modul kalkulus

MODUL

K A L K U L U S

Disusun Oleh :

Rena Amalika Asyari S.Si

POLITEKNIK PIKSI GANESHA

BANDUNG

2011

1. H I M P U N A N

Definisi : Kumpulan objek atau sesuatu yang didefinisikan dengan jelas

1.1 Himpunan Kosong

Definisi : Himpunan yang tidak mempunyai anggota

Notasi :

1.2 Himpunan Bagian

jika

n (A) = Banyaknya anggota dari himpunan A

p = Banyaknya himpunan bagian yang dapat dibuat dari himpunan A

maka

ingat : himpunan kosong merupakan bagian dari setiap himpunan

1.3 Himpunan Kuasa

Definisi : Himpunan kuasa dari A adalah himpunan yang anggotanya

merupakan himpunan-himpunan bagian dari A

Notasi : 2A

Rena Amalika Asyari 1

Jika A = , maka :

n (A) = 2banyaknya himpunan bagian dari A ada

Himpunan A dengan 2 buah anggotanya Himpunan A dengan 4 buah himpunan bagiannya

A

nf

An

f

1.4 Operasi – Operasi Pada Himpunan

1. Himpunan Bagian

Contoh :

maka

2. Gabungan

Contoh :

maka ,

3. Irisan

contoh :

maka ,

4. Komplemen (AC)

contoh :

5. Selisih ( - atau + )


contoh :

Diagram dari masing-masing operasi pada himpunan

1.5 Sifat – sifat Operasi Himpunan

Catatan :

Rena Amalika Asyari

B

A

A BA B

A

B

A

CA

A B

B

A

A B

AB

A B

A B

3

Latihan Soal :


2. SISTEM BILANGAN

2.1 Sifat – sifat Bilangan Riil

1. Tertutup a + (b x c)

2. Komutatif a + b = b + a

3. Assosiatif

a. Penjumlahan (a + b) + c = a + (b + c)

b. Perkalian ( a . b ) . c = a . ( b . c )

4. Distributif (a + b) . c = ac + ab

2.2 Skema Bilangan

Himpunan Bilangan Riil merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional

dan himpunan bilangan irrasional. Secara lengkap dapat dilihat dari bagan berikut:


2.3 Pangkat dan Akar Kuadrat

Setiap bilangan positif mempunyai dua akar akar kuadrat, misalnya

adalah 2 dan -2, dan adalah 4 dan -4

Untuk , lambang disebut akar kuadrat utama dari a, yang

menunjukkan akar kuadrat tak negatif dari a

2.4 Persamaan

contoh 1 : selesaikan persamaan

Jawab :


Jadi

contoh 2 : selesaikan persamaan

Jawab :

Jadi

2.5 Pertidaksamaan

Bentuk umum pertaksamaan adalah :

dengan A (x), B (x), C (x), dan D (x) : suku banyak.

(tanda < dapat diganti oleh >, ≥, ≤)

Himpunan semua bilangan riil x yang memenuhi pertaksamaan disebut

dengan Himpunan Penyelesaian (Hp) pertaksamaan (berupa selang).

Penulisan Himpunan Penulisan Selang Ket. Selang

Buka

Tutup


Setengah Buka

Setengah Tutup

Tak Terbatas

Tak Terbatas

Tak Terbatas

Tak Terbatas

Tak Terbatas

Cara menentukan solusi (Hp/Himpunan penyelesaian) pertaksamaan

Buat ruas kanan menjadi nol atau

Bentuk menjadi

faktorkan atau uraikan P(x) dan Q(x) menjadi faktor linier atau faktor kuadrat

definit positif.

Tentukan titik pemecah (pembuat nol) dari masing-masing faktor linier dan

atau kuadrat, lalu gambarkan dalam garis bilangan

Gunakan satu titik uji untuk menentukan tanda ( + atau - ) interval pada garis

bilangan.

Contoh 1.

Selesaikanlah pertidaksamaan dan perlihatkan grafik himpunan

penyelesaiannya.

jawab :

Jadi HP =


Contoh 2.


penyelesaiannya.

Jawab :

jadi kita mempunyai titik-titik pemecahan di -2/3 dan 1

maka HP =

Contoh 3.


penyelesaiannya.

Jawab :

Mempunyai titik pemecahan di 2 dan 3

maka Hp =


contoh 4.

selesaikan pertidaksamaan dan perlihatkan grafik himpunan

penyelesaiannya.

jawab :

mempunyai titik pemecahan : x = 1, x = -2, dan x = 0

maka Hp =

2.6 Nilai Mutlak

Konsep nilai mutlak sangat berguna dalam kalkulus, nilai mutlak suatu bilangan

riil x, dinyatakan oleh , didefinisikan sebagai berikut :

2.6.1 Sifat-sifat Nilai Mutlak


Hal penting yang perlu diingat bahwa :

contoh soal :

1. =2, karena

2. = - ( -2) = 2, karena

3. Selesaikan pertidaksamaan dan perlihatkan grafik himpunan

penyelesaiannya.

jawab :

maka Hp :


penyelesaiannya.

jawab :


maka Hp :


penyelesaiannya.

jawab :

titik – titik pemecahannya yaitu -13 dan 11/5

Maka Hp :

Latihan Soal

1. Nyatakanlah himpunan penyelesaian dari ketaksamaan yang diberikan dalam

cara penulisan selang dan sketsakan grafiknya.

2. Carilah himpunan penyelesaian dari ketaksamaan yang diberikan !


3. SISTEM KOORDINAT

Gambar 3. 1


Lihat gambar diatas, pandang dua titik P dan Q sembarang, masing – masing

dengan koordinat (x1, y1) dan (x2, y2) bersama dengan R – titik dengan koordinat –

koordinat (x2, y1) – P dan Q adalah titik – titik sudut sebuah segitiga siku – siku

(gambar 3.1). Panjang PR dan RQ masing – masing dan . Jika

teorema Pythagoras diterapkan maka akan diperoleh ungkapan untuk

mendefinisikan jarak antara P dan Q.

Jarak

Contoh 1 : Carilah jarak antara

a. P (-2, 3) dan Q (4, -1)

b. dan

Jawab :

a.

b.

3.1 KEMIRINGAN GARIS/GRADIEN


Gambar 3.2

Kemiringan m adalah ukuran kecuraman suatu garis, seperti terlihat pada gambar

3.2 diatas maka kita dapat mendefinisikan bahwa kemiringan (m) AB adalah :

a. Bentuk Kemiringan Titik

Garis yang melalui titik (tetap) (x1, y1) dengan kemiringan m mempunyai

persamaan :

Contoh :

Cari persamaan garis yang melalui (-4, 2) dan (6, -1)

Jawab:

Kemiringan m adalah :

Sehingga dengan menggunakan titik (-4, 2) sebagai titik tetap, maka

didapatkan persamaan :

b. Bentuk Ax + By + C = 0

Akan sangat menarik untuk mempunyai suatu bentuk yang meliput semua

garis, termasuk garis – garis tegak.

Contoh :

Bentuk ini dapat ditulis :

c. Garis – Garis Sejajar

Jika dua garis mempunyai kemiringan sama, maka keduanya sejajar. Jadi

dan merupakan garis – garis sejajar; keduanya


mempunyai kemiringan 2, garis yang kedua adalah 3 satuan di atas yang

pertama untuk setiap nilai x, seperti terlihat dibawah ini :

Gambar 3.3

Untuk kemiringan garis sejajar nilai

Contoh :

Carilah persamaan garis yang melalui (6, 8) yang sejajar dengan garis yang

mempunyai persamaan 3x – 5y = 11

Jawab :

Persamaan 3x – 5y = 11 dapat pula diubah bentuk menjadi :

Dari persamaan diatas terlihat bahwa kemiringan garis adalah , persamaan

garis yang diinginkan adalah :


d. Garis – Garis Tegak Lurus

Gambar 3.4

Andaikan suatu titik pada l1 dan titik pada l2, seperti

diperlihatkan pada gambar 3.4. menurut teorema pythagoras

merupakan sudut siku-siku jika dan hanya jika :

Setelah penguraian dan penyederhanaan, persamaan ini menjadi

atau

adalah kemiringan untuk l1 , sedangkan kemiringan untuk l2. sehingga

adalah sudut siku-siku jika dan hanya jika kemiringan – kemiringan

dua garis tersebut berbanding terbalik satu sama lain.


Untuk persamaan garis yang saling tegak lurus nilai kemiringan adalah :

Contoh :

Carilah persamaan garis yang melalui titik potong garis – garis dengan

persamaan , yang tegak lurus garis pertama.

Jawab :

Untuk mencari titik potong (x, y) maka gunakan metode eliminasi :

Lalu substitusikan nilai ke salah satu persamaan :

Jadi titik potongnya di (2, 1/2 )

Persamaan garis pertama yaitu , dapat diubah bentuk menjadi :

Dari persamaan diatas didapatkan bahwa

Maka kemiringan yang tegak lurus garis pertama adalah :


Persamaan garis yang diinginkan adalah :

Atau bisa ditulis :

Latihan soal :

1. Tuliskan persamaan garis melalui (3, -3) yang :

a. Sejajar garis

b. Tegak lurus garis

2. Carilah persamaan garis yang melewati :

a. Tegak lurus garis pertama

b Tegak lurus garis kedua

4. F U N G S I

4.1 FUNGSI RIIL

sebuah fungsi f adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan tiap

objek x dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal (domain function/D f),


dengan sebuah nilai unik f(x) dari himpunan kedua. himpunan nilai yang

diperoleh secara demikian disebut daerah nilai (range function/Rf) fungsi tersebut.

Daerah asal Daerah hasil

misalnya, jika F adalah fungsi dengan aturan dan jika daerah asal

dirinci maka daerah nilainya adalah

4 10

2 5

1 2

0 1

-1

Contoh 1 :

Cari daerah asal alamiah untuk :

a.

Jawab : daerah asal alamiah untuk f adalah , x tidak boleh

sama dengan 3 untuk menghindari pembagian 0, karena pembagian

dengan 0 akan akan bernilai tak hingga.

b.

jawab :


• • • •

• ••

Sehingga daerah asal yang didapat

c.

jawab :

Sehingga daerah asal yang didapat :

Contoh 2 :

Untuk , cari nilai f(4), f(2-h), [f(2-h)-f(4)]

Jawab :

Contoh 3 :

Buatlah sketsa grafik dari : (a) , (b) ,

Jawab :


Grafik 4.1

Grafik 4.2

Atau bisa dilihat pada tabel berikut ini :

Fungsi Daerah Asal Daerah Nilai

R

R R

4.2. FUNGSI LINIER

Bentuk Umum

Dimana : x = variabel bebas

y = variabel tak bebas

a dan b = konstanta dan a ≠ 0

Contoh 1 :

Buat grafik y = x – 2


Jawab :

X y = x - 2

0 -2

1 -1

2 0

Grafik 4.3 y = x - 2

4.3. FUNGSI KUADRAT

Bentuk Umum

Dimana : x = variabel bebas

y = variabel tak bebas

a, b dan c = konstanta dan a ≠ 0

Langkah Menggambar

a > 0 kurva (terbuka ke atas)

a < 0 kurva (terbuka ke bawah)

Cari nilai D = b2 – 4ac

1. Untuk D < 0 tidak memotong sumbu x

2. Untuk D = 0 memotong sumbu x di satu titik

3. Untuk D > 0 memotong sumbu x di dua titik

Cari titik potong sumbu x y = 0

sumbu y x = 0

Cari titik puncak

Contoh :


Buat grafik

Jawab :

a > 0 kurva (terbuka ke atas)

D = b2 – 4ac

D = 0 – 4 (1)(-4) = 16 > 0 (artinya D > 0, memotong sumbu x di dua titik)

Mencari titik potong (x,y)

Untuk y = 0 untuk x = 0

0 = x2 – 4 y = x2 – 4

-x2 = - 4 y = 0 – 4

x = ± 2 y = -4

Mencari titik puncak

Grafik 4.4 y = x2 – 4

4.4 FUNGSI DENGAN HARGA MUTLAK

Menggambar grafik fungsi dengan harga mutlak harus diatas sumbu x

Untuk menggambar fungsi yang mengandung harga mutlak, adalah

sebagai berikut :

Contoh :

1. Gambar grafik dari

Jawab :


Grafik 4.5

2. Gambar grafik dari

Jawab :

-2x + 4 bila 2x – 4 < 0

2x < 4

x < 2

2x – 4 bila 2x – 4 ≥ 0

2x ≥ 4

x ≥ 2

Grafik 4.6

Rena Amalika Asyari

X < 0 y = - x (x , y)

- 1

- 2

1

2

( - 1, 1 )

( -2, 2 )

X ≥ 0 y = x ( x, y )

0

1

2

0

1

2

( 0, 0 )

( 1, 1 )

( 2, 2 )

X < 2 y = - 2x + 4 (x , y)

1

0

2

4

( 1, 2 )

( 0, 4 )

X ≥ 2 y = 2x – 4 ( x, y )

2

3

4

0

2

4

( 2, 0 )

( 3, 2 )

( 4, 4 )

25

4.5 FUNGSI INVERS

Invers artinya kebalikan f-1(x) , dibawah ini adalah contoh untuk fungsi invers :

4.6 OPERASI FUNGSI

Fungsi bukanlah bilangan, tetapi seperti halnya dua bilangan a dan b,

dapat ditambahkan untuk menghasilkan sebuah bilangan baru a + b, demikian

juga dua fungsi f dan g dapat ditambahkan untuk menghasilkan sebuah fungsi

baru f + g. Operasi pada fungsi meliputi jumlah, selisih, hasil kali, hasil bagi,

pangkat.

Contoh :

Jawab :


4.7 Fungsi Komposisi

Fungsi ini menerima x sebagai masukan, bekerja pada x, dan

menghasilkan f(x). Jika f bekerja pada x untuk menghasilkan f(x) dan kemudian g

bekerja pada f(x) untuk menghasilkan g(f(x)), dikatakan bahwa kita telah

menyusun g dengan f. Fungsi yang dihasilkan disebut komposit g dengan f,

dinyatakan oleh g o f, atau dituliskan sebagai berikut :

Contoh :

1. , maka

Jawab :

Dari jawaban diatas terlihat bahwa nilai

2. Andaikan , cari nilai


Jawab :

Syarat daerah asal :

Jadi daerah asal alamiahnya

Latihan Soal :

1. Carilah nilai f(h), f(-3), f(h2-4), dan [f(1/h) – f(2h)] dari fungsi

2. Carilah daerah asal dari :

3. Buatlah sketsa grafik dari fungsi harga mutlak :

4. Cari nilai dari fungsi

5. LIMIT DAN KEKONTINUAN


Secara kasar dapat diketahui bahwa limit dapat memberikan penjelasan

bagaimana keadaan suatu fungsi jika diberikan nilai-nilai tertentu pada suatu

variabel bebasnya dengan tidak menentukan nilai yang pasti.

Bila nilai f(x) mendekati L untuk nilai x mendekati a dari arah kanan maka

dikatakan bahwa limit fungsi f(x) untuk x mendekati a dari kanan sama

dengan L dan dinotasikan :

………………………………………………. (1)

Bila nilai f(x) mendekati l untuk nilai x mendekati a dari arah kiri maka

dikatakan bahwa limit fungsi f(x) untuk x mendekati a dari arah kiri sama

dengan l dan dinotasikan :

………………………………………………. (2)

Bila L = l maka dikatakan bahwa limit fungsi f(x) untuk x mendekati a

sama dengan L dan dinotasikan :

………………………………………………. (3)

Sedangkan bila L l maka dikatakan bahwa limit fungsi f(x) untuk x mendekati

a tidak ada.

Bentuk (1) dan (2) disebut limit sepihak, . Sedangkan bentuk (3) mengisyaratkan

bahwa nilai limit fungsi pada suatu titik dikatakan ada bila nilai limit sepihaknya

sama atau nilai limit kanan (1) sama dengan nilai limit kiri (2).

Dibawah ini adalah beberapa teorema tentang limit : Andaikan n bilangan

bulat positif, k konstanta dan adalah fungsi-

fungsi yang mempunyai limit di c, maka :


Contoh :

Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a bila nilai limit f(x)

pada x mendekati a sama dengan nilai fungsi di x = a atau f(a). Secara lebih jelas,

f(x) dikatakan kontinu di x = a bila berlaku :

1. f(a) terdefinisi atau f(a) .

2. ada, yakni :

3.


Bila minimal salah satu dari persyaratan di atas tidak dipenuhi maka f(x)

dikatakan tidak kontinu atau diskontinu di x = a dan titik x = a disebut titik

diskontinu. Secara geometris, grafik fungsi kontinu tidak ada loncatan atau tidak

terputus. Bilamana kita menggambarkan suatu grafik fungsi sembarang dengan

mengerakkan pensil kita di kertas dan tanpa pernah mengangkat pensil tersebut

sebelum selesai maka akan kita dapatkan fungsi kontinu.

Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval buka ( a,b ) bila f(x) kontinu

pada setiap titik di dalam interval tersebut. Sedangkan f(x) dikatakan kontinu

pada interval tutup [ a,b ] bila :

1. f(x) kontinu pada ( a,b )

2. f(x) kontinu kanan di x = a

3. f(x) kontinu kiri di x = b

Bila f(x) kontinu untuk setiap nilai x maka dikatakan f(x) kontinu atau

kontinu dimana-mana.

Contoh :

Tentukan nilai k agar fungsi

Jawab :

Nilai fungsi di x = -1, f( -1 ) = 3.

Sebab nilai limit kanan sama dengan 3 maka nilai limit kiri juga sama dengan 3.

Untuk itu pembilang dari bentuk harus mempunyai faktor x + 1.

Dengan melakukan pembagian pembilang oleh penyebut didapatkan

, Dari sisa pembagian ( -2k + 2 ) sama dengan

nol maka didapatkan k = 1.


Latihan Soal :

Carilah nilai dari :


6. F U N G S I T R I G O N O M E T R I

6.1 Aturan Kuadran Sinus, Kosinus, Tangen


hadapan

miring

dekatan

θ

Kuadran ISin, cos, tgn,

bernilai + (positif)

Kuadran IIHanya sin yang


Kuadran IIIHanya tan yang


Kuadran IVHanya cos yang


0 0

90 0

180 0

270 0

360 0

Tabel Sudut Istimewa Sinus, Cosinus, dan Tangen

x Sin x Cos x Tan x

Grafik Sinus dan Kosinus

Untuk menggambarkan grafik y = sin t dan y = cos t, dapat dengan menggunakan

tabel trigonometri ataupun kalkulator, jika hasilnya telah diketahui maka

grafiknya akan tergambar seperti berikut ini :


Ada empat hal tentang grafik di atas yaitu :

1. sin t dan cos t keduanya berkisar dari -1 sampai 1

2. Kedua grafik berulang dengan sendirinya pada selang yang berdampingan

sepanjang 2π

3. Grafik y = sin x simetri terhadap titik asal dan y = cos x terhadap sumbu y

4. Grafik y = sin x sama seperti y = cos x, tetapi digeser π/2 satuan ke kanan

Catatan :

Empat Fungsi Trigonometri Lainnya

Contoh :

1. Buktikan bahwa tangen adalah fungsi ganjil

Jawab :

2. Periksa kebenaran kesamaan – kesamaan berikut :

Jawab :


π = 1 radian = 180 derajat

Kesamaan Trigonometri


Latihan Soal :


1. Tentukan nilai dari :

2. Periksa kebenaran kesamaan berikut :

3. Sketsakan grafik – grafik berikut pada ;

7. T U R U N A N


Turunan fungsi f adalah fungsi lain f’ (dibaca f aksen) yang nilainya pada

sembarang bilangan c adalah :

Asalkan limit ini ada.

Jika limit ini memang ada, maka dikatakan bahwa f terdiferensialkan

(terturunkan) di c. Pencarian turunan disebut pendiferensialan, bagian kalkulus

yang berhubungan dengan turunan disebut kalkulus diferensial.

Contoh :

1. Andaikan

Jawab :

2. Jika

Jawab :

3. Cari nilai g’(x), jika

Jawab :


Aturan turunan limit diatas bisa lebih disederhanakan menjadi turunan fungsi

seperti di bawah ini :

Contoh :


7.1 PENGGUNAAN TURUNAN

Nilai Maksimum dan Minimum

Dalam kehidupan sering kali kita dihadapkan pada masalah penentuan cara

terbaik untuk melakukan sesuatu. Kadang – kadang ini ternyata masalah

pemaksimuman (atau peminimuman) suatu fungsi pada himpunan tertentu.

Jika demikian, metode-metode kalkulus meyediakan alat ampuh untuk

pemecahan masalah tersebut.

Gambar 1


Lihat gambar 1 diatas

Andaikan S daerah asal f, memuat titik c kita katakan bahwa :

(i) f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f (c) ≥ f(x) untuk semua x di S

(ii) f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f (c) ≤ f(x) untuk semua x di S

(iii) f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai

minimum

Biasanya fungsi yang ingin kita maksimumkan atau minimumkan akan

mempunyai suatu selang I sebagai daerah asalnya. Beberapa dari selang ini

memuat titik-titik ujung, beberapa tidak. Misalnya, memuat titik ujung

dua-duanya; hanya memuat titik ujung kiri; tidak memuat

titik ujung satupun.

Jika c sebuah titik pada mana f’(c)=0, jika f(c) adalah titik ekstrim, maka

c haruslah suatu titik kritis yakni c berupa salah satu : titik ujung dari I, titik

stationer dari f(f’(c)=0), dan titik singular dari f(f”(c) tidak ada).

Contoh :

1. Carilah nilai – nilai maksimum dan minimum dari pada

Jawab :

Titik – titik ujung adalah -1/2 dan 2. Untuk mencari titik-titik stationer kita

pecahkan :

Maka diperoleh nilai x adalah 0 dan 1. tidak terdapat titik-titik singular, jadi

titik-titik kritis adalah -1/2, 0, 1, 2

Untuk mencari nilai maksimum dan minimum maka :


Jadi nilai maksimum dicapai pada x=1 dan x = -1/2 dan nilai minimum pada

x=-2, dapat dilihat pada gambar dibawah ini :

2. Kotak persegi panjang dibuat dari selembar papan, panjang 24 cm dan lebar 9

cm, dengan memotong persegi panjang identik pada keempat pojok dan

melipat ke atas sisi-sisinya seperti pada gambar di bawah ini. Cari ukuran

kotak yang volumenya maksimum dan berapa nilai volumenya?


Jawab :

Andaikan x adalah sisi persegi panjang yang harus dipotong dan V adalah

volume kotak yang dihasilkan, maka :

Sekarang x tidak dapat lebih kecil dari 0 ataupun lebih besar dari 4.5,

sehingga nilai maksimum V didapat pada selang . Titik – titik stationer

didapat pada V’ = 0, maka :

Ini memberikan x = 2 atau x = 9, tetapi 9 tidak pada selang . Terdapat

tiga titik kritis yaitu 0, 2 dan 4.5. Pada titik-titik ujung 0 dan 4.5 nilai V = 0,

pada 2 nilai V = 200. Jadi kotak mempunyai volume maksimum 200 cm3, jika

x = 2, yaitu panjangnya 20 cm, lebar 5 cm dan tinggi 2 cm.

Latihan Soal :

1. Hitung Turunan (y’) dari :

a. c. y = (2x3 – 2x)(7x2 - x + 3)

b. y = d.

2. Kenali titik kritis dan cari nilai maksimum-minimum pada

a. f(x) = pada I = [-2,1]

b. pada

3. Seseorang petani memutuskan membuat 3(tiga) kandang yang identik dengan

80 meter kawat yang dimilikinya. Berapa ukurannya agar kandang seluas

mungkin? (sisi sepanjang gudang tdak memerlukan kawat)


GUDANG

8. I N T E G R A L

Pada bab sebelumnya telah dikaji tentang pendiferensialan (penurunan),

maka kebalikannya yaitu anti pendiferensialan (anti penurunan), atau biasa

disebut dengan istilah integral.

Penulisan integral yang lebih mudah diingat adalah penulisan Leibniz yaitu

menggunakan lambang .... dx. Dibawah ini adalah beberapa rumusan integral

dengan C adalah konstanta, yaitu :

Contoh :


8.1 INTEGRAL TENTU

Misal f(x) kontinu pada dan f(x) adalah anti turunan dari f(x). Maka

, a merupakan batas bawah dan b adalah batas atas

pengintegralan. Dibawah ini adalah sifat – sifat yang berkaitan dengan integral

tentu yaitu :

Contoh :

1. Hitung

Jawab :

2. Hitung

Jawab :


a b

R

y=f(x)

8.2 PENGGUNAAN INTEGRAL

Luas daerah Bidang Rata

Daerah Di atas Sumbu X.

Andaikan y = f(x) menentukan

persamaan sebuah kurva pada

bidang xy dan andaikan f kontinu

dan tak negatif pada selang

(interval) a ≤ x ≤ b. Lihat gambar

disamping, tinjaulah daerah R yang

dibatasi oleh grafik – grafik dari y

= f(x), x = a, x=b dan y=0. Kita mengacu R sebagai daerah di bawah y = f(x)

antara x = a dan x = b. Maka luasnya A (R) ditentukan oleh :

Contoh :

Tentukan luas daerah R di bawah kurva y = 2x3 – x2 + 6x + 5, antara x = 0,

dan x = 2

Jawab :

Kurva persamaan y = 2x3 – x2 + 6x + 5


R

a b

R

y=f(x)

Daerah Di Bawah Sumbu X.

Luas dinyatakan oleh bilangan yang tak

negatif. Apabila grafik y = f(x) terletak

di bawah sumbu x, maka

adalah bilangan yang negatif. Sehingga

tak dapat melukiskan suatu luas. Akan

tetapi bilangan itu adalah negatif untuk

luas daerah yang dibatasi oleh y = f(x), x = a, x = b dan y = 0.

Contoh :

1. Tentukan luas daerah R yang dibatasi oleh y = (x2/3) – 4, sumbu x, x = -2 dan

x = 3

Jawab :

Kurva persamaan y = (x2/3) – 4


R

2. Tentukan luas daerah R yang dibatasi oleh y = x3 – 3x2 – x + 3, ruas sumbu

antara x = 1 dan x = 2 dan oleh garis x = 2

Jawab :

Kurva persamaan y = x3 – 3x2 – x + 3

Pada kurva diatas terlihat bahwa sebagian di atas sumbu x dan sebagiannya

lagi di bawah sumbu x, Luas masing – masing bagian ini harus dihitung

secara terpisah, yaitu :


R

R

Latihan Soal :

1. Tentukan nilai Integral dari fungsi berikut

a. f(x) = (x2+3x)15 (8x+12) c.

b. d. f(x) = –

2. Gambarlah daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva yang persamaannya

diketahui dan hitunglah luas daerahnya.


8. DERET BILANGAN DAN JUMLAH

Konvergen atau divergen suatu deret tak hingga dapat diperiksa melalui 5 tes di

bawah ini yaitu :

1. Tes Jumlah 4. Tes Integral

2. Tes Banding 5. Tes Akar

3. Tes Rasio

1. Tes Jumlah

- Konvergen jika

- Divergen jika

Contoh :

1. Deret Tak Hingga : 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n – 1)

Maka : Un = 2n – 1, U1 = 1

Karena nilai limitnya tak hingga maka deret ini adalah divergen.

2. Deret Tak Hingga :

Maka :


Karena nilai limit tak hingganya ada yaitu 2, maka deret ini konvergen.

2. Tes Banding

Contoh :


1 2 3

Vn

un 1 1/2 1/3

Dilihat dari tabel diatas bahwa , maka deret tersebut adalah

konvergen.


Maka :

1 2

Vn

un 1 1/4

Dilihat dari tabel diatas bahwa , maka deret tersebut adalah

konvergen.


3. Tes Rasio

Contoh :


Maka :

Karena setelah dicari deret bernilai 1 maka, deret diatas tidak bisa

menggunakan tes rasio, tetapi menggunakan cara lainnya.


Maka :

Nilai deret tersebut adalah 1/3, artinya deret tersebet bersifat konvergen


4. Tes Integral

Konvergen

Divergen

Contoh :

Karena nilainya tak hingga maka deret ini bersifat divergen

Karena nilai deret tersebut 1, maka sifatnya konvergen

5. Tes Akar

L < 1 maka konvergen

L = 1 pakai cara lain

L > 1 divergen

Contoh :


2.

Penulisan Jumlah dan Sigma

Perhatikan Jumlah : 12 + 22 + 32 + 42 + . . . + 1002

dan a1 + a2 + a3 + a 4 + . . . + 1002

untuk menunjukkan jumlah ini dalam suatu bentuk yang kompak, kita tuliskan

yang pertama sebagai dan yang kedua yaitu

kelinearan . Andaikan dan menyatakan dua barisan dan c suatu

konstanta, maka :

Contoh :

1. Andaikan bahwa dan . Hitung

Jawab :


2. Sederhanakanlah

Jawab :

Beberapa Jumlah Khusus

Contoh :

2. Hitung

Jawab :


3. Cari suatu rumus untuk

Jawab :

Latihan Soal :

1. Tentukan sifat deret dibawah ini :

2. Cari nilai sigma berikut ini :


modul kalkulus

Documents