statistika kalkulus

8/20/2019 statistika kalkulus

1/203

Mulyana

KALKULUSUNTUK

STATISTIKA

BUKU AJAR

UNIVERSITAS PADJADJARANFAKULTAS MIPA

JURUSAN STATISTIKA

BANDUNG2005

10 5 0 5 10

11.81

5.91

5.91

11.81

f x( )

g x( )

x

10 5 0 5 10

8.05

4.03

4.03

8.05

gx( )

hx( )


2/203

i

Kata Pengantar

Diktat ini disusun dalam upaya pengadaan bahan ajar Kalkulus I di

Fakultas Teknik Universitas Pasundan, mengingat mata kuliah ini merupakan

mata kuliah dasar keakhlian, sehingga materi kuliah yang diberikan diharapkan

dapat mendukung para mahasiswa Fakultas Teknik Universitas Pasundan dalam

mempelajari materi kuliah ilmu-ilmu teknik yang banyak memerlukan

pemahaman ilmu kalkulus. Selain itu, karena mata kuliah Kalkulus ini merupakan

salah satu mata kuliah yang diberikan pada kelas-kelas paralel, yang diajarkan

oleh beberapa dosen, sehingga keragaman materi dan pencapaian materi

kemungkinannya cukup besar. Oleh karena itu, dengan adanya diktat ini

diharapkan keragaman tersebut dapat diperkecil.Penulis merasa materi pada diktat ini masih belum sempurna, sehingga

kritik dan saran untuk perbaikan dan penyempurnaannya sangat diharapkan,

karena editing akan selalu dilakukan setiap waktu, agar diktat ini dapat dijadikan

acuan sebagai bahan ajar mata kuliah Kalkulus untuk mahasiswa fakultas teknik.

Kritik, saran, dan bantuan pemikiran dari semua pihak sehingga terwujudnya

diktat ini, dan harapan untuk menjadikan diktat ini sebagai acuan materi

perkuliahan, sekali lagi sangat diharapkan, dan diucapkan banyak terima kasih

atas semua kerja-samanya.

Bandung , Oktober 2004

Penulis


3/203

ii

DAFTAR ISI

Halaman

Kata Pengantar i

Daftar Isi ii

BAB I PENDAHULUAN 1

I.1. Struktur Bilangan 1

I.2. Sistem Bilangan Riil 2

I.3. Kalimat Matematis 4

I.4. Persamaan Linier 5

I.5. Persamaan Kuadrat 5

I.6. Bentuk-Bentuk Pertidaksamaan 8I.6.1. Pertidaksamaan Linier 8

I.6.2. Pertidaksamaan Irasional 9

I.6.3. Pertidaksamaan Pangkat Dua atau Lebih 11

I.6.4. Pertidaksamaan Pecahan 13

I.6.5. Pertidaksamaan Yang Mengandung Nilai Mutlak 15

BAB II FUNGSI DAN GRAFIK 19

II.1. Deskripsi Fungsi 19

II.2. Gambar Fungsi 21

II.3. Fungsi Komposisi 23

II.4. Beberapa Bentuk Fungsi 24

II.4.1. Fungsi Linier 24

II.4.2. Fungsi Kuadrat 29

II.4.3. Fungsi Pangkat 33

II.4.4. Fungsi Logaritma 33

II.4.4. Fungsi Siklometri (fungsi goniometri , fungsi trigonometri) 34

II.5. Fungsi Irisan Kerucut 39

II.5.1. Lingkaran 39

II.5.2. Ellips 42

II.5.3. Hiperbola 43


4/203

iii

BAB III LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI 46

III.1. Cara menghitung nilai limit 46

III.2. Dalil-Dalil Limit Fungsi 48

III.3. Limit Kiri , Limit Kanan 50

III.4. Kekontinuan Fungsi 52

BAB IV TURUNAN (DIFERENSIASI) 54

IV.1. Arti Turunan Fungsi 55

IV.2. Dalil Dasar Untuk Turunan 55

IV.3. Turunan Fungsi Implisit 58

IV.4. Turunan dan Kekontinuan Fungsi 59

IV.5. Turunan Orde Tinggi 60

IV.6. Nilai Ekstrim Fungsi 61IV.7. Beberapa Penggunaan Turunan 63


5/203

1

BAB I

SISTEM BILANGAN

Bilangan adalah sebuah aksioma, sehingga tidak perlu didefinisikan. Untuk

menyatakan sebuah bilangan digunakan lambang bilangan, yang berupa himpunan benda

sejenis yang ada di sekitar kita. Misalnya bilangan lima, dapat dilambangkan oleh lima jari

atau lima buah benda sejenis. Untuk keperluan perhitungan, digunakan gambar lambang

bilangan yang dinamakan dengan angka. Angka inilah yang digunakan sebagai “wakil

bilangan”. Misal pernyataan 5 + 2 = 7. Dalam hal ini, 5, 2 dan 7, bukan sebagai angka,

tetapi sebagai wakil dari bilangan “lima”, “dua” dan “tujuh”.

I.1. Struktur Bilangan

Bilangan dapat dikelompokan atas himpunan,

1. Bilangan asli : {1 , 2 , 3 , . . . }

2. Bilangan cacah : {0 , 1 , 2 , 3 , . . . }

Pada himpunan bilangan ini didefinisikan bilangan prima, yaitu bilangan yang hanya

habis dibagi oleh dirinya sendiri. Misal : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . .

3. Bilangan bulat : { . . . , −3 , –2 , −1 , 0 , 1 , 2 , 3 , . . . }

Bilangan yang berada di “sebelah kiri” 0 atau bilangan yang lebih kecil dari 0,dinamakan bilangan negatif. Yang di “kanannya” atau bilangan yang lebih besar dari

0, dinamakan bilangan positif .

4. Bilangan real yang terdiri atas bilangan rasional dan bilangan irasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat disajikan dalam bentukb

a, b tidak sama

dengan 0 (ditulis b ≠ 0), dengan a dan b bilangan bulat. Bilangan rasional jika disajikan

dalam bilangan desimal, yaitu bilangan yang disajikan dengan menggunakan tanda koma

(,) jika nilainnya antara 0 dengan 1. Maka pada desimalnya (bilangan disebelah kanan

tanda koma) terjadi pengulangan bilangan atau “terhenti”pada 0. Misalnya,

...142857142857,07

2= , ...333,1

3

4= , ...2500,0

4

1= , 3 = 0,000…


6/203

2

Dalam bilangan rasional, pernyataanb

a, b ≠ 0, jika a lebih kecil dari b (ditulis a < b),

dinamakan pecahan murni, sedangkan jika a lebih besar dari b (ditulis a > b),

dinamakan pecahan campuran, sebab bentuknya dapat disajikan atas bilangan bulat

dan pecahan murni, misalnya :3

11

3

4= . Bilangan yang tidak memiliki ciri seperti

bilangan rasional dinamakan bilangan irasional.

Bilangan irasional merupakan kawan (komplemen) dari bilangan rasional. Bilangan

irasional jika disajikan dalam bilangan desimal, maka pada desimalnya tidak akan terjadi

pengulangan. Yang termasuk bilangan irasional diantaranya,

1. π = 3,141592654…, yang biasa diidentikan dengan7

22,

2. bilangan eksponensial e = 2,7182818…, yang biasa diidentikan dengan 3,

3. bilangan akar yang tidak dapat dirasionalkan, misalnya 2 , 5 , dan sejenisnya

5. Bilangan kompleks, yaitu bilangan yang disajikan oleh :

a + ib

dengan a dan b bilangan real, i = 1− yang dinamakan bilangan imaginer.

Pada sajian ini a dinamakan bagian real dan b bagian imaginer.

Jika dibangun struktur bilangan, maka bentuknya akan seperti pada Gambar I.1.


7/203

3

Gambar I.1

Struktur Bilangan

Jika dinotasikan, N = himpunan bilangan asli, C = himpunan bilangan cacah,

Z = himpunan bilangan bulat, Q = himpunan bilangan rasional, I = himpunan bilangan

irasional, R = himpunan bilangan real, dan K = himpunan bilangan kompleks, maka berlaku

hubungan,

1. C = N ∪ {0}

2. Q ∩ I = φ

3. R = Q ∪ I

4. N ⊂ C ⊂ Z ⊂ R ⊂ K

I.2. Sistem Bilangan Real

Dalam matematika, yang disebut dengan sistem, adalah himpunan tidak kosong yang didalamnya dilibatkan operasi terhadap anggota himpunannya. Pada himpunan bilangan real,

operasi antar anggotanya adalah, perkalian (notasinya, x atau . ), yang memiliki kawan,

pembagian (notasinya, : atau ÷ ), dan perjumlahan (notasinya, + ) yang memiliki kawan,

pengurangan (notasinya, −−−− ). Pada proses perhitungan, operasi perkalian harus

bilangankompleks

bilangan

imaginer

bilangan

real

bilanganirasional

bilanganrasional

bilangan

pecahan

bilangan

bulat

bilangan bulat

negatif

bilangan

cacah

bilangan nol

(0)

bilangan

asli


8/203

4

didahulukan dari operasi perjumlahan, kecuali jika operasi perjumlahan itu ada didalam

tanda kurung, sedangkan operasi perkalian dengan pembagian, dan perjumlahan dengan

pengurangan, sifatnya setara, artinya mana yang lebih dulu disajikannya. Jadi yang

dimaksud dengan sistem bilangan real adalah himpunan bilangan real yang di

dalammya dilibatkan operasi-operasi x dan +.

Sistem bilangan real merupakan sitem bilangan yang banyak digunakan dalam

perhitungan sehari-hari dan persoalan terapan. Operasi dalam sistem bilangan real memiliki

sifat :

1. Tertutup.

Jika a dan b bilangan real, maka a x b (ditulis ab) dan a + b juga bilangan real.

2. Komutatif .

Jika a dan b bilangan real, maka ab = ba , dan a + b = b + a .

3. Asosiatif .

Jika a , b , dan c bilangan real, maka a(bc) = (ab)c , dan a + (b + c) = (a + b)

4. Distributif .

Jika a , b , dan c bilngan real, maka a(b + c) = ab + ac

Sifat asosiatif dan distributif menyatakan bahwa operasi dalam tanda kurung harus

selalu didahulukan.

5. Trikhotomi.

Jika a dan b bilangan real, maka hanya satu dari tiga hubungan di bawah ini yang

berlaku.

1) a = b,

2) a > b yang berarti : a – b positif ( a – b > 0),

3) a < b yang berarti : a – b negatif ( a – b < 0),

Sifat trikhotomi ini menyimpulkan, jika a dan b bilangan real, maka kemungkinannya

a = b atau a b. Dan jika a b, maka kemungkinannya a < b atau a > b.

Dalam sistem bilalangan real, disajikan pula pernyataan a ≥ b, atau a ≤ b. Perbedaan arti

dari sajian a ≥ b dengan a > b, (a ≤ b dengan a ≤ b) adalah : jika a < b (a > b) artinya a

dengan b murni tidak sama. Tetapi untuk a ≤ b (a ≥ b) tidak murni tidak sama,

artinya ada kemungkinan a = b.


9/203

5

Sebagai implikasi dari sifat trikhotomi, maka berlaku hubungan

1) a + b > 0, jika a > 0, b > 0,

a + b < 0, jika a < 0, b < 0,

ab > 0, jika a > 0, b > 0, atau a < 0, b< 0

ab < 0, jika a > 0, b < 0, atau a < 0, b > 0.

2) untuk setiap bilangan real c,

(1) a + c > b + c, jika a > b,

(2) a + c < b + c, jika a < b,

(3) jika a > b, maka ac > bc, jika c > 0. Dan ac < bc, jika c < 0,

sebaliknya,

jika a < b, maka ac < bc, jika c > 0. Dan ac > bc, jika c < 0.

6. Adanya unsur satuan

Definisi

s dinamakan unsur satuan dari x terhadap operasi *, jika s*x = x atau x*s = x.

Dalam sistem bilangan real, unsur satuan terhadap perkalian (x) adalah 1, dan terhadap

perjumlahan (+) adalah 0.

7. Adanya unsur kawan

Definisi

k dinamakan unsur kawan dari x terhadap operasi *, jika k*x = s atau x*k = s, s unsur

satuan.

Dalam sistem bilangan real, unsur kawan dari x terhadap perkalian adalah :x

1 (x

-1), dan

terhadap perjumlahan : –x.

Berdasarkan unsur kawan ini, berlaku pernyataan

x : y = x

y

1 =

y

x

dan

x – y = x + (−y).


10/203

6

I.3. Kalimat Matematis

Kalimat matematis adalah kalimat yang memiliki nilai salah atau benar. Jika nilainya

dapat ditentukan secara langsung tanpa sebuah proses perhitungan, maka kalimat matematis

dinamakan kalimat tertutup. Sedangkan jika tidak langsung (nilainya harus dicari melalui

sebuah proses perhitungan) dinamakan kalimat terbuka.

Contoh

Kalimat tertutup : 2 + 3 = 5

3 x 6 < 20

Kalimat terbuka : x + 3 = 5

3x < 20

Dalam sistem bilangan real, yang termasuk kalimat tertutup adalah kesamaan dan

ketidaksamaan, sedangkan kalimat terbuka persamaan dan pertidaksamaan.

Gambar I.2

Struktur Kalimat Matematis

Sifat trikhotomi merupakan perwujudan (implemantion) dari kalimat tertutup dalam

sistem bilangan real. Sebab jika ada dua bilangan real a dan b, maka kemungkinannya,

a sama dengan b (a = b), atau a tidak sama dengan b a ≠ b (a ≠ b). Dalam hal a ≠ b,

kemungkinannya, a > b atau a < b.

Bentuk ketidaksamaan, a > b (a < b), dinamakan ketidaksamaan murni, sedangkan ba ≥ ,

(a ≤ b) dinamakan ketidaksamaan tidak murni.

Karena nilai dari kalimat tertutup dapat ditentukan secara langsung, sehingga untuk

menentukan jawabnya tidak diperlukan perhitungan atau analisis tertentu, maka tidak ada

KALIMAT

MATEMATIS

KALIMAT

TERBUKA

KALIMAT

TERTUTUP

KESAMAAN KETIDAK-SAMAAN

PERSAMAAN PERTIDAK-SAMAAN


11/203

7

pembahasan lanjut tentang kalimat tertutup. Pembahasan lanjut dilakukan hanya untuk

kalimat terbuka, yaitu persamaan dan pertidaksamaan, sebab untuk menentukan jawabnya

diperlukan perhitungan tertentu.

Sudah dikemukakan, dalam sistem bilangan riil, yang termasuk dalam kalimat terbuka

adalah persamaan, yaitu kalimat terbuka yang melibatkan tanda sama dengan (=), dan

pertidaksamaan yaitu kalimat terbuka yang melibatkan tanda tidak sama dengan

(> , ≥ , , ≥ ,


12/203

8

I.4.1. Persamaan Linear

Persamaan linear merupakan persamaan yang bentuknya paling sederhana. Bentuk

umum persamaannya adalah

ax + b = 0

dengan a ≠ 0 dan b, bilangan real. x variabel. Jawab dari persamaan ini adalah,

x = −a

b

Contoh 1.

Tentukan jawab persamaan 2x – 3x2 + 1 = 5x – 3x

2 – 7

Jawab :

Ruas kanan disama dengankan 0 2x – 3x2 + 1 − 5x + 3x2 + 7 = 0 −3x + 8 = 0

Sehingga jawab persamaannya : x = −3

8

− =

3

8 =3

22

I.4.2. Persamaan Kuadrat

Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah

0cbxax2 =++

dengan a ≠ 0 , b dan c bilangan real. x variabel.

Jawab dari persamaan kuadrat dapat diperoleh dengan cara

1. Metode faktorisasi.

Konsepsinya,

(1) faktorkan hasil kali a dengan c, dengan jumlah kedua faktornya sama dengan b.

a x c = d = d1 x d2 , d1 + d2 = b,

(2) ubah persamaan kuadrat menjadi ax2 + d1x + d2x + c = 0

(3) lakukan perhitungan sebagai kerikut.

ax

2

+ d1x + d2x + c = (ax

2

+d1x) + (d2x + c) = ax(x + a

d1

) + d2(x + 2d

c

) = 0

Karena a x c = d1 x d2 yang identik dengana

d1 =2d

c = e , maka

(ax + d2)(x + e) = 0


13/203

9

Sehingga jawabnya,

ax + d2 = 0 x1 =a

d 2−

x + e = 0 x2 = −e = ad1

−

2. Dengan menggunakan rumus.

Konsepsinya, jika x1 dan x2 jawab persamaan kuadrat, maka dipenuhi hubungan :

a2

ac4bbx

2

21

−±−=., .

dalam formulasi tersebut, b2 – 4ac = D , dinamakan diskriminan.

Nilai diskriminan dapat digunakan untuk menentukan ciri dari jawab persamaan. Jika

1) D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua jawab bilangan real,2) D = 0 maka persamaan memiliki satu jawab bilangan real,

3) D < 0 maka persamaan memiliki jawab bilangan kompleks.

Contoh 2.

Tentukan jawab dari persamaan 2x2 – 3x – 2 = 0 !

Jawab :

Dengan cara faktorisasi:

(2) x (−2) = −4 = (−4) x (1) , sebab (−4) + (1) = −3 .

Jika dihubungkan dengan teorinya : a = 2 , d1 = −4 , d2 = 1 , maka jawabnya

x1 =a

d 2− =2

1−

x2 =a

d1− =2

4−− = 2

Dengan menggunakan rumus :

D = (-3)2 – 4(2)(-2) = 25 > 0,

jadi persamaan kuadrat memiliki jawab dua bilangan real, yaitu


14/203

10

( )( ) 4

53

22

253x 21

±=

±−−=.,

24

53x1 =

+=

2

1

4

53x 2 −=

−=

Jadi jawab persamaan 2x2 – 3x – 2 = 0 adalah, x = 2 dan x =

2

1− .

Jika disajikan dalam sebuah bentuk himpunan, maka himpunan jawabnya,

H = {2

1− . 2}.

Dari rumus untuk mencari jawab persamaan kuadrat 0cbxax 2 =++ , yaitu

a2

ac4bbx

2

2.1

−±−= , yang berarti

a2

ac4bbx

2

1

−+−= dan

a2

ac4bbx

2

2

−−−= .

Maka diperoleh hubungan

1)a

b

a2

b2

a2

ac4bb

a2

ac4bbxx

22

21 −=−

=−−−

+−+−

=+

2)( ) ( )

( )

−−−=

−−−

−+−=

2

22222

21a2

ac4bb

a2

ac4bb

a2

ac4bbx.x

( )a

c

a4

ac4

a4

ac4bb

22

22

==−−

=

Yang menyimpulkan bahwa, jika x1 dan x2 jawab persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, maka

berlaku hubungan

1)a

bxx 21 −=+

2)a

cx.x

21

= .


15/203

11

Contoh 3.

Jika x1 dan x2 jawab persamaan 3x2 + 2x – 1 = 0 , maka dengan tidak menghitung nilai-

nilainya, hitunglah

a) x12 + X2

2 !

b) x12 – x2

2 !

Jawab :

a) ( )9

10

3

2

9

4

3

12

3

2xx2xxxx

2

21

2

21

2

2

2

1 =+=

−−

−=−+=+

b) ( )( ) ( )

−

−=+−=−

3

2xxxxxxxx

2

212121

2

2

2

1

2

221

2

1 xxx2x

3

2+−−=

( )3

2

9

10

3

2

3

12

9

10

3

2xx2xx

3

2 21

2

2

2

1 +−=

−−−=−+−=

9

8

9

16

3

2 −=−=

Contoh 4.

Bangun persamaan kuadrat yang jumlah nilai jawabnya sama dengan 3, dan hasil kalinya

sama dengan –2 !Jawab :

Jika dimisalkan bentuk persamaannya ax2 + bx + c = 0 dan x1 , x2 , maka

x1 + x2 = −a

b = 3 b = −3a

x1x2 =a

c = −2 c = −2a

sehingga persamaan yang dicari

ax2 – 3x –2a = 0.

Karena a ≠ 0 maka kedua ruas dari persamaan dapat dibagi oleh a , sehingga bentuk

persamaan kuadratnya,

x2 – 3x –2 = 0


16/203

12

Contoh 5.

Bangun persamaan kuadrat yang jawab-jawabnya lebih besar 2 dari persamaan

−3x2 + 4x –2 = 0

Jawab :

Jika dimisalkan x1 , x2 jawab persamaan

−3x2 + 4x –2 = 0 ,

dan y1 , y2 jawab persamaan kuadrat yang akan dibangun dengan persamaan

ay2 + by + c = 0 ,

maka

y1 + y2 = −a

b = (x1 + 2)(x2 + 2) = (x1 + x2) + 4 = −

3

4

− + 4 =

3

16 b = −

3

16a

y1y2 =a

c = (x1 + 2)(x2 +2) = x1x2 + 2(x1 + x2) + 4 = −3

2

−− + 2

−−

3

4 + 4 =3

22

c =3

22a

Sehingga bentuk persamaan yang dicari adalah

0a3

22ay

3

16ay2 =+− .

Karena a 0, jika persamaan dibagi a dan dikalikan 3 , maka persamaan kuadrat yang dicari,

022y16y3 2 =+− ,

atau

022x16x3 2 =+−

jika variabelnya disajikan oleh x

Definisi

Bentuk kuadrat ax2 + bx + c, dinamakan

1) definit positif , jika ax2 + bx + c > 0, untuk sembarang nilai x.

Hal ini akan terjadi jika D = b2 – 4ac < 0 dan a > 0.

2) definit semi positif, jika ax2 + bx + c 0, untuk sembarang nilai x.

Hal ini terjadi jika D = b2 – 4ac 0 dan a > 0.

3) definit negatif , jika ax2 + bx +c < 0, untuk sembarang nilai x.

Hal ini terjadi jika D = b2 – 4ac < 0 dan a< 0


17/203

13

4) definit semi positif , jika ax2 + bx +c 0, untuk sembarang nilai x.

Hal ini terjadi jika D = b2 – 4ac 0 dan a< 0

I.4.3. Persamaan Polinom

Persamaan anxn + an-1x

n-1 + . . . + a1x + a0 = 0, dengan n 3 dan an 0, dinamakan

persamaan polinom berderajat n. Menyelesaikan persamaan ini, tidak sesederhana dan

semudah seperti menyelesaikan persamaan kuadrat atau persamaan linear , karena untuk

memfaktorkan ruas kiri tidak ada acuan khusus. Salah satu acuan yang dapat digunakan

(walaupun belum tentu mudah prosesnya), adalah faktor dari konstanta persamaan (a0).

Contoh 6

Tentukan jawab persamaan 6x3 – 13x2 + 4x + 3 = 0

Jawab :

a0 = 3 = 3 x 1 = −3 x − 1

Jika disubtitusikan x = 1 ke ruas kiri 6(1)3 – 13(1)2 + 4(1) + 3 = 6 – 13 + 4 + 3 = 0 maka

x - 1 salah satu faktor dari 6x3 – 13x

2 + 4x + 3.

Untuk mencari faktor yang lainnya,

1) bagi 6x3 – 13x

2 + 4x + 3 oleh (x – 1) (6x3–13x2+4x+3) : (x–1) = 6x2–13x–3

2) faktorkan 6x2 – 13x – 3 6x2 – 13x – 3 = (2x – 3)(3x + 1).

Sehingga faktorisasi persamaan : 6x3

– 13x2

+ 4x + 3 = (x – 1)(2x – 3)(3x + 1) = 0

dan jawabnya

x – 1 = 0 x1 = 1

2x – 3 = 0 x2 =2

3 = 1

2

1

3x + 1 = 0 x3 =3

1−

Contoh 7

Tentukan jawab persamaan 2x3 − 7x2 + 7x − 5 = 0

Jawab :

a0 = −5 = 5 x −1 = −5 x 1.

Jika disubtitusikan ke ruas kiri :

x = 1 2(1)3 − 7(1)2 + 7(1) – 5 = 2 – 7 + 7 – 5 = −3 0


18/203

14

x = −1 2(−1)3 – 7(−1)2 + 7(−1) – 5 = −2 – 7 – 7 – 5 = −21 0

x = 5 2(5)3 – 7(5)2 + 7(5) – 5 = 250 – 175 + 35 – 5 = 105 0

x = −5 2(−5)3 – 7(−5)2 + 7(−5) – 5 = −250 – 175 – 35 – 5 = −465 0

Jadi tidak ada jawab persamaan yang merupakan bilangan bulat.

Jika menelaah hasil perhitungan, nilai persamaan untuk x = −5 dengan x = 5 berbeda tanda.

Artinya, dalam selang −5 < x < 5, ada nilai x yang menyebabkan persamaan sama dengan 0.

Jika disubtitusikan x =2

5 ke ruas kiri, maka diperoleh hasil

2(2

5)3 – 7(

2

5)2 + 7(

2

5) – 5 =

4

125 −

4

175 +

2

35 − 5 = 0

Yang berarti, (x − 2

5) adalah salah satu faktor persamaan.

Sehingga faktorisasinya, 2x3 − 7x2 + 7x − 5 = (x − 2

5)(x2 – x + 1).

Jika dihitung, determinan dari bentuk kuadrat x2 – x + 1, D = (−1)2 − 4(1)(1) = −3 < 0,

dan koefisien kuadratnya, a = 1 > 0. Sehingga bentuk kuadrat (x2 – x + 1) definit positif,

atau x2 – x + 1 > 0, untuk setiap nilai x.

Sehingga jawab persamaan 2x3 − 7x2 + 7x − 5 = 0 adalah : x =

2

5.

Untuk menyelesaikan persamaan polinom berderajat n, n 3, jika sulit dilakukan secara

“manual”, dapat digunakan perangkat lunak komputer (software), diantaranya Mathcad.

Mathcad adalah perangkat lunak komputer untuk membantu perhitungan dalam persoalan

Matematika dan terapannya. Program ini sangat berguna bagi para profesional, pendidik,

dan mahasiswa, yang sering menggunakan kalkulus untuk menyelesaikan persoalan terapan.

Karena program ini memiliki kemampuan yang tinggi, dalam proses penyelesaiannya.

Sebagai sebuah spreadsheet , cukup sederhana dalam penggunaannya.

Misalnya untuk mencari jawab persamaan

2x4 - x3 + 3x2 - x -2 = 0.

Jika dilakukan secara “manual”, prosesnya tidak sederhana dan memerlukan waktu yang

cukup lama. Sedangkan jika diselesaikan dengan menggunakan Mathcad 2000, maka

prosesnya cukup sederhana, sebagai berikut.


19/203

15

1. “Jalankan” program Mathcad 2000, sehingga diperoleh tampilan seperti di bawah ini.

2) “Tutup” tampilan Resource Centre, sehingga tampilan menjadi seperti di bawah ini.

3) Pada “ruang editor” (bidang putih yang ada “ponter” +) secara berurut tulis

f(x) 2x4 - x

3 + 3x

2 - x -2

x (tulis sembarang nilai)

soln root(f(x),x), selanjutnya klik pada fungsi Evaluati…

soln =

Catatan

tanda , dapat diperoleh dengan mengkliknya pada fungsi Calculator atau

Evaluati…


20/203

16

Dari tampilan spreadsheet , diperoleh himpunan jawabnya

H = {0,885 , -0,578 , 0,097 + 1,349i , 0,097 - 1,349i}

I.5. Bentuk-bentuk Pertidaksamaan

Sudah dikemukakan, pertidaksamaan adalah kalimat matematis yang melibatkan tanda

>, ,


21/203

17

Contoh 8.

Tentukan harga x yang memenuhi pertidaksamaan 5x – 3 < 2x + 9 !

Jawab :

5x – 3 < 2x + 9 5x – 2x < 9 + 3 3x < 12 x


22/203

18

[

3

(

2

Jawab pertidaksamaan adalah irisan kedua garis bilangan, yaitu :

x ≥ 3 .

I.5.2. Pertidaksamaan Irasional

Pertidaksamaan irasional adalah pertidaksamaan yang satu atau beberapa sukuvariabelnya berada di bawah tanda akar, sehingga untuk mencari jawabnya harus

diperhatikan syarat dari suku di bawah tanda akarnya, agar diperoleh nilai dalam bilangan

real. Prinsip mencari jawab dari pertidaksamaan ini, adalah dengan mengubah suku

irasional menjadi rasional, yang salah satu diantaranya melalui proses pengkuadratan.

Contoh 11.

Selesaikan pertidaksamaan 52x3 2


23/203

19

2x3 − < 5 ( )22x3 − < 52 3x – 2 < 25 3x < 25 + 2 x < 9

Jika kedua jawab digabungkan dengan menggunakan garis bilangan,

[

3

2

)

9

maka himpunan jawabnya


24/203

20

Jika ketiga jawab, (1), (2), dan (3), digabungkan dengan menggunakan garis bilangan

[

2

3

[

3

4

(

1

maka himpunan jawabnya :

≥=

2

3xxH .

Contoh 13.

Tentukan harga x yang memenuhi pertidaksamaan 11x6x >−>−>−

>−+−


25/203

21

I.5.3 Pertidaksamaan Polinom

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan polinom, dapat dilakukan dengan proses sebagai

berikut

1. Jadikanlah ruas kanan sama dengan 0 , dan pangkat variabel yang paling tinggi

koefisiennya positif.

2. Unsur di ruas kiri, jika mungkin uraikan atas faktor-faktor linier, dan hitung nilai-nilai

yang menyebabkan faktor-faktor sama dengan 0 (nilai ini dinamakan nilai nol).

3. Sajikan nilai-nilai nol pada garis bilangan, dan lakukan uji tanda untuk menentukan

daerah himpunan jawab, dengan cara sebagai berikut :

3.1. ambil sebuah nilai yang bukan nilai nol dan subtitusikan ke ruas kiri.

3.2 perhatikan tanda dari nilai yang diperoleh, positif (+) atau negatif (-).

3.3 tandai daerah di mana nilai yang diambil tersebut berada dengan tanda yang

diperoleh, dan tanda berubah jika melewati nilai nol yang berasal dari faktor

berpangkat ganjil, sedangkan jika berasal dari faktor berpangkat genap tanda

tetap.

Contoh 14.

Tentukan himpunan jawab dari pertidaksamaan 5x2 – 4x + 11 < 2x

2 + 6x + 8 !

Jawab :

5x

2

– 4x + 11 < 2x

2

+ 6x + 8

5x

2

– 4x + 11 – 2x

2

– 6x – 8 < 0 3x2 – 10x + 3 < 0 (3x – 1)(x – 3) < 0

Nilai-nilai nolnya :

3x – 1 = 0 x =3

1

x – 3 = 0 x = 3

Ambil sembarang nilai x yang tidak sama dengan3

1 dan 3. Misalnya x = 0.

Subtitusikan x = 0 ke ruas kiri :

(3x – 1)(x – 3) = (3.0 – 1)(0) – 3) = 3 > 0

yang berarti daerah di sebelah kiri3

1 bertanda + , antara

3

1 dan 3 bertanda −, dan di sebelah

kanan 3 bertanda + , sehingga gambar daerah tandanya :


26/203

22

+ + + − − − + + +

3

1 3

Karena tanda pertidaksamaannya < 0 , jadi himpunan jawabnya

0 (x –2 )2(x –5)(x + 2) > 0


x – 2 = 0 x = 2

x – 5 = 0 x = 5

x + 2 = 0 x = -2

Gambar daerah tandanya :

+ + + - - - - - - + + +

−2 2 5

Karena tanda pertidaksamaan > 0 , jadi himpunan jawabnya

H = { x x 5 }

Contoh 16.

Tentukan batas-batas harga x yang memenuhi pertidaksamaan

3x2 – x + 10 > x

2 + 2x - 2

Jawab :

3x2 – x + 10 > x

2 + 2x – 2 3x2 – x +10 – x – 2x + 2 > 0 2x2 – 3x + 12 > 0

Karena bentuk kuadrat 2x2 – 3x + 12, memiliki ciri diskriminannya :

D = (-3)2 – 4(2)(12) = -87 < 0


27/203

23

koefisien kuadratnya :

a = 2 > 0,

maka bentuk kuadrat 2x2 – 3x + 12 definit positif , 2x

2 – 3x + 12 > 0 untuk setiap nilai x.

Sehingga himpunan jawabnya,

H = { x x bilangan real }.

I.5.4. Pertidaksamaan Pecahan

Pertidaksamaan pecahan adalah pertidaksamaan yang merupakan sebuah pecahan atas

suku-suku. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini prosesnya sebagai berikut,

1. Ruas kanan disama dengankan 0

2. Lakukan perhitungan di ruas kiri sehingga diperoleh sebuah bentuk pecahan atas suku-

suku, yang selanjutnya ubah menjadi bangun perkalian.

3. Faktorkan bangun perkalian tersebut (jika bisa), dan tentukan nilai-nilai nolnya.

4. Sajikan nilai-nilai nol pada garis bilangan dan lakukan penentuan daerah tanda.

Contoh 17.

Tentukan harga x yang memenuhi pertidaksamaan 64x5

3x2≤

+−

!

Jawab :

( )045x

2728x 045x

45x632x 0645x

32x 64x5

3x2

≤+−−

≤++−−

≤−+−

≤+−

⇔ (−28x – 27)(5x + 4) ≤ 0

Nilai nolnya :

−28x – 27 = 0 x = −28

27 = −

140

135

5x + 4 = 0 x = −5

4 = −

140

112


28/203

24

Gambar daerah tanda

− − − + + + − − −

28

27− 5

4−

sehingga himpunan jawabnya,

−≥

−≤=

5

4xx

28

27xxH

Contoh 18.

Selesaikan pertidaksamaan6x

5x

3x2

3x2

−+

≤−+

!

Jawab :

( )( ) ( )( )( )( )

06x3x2

3x25x6x32x 0

6x

5x

3x2

3x2

6x

5x

3x2

3x2≤

−−−+−−+

≤−+

−−+

−+

≤−+

( )( )( ) ( )( )

( )( )( ) 06x3x2316x

06x3x2

3x16 0

6x3x2

15x7x218x9x2

22

≤−−−−⇔

≤−−

−−≤

−−−+−−−


−16x – 3 = 0 x =16

3−

2x – 3 = 0 x =2

3

x – 6 = 0 x = 6

Gambar daerah tandanya

+ + + − − − + + + − − −

163− 2

3 6

sehingga himpunan jawabnya, { }6xx2

3x

16

3xH ≥

≤≤−=


29/203

25

Contoh 19.

Tentukan himpunan jawab untuk pertidaksamaan 36x5x

11x52

−≤+−

− !

Jawab :

( )( )( )

02x3x

6x5x3115x 03

6x5x

11x5 3

6x5x

11x5 2

22 ≤

−−+−+−

≤++−

−−≤

+−−

( )( )( )( )( )( )

02x3x

1x7x3 0

2x3x

7x10x3 2≤

−−−−

≤−−+−

(3x – 7)(x – 1)(x – 3)(x – 2) ≤ 0

Nilai nolnya :

3x – 7 = 0 x =

3

7

x – 1 = 0 x = 1

x – 3 = 0 x = 3

x – 2 = 0 x = 2

Gambar daerah tandanya

+ + + − − − + + + − − − + + +

1 23

7 3

Sehingga himpunan jawabnya, { }

≤≤≤≤= 3x

3

7x2x1xH

I.5.5. Pertidaksamaan Yang Mengandung Nilai Mutlak

Nilai mutlak dari x , ditulis x , didefinisikan sebagai berikut

<=>=

0x jika ,x-

0x jika , 0 0x jika , x

x

Berdasarkan definisi tersebut berarti nilai mutlak dari suatu bilangan riil adalah bilangan

positif atau 0. Sebagai contoh, 3 = 3 , −3 = −(−3) = 3.


30/203

26

Secara ilmu ukur x adalah jarak dari x ke 0 pada garis bilangan real.

x x

-x 0 x

Gambar I.3

Sajian ilmu ukur dari x

Sifat-sifat dari nilai mutlak

1. Untuk setiap bilangan real x , berlaku hubungan :

1) x ≥ 0

2) x = −x

3) x2 = x2 = x2

2. Untuk setiap bilangan real x dan y , berlaku hubungan :

1) x = y ⇔ x = ±y ⇔ x2 = y2

1) x − y = y − x

3) x + y ≤ y + x dan x − y ≤ x + y

4) x −y ≤ x − y dan x − y = x − y

5) xy = xy dan yx

y

x

=

3. Untuk setiap bilangan real x dan a ≥ 0 , berlaku hubungan :

1) x ≤ a , a > 0 ⇔ −a ≤ x ≤ a ⇔ x2 ≤ a2

2) x ≥ a , a > 0 ⇔ x ≥ a atau x ≤ -a ⇔ x2 ≥ a2

Berdasarkan telaahan dari nilai mutlak tersebut, proses penyelesaian pertidaksamaan

yang mengandung nilai mutlak, adalah dengan mengubah pertidaksamaan menjadi

pertidaksamaan yang tidak mengandung nilai mutlak. Selanjutnya penyelesaian

pertidaksamaan dilakukan berdasarkan bentuk kasusnya. Menghilangkan nilai mutlak

dalam pertidaksamaan dilakukan dengan memperhatikan sifat-sifat dari nilai mutlak seperti

yang telah dikemukakan.


31/203

27

Contoh 20.

Tentukan himpunan jawab pertidaksamaan

a. x2 − x ≤ 2

b. x2 – x −1 ≥ 1

Jawab :

a. x2 − x ≤ 2 ⇔ −2 ≤ x2 – x ≤ 2

−2 ≤ x2 – x ≤ 2

−2 ≤ x2 – x x2 – x ≤ 2

−2 – x2

+ x ≤ 0 x2

– x + 2 ≥ 0 x2

– x –2 ≤ 0 (x – 2)(x + 1) ≤ 0Karena bentuk kuadrat x2 – x + 2 Nilai nol : x – 2 = 0 x = 2diskriminannya : D=(−1)2– 4(1)(2) = −7 0 Gambar daerah tandanya

yang berarti pertidaksamaan

x2 – x + 2 ≥ 0, selalu benar, + + + − − − + + +atau himpunan jawabnya, −1 2

H1 = { xx bilangan riil }. sehingga himpunan jawabnya,H2 = { x−1 ≤ x ≤ 2 }.

Karena H1 ∩ H2 = H2 , jadi himpunan jawab pertidaksamaan x2 −x ≤ 2 adalah

H2 = { x−1 ≤ x ≤ 2 }


32/203

28

b. x2 – x − 1 ≥ 1 ⇔ x2 – x – 1 ≥ 1 atau x2 – x – 1 ≤ −1

x2 – x − 1 ≥ 1

x2 – x – 1 ≥ 1 x2 – x – 1 ≤ −1

x2 – x – 1 – 1 ≥ 0 x2 – x – 2 ≥ 0 x2 – x – 1 + 1≤ 0 x2 – x ≤ 0 (x –2)(x + 1) ≥ 0 x(x – 1) ≤ 0

Nilai nol : x – 2 = 0 x = 2 Nilai nolnya : x = 0

x + 1 = 0 x = −1 x – 1 = 0 x = 1Gambar daerah tandanya Gambar daerah tandanya

+ + + - - - + + + + + + - - - + + +

−1 2 0 1himpunan jawabnya, himpunan jawabnya,

H1 = { xx ≤ −1 } ∪ { xx ≥ 2 } H2 = { x0 ≤ x ≤ 1 }

Jika kedua himpunan jawab diiriskan dengan menggambarkan daerah tandanya

+ + + - - - + + +

−1 2

+ + + - - - + + +

0 1

maka himpunan jawab pertidaksamaan x2 – x − 1 ≥ 1 adalah himpunan kosong, H = φ.

Sehingga tidak ada nilai x memenuhi pertidaksamaan x2 – x − 1 ≥ 1

Contoh 21.

Selesaikanlah pertidaksamaan1x

2x

1x

x

+−

≤−


33/203

29

Jawab :

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) 01x

2x

1x

x

1x

2x

1x

x

1x

2x

1x

x

1x

2x

1x

x

1x

2x

1x

x

2

2

2

2

2

2

2

2

2222

≤+

−

−−+

−

≤−

+−

≤

−

+−

≤

−

+−

≤−

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ){ } ( )( ){ }

( ) ( )

( ){ } ( )( ){ }[ ] ( ){ } ( )( ){ }[ ]

( ) ( )

( ){ } ( ){ }( ) ( )

( )( )

( ) ( )

0

1x1x

1x2x21x4

01x1x

1x2xxxx1x2xxxx

01x1x

1x2x1xx1x2x1xx

01x1x

1x2x1xx 0

1x1x

1x2x1xx

22

2

22

2222

22

22

22

22

2222

≤

+−

+−−

≤+−

+−−+++−−−+

≤+−

−−++−−−+

≤+−

−−−+≤

+−−−−+


1) 4x –1 = 0 x =4

1 (1)

x – 1 = 0 x = 1 (2)

(x + 1)2 = 0 x + 1 = 0 x = −1 (3)

2) 2x2 – 2x + 1 = 0.

Karena bentuk kuadrat 2x2 – 2x + 1 memiliki nilai diskriminan

D=(−2)2 – 4(2)(1) = −4 0,

maka 2x2–2x+1 > 0, untuk setiap nilai x.

Sehingga gambar daerah tandanya

− − − − − − + + + + + +

-14

1 1

dan himpunan jawabnya,

≤=

4

1xxH


34/203

30

Jika kita menelaah proses penyelesaian sebuah pertidaksamaan, yang pada dasarnya

adalah, bagaimana menentukan nilai nol dari ruas kiri, setelah ruas kanan disama dengankan

nol ? Maka jika diinginkan menyelesaikan sebuah pertidaksamaan dengan menggunakan

program Mathcad, identik dengan menyelesaikan sebuah persamaan dari bentuk ruas

kirinya, yang dilanjutkan dengan menentukan daerah tandanya.

SOAL-SOAL UNTUK LATIHAN

1. Bentuk pembagianb

a, dengan a 0, terdefinisikan, jika b 0.

Bukti : Jika0

a = b, maka a = 0.b = 0.

Hal ini kontradiktif dengan ketentuan bahwa a

0

Selanjutnya tunjukan bahwa bentuk pembagian,0

0 juga tidak terdefinisikan.

2. Dalil fundamental dalam ilmu hitung (aritmetika) : Setiap bilangan asli merupakan hasil

perkalian dari bilangan prima.

Makna dari dalil tersebut, untuk menunjukan apakah bilangan asli merupakan bilangan

prima, adalah dengan memfaktorkannya atas bilangan-bilangan prima. Jika memiliki

lebih dari satu faktor bilangan prima, maka bilangan asli itu bukan bilangan prima.

Misal : 4 = 2.2 , 24 = 2.2.2.3 , 95 = 5.19 , dan sejenisnya, bukan bilangan prima.

Untuk bilangan-bilangan di bawah ini, mana yang merupakan bilangan prima

a) 240 b) 119 c) 1723 d) 5433 e) 12771 f) 155711 g) 57655

3. Menunjukan bahwa 2 bilangan irasional dengan pembuktian kontradiktif.

Misalkan 2 adalah bilangan rasional, sehingga dapat disajikan 2 =b

a, a dan b

bilangan asli yang tidak sama dengan 1, b 0. Jika kedua ruas dikuadratkan, maka 2

=2

2

ba 2b2 = a2 a2 = 2.b.b

Berdasarkan dalil fundamental, kuadrat bilangan asli dapat disajikan dalam perkalian

atas bilangan prima yang bersifat tunggal, dengan banyaknya bilangan prima masing-

masing genap.


35/203

31

Dari sajian, a2 = 2.b.b

1) jika b bilangan asli ganjil, maka banyaknya bilangan prima 2 dalam perkalian hanya

satu, ganjil

2) jika b bilangan asli genap, b = 2.b1 a2 = 2.2.b1.2.b1 = 2.2.2.b1.b1 , maka bilangan

prima 2 dalam perkalian ada tiga, ganjil

Karena a2 kuadrat bilangan asli, jadi kontradiksi dengan dalil fundamental, atau 2

bukan bilangan rasional.

Untuk bilangan-bilangan di bawah ini, tunjukan bahwa merupakan bilangan irasional,

dengan mengunakan kontradiktif dalil fundamental

a) 3 b) 5 c) 12 d) 18 e) 15 f) 10 g) 30

4. Tunjukan bahwa

a) Jika a dan b bilangan rasional, maka c = a.b , bilangan rasional.

Apakah hal ini berlaku untuk bilangan irasional ? Lakukan analisisnya !

b) Jika a bilangan rasional dan b bilangan irasional, maka c = a.b , bilangan irasional.

c) Jika a bilangan rasional, a 0, dan b bilangan irasional, maka c = a.b , bilangan

irasional.

5. Tunjukan bahwa jika a > 0, b > 0, maka

a) a < b jika dan hanya jika a2 < b

2

b) a < b jika dan hanya jikaa

1 >

b

1

6. Tunjukan bahwa jika a < b , maka a <2

ba +< b !

7. Tentukan jawab persamaan-persamaan di bawah ini

a) 2x3 – 3x

2 = 5 + 7x – 3x

2 + 2x

3

b) 4x3 + 2x

2 – 3x + 5 = 3x

2 + 7x + 4x

2 – 3

c) 2x3 – 3x

2 – 6x + 1 = −2 + 2x + 2x2 – 4x3

d) 3 – 3x + 2x2 – 2x

3 + 2x

4 = x

3 + 9x

2 – 15x + 7

e) 5x2 – x

3 + x + 3 = x

3 – 2x

2 – 3x + 3


36/203

32

8. Jika x1 dan x2 jawab persamaan 2x2 + 3x + 4 = 0, maka dengan tidak menghitung nilai-

nilai x1 dan x2 , hitunglah

a) x13 − x23

b) x13 + x2

3

c) x14 − x24

d) x14 + x2

4

e) x12 – 2x1x2 + x2

2

9. Jika ditetapkan persamaan kuadrat 3x2 – 2x + 3 = 0, maka bangun persamaan kuadrat

yang jawab-jawabnya

a) dua kali lebih besar

b) lebih besar dua

c) dua kali lebih besar dan lebih besar dua

10. Tentukan jawab pertidaksamaan-pertidaksamaan di bawah ini

a) x3 – 2x

2 – 3x + 2 −4 + 2x + 3x – x3

b) 2x5 – 3x

4 + 2x

3 < 6x

4 – 9x

3 -2x

2 + 12x – 8

c)2x

1x

−−

− 2x

x6

+−

≤ −2x

15

−

d) 2x + 5 ≤ −2x3

3xx2 2

−−−

e)1x3

11x5x6 2

+++

>1x2

3x

+−

f)2x

2x9x52

−−+

+2x

1x

+−

4x

1x

2 −

−

g)2x

1x

−−

+ 1x3x2 2 +− 2x

15

−

h) 2x + 5 − 2xx6

+−

> 3 – 2x


37/203

33

11. Tunjukan bahwa

a) x < y jika dan hanya jika x2 < y2

b) Jika a > b > 0 maka a > b

c) a + b + c ≤ a + b + c

d) Jika x ≤ 2 maka1x

7x2x2

2

+++

≤ 15

e) Jika x 0 maka x2 +

2x

1 2

f) Jika a 0 dan b 0 maka ab ≤ 2

ba +

g) 2x

1

3x

12 +++ ≤ 3x

12 + + 2x

1

+ ≤ 31

+ 2

1

h)9x

2x2 +−

≤ 9

2x +

i) x < x2 jika x < 0 atau x >1, dan x > x

2 jika 0 < x < 1

j) Jika a 0 bilangan rasional dan b bilangan irasional, maka a + b dan ab adalah

bilangan irasional.


38/203

34

BAB II

FUNGSI REAL DAN GRAFIKNYA

Fungsi adalah bentuk khusus dari relasi (perkawanan) antara dua buah himpunan tidak

kosong. Jika kedua himpunan yang direlasikan, dengan relasinya membangun sebuah

fungsi, adalah himpunan bilangan real, maka fungsi dinamakan fungsi real . Pada bab ini

akan disajikan deskripsi dan konsepsi pada fungsi real.

II.1. Deskripsi Fungsi

Fungsi dari himpunan X ke himpunan Y, adalah sebuah relasi (perkawanan) dengan

cara, setiap anggota himpunan X hanya dikawankan (dipasangkan) dengan satu dan hanya

satu kali dengan anggota himpunan Y.

Sebagai ilustrasi perhatikan gambar-gambar di bawah ini,

Gambar II.1 Gambar II.2Relasi yang merupakan fungsi Relasi yang bukan fungsi

[Sebab setiap anggota X hanya [Sebab ada anggota X yang memiliki memiliki satu kawan] kawan lebih dari satu ]

Untuk menyatakan sebuah fungsi dari himpunan X ke himpunan Y, dapat digunakan

salah satu dari bentuk notasi di bawah ini,Tabel II.1

Bentuk-bentuk Notasi Fungsi

Notasi Panah Persamaan Ekplisit Persamaan Implisit

f : X → Yx → y

Y = f(X) f (X , Y) = 0

x1

x2

x3

x4

x5

X Y

y1

y2

y3

x1

x2

x3

x4

x5

X Y

y1

y2

y3

ZZ


39/203

35

Dalam deskripsi fungsi tersebut, X disebut Domain (daerah asal) dan Y Kodomain (daerah

kawan). Sedangkan himpunan Z yang merupakan himpunan bagian dari Y, dengan setiap

anggotanya adalah kawan dari X, disebut Range (daerah harga, daerah peta).

Misalnya fungsi seperti pada Gambar 1, rangenya : Z = {y1 , y2 , y3}.

Berdasarkan kondisi dari range dan cara perkawanannya, fungsi dibedakan atas

1. Fungsi ke dalam (into), yaitu fungsi dengan rangenya merupakan himpunan bagian

murni dari kodomain.

2. Fungsi pada (onto), yaitu fungsi dengan rangenya sama dengan kodomain.

3. Fungsi satu-Satu (one to one), yaitu fungsi dengan setiap anggota X dan Y hanya

memiliki satu dan hanya satu pasangan.

Fungsi satu-satu ini dibedakan atas fungsi satu-satu pada dan fungsi satu-satu ke

dalam.

Untuk ilustrasi perhatikan gambar-gambar di bawah ini

Gambar II.3 Gambar II.4

f : X → Y , fungsi kedalam f : X → Y , fungsi pada[sebab ada anggota Y yang tidak memiliki kawan] [sebab setiap anggota Y memiliki kawan]

XY

Z

XY

Z


40/203

36

Gambar II.5 Gambar II.6

f : X → Y , fungsi satu-satu ke dalam f : X → Y , fungsi satu-satu pada

Setiap fungsi yang merupakan fungsi satu-satu pada, akan memiliki fungsi invers.

Definisi

Jika

f : X → Y

xi → yi

fungsi satu-satu pada, maka fungsi

g : Y → X,

yi → xi

dinamakan fungsi i nvers dari f, ditulis : f −1

Misal, jika

X = { x | x bilangan real , x ≥ 0 } dan Y = { y | y bilangan real , y ≥ 0 },

maka fungsi

f : X → Yx → y = x2

adalah fungsi satu-satu pada, dan fungsi inversnya

f-1

: Y → Xy → x = y

x1

x2

.

.

.

xk

y1y2

..

.

yn

Z

X Y

x1

x2

.

.

.

xk

y1y2 .

.

.

yn

Z

X Y

f

f -1


41/203

37

II.2. Sistem Salib Sumbu

Setiap bentuk fungsi dapat digambarkan sajian hubungan elemen domain dengan

kodomainnya. Untuk menggambarkannya diperlukan sebuah media, yang dinamakan

sistem salib sumbu, yaitu dua garis berpotongan tegak lurus, yang masing-masing titiknya

menyajikan bilangan riil. Sumbu datar, dinamakan sumbu absis, dinotasikan dengan X, dan

“berperan” sebagai domain. Sedangkan sumbu tegak, dinamakan sumbu ordinat,

dinotasikan dengan Y, dan “berperan” sebagai kodomain. Titik potong sumbu absis dengan

ordinat dinamakan titik pusat, dan dinotasikan dengan O.

Pasangan nilai berurut (x0 , y0), dengan x0 nilai pada sumbu absis, dan y0 pada sumbu

ordinat, dinamakan koordinat. x0 dinamakan absis, dan y0 ordinat. Koordinat seperti ini

dinamakan koordinat kartesius.

Gambar II.7

Sistem Koordinat Kartesius

O=(0,0)sumbu absis

x0

y0 T=(x0,y0)

Y

X

s u m b u o r d i n a t


42/203

38

X

Selanjutnya perhatikan gambar di bawah ini.

r : jarak antara titikO = (0 , 0) dengan

titik T = (x0 , y0),r = OT.

φ : sudut antarasumbu-X dengangaris OT, yangdiukur dari sumbu-Xke garis OT denganberlawanan arahgerak jarum jam.

Gambar II.9Sistem Koordinat Polar

Koordinat titik T yang disajikan dalam pasangan r dengan φ,

T = (r , φ),

dinamakan Koordinat Polar.

Dengan menggunakan goneometri, dapat diformulasikan hubungan antara koordinat

polar dengan koordinat kartesius. Jika (r,φ) koordinat polar dari koordinat kartesius (x0,y0),

maka

r = 202

0 yx + dan tg φ =0

0

x

y.

Koordinat polar dapat digunakan sebagai koordinat alternatif, jika analisis dengan

menggunakan koordinat kartesius sulit diselesaikan.

II.3. Diagram dan Grafik

Gambar dari fungsi dinamakan Grafik, jika bentuknya sebuah garis atau lengkungan.

Sedangkan jika sebuah pencaran titik, disebut Diagram.

Misalnya, fungsi dari himpunan X = {-2 , -1 , 0 , 1 , 2} ke himpunan Y = {0 , 1 , 2 , 3 , 4}

dengan bentuk

f : X → Yx → y = x2

φ

r

y0

Y

x0O

T=(x0,y0)


43/203

39

maka diagramnya

Y

• 4 - • 3 -

2 -

• 1 - •

• X-2 -1 0 1 2

Gambar II.7Diagram fungsi f : x → y = x2

Sedangkan jika X = {x x bilangan riel}, Y = {y y bilangan riel}, dan bentuk fungsinya

2 xyx

YX:f

=→

→

maka grafiknya

Y

4 -

3 -

2 -

1 -

X-2 -1 0 1 2

Gambar 8

Grafik fungsi f : x → y = x2

Menggambarkan grafik fungsi, jika dilakukan secara “manual”, maka prosesnya

sebagai berikut.


44/203

40

1. Menentukan titik-titik yang dilalui oleh grafik.

a. Titik-titik tertentu, misalnya titik potong dengan sumbu koordinat, titik ekstrim,

titik simetris dan sejenisnya.

b. Titik-titik sembarang, yang dapat dilakukan dengan menentukan sembarang nilai x,

dan mensubtitusikannya ke persamaan fungsi. Prosesnya dapat dilakukan melalui

sebuah tabel perhitungan

Misal untuk fungsi y = x2.

x y = x2 Koordinat Titik

-2 (-2)2 = 4 (-2 , 4)

-1 (-1)2 = 1 (-1 , 1)

1,5 (1,5)2 = 2,25 (1,5 , 2,25)

dst

2. Menggambarkan koordinat titik-titik yang dilalui grafik.

3. Menghubungkan titik-titik yang digambarkan pada langkah pertama,

Tingkat “akurasi” dan “estetika” grafik yang digambarkan secara “manual”, sangat

bergantung pada pengalaman dan keahlian menggambar dari si-pembuat-nya. Untuk

mendapatkan gambar grafik fungsi yang bagus, tanpa diperlukan pengalaman dan daya

estetika, dengan proses cukup sederhana adalah dengan menggunakan program komputer

Mathcad. Langkah-langkah menggambarkan grafik fungsi dengan Mathcad 2000 :

1. “Jalankan” program Mathcad 2000, sehingga diperoleh tampilan


45/203

41

2) “Tutup” tampilan Resource Centre, sehingga diperoleh tampilan

3) Pada “pointer” + tulis persamaan fungsi yang akan digambarkan dengan formulasi

f(x) “persamaan fungsi”

Tanda , dapat diperoleh dengan mengkliknya pada fungsi Calculator atau

Evaluati…

Misal fungsi yang akan digambarkan, Y = 2x2 – 3x + 1. Formulasi penulisan pada

“bidang editor” seperti di bawah ini.


46/203

42

4) “Klik” gambar grafik yang ada pada sudut kiri atas “kotak Graph” (lihat tanda panah),

sehingga diperoleh tampilan

5) Pada “kotak hitam kecil” di bawah “kotak putih besar”, tulis : x, dan f(x) yang ada di

sebelah kirinya.

6) “Klik” persamaan fungsi, sehingga diperoleh tampilan

tulis : x

tulis : f(x)

klik persamaan fungsisetelah menulis x danf(x) di kotak hitamkecil

pada kotak putih klik duakali untuk formating grafik


47/203

43

7) “Klik” dua kali pada kotak putih yang ada gambar grafik f(x), untuk formating grafik,

8) Lakukan formating grafik sehingga diperoleh gambar yang bagus, menurut si pembuat.

Misalnya seperti tampilan di bawah ini.


48/203

44

II.4. Fungsi Komposisi

Jika f : X → Y , fungsi dari himpunan X ke Y, dan g : Y → Z , fungsi dari himpunan Y

ke Z, yang merelasikan elemen-elemen dari range fungsi f, dengan elemen himpunan Z.

Maka fungsi h : X → Z disebut fungsi komposisi dari f dengan g, ditulis

h = f o g atau h = f(g)

f ff f g

f o g

X Y Z

Gambar II.10

Diagram fungsi komposisi

Sebagai contoh, jika

f : X → Yx → y = x2

dan

g : Y → Zy → z = Sin y

maka

fog : X → Zx → z = Sin x2

Sajian tersebut jika dalam persamaan eksplisit adalah :

2

2

XSinZ YSinZ

XY

===


49/203

45

II.4. Operasi Pada Fungsi

Karena nilai dari fungsi real adalah bilangan real, maka himpunan dari fungsi real yang

tidak kosong, yang di dalamnya dilibatkan operator perkalian dan perjumlahan, merupakan

sebuah sistem bilangan real. Sehingga jika dimiliki dua buah fungsi atau lebih, dengan

domain dan kodomain yang sama, maka dapat dilakukan proses perkalian, perjumlahan, atau

kombinasi keduanya, beserta operasi kawannya. Domain dan kodomain fungsi hasil operasi

adalah irisan dari domain dan range fungsi komponennya.

Perhatikan ilustrasi di bawah ini.

Gambar II.11

Konsepsi Operasi Fungsi

Jika f(x), fungsi dari himpunan A ke himpunan B ; dan g(x), fungsi dari himpunan V ke

himpunan W ; maka operasi f(x) dengan g(x) yang disajikan oleh f(x)*g(x), adalah fungsi

dari himpunan M = A∩V ke himpunan N = B∪W.

Sebagai contoh, jika

f(x) = x2 , domain = {−∞ < x < ∞} , kodomain = {x 0}

g(x) = Sin x , domain = {−π x π} , kodomain = {−1 x 1}dan dilakukan operasi fungsi, H(x) = f(x) + g(x) dan I(x) = f(x).g(x), yang jika digambarkan

grafiknya dengan Mathcad, hasilnya seperti di bawah ini

f(x)

g(x)

f(x)*g(x)

X

A

B

VW

M N

Y


50/203

46

3.14 0 3.14

4

4

f x( )

g x( )

H x( )

I x( )

II.5. Beberapa Bentuk Fungsi

II.5.1. Fungsi Linear

Fungsi linear (atau fungsi pangkat satu) jika disajikan dalam persamaan eksplisit

bentuknya :

Y = aX + b

dan dalam persamaan implisit bentuknya :

aX + bY + c = 0

Domain, kodomain, dan range dari fungsi linear adalah himpunan bilangan real, dan fungsi

ini merupakan fungsi satu-satu pada, dengan fungsi inversnya

a

bX

a

1Y −=

Fungsi linear biasa juga disebut persamaan garis, karena grafiknya merupakan garis

lurus.

f(x) = x

g(x) = Sin x

H(x) = f(x) + g(x)

I(x) = f(x).g(x)

Pada gambar tersurat, untuk

fungsi H(x) dengan I(x),

domain = {−π x π}

kodomain = {−∞ < x < ∞}.


51/203

47

Y = aX + b

Gambar II.12

Grafik fungsi linear

Pada persamaan eksplisit, Y = aX + b, jika φ sudut antara sumbu-X dengan grafik fungsi,

maka

a = Tg φ

dinamakan Koefisien Arah atau Gradient. Sedangkan φ disebut Sudut Arah.

Dalam persamaan implisit,

aX + bY + c = 0

koefisien arah grafik fungsi sama denganb

a− , dan koordinat titik potong grafik dengan

sumbu-Y :

− bc

,0 .

Cara menggambarkan grafik fungsi linear ada dua cara, yaitu berdasarkan

1) dua titik yang dilalui grafik

2) nilai koefisien arah dan sebuah titik yang dilalui grafik.

Contoh soal 1.

Gambarkan grafik fungsi Y = 2X − 3 !

Jawab :

1. Jika berdasarkan dua titik yang dilalui grafik, maka ambil dua nilai sembarang dari X

dan hitung nilai Y sesuai dengan persamaan fungsinya, misalnya :

X −2 1Y 2(−2) – 3 = −7 2(1) – 3 = −1

φ X

Y

(0,b)

φ sudut antara grafikfungsi dengansumbu-X, diukurdari sumbu-Xberlawanan arahgerak jarum jam

(0,b) titik potong grafik fungsidengan sumbu-Y


52/203

48

garis arah

Y

-2 1

X

-1 (1 , -1)

-7

2. Jika berdasarkan nilai koefisien arah dan sebuah titik yang dilalui grafik, maka

1) gambarkan garis arah dengan sudut arah φ, yang nilai koefisien arahnya 2,

Tg φ = 2.

2) tentukan sebuah titik yang dilalui grafik, dan untuk kemudahan ambil titik

potong grafik dengan sumbu-Y, (0 , -3),

3) gambarkan garis yang sejajar garis arah dan melalui titik potong tersebut

Y

2

φ

1 X

(0 , -3)

(2 , -7)


53/203

49

Berdasarkan cara menggambarkan grafiknya, membangun persamaan fungsi linear ,

dapat dilakukan berdasarkan

1. dua titik yang dilalui grafik

2. nilai koefisien arah dan sebuah titik yang dilalui grafik.

Persamaan fungsi linear jika melalui titik (x0 , y0) dan (x1 , y1) adalah

01

0

01

0

xx

xX

yy

yY

−−

=−−

Jika disajikan dalam persamaan eksplisit, bentuknya menjadi

01

1001

01

01

01

0010

01

0001

01

0100

01

01

01

01

xx

xyxyX

xx

yy

xx

xyxy

xx

xyxyX

xx

yyyx

xx

yyX

xx

yyY

−−

−−−

=

−−

+−−

−−−

=+−−

−−−

=

Sedangkan persamaannya jika nilai koefisien arah, a dan melalui titik (x0 , y0) adalah,

Y – y0 = a(X – x0)

Yang jika disajikan dalam persamaan eksplisit, bentuknya

Y = aX – ax0 +y0 = aX – (ax0 – y0)

Contoh soal 2.

Tentukan persamaan fungsi linear , jika grafiknya

a. melalui titik-titik (-1 , 2) dan (2 , -3)

b. memiliki koefisien arah –2 dan melalui titik (2 , 3)

Jawab :

a.3

1X

5

2Y

)1()2(

)1(X

)2()3(

)2(Y +=

−−

−−−−

=−−−

(3)(Y – 2) = (−5)(X + 1)

Y – 6 = −5X – 5 5X + 3Y – 6 + 5 = 0

5X + 3Y – 1 = 0 (persamaan eksplisit)

3

1X

3

5Y −−= (persamaan implisit)

b. Y – (3) = (2)(X - 2) Y = 2X – 4 + 3

Y = 2X – 1 (persamaam implisit)

2X − Y − 1 = 0 (persamaan eksplisit)


54/203

50

ϕ

ϕ1 ϕ2

l : Y= mX + n

II.5.1.1. Sudut antara dua grafik

Salah satu segi yang dapat diturunkan dari koefisien arah grafik fungsi linear , adalah

sudut antara dua grafik seperti di bawah ini.

Y

X

Gambar II.13

ϕ sudut antara g dan l (0≤ ϕ ≤ ½π)

Pada Gambar II.13.

ϕ1 sudut arah l Tg ϕ1 = m

ϕ2 sudut arah g Tg ϕ2 = a

ϕ = ϕ2 − ϕ1

Tg ϕ = Tg (ϕ2 − ϕ1) =)(Cos

)(Sin

12

12

ϕ−ϕϕ−ϕ

=1212

1212

SinSinCosCos

SinCosCosSin

ϕϕ+ϕϕϕϕ−ϕϕ

=

12

12

12

12

12

12

12

12

CosCos

SinSin

CosCos

CosCos

CosCos

SinCos

CosCos

CosSin

ϕϕϕϕ

+ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

−ϕϕϕϕ

=

12

12

1

1

2

2

CosCos

SinSin1

Cos

Sin

Cos

Sin

ϕϕϕϕ

+

ϕϕ

−ϕϕ

=12

12

TgTg1

TgTg

ϕϕ+ϕ−ϕ

= am1

ma

+−

Karena sudut antara dua grafik yang digunakan adalah sudut lancip, 0 ≤ ϕ ≤ ½π, yang

berarti Tg ϕ 0. Sedangkan dari formulasi kesamaan dimungkinkan Tg ϕ ≤ 0, maka pada

g : Y=aX + b


55/203

51

formulasi kesamaan, ruas kanan harus disajikan dalam harga mutlak. Sehingga jika ϕ sudut

antara dua grafik fungsi linear , g : Y=aX + b dengan l : Y= mX + n,

maka

am1

m-aTg +=ϕ

II.5.1.2. Dua grafik fungsi linear

Dari konsepsi sudut antara dua grafik fungsi linear , maka dapat disimpulkan bahwa

antara dua grafik fungsi linear hanya satu dari dua hal di bawah ini yang berlaku, yaitu

1) Sejajar.

Dua grafik fungsi linear akan sejajar jika koefisien arah keduanya sama, a = m.

2) Berpotongan, yang dibedakan atas

a) berpotongan tegak lurus.

Dua grafik fungsi linear akan berpotongan tegak lurus jika hasil kali koefisien

arahnya sama dengan –1, a.m = −1.

b) berpotongan biasa.

Untuk menentukan titik potong dua grafik dapat dilakukan dengan mempersamakan

kedua persamaan fungsinya.

Jika diketahui dua grafik fungsi linear , Y = aX + b dan Y = nX + m , maka koordinattitik potongnya dapat dihitung dengan cara sebagai berikut :

mnXY

baXY

+=+=

aX + b = mX + n aX – mX = n – b (a – m)X = n – b

X =ma

bn

−−

dari persamaan Y = aX + b Y =

−−

ma

bna + b

ma

bman

ma

)ma(b

ma

)bn(aY

−−=

−−+

−−=

sehingga koordinat titik potongnya.

−−

−−

ma

bman,

ma

bn


56/203

52

Y Y Y

X X X

sejajar berpotongan berpotongan tegak lurus

Gambar II.14

Kemungkinan dua grafik fungsi linear

Contoh soal 3.

Tentukan persamaan fungsi linear yang grafiknya berpotongan tegak lurus dengan grafik

fungsi

3X2Y +−=

dan melalui titik potong grafik fungsi

3X2Y += dengan 2X3Y −−= !

Jawab :

Jika a koefisien arah grafik yang tegak lurus grafik Y = −2X + 3 , maka (a)(−2) = −1

a =2

1

Koordinat titik potong grafik Y = 2X + 3 dengan Y = −3X – 2 :

2X3Y

3X2Y

−−=+=

2X + 3 = −3X – 2 2X + 3X = −2 – 3 5X = −5 X = −1

3X2Y

1X

+==

Y = 2(−1) + 3 = 1 koordinat titik potongnya : (−1 , 1),

Sehingga persamaan fungsi linear yang dicari, adalah fungsi yang grafiknya melalui titik

(−1 , 1) dengan koefisien arah 21

, yaitu :

Y – (1) =2

1 (X – (−1) Y =

2

1X +

2

1 + 1 Y =

2

1X + 1

2

1.


57/203

53

Persamaan fungsi jika disajikan dalam

persamaan implisit, maka diperoeh hasil

Y =2

1X + 1

2

1 2Y = X + 3

X – 2Y + 3 = 0

Jika grafik fungsi-fungsi tersebut digambarkan

dengan menggunakan program Mathcad pada

domain {−10 ≤ x ≤ 10}, maka hasilnya seperti di

samping ini.

Dengan fungsi-fungsi yang ditetapkan :

f(x) : Y = −2X + 3 , g(x) : Y = 2X + 3 ,

h(x) : Y = −3x – 2 ,

dan fungsi yang dicari : i(x) : Y =2

1X + 1

2

1.

II.5.2. Fungsi Kuadrat

Persamaan fungsi kuadrat, atau biasa juga disebut persamaan parabola tegak, adalah :

Y = aX2 + bX + c , 0a ≠ .

Selanjutnya perhatikan proses aljabar di bawah ini :

a2

bbac4aY4

a2

1 X

a4

b)cY)(a4(

a2

bX

a4

b

a

cY

2a

bX

a

cY

a2

b

a2

bX

a

bX

a

cYX

a

b X cYbXaX cbXaXY

2

2

2

2

2222

2

222

−+−±=+−

±=+

+−

=

+−

=

−

++

−

=+−=+++=

Karena 2bac4aY4 +− akan bernilai real jika 0bac4aY4 2 ≥+− , atau

0a jika, a4

ac4bY

2

>−−≥ , dan 0a jika, a4

ac4bY

2

0.

i(x)

h(x)g(x) f(x)

10 0 10

10.78

10.78

f x( )

g x( )

h x( )

i x( )

x

Gambar posisi grafik fungsi linier yang

ditetapkan dengan yang dicari


58/203

54

Dari hubungana4

b)cY)(a4(

a2

bX

2

2+−±=+ , karena 0

a4

b)cY)(a4(2

2

≥+−

,

maka

a4b)cY)(a4(

a2bX 2

2

+−=+ , jika 0a2bX ≥+ atau a2bX −≥

a4

b)cY)(a4(

a2

bX

2

2+−−=+ , jika 0

a2

bX ≤+ atau

a2

bX −≤

Hal ini menyimpulkan bahwa, fungsi kuadrat merupakan fungsi satu-satu pada, jika

domainnya X = {a2

bx −≥ } atau X = {

a2

bx −≤ }.

Dalam domain tersebut, fungsi inversnya

a2

b X jika , a2

b)ac4b(aX4a2

1Y 2 −>−−−=

a2

b X jika ,

a2

b)ac4b(aX4

a2

1Y 2 −


59/203

55

Persamaan kuadrat aX2 + bX + c = 0 akan memiliki jawab riil, jika b

2 – 4ac ≥ 0,

sehingga grafik fungsi kuadrat akan

a) memotong sumbu-X, jika b2 – 4ac > 0,

b) menyinggung sumbu-X jika b2 – 4ac = 0.

4. Titik-titik yang dilalui grafik,

Untuk ini buat tabel pasangan harga X dengan Y.

Contoh soal 4.

Gambarkan grafik fungsi Y = −2X2 + X +1 !

Jawab :

1) Sumbu simetrinya :4

1

)2(2

1X =

−−= .

2) Titik ekstrimnya :

Koefisien kuadratnya, a = −2 < 0, jadi titik ekstrim merupakan titik maksimum.

Koordinatnya :

=

−−−

−8

9,

4

1

)2(4

)1)(2(4)1(,

4

1 2

3) Koordinat titik potong dengan :

a) sumbu-Y : (0 , 1)

b) sumbu-X :

Diskriman fungsi D = (1)2 – 4(-2)(1) = 9 > 0, jadi grafik memotong sumbu-X.

Koordinat titik potongnya

1XX2Y

0Y2 ++−=

= −2X2 + X + 1 = 0 (2X + 1)(−X + 1) = 0

1X 01X2

1X 01X2

==+−

−==+

Koordinat titik-titik potongnya : (2

1− , 0) dan (1,0)


60/203

56

(1,0)

8

9,

4

1

(-1,-2)

(−12

1,-5)

4) Koordinat titik-titik lain yang dilalui grafik :

Ambil nilai X sembarang yang belum ada, dan sepihak terhadap sumbu simetri.

Pada contoh ini sumbu simetrinya X =4

1, jadi yang diambil nilai X <

4

1 atau X >

4

1.

Jika diambil X <4

1, maka bangun tabel seperti di bawah ini

X Y Koordinat titik

−1 −2(−1)2 + (−1) + 1 = −2 (−1 , −2)

−12

1 −2(−1

2

1)2 + (−1

2

1) + 1 = −5 (−1

2

1 , −5)

dst.

Sehingga bentuk grafiknya seperti di bawah ini

X

X =4

1

Grafik fungsi kuadrat

f(x) : Y = −2X2 + X +1

jika digambarkan dengan program Mathcad pada

domain X = {−10 x 10}, hasilnya seperti di

disamping ini.

(-2

1,0)

Y

X

10 5 0 5 10

15

10

5

5

10

15

f x( )

Grafik fungsi kuadrat Y = −−−−2X2 + X +1 jika digambarkan dengan Mathcad


61/203

57

Kemungkinan grafik fungsi kuadrat jika ditelaah berdasarkan sumbu-X, disajikan pada

Gambar II.15 di bawah ini.

a > 0 a < 0

D > 0 10 0 10

10

10

f x( )

x

10 0 10

10

10

20

f x( )

x

Grafik memotong sumbu-X dan terbuka ke

atas

Grafik memotong sumbu-X dan terbuka ke

bawah

D = 010 0 10

10

10

f x( )

x

10 0 10

10

10

f x( )

x

Grafik menyinggung sumbu-X dan terbukake atas Grafik menyinggung sumbu-X dan terbukake bawah

D < 0 10 0 10

10

10

f x( )

x

10 0 10

10

10

f x( )

x

Grafik tidak memotong sumbu-X dan

terbuka ke atas

Grafik tidak memotong sumbu-X dan

terbuka ke bawah

Gambar II.15

Kemungkinan posisi grafik fungsi kuadrat

terhadap Sumbu-X


62/203

58

II.5.2.1. Grafik fungsi kuadrat dengan fungsi linear

Jika dimiliki sebuah grafik fungsi kuadrat dengan sebuah grafik fungsi linear , maka

hanya satu dari tiga kemungkinan di bawah ini yang terjadi, yaitu

a) tidak berpotongan

b) berpotongan

c) bersinggungan

edXcXY

baXY2 ++=+=

aX + b = cX2 + dX + e cX2 + (d – a)X + (e – b) = 0

Diskriminan bentuk kuadrat cX2 + (d – a)X + (e – b) : D = (d – a)

2 – 4(c)(e – b)

Ada tiga kemungkinan untuk D

a) D < 0 grafik fungsi linear dengan fungsi kuadrat tidak berpotongan

b) D = 0 grafik fungsi linear menyinggung grafik fungsi kuadrat

c) D > 0 grafik fungsi linear memotong grafik fungsi kuadrat

10 5 0 5 10

10.2

5.1

5.1

10.2

f x( )

g x( )

x

10 5 0 5 10

8.05

4.03

4.03

8.05

f x( )

h x( )

x

Grafik fungsi linear dengan fungsi kuadrat

tidak berpotongan

Grafik fungsi linear menyinggung grafik

fungsi kuadrat

10 5 0 5 10

8.05

4.03

4.03

8.05

f x( )

i x( )

x

Grafik fungsi linear memotong grafik fungsi

kuadrat

Gambar II.16

Kemungkinan grafik fungsi lineardengan fungsi kuadrat


63/203

59

Contoh soal 5

Tentukan

a) persamaan garis singgung pada parabola Y = 2X2 – 3X +1 di titik (1 , 0)

b) hubungan a dan b pada persamaan parabola Y = aX2 + bX – 1, agar grafiknya memotong

grafik fungsi linear Y = 2X – 3

Jawab

a) Jika dimisalkan persamaan garis singungnya Y = aX + b, maka

1) melalui titik (1, 0) 0 = a(1) + b a = −b Y = −bX + b

2) menyinggung parabola Y = 2X2 – 3X +1

1X3X2Y

bbXY2 +−=+−=

−bX + b = 2X2 – 3X +1 2X2 + (b– 3)X +(1−b) = 0

diskriminan bentuk kuadrat 2X2 + (b– 3)X +(1-b) :

D = (b– 3)2 – 4(2)(1-b) = b

2 – 6b + 9 – 8 + 8b = b

2 + 2b + 1 = (b + 1)

2

Karena yang ditentukan menyinggung, maka D harus disama-dengankan 0, D = 0,

atau b = −1

Sehingga persamaan garis singgunggnya, Y = −(−1)X + (−1) = X – 1

b)1bXaXY

3X2Y2 −+=−= 2X – 3 = aX2 + bX – 1 aX2 + (b+2)X + 2 = 0

diskriminan bentuk kuadrat aX2 + (b+2)X + 2 : D = (b+2)

2 – 4(a)(2) = b

2 + 4b + 4 – 8a

Karena yang ditentukan berpotongan, maka D harus lebih besar dari 0, D > 0, atau

b2 + 4b + 4 – 8a > 0 (b + 2)2 – 8a > 0 {(b+2) − a8 }{(b+2) + a8 } > 0

Hal ini berarti, hubungan a dengan b

1) (b+2) − a8 > 0 b > a8 − 2

(b+2) + a8 > 0 b > − a8 − 2

atau

2) (b+2) − a8 < 0 b < a8 − 2

(b+2) + a8 < 0 b < − a8 − 2


64/203

60

(0,1)

II.5.3. Fungsi Pangkat

Bentuk umum dari fungsi pangkat adalah Y = aX , dengan a > 0 bilangan real.

Dalam hal a = e , yaitu bilangan irasional yang nilainya e = 3,141592654…, bentuk Y = eX

dinamakan fungsi eksponensial. Grafik dari fungsi pangkat seperti pada Gambar II.15.

Gambar II.17

Grafik fungsi pangkat

Misal grafik fungsi

f(x) : Y = 4X dan g(x) : Y =

X

4

1

jika digambarkan dengan program

Mathcad dalam domain

X = {−10 < x < 10},

maka hasilnya seperti di samping ini :Domain fungsi pangkat adalah

X = {−∞ < x 0}.

Fungsi ini merupakan fungsi satu-satu pada,

dengan fungsi inversinya : Y =alog Y.

Sifat perpangkatan

1. aa1

XX = ,a

a

X

1X =−

2. Xa+b

= Xa x X

b , X

a-b = X

a X

-b =

b

a

X

X

3. (xa)

b = X

ab

X

YY=a , a > 1

Y=aX , 0< a < 1

f(x)g(x)

10 0 10

10

10

f x( )

g x( )

x

Grafik fungsi f(x) : Y = 4X dan g(x) : Y =

X

4

1

jika digambarkan dengan Mathcad


65/203

61

II.4.4. Fungsi Logaritma

Bentuk umum dari fungsi logaritma adalah Y = alog X dengan a > 0, bilangan real.

Dalam hal a = 10, 10log X ditulis log X, dan dinamakan Logaritma Biasa. Jika a = e , yaitu

bilangan irasional, e = 3,141592654… , makaelog X ditulis ln X, dan dinamakan

Logaritma Natural.

Y

X

Gambar II.18

Grafik fungsi logaritma

Misal grafik fungsi

f(x) : Y = 4log X dengan g(x) : Y = xlog4

1

jika digambarkan dengan program Mathcad

dalam domain X = {0 < x < 10}, hasilnya

seperti di samping ini.

Domain dari fungsi logaritma adalah,

X = {x > 0}, dan rangenya, Y = {−∞ < y < ∞}.

Sifat logaritma :

1. alog XY = alog X + alog Y , YlogXlogYXlog aaa −=

2.Xlog

YlogYlog

a

aX =

3.alog X

b = b

alog X

(1,0)

Y=alog X , a > 1

Y=alog X , 0 < a < 1

f(x)

g(x)

0 5 10

5

5

f x( )

g x( )

x

Grafik fungsi f(x) : Y =4log X dan g(x) : Y = xlog4

1


66/203

62

ϕ

x

r

II.4.5. Fungsi siklometri (fungsi goniometri , fungsi trigonometri)

Perhatikan gambar di bawah ini

dan perbandingan-perbandingan sisi-sisi dari segi-tiga siku-sikunya. Berdasarkan hal-hal

tersebut didefinisikan

r

y = Sinus ϕ = Sin ϕ ⇔

y

r = Cosecan ϕ = Cosec ϕ

r

x = Cosinus ϕ = Cos ϕ ⇔

x

r = Secan ϕ = Sec ϕ

y

x = Tangens ϕ = Tg ϕ ⇔

x

y = Cotangens ϕ = Ctg ϕ

Formulasi perbandingan tersebut dinamakan perbandingan goniometri (trigonometri).

Dari perbandingan goniometri tersebut diperoleh hubungan-hubungan sebagai berikut

1) –1 ≤ Sin ϕ≤ 1 , –1 ≤ Cos ϕ≤ 1

2) Sin (900 − ϕ) = Cos ϕ , Cos (900 − ϕ) = Sin ϕ , Tg (900 − ϕ) = Ctg ϕ

3) Cosec ϕ =ϕSin

1 , Sec ϕ =

ϕCos1

, Tg ϕ =ϕϕ Cos

Sin, Cotg ϕ =

ϕTg1

4) Sin2ϕ + Cos2ϕ = 1 , Tg2ϕ − Sec2ϕ = 1 , Ctg2ϕ − Cosec2ϕ = 1

Fungsi Y = Sin X dan Y = Cos X, merupakan fungsi dasar dari fungsi goniometri, sebab

fungsi-fungsi goniometri yang lainnya dapat diturunkan dari keduanya. Range dari fungsi

ini adalah Y = {–1 ≤ y ≤ 1}.

y


67/203


68/203

64

Grafik fungsi f(x) : Y = Tg X dan g(x) : Y = Ctg X, jika digambarkan dengan Mathcad

dalam domain X = {−10 < x < 10}, hasilnya seperti pada Gambar II.20.

Fungsi Y = Tg X memiliki range Y = {−∞ < y < ∞}, dan merupakan fungsi satu-satu

pada, dalam domain

X = {(−k +2

1)π < x < (−k + 1

2

1)π} , k = 0 , 1 , 2 , . . . ,

atau

X = {(−k − 2

1)π < x < (−k +

2

1)π} , k = 0 , 1 , 2 , . . .

dengan fungsi inversnya Y = Arc Tg X.

Sedangkan fungsi Y = Ctg X memiliki range yang sama dengan Y = Tg X, yaitu

Y = {−∞ < y < ∞},dan merupakan fungsi satu-satu pada, dalam domain

X = {k π < X < (k + 1)π} , k = 0 , 1 , 2 , . . .

atau

X = {−(k + 1)π < X < −k π} , k = 0 , 1 , 2 , . . .

dengan fungsi inversnya

Y = Arc Ctg X.

3. Y = Sec X =XCos

1

Fungsi ini terdefinisikan jika Cos X ≠ 0,

atau jika X ≠ 2

1π , ±1

2

1π , ±2

2

1π , . . .,

4. Y = Cosex X =XSin

1

Fungsi ini terdefinisikan jika Sin X ≠ 0,

atau jika X ≠ 0, ± π , ±2π, . . . .Grafik fungsi f(x) : Y = Cosec X

dan g(x) : Y = Sec X jika digambarkan

dengan Mathcad dalam domain X = {−10 < x < 10},

hasilnya seperti pada Gambar II.21.

10 5 0 5 10

10

5

5

10

f x( )

g x( )

x

Gambar II.21

Grafik fungsi siklometri

g(x) : Y = Sec X ; f(x) : Y = Cosec X


69/203

65

Range fungsi Y = Sec X adalah Y = {1 ≤ y < ∞ } atau Y = { ∞− < y ≤ −1}, dan

merupakan fungsi satu-satu pada, dalam domain,

X = {(k + ½)π < x < (k + 1½)π} , k = 0 , 1 , 2 , . . .

atau

X(-k - ½)π < X < (-k + ½)π , k = 0 , 1 , 2 , . . .


Y = Arc Sec X.

Sedangkan fungsi Y = Cosec X, rangenya juga sama yaitu Y = {1 ≤ y < ∞ } atau

Y = { ∞− < y ≤ −1}, dan merupakan fungsi satu-satu pada, dalam domain

X = {k π < x < (k + 1)π , k = 0 , 1 , 2 , . . .

atau

X = {−(k + 1)π < x < −k π} , k = 0 , 1 , 2 , . . .


Y = Arc Cosec X.

Karena grafik dari fungsi goniometri merupakan lengkungan yang memiliki ciri

(karakteristik, characteristic) periodik (membentuk bangun yang berulang), maka fungsi

goniometri biasa juga dinamakan fungsi siklometri.

II.5.6. Fungsi Pecahan

Bentuk fungsi pecahan sangat banyak formulasinya, tetapi yang sering digunakan

adalah bentuk-bentuk

1)dcx

baxY

++

= , cx + d 0 untuk setiap nilai x.

2)edxcx

baxY

2 +++

= , cx2 + dx + e 0 untuk setiap nilai x.

3) f exdx

cbxax

Y 2

2

++++

= , dx2

+ ex + f 0 untuk setiap nilai x.

Pada fungsi pecahan dideskripsikan sumbu (garis) asimtut (asimptot ), yaitu garis yang

akan dipotong grafik fungsi di titik tak berhingga, sehingga grafik fungsi dengan sumbu

asimtut hampir berimpit mulai nilai x tertentu. Untuk fungsi-fungsi pecahan seperti yang

disajikan tersebut, sumbu asimtutnya dua jenis, yaitu asimtut datar dan asimtut tegak.


70/203

66

1) Untuk fungsidcx

baxY

++

=

Asimtut tegaknya :

Y → ∞ ⇔ cx + d → 0 x =c

d−

Asimtut datarnya :

x → ∞ ⇔ Y =c

a

x

d

x

cxx

b

x

ax

Limdcx

baxLim

xx=

+

+=

++

∞→∞→

2) Untuk fungsiedxcx

baxY

2 +++

=

Asimtut tegaknya :

Y → ∞ ⇔ cx2 + dx + e → 0 , D = d2 – 4ce 0

Sehingga asimtut tegaknya :

<=>

0D jika,adatidak

0D jika,buahsatu

0D jika,buahdua

Nilai persamaan asimtut tegaknya, merupakan jawab dari persamaan cx2 + dx + e = 0 .

Asimtut datarnya :

x → ∞ ⇔ Y = 0

x

e

x

dx

x

cx

x

b

x

ax

Limedxcx

baxLim

222

2

22

x2x=

++

+=++

+∞→∞→

3) Untuk fungsif exdx

cbxaxY

2

2

++++

=

Asimtut tegaknya :

Y → ∞ ⇔ dx2 + ex + f → 0 ⇔ D = e2 – 4df 0

Sehingga asimtut tegaknya :

<=>

0D jika,adatidak

0D jika,buahsatu0D jika,buahdua

Nilai persamaan asimtut tegaknya, merupakan jawab dari persamaan dx2 + ex + f = 0 .


71/203

67

Asimtut datarnya :

x → ∞ ⇔ Y =d

a

x

f

x

ex

x

dx

x

c

x

bx

x

ax

Limf exdx

cbxaxLim

222

2

222

2

x2

2

x=

++

++=

++++

∞→∞→

Perhatikan fungsi-fungsi di bawah ini :

1) f(x) =7x5

3x2

+−−

asimtut tegaknya : x =5

7

5

7 =−

− , dan

asimtut datarnya : y =5

2

5

2−=

−.

2) g(x) =9x7x5

3x22 −+−−

dan

h(x) =9x7x5

5x3x22

2

−+−+−

Diskriminan fungsi penyebut :

D = (7)2 – 4(−5)(−7) < 0.

Jadi g(x) dan h(x) tidak memiliki asimtut tegak.

Asimtut datar untuk :

g(x) : y = 0 (sumbu-X)

h(x) : y =5

2

5

2 −=−

Jika digambarkan dengan program Mathcad pada domain

{−5 ≤ x ≤ 5}, grafik ketiga fungsi tersebut seperti pada

Gambar II.22.

5 2.5 0 2.5 5

0.63

0.25

0.13

0.5

f x( )

gx( )

h x( )

Gambar II.22Gafik fungsi

f(x) : Y =7x5

3x2

+−−

g(x) : Y =9x7x5

3x22 −+−−

h(x) : Y =9x7x5

5x3x22

2

−+−+−


72/203

68

a

b

II.6. Fungsi Irisan Kerucut

Sebuah kerucut jika diiris, maka bidang irisannya akan membangun suatu bangun ilmu

ukur, sesuai dengan cara pengirisannya.

1) Jika diiris sejajar bidang alas maka akan diperoleh bangun lingkaran, dan

2) Jika diiris miring dengan tidak mengiris bagian alas maka akan diperoleh bangun ellips,

sedangkan

3) Jika diiris miring dan mengiris bagian alas, dengan kemiringan kurang dari 430, maka

akan diperoleh bangun hiperbola, sedangkan jika kemiringannya lebih dari 450,

diperoleh parabola.

Bangun-bangun tersebut dapat didefinisikan

secara matematis dan dibangun persamaan

fungsinya. Persamaan fungsi irisan kerucut

selalu disajikan dalam bentuk implisit,

sehingga jika akan digambarkan dengan

menggunakan kemasan program Mathcad,

harus diubah dulu menjadi bentuk eksplisit.

II.6.1. Lingkaran

Definisi matematisnya. Lingkaran adalah

tempat kedudukan titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu, yang dinamakan

pusat lingkaran (dinotasikan oleh P), sedangakn jarak yang sama dinamakan jari-jari

lingkaran (dinotasikan oleh r).

Y

r

P (a,b)

X

Gambar II.23

Lingkaran dengan pusat P

dan jari-jari r

elips

hiperbola

parabola

lingkaran

Bangun-bangun irisan kerucut


73/203

69

Persamaan lingkaran dengan pusat (a , b) dan jari-jari r > 0 , adalah

(X – a)2 + (Y – b)2 = r2.

Jika persamaan dijabarkan sebagai berikut,

X2 − 2aX + a2 + Y2 − 2bY + b2 = r2

X2 + Y2 − 2aX − 2bY + a2 + b2 – r2 = 0

dan ditulis

A = −2a ,

B = −2b ,

C = a2 + b2 – r2

maka persamaan lingkaran dapat disajikan oleh

X2 + Y

2 + AX + BY + C = 0

dengan koordinat pusatnya,

P = (2

1− A ,

2

1− B)

dan jari-jarinya,

cb4

1a

4

1r 22 −+= .

Contoh soal 6.

Tentukan persamaan lingkaran yang berjari-jari 5 satuan, melalui titik (0 , 0) dan pusatnyaterletak pada garis X + Y = 1 !

Jawab :

Misalkan persamaan lingkarannya :

(X – a)2 + (Y – b)

2 = (5)

2

Lingkaran melalui titik (0 , 0) :

(0 – a)2 + (0 – b)2 = 25 a2 + b2 = 25 (1)

Titik pusat (a,b) terletak pada garis X + Y = 1

a + b = 1 a = 1 – b (2)

10 5 0 5 10

7.69

3.84

3.84

7.69

x

Grafik lingkaran (X + 3)2 + (Y – 4)

2 = 25

dan garis X + Y = 1


74/203

70

Subtitusikan (2) ke (1) :

(1 – b)2 + b

2 = 25 1 – 2b + b2 + b2 = 25 2b2 –2b +1 – 25 = 0 2b2 –2b – 24 = 0

b2 –b – 12 = 0 (b – 4)(b + 3) = 0 b = 4 dan b = −3.

Dan subtitusikan

b = 4 ke (2) a = 1 – 4 = −3 ,

b = −3 ke (2) a = 1 – (−3) = 4.

Jadi persamaan lingkaran yang dicari adalah,

(X – (−3))2 + (Y – (4))2 = 25 (X + 3)2 + (Y – 4)2 = 25

atau

(X – (4))2 + (Y – (-3))2 = 25 (X − 4)2 + (Y + 3)2 = 25

Contoh soal 7.

Tentukan persamaan lingkaran singgung segitiga, yang sisi-sisinya berupa garis dengan

persamaa

statistika kalkulus

Documents