pers. dif. orde satu

23
Persamaan Diferensial Orde Satu BAB I PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU 1. Pendahuluan Persamaan diferensial menyatakan hubungan dinanamik antara variabel bebas dan variabel tak bebas, maksudnya hubungan tersebut memuat besaran besaran yang berubah, dan karena itu persamaan persamaan diferensial sering muncul dalam persoalan persoalan teknik. Orde suatu persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi yang terdapat dalam persamaan diferensial tersebut. Contoh. Orde satu 3t dy dt 4y 2 =0 Orde dua : 5 ty d 2 y dt 2 6 dy dt y sin t =0 Orde tiga d 3 y dt 3 5y 2= 0       dst. Setelah mempelajari persamaan diferensial orde satu maka diharapkan dapat : 1. Dapat menyelesaikan persamaan diferensial orde satu dengan bermacam macam metode. 2. Dapat menyelesaikan keadaan transien rangkaian RL atau rangkaian RC.  1

Upload: padlul-baturglem

Post on 24-Sep-2014

234 views

Category:

Documents


4 download

TRANSCRIPT

Page 1: Pers. Dif. Orde Satu

Persamaan Diferensial Orde Satu

BAB I

PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU

1. Pendahuluan

Persamaan diferensial  menyatakan hubungan dinanamik antara  variabel  bebas  dan 

variabel tak bebas, maksudnya hubungan tersebut memuat besaran besaran yang berubah, 

dan   karena   itu   persamaan   persamaan   diferensial   sering   muncul   dalam  persoalan 

persoalan teknik.

Orde   suatu  persamaan  diferensial  ditentukan  oleh   turunan   tertinggi  yang   terdapat 

dalam persamaan diferensial tersebut.

Contoh.

Orde satu  :  3tdydt

−4y2=0

Orde dua : 5 tyd2 y

dt2 −6dydt

y sin t =0

Orde tiga : d 3 y

dt3 −5y2=0       dst.

Setelah mempelajari persamaan diferensial orde satu maka diharapkan dapat :

1. Dapat   menyelesaikan   persamaan   diferensial   orde   satu   dengan   bermacam   macam 

metode.

2. Dapat menyelesaikan keadaan transien rangkaian RL atau rangkaian RC.  

1

Page 2: Pers. Dif. Orde Satu

Persamaan Diferensial Orde Satu

2 Pemecahan Persamaan Diferensial Orde Satu 

2.1. Metode Integrasi Langsung.

Jika   persamaan   dapat   disusun   dalam   bentuk   :  dydt

= f t ,   maka   persamaan   dapat 

diselesaikan dengan metode integrasi sederhana.

Contoh 1.

   2tdydt

−2t2−8=0      … … … … … … … … … … … … … …. … … … … … … (1)

⇒dydt

=t4t

          ⇒∫ dy=∫t4t dt            

⇒ y=12

t24 ln tC   … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .(2)

Persamaan (2) disebut penyeselaian umum bagi persamaan diferensial (1). Jika harga y 

diketahui  pada harga  t   tertentu   maka harga C dapat  ditentukan dan penyeselaiannya 

disebut penyelesaian khusus. 

Contoh 2.

  e t dydt

4 e2t−5=0      pada t = 0 , y = 0 … … … … … … … … … … … … … ... ...(3)

⇒dydt

=−4 et5e−t        ⇒∫ dy=∫ −4 et

5e−t dt

⇒ y=−4 e t−5 e−t

C  … … … … …. … … … … … … … … … … … … … … ... (4)

dengan memasukkan harga t dan y kedalam persamaan (4) maka Harga C diperoleh

⇒ y=−4 e t−5 e−t

9   … … … … … … …. … … … … … … … … … … … … ... (5)

Persamaan (5) adalah penyelesaian khusus dari persamaan diferensial (3).

Sebagai bahan latihan selesaikanlah :

1. e t dydt

−sin 3t 4t3 . e3t5=0

2. cos 2t dydt

5 sin 2t −5t 3=0

3. 5tdydt

−5t2 dydt

5=0

2

Page 3: Pers. Dif. Orde Satu

Persamaan Diferensial Orde Satu

2.2 Metode Pemisahan Variabel

Metode Integrasi langsung akan gagal jika diterapkan pada persamaan diferensial 

yang berbentuk  dydt

= f t , y , variabel   y yang berada pada ruas kanan mengakibatkan 

integrasi langsung tidak dapat diterapkan. 

Penyelesaian   persamaan   diferensial   berbentuk  dydt

= f t , y   adalah   dengan 

memisah   kan   variabel   t   dan   variabel   y   sehingga   persamaan   dapat   berbentuk 

dydt

= f t . F y   yaitu suatu persamaan yang ruas kanannya dapat dinyatakan sebagai 

perkalian fungsi t dan fungsi y.

Contoh  3.

dydt

=1t2y2 yt   .. … … … … … … … … … … … … … … … … … …. … …(6)

⇒dydt

=1 t 12y         ⇒dy

12y =1 t dt         ⇒∫ 112y dy=∫ 1t dt

⇒12

ln 2y1 =t12

t2C    … … … … … … … … … … … … … … … … … … (7)

Contoh 4.

dydt

=3t2

2y   dengan t = 0, y = 4   … … … … … … … … … … … … … … … … … .(8)

⇒2y . dy=3t2 . dt           ⇒∫ 2y. dy=∫ 3t2 dt

y2=t3

C   dengan memasukkan harga t dan y diperoleh harga C

y2=t 3

16   … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ... .(9)

Contoh 5.

dydt

=1y2t

   … … … … … … … … … … … … … … … … …  … … … … … …(10)

⇒∫ 11y dy=∫ 1

2t dt           ⇒ ln 1y = ln 2 t ln C

y=C 2t −1   … .. … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ... .(11)

3

Page 4: Pers. Dif. Orde Satu

Persamaan Diferensial Orde Satu

Sebagai bahan latihan selesaikanlah persamaan diferensial dibawah ini 

1. 2y2 tan t dydt

=42y2sec2 t

2.dydt

=1tsin 5t

3.dydt

=yty2t2

4.dydt

=1

t2 y−y

5.sin t 1 y

dydt

=2 cos t

2.3.  Metode Persamaan Homogen – dengan Substitusi  y = vt

Jika suatu persamaan diferensial tidak dapat dipisahkan antara faktor y disebelah kiri dan 

faktor t disebelah kanan maka dapat dilakukan dengan cara substitusi (y = vt).

Kunci utama untuk menggunakan metode substitusi y = vt  adalah persamaan diferensial 

tersebut haruslah homogen. Persamaan diferensial dikatakan homogen jika pangkat t dan 

pangkat y yang terlibat dalam masing masing suku  sama derajatnya.

Contoh  6.

dydt

=3ty

t    … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ...(12)

dengan menggunakan substitusi y = vt kedalam persamaan (12)

y = vt     ⇒dydt

=tdvdt

vdtdt

     

 dydt

=tdvdt

v      … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..(13)

persamaan (12) dapat ditulis menjadi 

⇒tdvdt

v=3tvt

t       ⇒t

dvdt

=3v−v      ⇒dvdt

=3t

           v=3C ln t

v=C ln t 3   … … … … … … … …. …. … …. … … …. … … … … … … … … (14)

4

Page 5: Pers. Dif. Orde Satu

Persamaan Diferensial Orde Satu

karena  v=yt

  maka persamaan (14) menjadi 

y=C . t ln t 3       … … … … …   … … … … … …. … … … … … … … … … …(15)

Contoh 7.

Selesaikanlah persamaan diferensial derajat dua dibawah ini 

dydt

=−yty2

t2 yt

  … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .. … ..(16)

⇒ vtdvdt

=− v . t t v . t

2

t2v .t t

         ⇒ vtdvdt

=−v 1v

1v

⇒tdvdt

=−2v        ⇒ ln v =C ln 1t2

v=C

t2     … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …. … … ... (17)

dengan memasukkan harga  v=yt

 kepersamaan (17) maka penyelesaian pers. (16)

  y = C/t … … … … … … … … … … … …. …. …. … … …. …. … …. … … ….  (18)

Sebagai bahan latihan selesaikanlah  persamaan diferensial berikut :

1. y−t dydt

= t2y

2. 3t2 dydt

= t23y2

3. 2t2yt

dydt

= yt−y2

4. 4t3y3

dydt

=ty2

5

Page 6: Pers. Dif. Orde Satu

Persamaan Diferensial Orde Satu

2.4. Persamaan Diferensial Exact.

Suatu persamaan diferensial berbentuk :

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0

Exact jika memenuhi persyaratan :  ∂M∂ y

=∂N∂ x

Dikatakan Exact karena ruas kiri merupakan total atau dierensial Exact :

du=∂ u∂ x

. dx∂ u∂ y

. dy

a .∂u∂ x

=M

b .∂ u∂ y

= N

Jika persamaan persamaan Exact, maka penyelesaiannya :  u=∫M . dx k y . Harga 

k(y) diperoleh dari ∂u∂ y

 untuk memperoleh dkdy

, kemudian mengintegralkan, atau : 

u=∫ N . dy l x .

Harga l(x) diperoleh dari ∂u∂ x

 untuk memperoleh dldx

, kemudian mengintegralkan.

Contoh.

selesaikanlah : 

2x.Sin(3y).dx  +  (3x2.Cos(3y) + 2y).dy = 0

 Jawab.

M =  2x.Sin(3y)                      N =  (3x2.Cos(3y) + 2y)

∂M∂ y

=6x . Cos3y ∂N∂ x

=6x .Cos 3y

∂M∂ y

=∂N∂ x

⇒ Exact

maka :  

u=∫M . dx k y        

u=∫ 2x . Sin 3y .dx k y

⇒ x 2 . Sin 3y k y

6

Page 7: Pers. Dif. Orde Satu

Persamaan Diferensial Orde Satu

∂u∂ y

=3x2 .Cos 3y ddy

. k y =3x2 . Cos 3y 2y

ddy

. k y =2y                ⇒ k y =y2C

maka penyelesaiaannya :

  u = x2 .Sin(3y) + y2 + C

Sebagai bahan latihan dirumah, jika persamaan diferensial berikut Exact, selesaikanlah :

1. 2.Sin(2x).Sinh(y).dx  =  Cos(2x).Cosh(y).dy.

2. 4x.dx + 9y.dy = 0    y(3) = 0.

3. (y + 3)dx  +  (x­2)dy = 0    y(1) = ­7

2.5.  Metode Faktor Integral – Persamaan diferensial linear.

Persamaan diferensial yang berbentuk :

      dydt

Py=Q     … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ...  (19)

                 dengan P dan Q adalah fungsi dari t atau merupakan suatu konstanta. 

Persamaan (19) disebut persamaan diferensial linear orde satu. Penyelesaian persamaan 

(19) adalah dengan menggunakan faktor integral yaitu mengalikan kedua ruas persamaan 

(19) dengan faktor integral. Faktor Integral persamaan (19) adalah berbentuk  e∫ P . dx   .

Contoh 8.

dydt

−2y=t   … … … … … … …. …. … … …. … … … … … … … … … .. ..  … (20)

dengan membandingkan persamaan (19) dan persamaan (20) maka didapat :

P = ­2 dan Q = t 

Faktor integral :  e∫−2 dt      =e−2t

Kedua ruas persamaan (20) dikalikan dengan faktor integral   =e−2t

7

Page 8: Pers. Dif. Orde Satu

Persamaan Diferensial Orde Satu

⇒ e−2t dydt

−2y .e−2t=t . e−2t        ⇒

ddt

y . e−2t =t . e−2t

y . e−2t=∫ t . e−2t dt   … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …. .(21)

ruas kanan persamaan (21) dihitung dengan menggunakan integral perbagian.

⇒ y . e−2t=−e−2t

2 t12 C

y=12 t

12 C . e2t   … … … … … … … … … … … … … … … … …. … … ...(22)

Penyederhanaan berikut akan sangat menolong dalam menyelesaikan persamaan 

diferensial dengan metode faktor integral 

Misal   y=e ln T      

ln y= lnT         y=T

ini menunjukkan bahwa  eln(fungsi) = fungsi 

maka : eln(x)  = x

          eln(sin(x)) = sin(x)

         e ln x2 =x2

       e2 ln sin x =e ln sin2

x =sin2 x

Contoh 9.

2t2 dydt

2 yt=t3

  … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..(23)

⇒dydt

yt=

t2     … … … … … … … … … …. … … …. … … … … … … … ….. (24)

Faktor integral  e∫

1t

dt          ⇒ eln t     t

Kedua ruas persamaan (24) dikalikan dengan faktor integral t 

⇒tdydt

y=t2

2           ⇒

ddt

yt =t2

2          ⇒ yt=∫

t2

2dt

8

Page 9: Pers. Dif. Orde Satu

Persamaan Diferensial Orde Satu

y=16

t2

Ct

  … … … … … … … … … … … … … … … … … …. … … … … (25)

sebagai bahan latihan kerjakanlah persamaan diferensial berikut 

1.dydt

3t2 y=3e5t

2. 5tdydt

5y=t2sin 5t

3. cos 2t dydt

sin 2t y=5 cos2t

4. 2t−3 dydt

− y=2t−3 3

2.5 Metode Persamaan Bernoulli.

Ide dasar metode persamaan Bernoulli diambil dari metode Faktor Integrasi. Bentuk 

umum persamaan Bernoulli :  dydt

Py=Qyn  dengan P dan Q sama seperti pada metode 

Faktor Integrasi yaitu dapat berupa konstanta atau fungsi t.

Penyelesaian   persamaan   Bernoulli   adalah   dengan   mengubahnya   menjadi   bentuk 

metode Faktor Integrasi yaitu  dydt

Py=Q . Langkah langkah yang diambil untuk untuk 

mengubah Persamaan Bernoulli menjadi bentuk Faktor Integrasi adalah :

1. Membagi kedua ruas persamaan Bernoulli dengan yn , sehingga menghasilkan :

y−n dydt

Py1−n=Q   … … … … … … … … … … … … … … … .. (26)

2. Substitusi persamaan (26) dengan z = y1­n  sehingga dzdt

=1−n y−n dydt

.

3. Persamaan (26) dikalikan dengan (1 – n) sehingga persamaan (26) menjadi :

9

Page 10: Pers. Dif. Orde Satu

Persamaan Diferensial Orde Satu

1−n y−n dydt

1−n Py1−n=1−n Q   … … … … … … …  … (27)

Contoh  10.

t3 dydt

3t2 y=2t4 y2

    dydt

3t

y=2 ty2

 Membagi kedua ruas dengan  yn dalam hal ini n = 2    ⇒ y2

y−2 dydt

3t

y−1=2t    … … … … … … … … … … … … … … … … … . (28)

Substitusi z = y­1  dan dzdt

=−y−2 dydt

Persamaan (28) dikalikan dengan (1 – n) = –1 

−y−2 dydt

−3t

y−1=−2t      

⇒dzdt

−3t

z=2t    … … … … … … … … … … … … … … … … … …(29)

Faktor integral dari persamaan (29)

e∫−

3t

dt=e−3 ln t

=1t3

⇒1t3

dzdt

−z .3t−4=2t . t−3

           ⇒ddt

z . t−3 =2∫ t .−2dt

⇒ z .t−3=−2

tC

z=−2t2Ct 3    … … … … … … … … … … … … … … …. … … … … … ..(30)

karena   z=1y

     

  y=1

−2t2Ct 3

Kerjakanlah persamaan diferensial berikut sebagai bahan latihan.

10

Page 11: Pers. Dif. Orde Satu

Persamaan Diferensial Orde Satu

1. 2t2 y−t3 dydt

=4y3 sin2t

2.dydt

4y=y4 e3t

3. 2y−tdydt

=2t t4 y2

4.dydt

−2y sin t =2y3 sin2 t

5.dydt

y=y3

3.  Orthogonal Trayektori

Jika suatu kurva (f) telah diketahui, maka terkadang diperlukan untuk mengetahui lintasan 

kurva lain (y) yang memotong kurva f  secara tegak lurus. Kurva f(x, y, c) = 0 disajikan 

dalam bentuk persamaan diferensial y' = f(x, y). 

Lintasan orthogonal kurva y pada kurva f :

y.=−

1f x , y

Contoh 11.

Tentukanlah trayektori orthogonal dari kurva y = cx2.

Jawab.

orthogonal trayektori :

y.=−

12y

x

=−x

2y

11

Page 12: Pers. Dif. Orde Satu

Persamaan Diferensial Orde Satu

⇒dydx

=−x

2y                 ⇒2y . dy=−x . dx

y2=

12

x2c

y2

12

x2c=0 ⇒ ellipse

Contoh 12.

Sebuah konduktor sepanjang sumbu­y menghasilkan medan magnet  x2 + y2 = c. Silinder 

concentris  yang terbentuk menunjukkan medan magnet  dengan permukaan eqipotensial 

yang sama. Tentukanlah gaya pada medan magnet (Gaya listrik merupakan   trayektori 

orthogonal).

Jawab.

Medan magnet  x2 + y2 = c.   ( merupakan linkaran concentris atau eqipotensial)

2x + 2yy' = 0

y' = ­ x/y

orthogal trayektori atau gaya listrik pada medan magnet

y' = y/x.

         dydx

=yx

⇒dyy=

dxx

y = kx   

12

­3 ­2 ­1 0 1 2 3­3

­2

­1

0

1

2

3

Page 13: Pers. Dif. Orde Satu

Persamaan Diferensial Orde Satu

Latihan

Tentukanlah orthigonal trayektori dari kurva berikut.

1.    x22y2

=c

2.  y = cex

4. Penerapan Persamaan Diferensial Orde Satu

4.1  Penerapan Dalam Teknik Elektro

4. Rangkaian RL

Contoh  11.

13

S R

LE

+

­

Gambar 1. Rangkaian RL dengan sumber DC

­1 ­0.5 0 0.5 1­1

01

2­5

0

5

sumbu xsumbu y

sum

bu z

konduktor 

medan magnet 

gaya listrik 

Page 14: Pers. Dif. Orde Satu

Persamaan Diferensial Orde Satu

Pada rangkaian Gambar 1 Switch S menutup pada t = 0, arus pada induktor pada saat 

switch menutup adalah nol. Tentukanalah arus yang mengalir pada induktor dan plotlah 

arus Vs waktu.

Dik. E = 12 V,  R = 1,2 ohm,   L = 250mH.

Penyelesaian 

Persamaan tegagan pada rangkaian gambar 1.

   E=RiLdidt

   … … … … … … … … …. … … … … … … …. …. …. … … ….(31)

⇒didt

RL

i=EL

   … … … … … … …. …. … … … … … … … … … … … … …  (32)

Faktor Integral persamaan (32)

   e∫

RL

dt           ⇒ e

RL

t    … …. … … … … … … … … …. …. … … … … … … … (33)

⇒ eRL

t didt

eRL

t RL

i=EL

eRL

t                      ⇒i . e

RL

t

=EL∫

eRL

t

dt

⇒i=ER1Ce

−RL

t  … … … …. … … … … …. …. … … … … … … … … ... ... . (34)

pada saat t = 0 (switch terbuka) arus sama dengan nol, maka persamaan (34) menjadi

i=ER1−e

−RL

t  … … … … … … … … … … … … … … …. …. … .. … ... ... ... (35)

dengan memasukkan harga untuk E, R dan L maka persamaan (35) menjadi

i=10 1−e−4,8t   

 

14

0 0.5 1 1.50

2

4

6

8

10

12

det ik

Am

pe

re

Gambar 2. Grafik Arus Vs Waktu dari rangkaian gambar 1.

Page 15: Pers. Dif. Orde Satu

Persamaan Diferensial Orde Satu

Contoh 12.

 Gambar 3 memperlihatkan rangkaian RL, pada saat t = 0 switch pada posisi 1 dengan 

arus yang mengalir pada t = 0 adalah nol. Pada saat t = 0,25 detik switch dipindahkan ke 

posisi 2. tentukanlah arus yang mengalir melalui induktor dan plotlah arus Vs Waktu dari 

t = 0 detik sampai t = 1,2 detik.

Dik. E = 12 V,  R1 = 1,2 ohm, R2 = 1,0 ohm, L = 250 mH.

                                                           

Penyelesaian

a. Pada saat t = 0 detik sampai t = 0,25 detik (switch pada posisi 1)

Arus yang mengalir :

15

S

R 1

LE

+

­ R 2

1

2

Gambar 3. Rangkaian contoh 12.

Page 16: Pers. Dif. Orde Satu

Persamaan Diferensial Orde Satu

  i t =E

R11−e

−R1L

t  … … … … … …. … … … … … … … … … … … ... (36)

dengan memasukkan harga E, R1 dan L kedalam persamaan (36)

i t =10 1−e−4,8 t

b. Pada saat t = 0,25 detik sampai t = 1,2 detik.

  0=LdidtRi      dengan R = R1 + R2      ⇒

didt

=−RL

i

dii=−

RL

dt

i t =Ce−

RL

t    … … … … … … … … … … …. … …. … … … … …. … … … ...  (37)

Pada saat switch dipindahkan keposisi 2 arus yang mengalir pada induktor sebesar :

i t =10 1−e−4,8 . 0,25 =6, 99 A

6, 99=Ce−8,8 . 0,25         ⇒C=63 , 0848

dengan memasukkan R = R1 + R2 = 2,2 ohm,  L = 250 mH dan konstanta C = 63,0848

i t =63 , 0848 e−8,8 t     … … … … … …. … … … … … … … … …. … .. … … ... (38)

Grafik arus Vs waktu mulai t = 0 detik sampai t = 1, 2 detik diperlihatkan gambar 4.

16

0 0.2 0 .4 0 .6 0 .8 1 1.20

1

2

3

4

5

6

7

8

Gambar 4. Grafik arus Vs waktu dari contoh soal  12

Page 17: Pers. Dif. Orde Satu

Persamaan Diferensial Orde Satu

Contoh 13.

Pada rangkaian Gambar 5 Switch S menutup pada t = 0, arus pada induktor pada saat 

switch menutup adalah nol. Tentukanalah arus yang mengalir pada induktor dan plotlah 

arus Vs waktu.

Dik. E(t) = 12 Sin(2.π.50.t),    R = 1,2 ohm,   L = 250mH.

Penyelesaian

E=RiLdidt

⇒didt

RL=

AL

Sin 2π ft   … … … … … … … … … … … … … … … … … … .. (39)

d i . eRL

t= AL

. eRL

t

. Sin 2π ft

i .eRL

t=

A. eRL

t

2π fL 2R2

RSin 2π ft −2π fLCos 2π ft C

i . t =A .

2π fL 2R2

RSin 2π ft −2π fLCos 2π ft C . e−R

Lt

  … … … … … … ..(40)

17

S

R

LE (t)

Gambar 5. Rangkaian RL dengan sumber AC

Page 18: Pers. Dif. Orde Satu

Persamaan Diferensial Orde Satu

dengan memasukkan harga harga pada persamaan 40.

i t =0, 0023. Sin 2π50 t −0, 1528. Cos2π 50 t Ce−4,8 t    … … … … … … … .(41)

Pada saat t = 0, arus yang mengalir nol ( I = 0).

i t =0, 0023. Sin 2π50 t −0, 1528. Cos2π 50 t 0, 1528 e−4,8 t … … … … … … (42)

5. Rangkaian RC.

Contoh 14.

Switch S pada gambar 7 menutup pada t = 0, keadaan awal kapasitor Vc = 0, tentukanlah 

tegangan pada kapasitor dan plotlah tegangan terhadap waktu.

E = 12 volt,   R = 2,2 ohm,  C = 220µF .

18

0 0 .0 5 0 .1 0 .1 5 0 .2 0 .2 5 0 .3 0 .3 5 0 .4 0 .4 5 0 .5­0 .1 5

­0 .1

­0 .0 5

0

0 .0 5

0 .1

0 .1 5

0 .2

0 .2 5

0 .3

d e t ik

am

pe

re

Gambar 6. Grafik arus Vs waktu dari rangkaian gambar 5

S R

CE

+

­

Gambar 7. Rangkaian RC dengan sumber DC

Page 19: Pers. Dif. Orde Satu

Persamaan Diferensial Orde Satu

Penyelesaian.

Pada saat switch S menutup persamaan tegangan :

E=Ri1C∫

i . dt    … … … … … … … … … … … … …. … … … … …. … …. (43)

karena  i=dqdt

 maka persamaan (43) menjadi

E=Rdqdt

qC

   … … … … … … … … … … … … … …. … … … … … … … ... (44)

⇒ER=

dqdt

q

R .C         ⇒q . e

tRC

=ER∫

et

RC dt

⇒q=CEke−

tRC    dengan k = konstanta

Karena pada keadaan awal muatan kapasitor adalah nol

q=CE 1−e−

tRC    … … … … … … … … … … … … … … … .. … … … ... ... .(45)

arus yang mangalir pada kapasitor 

i=dqdt

=ER

e−

tRC        … … … … … … … … … … … … … … … … … … ... ... ... (46)

tegangan pada kapasitor 

vc=1C∫

i . dt=−E . e−

tRC

k    dengan k = konstanta,  karena keadaan awal Vc = 0

vc=E 1−e−

tRC   … … … … … … … … … … … … …. … … … … ... ... ... ... ... (47)

190 0 .5 1 1 .5 2 2 .5

x  1 0­3

0

2

4

6

8

1 0

1 2

d e t ik

volt

Gambar 8. Grafik tagangan pada kapasitor dari rangkaian gambar 7

Page 20: Pers. Dif. Orde Satu

Persamaan Diferensial Orde Satu

Contoh 15.

Switch S berada pada posisi 1 ketika t = 0 (Gambar 9) dan dipindahkan keposisi 2 pada t 

= 0,2 detik.  

Jika muatan awal pada kapasitor nol dan R1 = 12 ohm, R2 = 12 ohm, C = 470 µF dan 

catu daya DC sebesar 15 volt, tentukanlah tegangan pada kapasitor dan plotlah tegangan 

terhadap waktu  

Penyelesaian.

Pada t = 0 sampai t = 0,2 detik

E=R1dqdt

qC

   … … … …. … … … … … … … …. … … … … … … ... ... ... ... (48)

Persamaan (48) memberikan 

q=CE 1−e−

tR1C     … … … …. … … .. .. … …. … ….. …. … … … ... ... ... ... ...(49)

20

SR 1

CE

+

­R 2

1

2

Gambar 9. S pada 1 saat t = 0 dan S pada 2 pada t = 0,2 detik 

Page 21: Pers. Dif. Orde Satu

Persamaan Diferensial Orde Satu

vc=E 1−e−

tR1C  … … … … … … … … .. … … … … …. …. … … ... ... ... ... ...  (50)

Pada t = 0,2 detik Switch pada posisi 2

0=R2dqdt

qC

   … … … … .. … …. …. … …. …. … …. … …. … …. ...  ... ... ... ..(50)

persamaan (50) memberikan

q=−ke−

tR2C  … … … … … … … … … … … … … …. … … …. …. … ... ... ... ... (51)

Pada saat S pada posisi 2  kapasitor telah terisi muatan yang diberikan oleh persamaan 

(49) yang merupakan keadaan awal pada posisi 2

q=−1, 77 .1013e−

tR2C

i=dqdt

=1, 77. 1013

R2Ce−

tR2C

vc=1C∫ i . dt=−

1C

1, 77. 1013 .e−

tR2 C   …. …. …. …. …. …. ….. ……. …. …….. ... (52)

21

0 0.05 0.1 0 .15 0.20

2

4

6

8

10

12

14

16

det ik

volt

Gambar 10. Tegangan pada kapasitor dari rangkaian gambar 9

Page 22: Pers. Dif. Orde Satu

Persamaan Diferensial Orde Satu

4.2   Penerapan Persamaan Diferensial Orde Satu dalam Kehidupan

Contoh 16.

Uang sejumlah 250 Juta didepositokan dengan bunga 18% tiap  tahun dan bertambah 

secara kontinu. Berapa jumlah uang setelah setelah 22 tahun.

Penyelesaian.

Misaln y(t)  adalah jumlah uang (modal + bunga) pada saat  t.   laju pertambahan uang 

diberikan oleh :

dydt

=18100

y   … … … …. … … … … … …. … … … … … … … … … … .(51)

⇒ y t =ke8

100t   … … … .. … … … … … … … … … … … … … … … …. … ... .(52)

pada saat awal t = 0 jumlah uang adalah modal sebesar 250 juta, maka k = 2,5.108.

jumlah uang setelah 22 tahun

  ⇒ y 22 =2,5. 108 . e

8100

22 =1. 453 .100 . 000  

22

Page 23: Pers. Dif. Orde Satu

Persamaan Diferensial Orde Satu

Contoh 17.

Bakteri jenis bacil bertambah dengan laju berbanding lurus dengan jumlah bakteri yang 

ada. Jika jumlah bakteri dua kali lipat dari jumlah semula setiap 3 jam. Berapa waktu 

yang diperlukan agar jumlah bakteri menjadi 10 kali lipat dari jumlah semula.

Penyelesaian.

dydt

=ky

⇒ y t =y 0 ekt

karena jumlah bakteri dua kali lipat setiap 3 jam 

⇒2=ek 3         k = 0,231

Waktu yang diperlukan agar jumlah bakteri 10 kali dari jumlah semula.

⇒10=e0,231 t     t = 9,968 jam

23