kalkulus 2
TRANSCRIPT
INTEGRAL LIPAT 2INTEGRAL LIPAT 2INTEGRAL LIPAT 2 DOMAIN PERSEGI PANJANGINTEGRAL LIPAT 2 DOMAIN PERSEGI PANJANG
INTEGRAL LIPAT 2 DOMAIN BUKAN PERSEGI PANJANGINTEGRAL LIPAT 2 DOMAIN BUKAN PERSEGI PANJANGINTEGRAL LIPAT 2 DLM KOORDINAT KUTUBINTEGRAL LIPAT 2 DLM KOORDINAT KUTUB
PENERAPAN INTEGRAL LIPAT 2PENERAPAN INTEGRAL LIPAT 2
INTEGRAL LIPAT 3INTEGRAL LIPAT 3INTEGRAL LIPAT 3 KOORDINAT CARTESIANINTEGRAL LIPAT 3 KOORDINAT CARTESIAN
INTEGRAL LIPAT 3 KOORDINAT TABUNG DAN BOLAINTEGRAL LIPAT 3 KOORDINAT TABUNG DAN BOLA
ca
x
xa
dx
cax
ax
axa
dx
ca
x
aax
dx
cedxe
cxxdx
cxxdx
cxdxx
nkecualicxn
dxx
xx
nn
1
22
22
122
1
sin.8
ln2
1.7
tan1
.6
.5
sincos.4
cossin.3
ln1
.2
1,1
1.1
),( yxfz
Rumus dasar :
dxdyyxfdydxyxfdAyxfb
a
d
c
d
c
b
aR
),(),(),(
dycbxayxR ,:,
Dengan R berupa persegi panjang y
x
d
a b
c
R
Contoh :
2
459
2
39
2
33
33
3164
131232
3
32
32.1
3
0
2
3
0
3
0
3
0
22
2
1
3
0
2
3
0
2
1
3
0
2
1
yy
dyy
dyyy
dyyy
dyyxx
dydxyx
dxdyyx
3
162
3
28
0
2
2
1
3
14
3
14
0
1
3
14
4.2
2
2
0
2
0
3
2
0
1
0
2
yyy
dyy
dyyxxx
dxdyyx
SOAL
R
R
R
R
yxyxRdAxxy
yxyxRdAyx
yxyxRdAyx
yxyxRdAxy
21,30:,;1.4
20,
20:,;sin.3
20,11:,;.2
11,10:,;.1
2
22
3
SOAL
Hitung integral lipat 2 yang ditunjukkan atas R
10
1
1
4
2.1
1
0
2
0
1
0
2
1
0
2
0
y
dy
dyx
dxdyx
Sketsalah benda pejal yang yang volumenya ditunjukkan oleh integral lipat di bawah ini
1
2
1
2
3
2
3
0
1
22
2.2
1
0
2
1
0
1
0
2
1
0
1
0
xx
dxx
dxy
xyy
dydxyx
3
32
3
16
3
16
3
8
3
2
3
82
3
1
.3
2
0
3
2
0
2
2
0
2
0
32
2
0
2
0
22
xx
dxx
dxyyx
dydxyx
3
32
3
16
3
88
3
14
4.4
2
0
2
0
2
0
2
0
3
2
0
2
0
2
x
dx
dxyy
dydxy
7616
62
12
13
2
93
2
1
1
02
1
0
1
0
3
1
1
0
2
1
0
3
1
xx
dxx
dxxx
dxyy
xy
dydxyx
5. Tentukan volume benda pejal di bawah bidang z=x+y+1
atas R={(x,y): 0≤x ≤1, 1≤y ≤3 }
6. Tentukan volume benda pejal di bawah bidang z=2x+3y atas R={(x,y): 1≤x ≤2, 0≤y ≤4 }
362444816244
248
2
32
32
2
12
2
1
4
0
2
1
2
2
1
4
0
xx
dxx
dxy
xy
dydxyx
7. Tentukan volume benda pejal antara z=x2+y2+2 dan z=1
dan terletak di atas R={(x,y): -1≤x ≤1, 0≤y ≤1 }
3
10
3
5
3
5
3
4
3
1
3
4
3
1
3
4
3
1
13
1
3
1
1
12
1
1
3
1
1
2
1
0
1
1
32
1
1
1
0
22
1
1
1
0
22
xx
dxx
dxyyyx
dydxyx
dydxyx
y
S
0x
y=2(x)
y=1(x)
a b
Sebuah himpunan y sederhana Sebuah himpunan x sederhana
y
S
0x
x=2(y)x= 1(y)
d
c
S={(x,y):1(x)≤y ≤ 2(x), a ≤x ≤ b} S={(x,y): 1(y)≤x ≤ 2(y), c ≤y≤ d}
S
b
a
x
xdydxyxfdAyxf
)(
)(
2
1
),(),(
S
d
c
y
ydxdyyxfdAyxf
)(
)(
2
1
),(),(
RUMUS DASAR
3
13393
33
1335
3
155
3
1
45
5454
54
104
3453455
3
345
5
3
234
5
3
2243
5
3
2
5
3
2
2
xxx
dxxxx
dxyxxx
dxyxy
dydxyx
x
x
x
x
CONTOH 1
2011
22
12
2
2
1
02
1
0
1
0
0
1
0
1
0 0
2
2
2
2
2
ee
ye
dyyye
dyey
dyye
dxdyye
y
y
y
yx
y x
CONTOH 2
441212
16
1
4
33
16
3
2
33
16
3
8
3
2
33
4
124
4
3
8
3
2
3
2
36
2
12
4
3
2
12
4
3
2
123
4
3
4
33
2
3
4
33
4
0
32
4
0
2
4
0
22
4
0
22
4
0
2
2
12
0
4
0
2
4
0
2
12
0
xxx
dxxx
dxxxx
dxxxxxx
dxxxxx
dxyxyy
dydxyx
x
x
x
y
z
3
4
2
xy2
12
CONTOH 3 : Hitunglah volume ‘tetrahedron’ bidang empat di bawah ini
12-3x-6y-4z=0
4
3
4
3
3
03
.1
1
0
4
1
0
3
1
0
2
3
0
1
0
2
1
0
3
0
2
x
dxx
dxxx
dxyx
dydxx
x
x
SOAL
6
1
113
124
3
8
2
1
3
1
2
1
122
1
12
1
2
1
.2
2
1
23
2
1
2
2
1
2
1
0
2
1
2
2
1
1
0
xxx
dxxx
dxx
dxy
ydydx
x
x
24018131333
1239
3
1
.3
443
14
3
1
33
1
33
3
1
3
0
23
3
1
3
0
22
y
dyydyyy
dyxyx
dxdyyx
y
y
5
8
20
32
4
82
20
242
20
243
4
81
20
1
4
1
20
1
4
1
4
1
.4
1
3
54
1
3
43
0
1
3
4412
1
3 0
32
xx
dxxx
dxyyx
dydxyx
x
x
eee
dyey
dyyye
dyex
dxdyxe
y
y
y
y
y
y
y
y
y
273
1
3
1
2
3
1
22
23
1
2
3
1
2 3
2
1
2
1
2
3
42
1
2
1
.5
3
3
3
3
5ln4
3ln
4
3
4
3
0tan1tan3
tan3
3.6
5
1
5
1
5
1
11
0
5
1
1
5
1 0 22
x
dxx
dxx
dxx
y
x
dydxyx
x
x
2
2
4sinsin
1
sin1
cos2
cos
cos.7
1
2/1
2
1
2/1
2
1
2/1
2
02
1
2/1
2
0
2
x
dxxx
dxxy
dydxx
x
x
42
1
2
1
42sin
2
1
2
12sin
2
1
2
1
12cos2
1
2cos22
1
2
1
.8
4/
0
4/
0
4/
0
2
cos2
2
4
0
2
4/
0
cos2
2
d
d
dr
rdrd
92ln
3
1
3secln3
1
13tan
4tan3tan
tan
sec.9
9/
0
9/
0
9/
0
3
4/
9/
0
9/
0
3
4/
2
rr
drr
drr
dr
drd
r
r
211
sin
coscos
cos
.10
2/
0sin
2/
0
sin
sin
0
2/
0
2/
0
sin
0
ee
ye
dyyye
dyye
dxdy
y
y
yx
y
3
8
3
16
2
14
3
20
3
2
2
1
3
144
3
2
2
1
44
42
14
2
1
.11
2
3
2
0
3
2
0
2
32
2
0
22
0
2
2
0
22
2
0
4
0
2
2
0
4
0
2
2
xxx
dxxdxxx
dxxxx
dxyxy
dydxyx
x
x
8
16/cos2/coscos
cossin3
cos3
cos6.12
332/
6/3
2/
6/
2
sin
0
2/
6/
2
2/
6/
sin
0
d
dr
drdr
xydanxyolehdibatasiyangdaerahadalahSS
dAyx 2;)22(.15
23;)2(.16 xxydanxyolehdibatasiyangdaerahadalahSS
dAxyx
)2,0()2,2()0,0(;1
1.17
2dansuduttitikdgsegitigaadalahSdA
xS
3;.18 xydanxyolehdibatasiyangdaerahadalahSxdAS
113 2 ydanxyolehdibatasiyangdaerahadalahSSxydA;.
)4,1()4,0()0,0(;)(.14 dansuduttitikdgsegitigaadalahSS
dAyx
Sketsalah benda pejal yang ditunjukkan dan hitung volumenya dengan integral lipat dua
19. Caturtira yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang z=6-2x-3y
20. Caturtira yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang 3x+4y+z-12=0
21. Baji yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang-bidang x=5 dan
y+2z-4=0
22. Benda pejal di oktan pertama yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan
bidang-bidang 2x+y-4=0 dan 8x+y-4z=0
23. Benda pejal di oktan pertama yang dibatasi oleh permukaan 9x2+4y2=36 dan
bidang 9x+4y-6z=0
24. Benda pejal di oktan pertama yang dibatasi oleh permukaan z=9-x2-y2 dan
bidang-bidang koordinat
25. Benda pejal di oktan pertama yang dibatasi oleh tabung y=x2 dan bidang-bidang
x=0, z=0 dan y+z=1
26. Benda pejal yang dibatasi oleh tabung parabola x2=4y dan bidang-bidang z=0 dan 5y+9z-45=0
27. Benda pejal di oktan pertama yang dibatasi oleh tabung z=tanx2 dan bidang-bidang x=y, x=1 dan y=0
28. Benda pejal di oktan pertama yang dibatasi oleh permukaan z=ex-y, bidang x+y=1 dan bidang-bidang koordinat
29. Benda pejal di oktan pertama yang dibatasi oleh permukaan 9z=36-9x2-4y2 dan bidang-bidang koordinat
30. Benda pejal di oktan pertama yang dibatasi oleh tabung bulat x2+z2=16 dan y2+z2=16 dan bidang-bidang koordinat
19. z=6-2x-3y 20. 3x+4y+z-12=0
INTEGRAL LIPAT 2 DOMAIN BUKAN PERSEGIPANJANG
INTEGRAL LIPAT 2 DOMAIN BUKAN PERSEGIPANJANG
21. Baji yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang-bidang x=5 dan y+2z-4=0
INTEGRAL LIPAT 2 DOMAIN BUKAN PERSEGIPANJANG
22. Benda pejal di oktan pertama yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang-bidang 2x+y-4=0 dan 8x+y-4z=0
INTEGRAL LIPAT 2 DOMAIN BUKAN PERSEGIPANJANG
23. Benda pejal di oktan pertama yang dibatasi oleh permukaan 9x2+4y2=36 dan bidang 9x+4y-6z=0
INTEGRAL LIPAT 2 DOMAIN BUKAN PERSEGIPANJANG
24. Benda pejal di oktan pertama yang dibatasi oleh permukaan z=9-x2-y2 dan bidang-bidang koordinat
INTEGRAL LIPAT 2 KOORDINAT POLAR
R
r=b
r=a
=
=
0 sumbu kutub
RUMUS
R
dAyxfV ),(
RR
rdrdrrfdAyxfV )sin,cos(),(
R adalah persegipanjang kutub :
R={(r, ):a≤r ≤b, ≤ ≤ }
Z=f(x,y)=f(rcos ,rsin )=F(r, )
Sehingga :
INTEGRAL LIPAT 2 KOORDINAT POLAR
CONTOH SOAL:
12
1
12
10
12
cos
cos3
cos
sin3
cos
sin3
sin.1
2/
0
4
2/
0
3
2/
0
3
cos
0
2/
0
3
2/
0
cos
0
2
d
d
dr
drdr
INTEGRAL LIPAT 2 KOORDINAT POLAR
84
02/
4
2sin21
4
2cos1
2
sin
2
.2
2/
0
2/
0
2/
0
2
sin
0
2/
0
2
2/
0
sin
0
d
d
dr
rdrd
INTEGRAL LIPAT 2 KOORDINAT POLAR
3
4102102
3
1
cos)sin2(3
1
3
sin
3
.3
02
0
3
sin
00
3
0
sin
0
2
d
dr
drdr
INTEGRAL LIPAT 2 KOORDINAT POLAR
3
4
3
1
3
7
2
1
3
1111
3
111
2
1
cos3
1coscos
2
1
)(cos2
coscos21
sin2
cos1
sin2
sin.4
32
0
32
0
2
0
2
cos1
00
2
0
cos1
0
d
d
dr
drdr
INTEGRAL LIPAT 2 KOORDINAT POLAR
Seketsalah daerah asal S dan hitung luasnya dengan rumus :
S
rdrd
1. S adalah daerah di dalam lingkaran r=4cos dan diluar lingkaran r=22. S adalah daerah yang dibatasi oleh=/6 dan r=4 sin3. S adalah satu daun dari mawar daun empat r=a sin(2)4. S adalah daerah didalam kardioid r=6-6 sin5. S adalah daerah (loop) yang lebih besar dari limason r=2-4sin
r=cos r=sin
r=1-cos r=1+cos
r=2 dan r=4cos =/6 dan r=4sin
r=sin2 r=6-6sin
r=2-4sin r=2 dan r=sqrt(9cos2)
INTEGRAL LIPAT 2 KOORDINAT POLAR
QUIZ
1. 4/
0
cos2
2.
rdrda
2/
0
cos
0
2 sin.
drdrb
0
cos1
0sin. drdrc
0
sin
0
2. drdrd
2. Hitunglah luas daerah S dengan menghitung dan buatlah sketsanyas
rdrda. S adalah daerah di dalam lingkaran r=4cos dan diluar lingkaran r=2
b. S adalah satu daun dari mawar daun empat r=a sin(2)
dAyxaS 224.
S
dAyx
b224
1.
S adalah sektor kuadran pertama dari lingkaran
x2+y2=4 antara y=0 dan y=x
S seperti soal a
3.