Matematika Industri I

Matematika Industri I

Determinan

Determinan orde-ketiga

Persamaan simultan dengan tiga bilangan tidak diketahui

Konsistensi suatu set persamaan

Sifat-sifat determinan

Matematika Industri I

•Suatu determinan orde n terdiri dari n2 bilangan yang disebut elemen-elemen yang tersusun dalam n baris dan n kolom, dan dibatasi oleh dua buah garis vertikal.• Huruf = kolom• Subskrip = baris

333

222

111

3

22

11

2

11

cba

cba

cba

D

ba

baD

aD

Orde 1

Orde 2

Orde 3

Matematika Industri I

Determinan

Matematika Industri I

Determinan

• Memecahkan dua persamaan linier simultan:

• Menghasilkan:

• Mempunyai sebuah solusi yang tersedia

1221

1221

1221

1221

baba

daday

baba

dbdbx

1 1 1

2 2 2

0

0

a x b y d

a x b y d

1 2 2 10ab a b

Matematika Industri I

Determinan

• Notasi singkat untuk pernyataan

• Simbol:

• (dievaluasi dengan perkalian silang)

• Disebut determinan orde-kedua (karena determinan ini punya 2 baris dan 2 kolom)

1 2 2 1ab a b

1 1

1 2 2 12 2

a ba b a b

a b

1 1

2 2

a b

a b

1 1

2 2

a b

a b

Matematika Industri I

Determinan

•Sehingga:

•dimana:

1 1 1 1

2 2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

and

b d a d

b d a dx y

a b a b

a b a b

1 11 1 1 1

2 22 2 2 2

1x y

a bb d a d

a bb d a d

Matematika Industri I

Determinan

• Ketiga determinan:

dapat diperoleh dari kedua persamaan sebagai berikut:

1 11 1 1 1

2 22 2 2 2

, and a bb d a d

a bb d a d

1 1 1

2 2 2

0

0

a x b y d

a x b y d

1 1

02 2

1 1

12 2

1 1

22 2

omit the constant terms to form

omit the terms to form

omit the terms to form

a b

a b

b dx

b d

a dy

a d

Matematika Industri I

Determinan

•Persamaan:

•Dapat ditulis sebagai:

1 11 1 1 1

2 22 2 2 2

1x y

a bb d a d

a bb d a d

1 2 0

1x y

Matematika Industri I

Contoh

1 1 1

2 2 2

0

0

a x b y d

a x b y d

1 11 1 1 1

2 22 2 2 2

1x y

a bb d a d

a bb d a d

•Ingat!•Perhatikan persamaan:

3x+2y-5=0

4x+3y-7=0

•a1b2-a2b1=11 1

1 2 2 12 2

a ba b a b

a b

1

1

1

11

yx

yx

Matematika Industri I

Determinan Orde-Ketiga

•Sebuah determinan orde-ketiga punya 3 baris dan 3 kolom.•Setiap elemen determinan dikaitkan dengan

minornya yang diperoleh dengan menghilangkan baris dan kolom yang berisi elemen yang bersangkutan.•Sebagai contoh:

1 1 12 2

2 2 213 3

3 3 3

the minor of is obtained thus

a b cb c

a a b cb c

a b c

Matematika Industri I

Determinan Orde-Ketiga

•Menentukan nilai determinan orde-ketiga•Untuk menguraikan determinan orde-ketiga, kita

dapat menulis masing-masing elemen di sepanjang baris atas, mengalikannya dengan minornya, dan memberi suku-sukunya tanda plus dan minus secara bergantian

1 1 12 2 2 2 2 2

2 2 2 1 1 13 3 3 3 3 3

3 3 3

a b cb c a c a b

a b c a b cb c a c a b

a b c

Matematika Industri I

Determinan Orde-Ketiga

•Menentukan nilai determinan dengan mengekspansi pada sebarang baris dan kolom

Matematika Industri I

Contoh

•Contoh 1

•Contoh 2

3022641275

232

84

234

84

751

842

754

231

3012541242

542

82

743

84

751

842

754

231

Matematika Industri I

Persamaan Simultan Dengan Tiga Bilangan Tidak Diketahui• Persamaan:

• Punya solusi:

• Lebih mudah diingat sebagai:

1 2 3 0

1x y z

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

0

0

0

a x b y c z d

a x b y c z d

a x b y c z d

1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 33 3 3 3 3 3

1x y z

a b d a b cb c d a c d

a b d a b cb c d a c d

a b d a b cb c d a c d

Matematika Industri I

Contoh

•Cari nilai x dari persamaan:

2x+3y-z-4=0

3x+y+2z-13=0

x+2y-5z+11=0

2

28

1

56

521

213

132

1

1152

1321

413

1

0321

x

x

x

zyx

Matematika Industri I

Konsistensi Suatu Set Persamaan

Matematika Industri I

Konsistensi Suatu Set Persamaan

•Tiga persamaan simultan dengan dua bilangan tidak diketahui akan konsisten jika determinan koefisiennya adalah nol

1 1 1

2 2 2

3 3 3

0

0

0

a x b y d

a x b y d

a x b y d

1 1 1

2 2 2

3 3 3

0

a b d

a b d

a b d

Matematika Industri I

Konsistensi Suatu Set Persamaan

Matematika Industri I

Sifat-sifat Determinan

1. Nilai suatu determinan tetaptidak berubah jika barisnya diubah menjadi kolom dan kolom menjadi baris

2. Jika dua baris (atau kolom) disaling-tukarkan, tanda determinan tersebut berubah

1 2 1 1

1 2 2 2

a a a b

b b a b

2 2 1 1

1 1 2 2

a b a b

a b a b

Matematika Industri I

Sifat-sifat Determinan

3. Jika dua baris (atau kolom) identik, nilai determinan tersebut sama dengan nol

4. Jika elemen sebarang satu baris (atau kolom) semuanya dikalikan dengan faktor persekutuan, determinannya dikalikan dengan faktor tsb

1 1

2 2

0a a

a a

1 1 1 1

2 2 2 2

ka kb a bk

a b a b

Matematika Industri I

Sifat-sifat Determinan

5. Jika elemen sebarang baris (atau kolom) diperbesar (atau dikurangi) oleh kelipatan elemen yang sama dari elemen yang bersesuaian dari baris (atau kolom) lain, nilai determinan tersebut tidak berubah

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2

and a kb b a b a b a b

a kb b a b a ka b kb a b

Matematika Industri I

Hasil Pembelajaran

• Mengekspansi suatu determinan 2x2

• Menyelesaikan pasangan persamaan linier simultan dengan dua variabel menggunakan determinan 2x2

• Mengekspansi suatu determinan 3x3

• Menyelesaikan tiga persamaan linier simultan dengan tiga variabel menggunakan determinan 3x3

• Menentukan konsistensi dari set-set persamaan linier simultan

• Menggunakan sifat-sifat determinan untuk menyelesaikan persamaan yang ditulis dalam bentuk determinan

Matematika Industri I

Referensi

•Stroud, KA & DJ Booth. 2003. Matematika Teknik. Erlangga. Jakarta

•Ayres, Frank and Philip A Schimidt. 2003. Matematika Universitas. Erlangga. Jakarta.