut:


Z=3 x2+4 xy−5 y2

Orde 1 :

Zx=6 x+4 y Zy=4 x−10 y

Orde 2 :

Zxx=6 Zxy=4

Zyx=4 Zyy=−10

- Tentukan persamaan differnsial orde 2 fungsi aljabar tiga variable berikut :

W =4 x2+3 y2+5 z2

Orde 1 :

Wx=8 x Wy=6 y Wz=10 z

Wx=8 x Wy=6 y Wz=10 z

Orde 2:

Wx x=8 W x y=0 W x z=0

W y x=0 W y y=6 W y z=0

Wx=0 Wy=0 Wz=10

Eksponensial

- Tentukan persamaan differensial orde 2 dari fungsi eksponensial

Z=e2x+ y

Orde 1:

Zx=2. e2 x+ y Zy=e2 x+ y

Orde 2:


Zx x=4 . e2 x+ y Zy x=2.e2 x+ y

Zx y=2. e2 x+ y Zy=e2 x+ y

- Tentukan persamaan differensial orde 2 dari fungsi eksponensial berikut:

W =e2 x+3 y+4 z

Orde 1:

Wx=2.e2x +3 y+4 z Wy=3 . e2 x+3 y+4 z Wz=4 . e2x+3 y +4 z

Wx=2e2 x+3 y+4 z Wy=3 e2 x+3 y+4 z Wz=4e2 x +3 y+4 z

Orde 2 :

W x x=4 e2 x +3 y+4 z W x y=6 e2x+3 y +4 z W x z=8 e2 x+3 y+4 z

W y x=6 e2x+3 y +4 z W y y=9e2 x+3 y+4 z W y z=12 e2 x+3 y+4 z

W z x=8 e2 x+3 y+4 z W z y=12 e2 x+3 y+4 z W z z=16 e2 x+3 y+4 z

Trigonometri

- Tentukan persamaan differensial orde 2 berikut:

Z=cos2 xy

Orde 1:

Z x=−2 sin 2 xy Z y=−2sin 2 xy

Orde 2:

Z xx=−4 y2 2 xy Z xy=−2sin 2 xy−4 xy cos2 xy

Z yy=−4 x2 cos2 xy Z yx=−2sin 2 xy−4 xy cos2 xy

- Tentukan persamaan differensial orde 2 berikut:

W =sin(2 x+3 y+4 z )


Orde 1:

W x=2cos (2x+3 y+4 z)

W y=3 cos (2x+3 y+4 z )

W z=4cos (2x+3 y+4 z)

Orde 2:

Wx x=−6 sin(2 x+3 y+4 z)

Wy x=−9sin (2x+3 y+4 z )

W z x=−12sin (2 x+3 y+4 z)

Wxx=−4sin (2 x+3 y+4 z)

Wyx=−6sin (2 x+3 y+4 z )

W zx=−8sin(2 x+3 y+4 z)

Wxx=−8sin(2 x+3 y+4 z )

Wyx=−12 sin (2x+3 y+4 z )

W zx=−16 sin(2 x+3 y+4 z)

F. LATIHAN SOAL

Aljabar

- Tentukan persamaan differensia orde 2 fungsi berikut:

Eksponensial

Trigonometri

BAB III

LAMPIRAN


A. ALGORITMA PROGRAM

B. FLOWCHART PROGRAM

C. TAMPILAN PROGRAM

D.

E. LIST PROGRAM

FORM Pilihan

Private Sub

Command1_Click()

Pilihan.Hide

Form1.Show

End Sub

Private Sub

Contoh_Click()

If Combo1 = "ALJABAR"

Then

AljabarC.Show

Pilihan.Hide

End If

If Combo1 =

"TRIGONOMETRI" Then

TrigonometriC.Show

Pilihan.Hide

End If

If Combo1 =

"EKSPONENSIAL" Then

exponensialC.Show

Pilihan.Hide

End If

End Sub

Private Sub Soal_Click()

If Combo1 = "ALJABAR"

Then

AljabarL.Show

Pilihan.Hide

End If

If Combo1 =

"TRIGONOMETRI" Then

TrigonoL.Show

Pilihan.Hide

End If

If Combo1 =

"EKSPONENSIAL" Then

EkspoL.Show

Pilihan.Hide

End If

End Sub


FORM AljabarC

Private Sub

Command1_Click()

Label4.Visible = True






Label10.Visible = True 1








End Sub

Private Sub

Command2_Click()

AljabarC.Hide

Pilihan.Show

End Sub

FORM TrigonometriC

Private Sub

Command1_Click()

















End Sub

Private Sub

Command4_Click()

TrigonometriC.Hide

Pilihan.Show

End Sub

FORM EksponensialC

Private Sub

Command1_Click()






















End Sub

Private Sub

Command2_Click()

exponensialC.Hide

Pilihan.Show

End Sub

FORM AljabarL

Private Sub

Command1_Click()

If Text1 = "" Then

Ngisi.Show

End If

If Text2 = "" Then

Ngisi.Show

End If

If Text3 = "" Then

Ngisi.Show

End If

If Text4 = "" Then

Ngisi.Show

End If

If Combo1 = "" Then

Ngisi.Show

End If

Label5 = Text1 * Text3

Label6 = Text3 - 1

Label7 = Combo1

Label8 = Text2

Label9 = Text4


Label14 = Text4 - 1

If Combo1 = "+" Then

Label13.Visible = False




End If

If Combo1 = "-" Then

Label13 = Combo1


Label28 = Combo1


Label37 = Combo1


Label33 = Combo1



End If

Label18 = Label5 * Label6

Label19 = Label6 - 1

Label20 = Combo1

Label23 = Label18

Label24 = Label19

Label27 = Label16

Label26 = Label14

Label32 = Label16

Label33 = Combo1

Label34 = Label14

Label37 = Combo1

Label38 = Label16 *

Label14

Label39 = Label14 - 1



































End Sub

Private Sub

Command2_Click()

Text1 = ""

Text2 = ""

Text3 = ""

Text4 = ""

Combo1 = ""








































End Sub

Private Sub

Command3_Click()

AljabarL.Hide

Pilihan.Show

End Sub

Private Sub

Command4_Click()

MsgBox " 1. Masukan data

angka pada kotak isian

dan pilih bentuk

pengoprasian. " & vbCrLf

& " 2. Setelah terisi

lengkap dan telah memilih

simbol operasi tekan

HASIL. " & vbCrLf & " 3.

RESET jika ingin

mengulangi latihan. " &

vbCrLf & " 4. Pilih

kembali jika ingin

kemabli ke Menu Pilihan.

"

End Sub

FORM TrigonoL

Private Sub

Command2_Click()

If Combo1 = "" Then

Ngisi.Show

End If


If Text1 = "" Then

Ngisi.Show

End If

If Text2 = "" Then

Ngisi.Show

End If

Label3 = Text1

Label4 = Combo1

Label6 = Text2


If Combo1 = "Cos" Then

Label8 = "Sin"

Label31 = "Cos"




End If

If Combo1 = "Sin" Then

Label8 = "Cos"

Label31 = "Sin"




End If

Label11 = Text2

Label18 = Label9

Label19 = Label8

Label20 = Label11

Label24 = Label18

Label25 = Label19

Label26 = Label6

Label30 = Label9 *

Label11

Label32 = Label11
































End Sub

Private Sub

Command3_Click()

Text1 = ""

Text2 = ""

Combo1 = ""


































End Sub

Private Sub

Command4_Click()

TrigonoL.Hide

Pilihan.Show

End Sub

Private Sub

Command5_Click()



dan pilih bentuk






RESET jika ingin


vbCrLf & " 4. Pilih

kembali jika ingin


"


End Sub

FORM EkspoL

Private Sub

Command1_Click()

If Text1 = "" Then

Ngisi.Show

End If

If Text2 = "" Then

Ngisi.Show

End If

If Combo1 = "" Then

Ngisi.Show

End If

Label4 = Text1

Label6 = Text1

Label7 = Combo1

Label8 = Text2

If Combo1 = "+" Then




End If

If Combo1 = "-" Then




End If

Label13 = Text2

Label15 = Text1

Label16 = Combo1

Label17 = Text2


Label22 = Text1

Label23 = Combo1

Label24 = Text2

Label28 = Label13 *

Label15

Label30 = Text1

Label31 = Combo1

Label32 = Text2


Label37 = Text1

Label38 = Combo1

Label39 = Text2

Label43 = Label13 *

Label17

Label45 = Text1

Label46 = Combo1

Label47 = Text2














































End Sub

Private Sub

Command2_Click()

Text1 = ""

Text2 = ""

Combo1 = ""

















































End Sub

Private Sub

Command3_Click()

Pilihan.Show

EkspoL.Hide

End Sub

Private Sub

Command4_Click()



dan pilih bentuk






RESET jika ingin


vbCrLf & " 4. Pilih

kembali jika ingin


"

End Sub

FORM Ngisi

Private Sub

Command1_Click()

Ngisi.Hide

End Sub

FORM Ngisi2

Private Sub

Command1_Click()

Ngisi2.Hide

End Sub

F. HASIL PROGRAM


BAB IV

PENUTUP

A. KESIMPULAN

Dalam menganalisa suatu fungsi persamaan diferensial parsial orde 2, diperlukan

pemahaman dalam materi persamaan diferensial parsial orde 1, sehingga kita dapat

memahami materi persamaan diferensial parsial orde 2dengan rumus:

Jika z=f (x , y ) adalah fungsi dengan dua variabel bebas (independen) x dan y ,

maka diferensial parsial orde 2 fungsi z=f (x , y ) adalah:

z=f (x , y )

Orde-1 :∂ z∂ x

=z x∂ z∂ y

=z y

Orde-2 : ∂∂ x ( ∂ z

∂ x )= ∂2 z∂ x∂ x

=zxx∂

∂ x ( ∂ z∂ y )= ∂2 z

∂ x ∂ y=z xy

∂∂ y ( ∂ z

∂ x )= ∂2 z∂ y ∂ x

=z yx∂

∂ y ( ∂ z∂ y )= ∂2 z

∂ y ∂ y=z yy



W =f ( x , y , z )

Orde-1 : ∂ w∂ x

=W x ∂ w∂ y

=W y∂ w∂ z

=W z


Orde-2 : ∂∂ x ( ∂ w

∂ x )=∂2 w∂ x2 =W xx

∂∂ x ( ∂ w

∂ y )= ∂2 w∂ x∂ y

=W xy

∂∂ x ( ∂ w

∂ z )= ∂2 w∂ x∂ z

=W xz

∂∂ y ( ∂ w

∂ x )= ∂2 w∂ y ∂ x

=W yx

∂∂ y ( ∂ w

∂ y )=∂2 w∂ y2 =W yy

∂∂ y ( ∂ w

∂ z )= ∂2w∂ y ∂ z

=W yz

∂∂ z ( ∂ w

∂ x )= ∂2 w∂ y ∂ x

=W zx

∂∂ z ( ∂ w

∂ y )= ∂2 w∂ z∂ y

=W zy

∂∂ z ( ∂ w

∂ z )=∂2 w∂ z2 =W zz

B.


C. HARAPAN DAN SARAN

Harapan kami selaku penyusun makalah mengenai persamaan diferensial

parsial orde 2 ini adalah semoga makalah ini dapat bermanfaat khususnya

untuk kami selaku penyusun dan untuk pembaca umumnya. Adapun dalam

pengerjaan makalah proyek ini dan sebagai referensi kami menggunakan

Software VISUAL BASIC Versi 6.0 dan buku Matematika Teknik Edisi

Kelima Jilid 1, serta sumber - sumber lain. Makalah proyek ini kami susun

secara bertahap mulai dari pengenalan teori, contoh-contoh latihan soal baik

itu aljabar, triginometri, maupun eksponensial, list program, dan hasil

program, sehingga makalah proyek ini dapat memermudah pembaca dalam

mengikuti panduan penggunaan dari program tersebut. Kami menyadari

bahwa dalam penyusunan makalah ini masih banyak kekurangan oleh karena

itu kami berharap pembaca dapat menyapaikan kritik dan sarannya demi

tersusunnya makalah yang sempurna dikemudian hari.


DAFTAR PUSTAKA

Stroud, K.A. (2002). Matematika Teknik Edisi Kelima Jilid 1.

Jakarta :Erlangga.

Santoso, Widiarti. 1988. Persamaan Diferensial Biasa Dengan Penerapan

Modern. Jakarta : Eralangga.

Suderajat, Sueb. 1980. Persamaan Diferensial Materi Pokok Modul 4 – 5.

Jakarta Karunia UT.

Hardiana, heris. 2001. Persamaan Diferensial. Bandung : CV. Pustaka Setia.


makalah orde 2

Documents