KONSEP KALKULUS

konsep asas dalam kalkulus dan analisis tentang perilaku fungsi yang berhampiran input tertentuSecara tidak formal, fungsi f menugaskan sebuah output f(x) untuk setiap masukan x. Fungsi ini mempunyai had L pada nilai p jika f(x) adalah "dekat" dengan L ketika x adalah "dekat" dengan pDengan kata lain, f(x) menjadi makin dekat dan makin hampir dengan L apabila x bergerak lebih dekat dan lebih hampir dengan p.Lebih khusus lagi, apabila f dikenakan untuk setiap masukan cukup dekat dengan p, hasilnya adalah nilai keluaran yang sewenang-wenangnya berhampiran dengan LJika input "dekat" dengan p akan dibawa ke nilai-nilai yang sangat berbeza, had dikatakan tidak wujud.

HAD FUNGSI

fungsi selanjar adalah fungsi yang, secara intuitif, perubahan kecil dalam masukan memberikan perubahan kecil pada keluaran. Jika tidak, fungsi dikatakan "tak selanjar". Fungsi selanjar dengan fungsi songsang selanjar disebut "dwiselanjar"perhatikan fungsi h (t) yang menggambarkan tingginya bunga yang berkembang pada saat t. Fungsi ini berterusan. Bahkan, ada Diktum fizik klasik yang menyatakan bahawa semuanya di alam terus-menerusSebaliknya, jika M (t) menunjukkan jumlah wang di akaun bank pada waktu t, maka fungsi tersebut melompat bila wang disimpan atau ditarik, sehingga fungsi M (t) adalah berterusan

KESELANJARAN

PEMBEZAAN

Dalam kalkulus, pembezaan atau

terbitan merupakan suatu ukuran bagi perubahan dalam

fungsi y = ƒ (x) berhubung dengan

perubahan pembolehubah bebas

Perbezaan itu sendiri ditakrifkan oleh

sebuah ungkapan dalam bentuk dy = \

frac{dy}{dx}\, dx sama seperti jika derivatif dy

/ dx mewakili keputusan bagi dari

kuantiti by dy dx kuantiti

Satu juga boleh menulis df(x) =

f'(x)\,dx.

Domain dari pembolehubah-pembolehubah ini dapat

mengambil makna geometri tertentu jika pembezaan ini dianggap sebagai bentuk pembezaan tertentu, atau

signifikansi analitis jika pembezaan ini dianggap sebagai hampiran linear

dengan peningkatan fungsi

Dalam aplikasi fizikal, pemboleh ubah dx

dan dy sering terhad sangat kecil ("sangat

kecil").

PENGAMIRAN

Diberi fungsi ƒ satu pemboleh ubah nyata x dan sela [a, b] garis nyata, kamiran tentu \int_a^b f(x)\,dx \, ,ditakrifkan secara tidak formal sebagai

luas bertanda bersih kawasan di satah-xy yang dibatasi

dengan graf ƒ, paksi-x, dan garis menegak x = a dan x =

b.Istilah kamiran juga boleh

merujuk kepada tanggapan antiterbitan, fungsi F yang

terbitannya ialah fungsi diberi ƒ. Dalam kes ini ia

dipanggil kamiran tak tentu, manakala kamiran yang

dibincangkan dalam rencana ini dipanggil kamiran tentu

jika f adalah satu fungsi selanjar dengan nilai nyata serta had [a, b],

maka apabila antiterbitan F untuk f diketahui,

kamiran tentu f dalam had yang diberikan adalah \int_a^b f(x)\,dx = F(b) -

F(a)\,

kamiran garisan adalah kamiran untuk fungsi dengan dua atau tiga anu, dan had [a, b] diubah kepada satu

lengkungan yang menyambungkan dua titik dalam satu satah

atau ruang

Kamiran permukaan pula

merupakan kamiran sekeping permukaan dalam ruang tiga matra

SEJARAH

Penyelidiakan tentang topik kalkulus telah

dijalankan pada awal kurun ke-17

Penyelidikan dijalankan oleh Sir Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm

Leibniz

Penyelidikan Sir Isaac Newton

bermula apabila University of

Cambridge ditutup pada tahun 1665

yang menyebabkan beliau terpaksa

pulang ke tempat asalnya iaitu Lincolnshire.

Sir Isaac Newton telah mencipta

‘Method of Fluxions’, teori graviti dan teori cahaya selama 18

bulan di sana

Beliau telah menulis sebuah buku yang

berjudul ‘De Methodis Serierum et Fluxionum’ pada

tahun 1671

Buku tersebut tidak diterbitkan sehingga John Colson berjaya

menerbitkannya dalam versi Bahasa Inggeris pada tahun

1736

SEJARAH

Buku hasil tulisan Sir

Isaac Newton tidak

mempunyai simbol dan

rumus Gottfried Wilhelm

Leibniz telah memulakan penyelidikan beliau pada tahun 1673

Beliau merupakan tokoh yang telah mencipta simbol pembezaan dan

pengamiran

Penerbitan pertamanya adalah

pada tahun 1684 iaitu ‘Nova Methodus pro Maximis et Minimis,

itemque Tangentibus’ dalam ‘Acta Eruditorum’

Kemudian dua orang adik-

beradik Bernoulli iaitu Jacob dan

Johann mengambil idea

tersebut dan mengembangkan

nya

Sejak kurun ke-17, penyelidikan tentang kalkulus telah mula berkembang dan mencapai tahap

seperti yang sedia ada sekarang

PENGARUH PENTING

K o n se p k a lk u lu s te la h d ik e m b a n g k a n te r le b ih d a h u lu d i M e s ir , Y u n a n i, T io n g k o k , In d ia , Ira q , P e rs ia , d a n Je p u n

N a m u n p e n g g u n a a a n k a lk u lu s m o d e n d im u la i d i E ro p a p a d a a b a d k e -1 7 se w a k tu za m a n Isa a c N e w to n d a n G o ttf rie d W ilh e lm L e ib n iz

P e m a h a m a n y a n g le b ih te rp e r in c i m e n g e n a i ru a n g , w a k tu , d a n g e ra k .

PERINGKAT SEJARAH KALKULUS

Sejarah kalkulus pada Zaman Kuno

Sejarah kalkulus pada Zaman Pertengahan

Sejarah kalkulus pada Zaman Moden

SEJARAH KALKULUS PADA ZAMAN KUNO

Kalkulus Kamiran digunakan sebagai idea tetapi tidak dibentukkan

sebagai satu sistem yang formal

Idea terhadap pengiraan luas dan isipadu

menggunakan formula yang mudah sudah diketahui sejak zaman kuno lagi

Sebagai contoh, Egyptian Moscow papyrus

merupakan salah satu tamadun awal zaman kuno yang membuat pengiraan terhadap luas permukaan

dan pengiraan

Pada zaman Greek purba, seorang Tokoh Matematik Greek, Eudoxus (408-355 BC) telah menggunakan kaedah ‘exhaustion’, pelopor berkenaan had, untuk mengira luas dan isipadu. Eudoxus telah menghasilkan satu kaedah untuk mengira luas bulatan dengan menggunakan poligon sekata. Dia menambah bilangan sisi poligon tersebut untuk menyamai luas bulatan. Archimedes (287-212 BC) kemudiannya menggunakan idea tersebut, yang seakan-akan kaedah pengamiran untuk mengira pi, luas dan isipadu.

Archimedes mengira luas dengan membentuk turutan segitiga tidak terhingga daripada satu luas A dan kemudiannya menambah lebih banyak segitiga di antaranya. Beliau juga mencipta parabola untuk menganggarkan luas parabola. Mengkaji garisan tangan iaitu apa yang dikenali sebagai Archimedian Spiral. Beliau juga menganggarkan pi dan membuktikan persamaan geometrik daripada formula luas sebuah bulatan.

SEJARAH KALKULUS PADA ZAMAN PERTENGAHAN

Dalam awal tahun 1000, ahli Matematik Islam, Ibn al-Haytham

(Alhacen) merumus formula untuk penambahan kuasa empat

dalam janjang aritmetik yang kemudiannya digunakan dalam

membentuk pengamiran

Ahli Matematik India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil tak terhingga pada tahun 499 dan

membentukkan masalah astronomi dalam bentuk

persamaan asas pembezaan

Pada kurun ke-12, ahli Matematik India, Bhaskara II memperkembangkan bentuk awal turunan yang mewakili

perubahan yang sangat kecil tak terhingga dan menjelaskan

bentuk awal “Rolle Theorem”

Pada awal kurun ke-17, terdapat banyak perkembangan di dalam

Matematik. Minat terhadap pengaplikasian Matematik

semakin bertambah

Pengaruh kaedah Greek kuno semakin berkurang. Ahli-ahli

falsafah menggunakan Matematik untuk memahami

dunia dan alam semesta. Antara ahli falsafah yang terkenal ialah

seperti Galileo Galilei (1564-1642)

Kepler (1571-1630) menggunakan seksyen konik

untuk menerangkan sistem solar, menerangkan bahawa planet berputar mengelilingi matahari pada orbit yang berbentuk elips

dan beliau juga merumuskan bagaimana laju planet berputar

Cavalieri (1598-1647), dengan prinsip indivisibles, memotong kawasan planar ke dalam bentuk set segmen garisan tak terhingga atau memotong bentuk pepejal kepada set kawasan planar tak

terhingga. Cavalieri menunjukkan bahawa kamiran x^n dari 0 kepada a ialah a^(n+1)/(n+1) dengan

menunjukkan bilangan nilai n dan inferens. Roverval pula lebih cenderung dan melihat luas di antara

lengkungan dan garisan adalah dibuat hasil daripada nombor tak terhingga daripada corak

segiempat tepat yang padat, dan beliau menganggarkan kamiran x^m dari 0 kepada 1.

Pierre de Fermat (1601-1665), mengkaji maksimum dan minimum dengan

mempertimbangkan apabila tangen pada lengkungan adalah selari dengan paksi-x iaitu,

(f(x+e)-f(x))/e, membahagi sekiranya e bukan sifar dan menggugurkannya sekiranya e adalah sifar.

Beliau telah mencari nilai apa yang kita tulis sebagai ∫_0^a▒x^(p/q) dx. Beliau ialah di antara orang pertama yang menyedari bahawa hanya

dalam kes-kes tertentu, terdapat hubungkait antara permasalahan tangen dan luas. Johanne

Hudde (1628-1704) pula kemudiannya mengembangkannya dan menemukan peraturan algoritma untuk menentukan keceruanan garisan

tangen terhadap lengkungan arbitrari algebra

SEJARAH KALKULUS PADA ZAMAN MODEN

ISAAC NEWTON

Newton mengkaji asas-asas berkenaan kalkulus di

antara tahun 1665 sehinggalah tahun 1666

Beliau memperkenalkan prinsip penjumlahan, prinsip rantaian dan bidang tinggi

dalam terbitan untuk menyelesaikan

permasalahan fizik

Beliau menggunakan kalkulus untuk menjelaskan kebanyakan permasalahan

fizik di dalam bukunya Principia Mathematica

terbitan terhadap velositi komponen x dan y daripada

titik yang bergerak di sepanjang lengkungan, x

dan y diketahui dan mendefinisikan terbitan sebagai nisbah x dan y

Beliau juga telah membuat pengiraan berkenaan

terbitan pada mana-mana lengkungan algebra dengan

menggunakan ‘infinitesimals’ dan

pembezaan tersirat (implicit differentiation)

Newton menjelaskan bagaimana memfrasakan sekiranya A ialah luas di

bawah lengkungan y = f(x)

Newton imenentukan maksimum dan minimum

dengan menetapkan terbitan sama dengan sifar dan

kemudian menyelesaikannya

Beliau juga ialah orang yang telah menjumpai siri kuasa

bagi ex , sin x dan kos x

Gootfried von Wilhelm Leibniz (1646-1716)

beliau telah mengkaji bidang kalkulus di antara tahun 1675 sehinggalah

tahun 1677

Berdasarkan pendekatan beliau berkenaan terbitan

bagi perubahan ‘infinitesimal’ pada x dan y, di mana beliau menentukan

dx dan dy, dan mendefinisikan terbitan tersebut sebagai nisbah

bagi dy dan dx

Beliau tidak terlalu memfokuskan sama ada

atau tidak memikirkan bahawa dy dan dx sebagai

‘infinitesimals’

Beliau tidak mengembangkan apa-apa pendekatan berkaitan had, begitu juga dengan Newton

beliau telah menyusun secara sistematik idea-idea bagi

kalkulus berkenaan ‘infinitesimals’. Tidak seperti

Newton, Leibniz menyediakan tetapan peraturan yang jelas

untuk memanipulasi ‘infinitesimals’

Beliau telah mengkaji terbitan bagi fungsi kuasa, begitu juga dengan prinsip

gandaan dan pembahagian, dan menulis

apa sahaja berkenaan dengan pembezaan tetapi

tidak pada terbitan

Kajiannya membawa kepada penghasilan rumus

atau formula bagi penggandaan dan

peraturan rantaian seperti peraturan untuk terbitan

dan kamiran.

Augustin Louis Cauchy (1789-1857). , terdapat banyak sumbangan tokoh-tokoh matematik lain

selepas mereka, kemudiannya mengembangkan idea-idea tersebut dengan lebih meluas.

Antaranya ialah Leonhard Euler (1707-1783), membuktikan banyak hasil dapatan berkaitan siri

dan siri kuasa, Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), memperkenalkan istilah “derivative” dan

“f’(x)”, Augustin Louis Cauchy (1789-1857), mendefinisikan terbitan dalam istilah had.

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866). Seterusnya, Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), memberikan definisi

moden berkenaan integrals melalui Riemann Sums, Richard Dedekind (1831-1916),

memberikan ciri-ciri aksiomatik bagi nombor asli, Georg Cantor (1845-1918), mencipta teori set dan

membina nombor asli daripada nombor nisbah dengan menggunakan urutan Cauchy

APLIKASI KALKULUS

K a lk u lu s d ig u n a k a n d i s e tia p c a b a n g s a in s fiz ik , s a in s k o m p u te r, s ta tis tik , te k n ik , e k o n o m i, b is n e s , k e d o k to ra n d a n b id a n g -b id a n g y a n g la in . S e tia p k o n s e p d i m e k a n ik a k la s ik s a lin g b e rh u b u n g a n m e la lu i k a lk u lu s . M a s s a d a ri s e b u a h b e n d a d e n g a n m a s s a je n is y a n g tid a k d ik e ta h u i, m o m e n in e rs ia d a ri s u a tu o b je k , d a n to ta l e n e rg i d a r i s e b u a h o b je k

D a la m s u b d is ip lin lis tr ik d a n m a g n e tis m e , k a lk u lu s d a p a t d ig u n a k a n u n tu k m e n c a ri to ta l f lu k s d a ri s e b u a h m e d a n e le k tro m a g n e tik . C o n to h la in n y a a d a la h p e n g g u n a a n k a lk u lu s d i h u k u m g e ra k N e w to n , d in y a ta k a n s e b a g a i p e ru b a h a n la ju y a n g m e ru ju k p a d a tu ru n a n : L a ju p e ru b a h a n m o m e n tu m d a ri s e b u a h b e n d a a d a la h s a m a d e n g a n g a y a y a n g b e k e rja p a d a b e n d a te rs e b u t d e n g a n a ra h y a n g s a m a .

B a h k a n ru m u s u m u m d a ri h u k u m k e d u a N e w to n : G a y a = M a s s a × P e rc e p a ta n , m e n g g u n a k a n p e ru m u s a n k a lk u lu s d ife re n s ia l k a re n a p e rc e p a ta n b is a d in y a ta k a n s e b a g a i tu ru n a n d a r i k e c e p a ta n . T e o ri e le k tro m a g n e tik M a x w e ll d a n te o r i re la tiv ita s E in s te in ju g a d iru m u s k a n m e n g g u n a k a n k a lk u lu s d ife re n s ia l.

APLIKASI PEMBEZAAN

Ekonomi : pembezaan dapat mengenali keuntungan yang

dianggarkan dalam penjualan sesuatu barang atau modal

yang perlu dikeluarkan dalam membuat sesuatu barang

berdasarkan jumlah kuantitinya

membantu peniaga untuk membuat keputusan dalam perniagaannya berdasarkan

anggaran yang dibuat menggunakan pembezaan.

Kita dapat mengelakkan kerugian yang mungkin berlaku dalam sesuatu

perniagaan

menganggarkan nilai maksimum dan minimum dalam sesuatu perkara.

Contoh, menganggarkan keuntungan tertinggi dalam

sesuatu ataupun juga kuantiti maksimum dan minimum

yang boleh digunakan bagi mengelakkan kerugian

Dalam pembinaan bangunan, usahawan perlu

tahu kuantiti bahan yang digunakan dan pembezaan membantu dalam mencari

nilai maksimum atau minimum bagi memastikan

kualiti pengeluarannya adalah terjamin dan dalam masa yang sama kita tidak

mengalami kerugian

penggunaan tenaga kerja serta bahan juga boleh

dianggarkan menggunakan pembezaan ini

bidang kejuruteraan dan juga sains, pelayaran kapal adalah

memang berbahaya kerana kita tidak kenal akan arah membawa

kapal dengan betul dan satu-satunya garis panduan yang

digunakan adalah melalui bintang dan cara itu juga adalah susah melihatkan cuaca yang

tidak menentu

dalam bidang kejuruteraan, pembezaan membantu dengan banyak dimana

dalam aplikasi piston, yang banyak digunakan bukan sahaja dalam perkapalan

tetapi juga kenderaan. membolehkan kita

mengaplikasikan piston yang digunakan dalam kenderaan

mencari kadar perubahan atau ‘rate of change’ tidak

kira dalam tindak balas kimia mahupun benda lain. Boleh mencari kadar tindak balas

sesuatu bahan kimia terhadap bahan lain dan ini

membantu kita untuk menciptaan pelbagai peralatan atau bahan

kegunaan harian