modul kalkulus
TRANSCRIPT
MODUL
K A L K U L U S
Disusun Oleh :
Rena Amalika Asyari S.Si
POLITEKNIK PIKSI GANESHA
BANDUNG
2011
1. H I M P U N A N
Definisi : Kumpulan objek atau sesuatu yang didefinisikan dengan jelas
1.1 Himpunan Kosong
Definisi : Himpunan yang tidak mempunyai anggota
Notasi :
1.2 Himpunan Bagian
jika
n (A) = Banyaknya anggota dari himpunan A
p = Banyaknya himpunan bagian yang dapat dibuat dari himpunan A
maka
ingat : himpunan kosong merupakan bagian dari setiap himpunan
1.3 Himpunan Kuasa
Definisi : Himpunan kuasa dari A adalah himpunan yang anggotanya
merupakan himpunan-himpunan bagian dari A
Notasi : 2A
Rena Amalika Asyari 1
Jika A = , maka :
n (A) = 2banyaknya himpunan bagian dari A ada
Himpunan A dengan 2 buah anggotanya Himpunan A dengan 4 buah himpunan bagiannya
A
nf
An
f
1.4 Operasi – Operasi Pada Himpunan
1. Himpunan Bagian
Contoh :
maka
2. Gabungan
Contoh :
maka ,
3. Irisan
contoh :
maka ,
4. Komplemen (AC)
contoh :
5. Selisih ( - atau + )
Rena Amalika Asyari 2
contoh :
Diagram dari masing-masing operasi pada himpunan
1.5 Sifat – sifat Operasi Himpunan
Catatan :
Rena Amalika Asyari
B
A
A BA B
A
B
A
CA
A B
B
A
A B
AB
A B
A B
3
Latihan Soal :
Rena Amalika Asyari 4
2. SISTEM BILANGAN
2.1 Sifat – sifat Bilangan Riil
1. Tertutup a + (b x c)
2. Komutatif a + b = b + a
3. Assosiatif
a. Penjumlahan (a + b) + c = a + (b + c)
b. Perkalian ( a . b ) . c = a . ( b . c )
4. Distributif (a + b) . c = ac + ab
2.2 Skema Bilangan
Himpunan Bilangan Riil merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional
dan himpunan bilangan irrasional. Secara lengkap dapat dilihat dari bagan berikut:
Rena Amalika Asyari 5
2.3 Pangkat dan Akar Kuadrat
Setiap bilangan positif mempunyai dua akar akar kuadrat, misalnya
adalah 2 dan -2, dan adalah 4 dan -4
Untuk , lambang disebut akar kuadrat utama dari a, yang
menunjukkan akar kuadrat tak negatif dari a
2.4 Persamaan
contoh 1 : selesaikan persamaan
Jawab :
Rena Amalika Asyari 6
Jadi
contoh 2 : selesaikan persamaan
Jawab :
Jadi
2.5 Pertidaksamaan
Bentuk umum pertaksamaan adalah :
dengan A (x), B (x), C (x), dan D (x) : suku banyak.
(tanda < dapat diganti oleh >, ≥, ≤)
Himpunan semua bilangan riil x yang memenuhi pertaksamaan disebut
dengan Himpunan Penyelesaian (Hp) pertaksamaan (berupa selang).
Penulisan Himpunan Penulisan Selang Ket. Selang
Buka
Tutup
Rena Amalika Asyari 7
Setengah Buka
Setengah Tutup
Tak Terbatas
Tak Terbatas
Tak Terbatas
Tak Terbatas
Tak Terbatas
Cara menentukan solusi (Hp/Himpunan penyelesaian) pertaksamaan
Buat ruas kanan menjadi nol atau
Bentuk menjadi
faktorkan atau uraikan P(x) dan Q(x) menjadi faktor linier atau faktor kuadrat
definit positif.
Tentukan titik pemecah (pembuat nol) dari masing-masing faktor linier dan
atau kuadrat, lalu gambarkan dalam garis bilangan
Gunakan satu titik uji untuk menentukan tanda ( + atau - ) interval pada garis
bilangan.
Contoh 1.
Selesaikanlah pertidaksamaan dan perlihatkan grafik himpunan
penyelesaiannya.
jawab :
Jadi HP =
Rena Amalika Asyari 8
Contoh 2.
Selesaikanlah pertidaksamaan dan perlihatkan grafik himpunan
penyelesaiannya.
Jawab :
jadi kita mempunyai titik-titik pemecahan di -2/3 dan 1
maka HP =
Contoh 3.
Selesaikanlah pertidaksamaan dan perlihatkan grafik himpunan
penyelesaiannya.
Jawab :
Mempunyai titik pemecahan di 2 dan 3
maka Hp =
Rena Amalika Asyari 9
contoh 4.
selesaikan pertidaksamaan dan perlihatkan grafik himpunan
penyelesaiannya.
jawab :
mempunyai titik pemecahan : x = 1, x = -2, dan x = 0
maka Hp =
2.6 Nilai Mutlak
Konsep nilai mutlak sangat berguna dalam kalkulus, nilai mutlak suatu bilangan
riil x, dinyatakan oleh , didefinisikan sebagai berikut :
2.6.1 Sifat-sifat Nilai Mutlak
Rena Amalika Asyari 10
Hal penting yang perlu diingat bahwa :
contoh soal :
1. =2, karena
2. = - ( -2) = 2, karena
3. Selesaikan pertidaksamaan dan perlihatkan grafik himpunan
penyelesaiannya.
jawab :
maka Hp :
4. Selesaikan pertidaksamaan dan perlihatkan grafik himpunan
penyelesaiannya.
jawab :
Rena Amalika Asyari 11
maka Hp :
5. Selesaikan pertidaksamaan dan perlihatkan grafik himpunan
penyelesaiannya.
jawab :
titik – titik pemecahannya yaitu -13 dan 11/5
Maka Hp :
Latihan Soal
1. Nyatakanlah himpunan penyelesaian dari ketaksamaan yang diberikan dalam
cara penulisan selang dan sketsakan grafiknya.
2. Carilah himpunan penyelesaian dari ketaksamaan yang diberikan !
Rena Amalika Asyari 12
3. SISTEM KOORDINAT
Gambar 3. 1
Rena Amalika Asyari 13
Lihat gambar diatas, pandang dua titik P dan Q sembarang, masing – masing
dengan koordinat (x1, y1) dan (x2, y2) bersama dengan R – titik dengan koordinat –
koordinat (x2, y1) – P dan Q adalah titik – titik sudut sebuah segitiga siku – siku
(gambar 3.1). Panjang PR dan RQ masing – masing dan . Jika
teorema Pythagoras diterapkan maka akan diperoleh ungkapan untuk
mendefinisikan jarak antara P dan Q.
Jarak
Contoh 1 : Carilah jarak antara
a. P (-2, 3) dan Q (4, -1)
b. dan
Jawab :
a.
b.
3.1 KEMIRINGAN GARIS/GRADIEN
Rena Amalika Asyari 14
Gambar 3.2
Kemiringan m adalah ukuran kecuraman suatu garis, seperti terlihat pada gambar
3.2 diatas maka kita dapat mendefinisikan bahwa kemiringan (m) AB adalah :
a. Bentuk Kemiringan Titik
Garis yang melalui titik (tetap) (x1, y1) dengan kemiringan m mempunyai
persamaan :
Contoh :
Cari persamaan garis yang melalui (-4, 2) dan (6, -1)
Jawab:
Kemiringan m adalah :
Sehingga dengan menggunakan titik (-4, 2) sebagai titik tetap, maka
didapatkan persamaan :
b. Bentuk Ax + By + C = 0
Akan sangat menarik untuk mempunyai suatu bentuk yang meliput semua
garis, termasuk garis – garis tegak.
Contoh :
Bentuk ini dapat ditulis :
c. Garis – Garis Sejajar
Jika dua garis mempunyai kemiringan sama, maka keduanya sejajar. Jadi
dan merupakan garis – garis sejajar; keduanya
Rena Amalika Asyari 15
mempunyai kemiringan 2, garis yang kedua adalah 3 satuan di atas yang
pertama untuk setiap nilai x, seperti terlihat dibawah ini :
Gambar 3.3
Untuk kemiringan garis sejajar nilai
Contoh :
Carilah persamaan garis yang melalui (6, 8) yang sejajar dengan garis yang
mempunyai persamaan 3x – 5y = 11
Jawab :
Persamaan 3x – 5y = 11 dapat pula diubah bentuk menjadi :
Dari persamaan diatas terlihat bahwa kemiringan garis adalah , persamaan
garis yang diinginkan adalah :
Rena Amalika Asyari 16
d. Garis – Garis Tegak Lurus
Gambar 3.4
Andaikan suatu titik pada l1 dan titik pada l2, seperti
diperlihatkan pada gambar 3.4. menurut teorema pythagoras
merupakan sudut siku-siku jika dan hanya jika :
Setelah penguraian dan penyederhanaan, persamaan ini menjadi
atau
adalah kemiringan untuk l1 , sedangkan kemiringan untuk l2. sehingga
adalah sudut siku-siku jika dan hanya jika kemiringan – kemiringan
dua garis tersebut berbanding terbalik satu sama lain.
Rena Amalika Asyari 17
Untuk persamaan garis yang saling tegak lurus nilai kemiringan adalah :
Contoh :
Carilah persamaan garis yang melalui titik potong garis – garis dengan
persamaan , yang tegak lurus garis pertama.
Jawab :
Untuk mencari titik potong (x, y) maka gunakan metode eliminasi :
Lalu substitusikan nilai ke salah satu persamaan :
Jadi titik potongnya di (2, 1/2 )
Persamaan garis pertama yaitu , dapat diubah bentuk menjadi :
Dari persamaan diatas didapatkan bahwa
Maka kemiringan yang tegak lurus garis pertama adalah :
Rena Amalika Asyari 18
Persamaan garis yang diinginkan adalah :
Atau bisa ditulis :
Latihan soal :
1. Tuliskan persamaan garis melalui (3, -3) yang :
a. Sejajar garis
b. Tegak lurus garis
2. Carilah persamaan garis yang melewati :
a. Tegak lurus garis pertama
b Tegak lurus garis kedua
4. F U N G S I
4.1 FUNGSI RIIL
sebuah fungsi f adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan tiap
objek x dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal (domain function/D f),
Rena Amalika Asyari 19
dengan sebuah nilai unik f(x) dari himpunan kedua. himpunan nilai yang
diperoleh secara demikian disebut daerah nilai (range function/Rf) fungsi tersebut.
Daerah asal Daerah hasil
misalnya, jika F adalah fungsi dengan aturan dan jika daerah asal
dirinci maka daerah nilainya adalah
4 10
2 5
1 2
0 1
-1
Contoh 1 :
Cari daerah asal alamiah untuk :
a.
Jawab : daerah asal alamiah untuk f adalah , x tidak boleh
sama dengan 3 untuk menghindari pembagian 0, karena pembagian
dengan 0 akan akan bernilai tak hingga.
b.
jawab :
Rena Amalika Asyari 20
• • • •
• ••
Sehingga daerah asal yang didapat
c.
jawab :
Sehingga daerah asal yang didapat :
Contoh 2 :
Untuk , cari nilai f(4), f(2-h), [f(2-h)-f(4)]
Jawab :
Contoh 3 :
Buatlah sketsa grafik dari : (a) , (b) ,
Jawab :
Rena Amalika Asyari 21
Grafik 4.1
Grafik 4.2
Atau bisa dilihat pada tabel berikut ini :
Fungsi Daerah Asal Daerah Nilai
R
R R
4.2. FUNGSI LINIER
Bentuk Umum
Dimana : x = variabel bebas
y = variabel tak bebas
a dan b = konstanta dan a ≠ 0
Contoh 1 :
Buat grafik y = x – 2
Rena Amalika Asyari 22
Jawab :
X y = x - 2
0 -2
1 -1
2 0
Grafik 4.3 y = x - 2
4.3. FUNGSI KUADRAT
Bentuk Umum
Dimana : x = variabel bebas
y = variabel tak bebas
a, b dan c = konstanta dan a ≠ 0
Langkah Menggambar
a > 0 kurva (terbuka ke atas)
a < 0 kurva (terbuka ke bawah)
Cari nilai D = b2 – 4ac
1. Untuk D < 0 tidak memotong sumbu x
2. Untuk D = 0 memotong sumbu x di satu titik
3. Untuk D > 0 memotong sumbu x di dua titik
Cari titik potong sumbu x y = 0
sumbu y x = 0
Cari titik puncak
Contoh :
Rena Amalika Asyari 23
Buat grafik
Jawab :
a > 0 kurva (terbuka ke atas)
D = b2 – 4ac
D = 0 – 4 (1)(-4) = 16 > 0 (artinya D > 0, memotong sumbu x di dua titik)
Mencari titik potong (x,y)
Untuk y = 0 untuk x = 0
0 = x2 – 4 y = x2 – 4
-x2 = - 4 y = 0 – 4
x = ± 2 y = -4
Mencari titik puncak
Grafik 4.4 y = x2 – 4
4.4 FUNGSI DENGAN HARGA MUTLAK
Menggambar grafik fungsi dengan harga mutlak harus diatas sumbu x
Untuk menggambar fungsi yang mengandung harga mutlak, adalah
sebagai berikut :
Contoh :
1. Gambar grafik dari
Jawab :
Rena Amalika Asyari 24
Grafik 4.5
2. Gambar grafik dari
Jawab :
-2x + 4 bila 2x – 4 < 0
2x < 4
x < 2
2x – 4 bila 2x – 4 ≥ 0
2x ≥ 4
x ≥ 2
Grafik 4.6
Rena Amalika Asyari
X < 0 y = - x (x , y)
- 1
- 2
1
2
( - 1, 1 )
( -2, 2 )
X ≥ 0 y = x ( x, y )
0
1
2
0
1
2
( 0, 0 )
( 1, 1 )
( 2, 2 )
X < 2 y = - 2x + 4 (x , y)
1
0
2
4
( 1, 2 )
( 0, 4 )
X ≥ 2 y = 2x – 4 ( x, y )
2
3
4
0
2
4
( 2, 0 )
( 3, 2 )
( 4, 4 )
25
4.5 FUNGSI INVERS
Invers artinya kebalikan f-1(x) , dibawah ini adalah contoh untuk fungsi invers :
4.6 OPERASI FUNGSI
Fungsi bukanlah bilangan, tetapi seperti halnya dua bilangan a dan b,
dapat ditambahkan untuk menghasilkan sebuah bilangan baru a + b, demikian
juga dua fungsi f dan g dapat ditambahkan untuk menghasilkan sebuah fungsi
baru f + g. Operasi pada fungsi meliputi jumlah, selisih, hasil kali, hasil bagi,
pangkat.
Contoh :
Jawab :
Rena Amalika Asyari 26
4.7 Fungsi Komposisi
Fungsi ini menerima x sebagai masukan, bekerja pada x, dan
menghasilkan f(x). Jika f bekerja pada x untuk menghasilkan f(x) dan kemudian g
bekerja pada f(x) untuk menghasilkan g(f(x)), dikatakan bahwa kita telah
menyusun g dengan f. Fungsi yang dihasilkan disebut komposit g dengan f,
dinyatakan oleh g o f, atau dituliskan sebagai berikut :
Contoh :
1. , maka
Jawab :
Dari jawaban diatas terlihat bahwa nilai
2. Andaikan , cari nilai
Rena Amalika Asyari 27
Jawab :
Syarat daerah asal :
Jadi daerah asal alamiahnya
Latihan Soal :
1. Carilah nilai f(h), f(-3), f(h2-4), dan [f(1/h) – f(2h)] dari fungsi
2. Carilah daerah asal dari :
3. Buatlah sketsa grafik dari fungsi harga mutlak :
4. Cari nilai dari fungsi
5. LIMIT DAN KEKONTINUAN
Rena Amalika Asyari 28
Secara kasar dapat diketahui bahwa limit dapat memberikan penjelasan
bagaimana keadaan suatu fungsi jika diberikan nilai-nilai tertentu pada suatu
variabel bebasnya dengan tidak menentukan nilai yang pasti.
Bila nilai f(x) mendekati L untuk nilai x mendekati a dari arah kanan maka
dikatakan bahwa limit fungsi f(x) untuk x mendekati a dari kanan sama
dengan L dan dinotasikan :
………………………………………………. (1)
Bila nilai f(x) mendekati l untuk nilai x mendekati a dari arah kiri maka
dikatakan bahwa limit fungsi f(x) untuk x mendekati a dari arah kiri sama
dengan l dan dinotasikan :
………………………………………………. (2)
Bila L = l maka dikatakan bahwa limit fungsi f(x) untuk x mendekati a
sama dengan L dan dinotasikan :
………………………………………………. (3)
Sedangkan bila L l maka dikatakan bahwa limit fungsi f(x) untuk x mendekati
a tidak ada.
Bentuk (1) dan (2) disebut limit sepihak, . Sedangkan bentuk (3) mengisyaratkan
bahwa nilai limit fungsi pada suatu titik dikatakan ada bila nilai limit sepihaknya
sama atau nilai limit kanan (1) sama dengan nilai limit kiri (2).
Dibawah ini adalah beberapa teorema tentang limit : Andaikan n bilangan
bulat positif, k konstanta dan adalah fungsi-
fungsi yang mempunyai limit di c, maka :
Rena Amalika Asyari 29
Contoh :
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a bila nilai limit f(x)
pada x mendekati a sama dengan nilai fungsi di x = a atau f(a). Secara lebih jelas,
f(x) dikatakan kontinu di x = a bila berlaku :
1. f(a) terdefinisi atau f(a) .
2. ada, yakni :
3.
Rena Amalika Asyari 30
Bila minimal salah satu dari persyaratan di atas tidak dipenuhi maka f(x)
dikatakan tidak kontinu atau diskontinu di x = a dan titik x = a disebut titik
diskontinu. Secara geometris, grafik fungsi kontinu tidak ada loncatan atau tidak
terputus. Bilamana kita menggambarkan suatu grafik fungsi sembarang dengan
mengerakkan pensil kita di kertas dan tanpa pernah mengangkat pensil tersebut
sebelum selesai maka akan kita dapatkan fungsi kontinu.
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval buka ( a,b ) bila f(x) kontinu
pada setiap titik di dalam interval tersebut. Sedangkan f(x) dikatakan kontinu
pada interval tutup [ a,b ] bila :
1. f(x) kontinu pada ( a,b )
2. f(x) kontinu kanan di x = a
3. f(x) kontinu kiri di x = b
Bila f(x) kontinu untuk setiap nilai x maka dikatakan f(x) kontinu atau
kontinu dimana-mana.
Contoh :
Tentukan nilai k agar fungsi
Jawab :
Nilai fungsi di x = -1, f( -1 ) = 3.
Sebab nilai limit kanan sama dengan 3 maka nilai limit kiri juga sama dengan 3.
Untuk itu pembilang dari bentuk harus mempunyai faktor x + 1.
Dengan melakukan pembagian pembilang oleh penyebut didapatkan
, Dari sisa pembagian ( -2k + 2 ) sama dengan
nol maka didapatkan k = 1.
Rena Amalika Asyari 31
Latihan Soal :
Carilah nilai dari :
Rena Amalika Asyari 32
6. F U N G S I T R I G O N O M E T R I
6.1 Aturan Kuadran Sinus, Kosinus, Tangen
Rena Amalika Asyari 33
hadapan
miring
dekatan
θ
Kuadran ISin, cos, tgn,
bernilai + (positif)
Kuadran IIHanya sin yang
bernilai + (positif)
Kuadran IIIHanya tan yang
bernilai + (positif)
Kuadran IVHanya cos yang
bernilai + (positif)
0 0
90 0
180 0
270 0
360 0
Tabel Sudut Istimewa Sinus, Cosinus, dan Tangen
x Sin x Cos x Tan x
Grafik Sinus dan Kosinus
Untuk menggambarkan grafik y = sin t dan y = cos t, dapat dengan menggunakan
tabel trigonometri ataupun kalkulator, jika hasilnya telah diketahui maka
grafiknya akan tergambar seperti berikut ini :
Rena Amalika Asyari 34
Ada empat hal tentang grafik di atas yaitu :
1. sin t dan cos t keduanya berkisar dari -1 sampai 1
2. Kedua grafik berulang dengan sendirinya pada selang yang berdampingan
sepanjang 2π
3. Grafik y = sin x simetri terhadap titik asal dan y = cos x terhadap sumbu y
4. Grafik y = sin x sama seperti y = cos x, tetapi digeser π/2 satuan ke kanan
Catatan :
Empat Fungsi Trigonometri Lainnya
Contoh :
1. Buktikan bahwa tangen adalah fungsi ganjil
Jawab :
2. Periksa kebenaran kesamaan – kesamaan berikut :
Jawab :
Rena Amalika Asyari 35
π = 1 radian = 180 derajat
Kesamaan Trigonometri
Rena Amalika Asyari 36
Latihan Soal :
Rena Amalika Asyari 37
1. Tentukan nilai dari :
2. Periksa kebenaran kesamaan berikut :
3. Sketsakan grafik – grafik berikut pada ;
7. T U R U N A N
Rena Amalika Asyari 38
Turunan fungsi f adalah fungsi lain f’ (dibaca f aksen) yang nilainya pada
sembarang bilangan c adalah :
Asalkan limit ini ada.
Jika limit ini memang ada, maka dikatakan bahwa f terdiferensialkan
(terturunkan) di c. Pencarian turunan disebut pendiferensialan, bagian kalkulus
yang berhubungan dengan turunan disebut kalkulus diferensial.
Contoh :
1. Andaikan
Jawab :
2. Jika
Jawab :
3. Cari nilai g’(x), jika
Jawab :
Rena Amalika Asyari 39
Aturan turunan limit diatas bisa lebih disederhanakan menjadi turunan fungsi
seperti di bawah ini :
Contoh :
Rena Amalika Asyari 40
7.1 PENGGUNAAN TURUNAN
Nilai Maksimum dan Minimum
Dalam kehidupan sering kali kita dihadapkan pada masalah penentuan cara
terbaik untuk melakukan sesuatu. Kadang – kadang ini ternyata masalah
pemaksimuman (atau peminimuman) suatu fungsi pada himpunan tertentu.
Jika demikian, metode-metode kalkulus meyediakan alat ampuh untuk
pemecahan masalah tersebut.
Gambar 1
Rena Amalika Asyari 41
Lihat gambar 1 diatas
Andaikan S daerah asal f, memuat titik c kita katakan bahwa :
(i) f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f (c) ≥ f(x) untuk semua x di S
(ii) f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f (c) ≤ f(x) untuk semua x di S
(iii) f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai
minimum
Biasanya fungsi yang ingin kita maksimumkan atau minimumkan akan
mempunyai suatu selang I sebagai daerah asalnya. Beberapa dari selang ini
memuat titik-titik ujung, beberapa tidak. Misalnya, memuat titik ujung
dua-duanya; hanya memuat titik ujung kiri; tidak memuat
titik ujung satupun.
Jika c sebuah titik pada mana f’(c)=0, jika f(c) adalah titik ekstrim, maka
c haruslah suatu titik kritis yakni c berupa salah satu : titik ujung dari I, titik
stationer dari f(f’(c)=0), dan titik singular dari f(f”(c) tidak ada).
Contoh :
1. Carilah nilai – nilai maksimum dan minimum dari pada
Jawab :
Titik – titik ujung adalah -1/2 dan 2. Untuk mencari titik-titik stationer kita
pecahkan :
Maka diperoleh nilai x adalah 0 dan 1. tidak terdapat titik-titik singular, jadi
titik-titik kritis adalah -1/2, 0, 1, 2
Untuk mencari nilai maksimum dan minimum maka :
Rena Amalika Asyari 42
Jadi nilai maksimum dicapai pada x=1 dan x = -1/2 dan nilai minimum pada
x=-2, dapat dilihat pada gambar dibawah ini :
2. Kotak persegi panjang dibuat dari selembar papan, panjang 24 cm dan lebar 9
cm, dengan memotong persegi panjang identik pada keempat pojok dan
melipat ke atas sisi-sisinya seperti pada gambar di bawah ini. Cari ukuran
kotak yang volumenya maksimum dan berapa nilai volumenya?
Rena Amalika Asyari 43
Jawab :
Andaikan x adalah sisi persegi panjang yang harus dipotong dan V adalah
volume kotak yang dihasilkan, maka :
Sekarang x tidak dapat lebih kecil dari 0 ataupun lebih besar dari 4.5,
sehingga nilai maksimum V didapat pada selang . Titik – titik stationer
didapat pada V’ = 0, maka :
Ini memberikan x = 2 atau x = 9, tetapi 9 tidak pada selang . Terdapat
tiga titik kritis yaitu 0, 2 dan 4.5. Pada titik-titik ujung 0 dan 4.5 nilai V = 0,
pada 2 nilai V = 200. Jadi kotak mempunyai volume maksimum 200 cm3, jika
x = 2, yaitu panjangnya 20 cm, lebar 5 cm dan tinggi 2 cm.
Latihan Soal :
1. Hitung Turunan (y’) dari :
a. c. y = (2x3 – 2x)(7x2 - x + 3)
b. y = d.
2. Kenali titik kritis dan cari nilai maksimum-minimum pada
a. f(x) = pada I = [-2,1]
b. pada
3. Seseorang petani memutuskan membuat 3(tiga) kandang yang identik dengan
80 meter kawat yang dimilikinya. Berapa ukurannya agar kandang seluas
mungkin? (sisi sepanjang gudang tdak memerlukan kawat)
Rena Amalika Asyari 44
GUDANG
8. I N T E G R A L
Pada bab sebelumnya telah dikaji tentang pendiferensialan (penurunan),
maka kebalikannya yaitu anti pendiferensialan (anti penurunan), atau biasa
disebut dengan istilah integral.
Penulisan integral yang lebih mudah diingat adalah penulisan Leibniz yaitu
menggunakan lambang .... dx. Dibawah ini adalah beberapa rumusan integral
dengan C adalah konstanta, yaitu :
Contoh :
Rena Amalika Asyari 45
8.1 INTEGRAL TENTU
Misal f(x) kontinu pada dan f(x) adalah anti turunan dari f(x). Maka
, a merupakan batas bawah dan b adalah batas atas
pengintegralan. Dibawah ini adalah sifat – sifat yang berkaitan dengan integral
tentu yaitu :
Contoh :
1. Hitung
Jawab :
2. Hitung
Jawab :
Rena Amalika Asyari 46
a b
R
y=f(x)
8.2 PENGGUNAAN INTEGRAL
Luas daerah Bidang Rata
Daerah Di atas Sumbu X.
Andaikan y = f(x) menentukan
persamaan sebuah kurva pada
bidang xy dan andaikan f kontinu
dan tak negatif pada selang
(interval) a ≤ x ≤ b. Lihat gambar
disamping, tinjaulah daerah R yang
dibatasi oleh grafik – grafik dari y
= f(x), x = a, x=b dan y=0. Kita mengacu R sebagai daerah di bawah y = f(x)
antara x = a dan x = b. Maka luasnya A (R) ditentukan oleh :
Contoh :
Tentukan luas daerah R di bawah kurva y = 2x3 – x2 + 6x + 5, antara x = 0,
dan x = 2
Jawab :
Kurva persamaan y = 2x3 – x2 + 6x + 5
Rena Amalika Asyari 47
R
a b
R
y=f(x)
Daerah Di Bawah Sumbu X.
Luas dinyatakan oleh bilangan yang tak
negatif. Apabila grafik y = f(x) terletak
di bawah sumbu x, maka
adalah bilangan yang negatif. Sehingga
tak dapat melukiskan suatu luas. Akan
tetapi bilangan itu adalah negatif untuk
luas daerah yang dibatasi oleh y = f(x), x = a, x = b dan y = 0.
Contoh :
1. Tentukan luas daerah R yang dibatasi oleh y = (x2/3) – 4, sumbu x, x = -2 dan
x = 3
Jawab :
Kurva persamaan y = (x2/3) – 4
Rena Amalika Asyari 48
R
2. Tentukan luas daerah R yang dibatasi oleh y = x3 – 3x2 – x + 3, ruas sumbu
antara x = 1 dan x = 2 dan oleh garis x = 2
Jawab :
Kurva persamaan y = x3 – 3x2 – x + 3
Pada kurva diatas terlihat bahwa sebagian di atas sumbu x dan sebagiannya
lagi di bawah sumbu x, Luas masing – masing bagian ini harus dihitung
secara terpisah, yaitu :
Rena Amalika Asyari 49
R
R
Latihan Soal :
1. Tentukan nilai Integral dari fungsi berikut
a. f(x) = (x2+3x)15 (8x+12) c.
b. d. f(x) = –
2. Gambarlah daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva yang persamaannya
diketahui dan hitunglah luas daerahnya.
Rena Amalika Asyari 50
8. DERET BILANGAN DAN JUMLAH
Konvergen atau divergen suatu deret tak hingga dapat diperiksa melalui 5 tes di
bawah ini yaitu :
1. Tes Jumlah 4. Tes Integral
2. Tes Banding 5. Tes Akar
3. Tes Rasio
1. Tes Jumlah
- Konvergen jika
- Divergen jika
Contoh :
1. Deret Tak Hingga : 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n – 1)
Maka : Un = 2n – 1, U1 = 1
Karena nilai limitnya tak hingga maka deret ini adalah divergen.
2. Deret Tak Hingga :
Maka :
Rena Amalika Asyari 51
Karena nilai limit tak hingganya ada yaitu 2, maka deret ini konvergen.
2. Tes Banding
Contoh :
1. Deret Tak Hingga :
1 2 3
Vn
un 1 1/2 1/3
Dilihat dari tabel diatas bahwa , maka deret tersebut adalah
konvergen.
2. Deret Tak Hingga :
Maka :
1 2
Vn
un 1 1/4
Dilihat dari tabel diatas bahwa , maka deret tersebut adalah
konvergen.
Rena Amalika Asyari 52
3. Tes Rasio
Contoh :
1. Deret Tak Hingga :
Maka :
Karena setelah dicari deret bernilai 1 maka, deret diatas tidak bisa
menggunakan tes rasio, tetapi menggunakan cara lainnya.
2. Deret Tak Hingga :
Maka :
Nilai deret tersebut adalah 1/3, artinya deret tersebet bersifat konvergen
Rena Amalika Asyari 53
4. Tes Integral
Konvergen
Divergen
Contoh :
Karena nilainya tak hingga maka deret ini bersifat divergen
Karena nilai deret tersebut 1, maka sifatnya konvergen
5. Tes Akar
L < 1 maka konvergen
L = 1 pakai cara lain
L > 1 divergen
Contoh :
Rena Amalika Asyari 54
2.
Penulisan Jumlah dan Sigma
Perhatikan Jumlah : 12 + 22 + 32 + 42 + . . . + 1002
dan a1 + a2 + a3 + a 4 + . . . + 1002
untuk menunjukkan jumlah ini dalam suatu bentuk yang kompak, kita tuliskan
yang pertama sebagai dan yang kedua yaitu
kelinearan . Andaikan dan menyatakan dua barisan dan c suatu
konstanta, maka :
Contoh :
1. Andaikan bahwa dan . Hitung
Jawab :
Rena Amalika Asyari 55
2. Sederhanakanlah
Jawab :
Beberapa Jumlah Khusus
Contoh :
2. Hitung
Jawab :
Rena Amalika Asyari 56
3. Cari suatu rumus untuk
Jawab :
Latihan Soal :
1. Tentukan sifat deret dibawah ini :
2. Cari nilai sigma berikut ini :
Rena Amalika Asyari 57
Rena Amalika Asyari 58