bab i - dwipurnomoikipbu's blog | just another … · web viewsuatu kotak alasnya persegi...
TRANSCRIPT
BAB IITURUNAN PARSIAL
2.1 Fungsi dua Peubah atau Lebih
Fungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit atau implisit. Jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk eksplisit, maka penulisannya secara umum dinyatakan dengan . Sebaliknya jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk implisit, maka penulisannya dinyatakan dengan
Contoh:1.2.
3.
4.5.
6.
7.
Berdasarkan contoh di atas, fungsi yang ditulis dalam bentuk eksplisit adalah 1,2, dan 3. Sedangkan contoh 4, 5, 6, dan 7 adalah fungsi yang ditulis dalam bentuk implisit. Semua fungsi dalam bentuk eksplisit dengan mudah dapat dinyatakan dalam bentuk implisit. Akan tetapi tidak semua fungsi dalam bentuk implisit dapat dinyatakan dalam bentuk eksplisit.
Untuk menggambar kurva fungsi dua peubah dapat dengan membuat sumbu-sumbu koordinat, yaitu sumbu x, sumbu y, dan sumbu z, sehingga pada sumbu tersebut membentuk ruang dan masing-masing ruang disebut oktan .
.
Oktan I adalah ruang dengan x>0, y>, dan z>0Oktan II adalah ruang dengan x>0, y<0, dan z>0Oktan III adalah ruang denganx<0, y<0, dan z>0Oktan IV adalah ruang dengan x<0, y>0, dan z>0Oktan V adalah ruang dengan x>0, y>, dan z<0Oktan VI adalah ruang dengan x>0, y<0, dan z<0Oktan VII adalah ruang denganx<0, y<0, dan z<0Oktan VIII adalah ruang dengan x<0, y>0, dan z<0Berdasarkan oktan-oktan tersebut, dapat digambarkan sebarang titik P(x ,y ,z ) atau kurva ruang dengan persamaan Perhatikan gambar berikut.
Pada gambar di atas adalah sebarang titik pada oktan I, dengan menggunakan kaidah dan teorema Pythagoras dapat ditentukan panjang OP sebagai
Dengan cara yang sama, jika dan maka panjang PQ dinyatakan dengan
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 23
Selanjutnya, misal maka dapat ditentukan gambar kurva ruang.
ContohDalam ruang dimensi tiga (R ) gambarlah kurva ruang Untuk menggambar kurva ruang dengan persamaan langkah yang ditempuh adalah menentukan titik potong kurva dengan masing-masing sumbu.Jika x = 0 dan y = 0 maka z = 12, hal ini berarti kurva ruang memotong sumbu z di titik (0,0.12)Jika y = 0, z = 0 maka x = 4, hal ini berarti kurva ruang memotong sumbu x dititik (4,0,0).Jika x = 0, z = 0 maka y = 3, hal ini berarti kurva ruang memotong sumbu y dititik (0,3,0).Sehingga diperoleh:
Gambar di atas, adalah kurva ruang di oktan I. Kurva ruang di oktan yang lain dibayangkan sebagai ruang maya.Sebagai latihan bagi pembaca, gambarlah kurva ruang dengan persamaan:1)2)
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 24
3) 4)5)6)
2.2 Turunan Parsial Fungsi Dua atau lebih Misal adalah fungsi dengan variabel bebas x dan y.
Karena x dan y variable bebas maka terdapat beberapa kemungkinan yaitu:
1. y dianggap tetap, sedangkan x berubah-ubah.2. x dianggap tetap, sedangkan y berubah-ubah3. x dan y berubah bersama-sama sekaligus.
Pada kasus 1 dan 2 diatas mengakibatkan fungsinya menjadi fungsi satu peubah, sehingga fungsi tersebut dapat diturunkan dengan menggunakan definisi turunan pertama yang telah dipelajari pada kalkulus diferensial.Definisi Misal adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada interval tertentu, turunan parsial pertama z terhadap x dan y
dinotasikan dengan dan dan didefinisikan oleh
, asalkan limitnya ada
dan
, asalkan limitnya ada
Contoh :1 Tentukan
dan dari
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 25
Jawab
.
.
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 26
2 Tentukan
dan dari
Jawab
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 27
Untuk memudahkan dalam menentukan turunan parcial dapat
dilakukan dengan menggunakan metode sederhana sebagai berikut.
Andaikan maka untuk menentukan sama artinya dengan
menurunkan variabel x dan variabel y dianggap konstan dan
selanjutnya y diturunkan. Demikian pula untuk menentukan sama
artinya dengan menurukan variable y dan variable x dianggap konstant lalu diturunkan.
Dengan cara yang sama, andaikan adalah fungsi tiga peubah yang terdefinisi dalam selang tertentu maka turunan
parsial pertama dinyatakan dengan , dan yang secara
berturut didefinisikan oleh:
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 28
Asalkan limitnya ada.Selain menggunakan definisi di atas, maka turunan parsial fungsi dua peubah juga dapat dilakukan dengan metode sederhana.
Misal , berarti x adalah variable dan y konstanta
sedangkan berarti y variabel dan x konstanta. Demikian pula,
misal berarti x adalah variabel y dan z adalah
konstanta. berarti y variabel x dan z adalah konstanta.
berarti z variabel x dan y adalah kosntanta.
Contoh:
1. Ditentukan
Carilah turunan parsial pertamanya. Dengan metode sederhana didapat
a.
b.
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 29
c.
Sebagai latihan bagi pembaca tentukan turunan persial pertama fungsi-fungsi di bawah ini:1.2.
3.
4.
5.
6.7.8.
9.
Berdasarkan turunan parsial pertama fungsi dua peubah atau lebih dapat ditentukan turunan parsial ke n untuk n 2. Turunan parsial tersebut dinamakan turunan parsial tingkat tinggi.Dengan menggunakan analogi fungsi satu peubah dapat ditentukan turunan parsial tingkat 2, 3 dan seterusnya.Jadi andaikan maka:
Turunan parsial tingkat dua adalah
Demikian pula, jika Turunan parsial tingkat dua adalah
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 30
Demikian seterusnya. Banyaknya turunan tingkat ditentukan oleh rumus m , dimana m banyaknya variabel dan n menunjukkan turunan ke-nContoh
1 Tentukan
dan dari fungsi
Jawab
,diperoleh
Sehingga
Dan
2 Tentukan
dan dari fungsi
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 31
Jawab
Dari,diperoleh
Sehingga
dan
Dengan cara yang sama dapat dicari
Soal-soal
Tentukan fungsi-fungsi berikut:
1) 2)3)
4)
5)
6)
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 32
7)
8)
9)
22
2sin2cosyx
xyz
10)
2.3 Differensial TotalMisal adalah suatu fungsi yang dapat diturunkan
terhadap variable x dan y. Secara berturut-turut dapat diperoleh turunan parisal terhadap x dan turunan parsial terhadap y. Keduanya dinyatakan oleh:
------------- (1) dan
------------- (2)
Dari (1) dan (2) diperoleh:
dan
Jumlah diferensialnya diperoleh:
Bentuk di atas disebut diferensial total.Dengan demikian jika ,maka diferensial totalnya adalah:
Analog, jika maka diferensial totalnya adalah:
Contoh.1 Tentukan diferensial total fungsi
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 33
Jawab
sehingga diferensial total fungsi adalah
2 Tentukan turunan parsial fungsi
Jawab
sehingga diferensial total fungsi adalah
3 Dengan menggunakan diferensial total, hitunglah
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 34
JawabLangkah pertama yang harus ditetapkan fungsinya, dalam hal
Pilih x = 2, y = 2 dan z = 1 sehingga W = = 3 Karena akan dihitung maka: x + = 2,01 sehingga x + = 1,99 sehingga x + = 0,97 sehingga dengan menggunakan definisi diferensial total W = F(x,y,z) maka
= -0,01Akhirnya diperoleh = 3 + (-0,01) = 2,99
4 Suatu segitiga siku-siku panjang sisi-sisi penyikunya 15 cm dan
20 cm. Bila sisi panjang dipendekkan dan kaki pendek
dipanjangkan . Dengan menggunakan differensial tentukan
perubahan panjang sisi miringnya. JawabMisal x : sisi pendek, y : sisi panjang, dan r : sisi miring maka berlaku
. Berdasarkan definisi diferensial total diperoleh
dimana dr , dx , dx
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 35
didapat
Hal ini berarti sisi miring dipanjangkan
Soal-soal1) Dengan menggunakan diferensial total, hitunglah
a)b) Suatu tempat berbentuk kotak dengan dimensi 2,02 m, 1,97
m, dan 0,99 m. Dengan menggunakan differensial tentukan panjang diagonal ruang kotak tersebut.
c) Suatu kotak alasnya persegi dengan panjang sisi 8,005 dm dan tingginya 9,996 dm. Hitung volume dan luas permukaannya.
2) Dekatilah luas persegi panjang yang berdimensi 35,02 cm, 24,97 cm.
3) Daya yang dibutuhkan oleh resistor listrik dinyatakan dengan P=
watt. Jika E = 200 volt dan R = 8 Ohm. Dengan berapa besar
daya berubah jika E menyusut 5 volt dan R menyusut dengan 2 Ohm.
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 36
2.4 Turunan Total Misal dan F dapat diturunkan (differentiable).
Selanjutnya dimisalkan , x dan y adalah fungsi satu peubah yaitu peubah t yang dapat diturunkan. Maka adalah fungsi satu peubah, sehingga:
karena x =x(t) dan y=y(t) dapat diturunkan maka dapat ditentukan
sehingga
Bentuk di atas dinamakan turunan total dengan
Catatan
Pengertian ganda z, x, dan y pada
Pada , z berarti , Sedangkan , z berarti f(x,y).
Pada .
Andaikan adalah fungsi yang dapat diturunkan, dan misalkan
adalah fungsi dua peubah dan dapat diturunkan,
maka diferensial totalnya adalah
Karena dan dapat diturunkan, maka dapat
ditentukan dan
Sehingga turunan total adalah
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 37
Dengan cara yang sama diperoleh 1. Jika maka turunan totalnya
adalah:
2. Jika maka turunan parsialnya adalah:
dan
ContohTentukan turunan total fungsi-fungs berkut.
1)
Jawab Turunan total fungsi di atas adalah:
2)
JawabTurunan total fungsi di atas adalah
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 38
3) Suatu tempat berbentuk silinder (tabung) dengan jari-jari alasnya
15 cm dan tingginya 20 cm. Karena pemuaian, tinggi slinder bertambah 0,5 cm/det dan jari-jarinya berkurang 1 cm/det. Hitunglah perubahan yang terjadi terhadap volume dan luas permukaan silinder.
Jawab.
Misal jari-jari tabung r, tinggi h dan volume I, maka
Diketahui r = 15 cm, h = 20 cm, ,
Dengan definisi turunan totaldengan r dan h bergantung pada waktu t, maka diperoleh
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 39
Soal-soal1. Tentukan turunan total fungsi berikut: a. z = Ln (x ) jika x = e y = e b. u = x jika x = , y =
2.5 Turunan Parsial Fungsi Implisit
Turunan parsial fungsi juga dapat dilakukan untuk fungsi-fungsi yang ditulis dalam bentuk implisit. Misal adalah fungsi implisit maka untuk menentukan turunan parsialnya dapat dilakukan dengan menggunakan kaidah diferensial totalfKarena maka Sehingga
= 0
Dengan membagi masing-masing bagian dengan dx, diperoleh:
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 40
Contoh
1) Tentukan bila diketahui
akan dicari , menurut definisi turunan total
2) Tentukan
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 41
Sebagaimana telah dibahas sebelumnya bahwa fungsi dua peubah secara implisit dinyatakan dengan .
Contoh 1.
2.
3. a. Turunan Fungsi Implisit 2 Peubah Fungsi Implisit 2 peubah secara umum dinyatakan dalam bentuk
Dengan menggunakan diferensial total Andaikan maka
Jika masing masing bagian dibagi dx akan diperoleh
Karena akan dicari turunan fungsi terhadap x, maka . Dan
karena fungsi lebih dari satu variabel maka turunan terhadap x
dinyatakan dengan , sehingga:
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 42
Dengan menurunkan terhadap z dan menentukan diperoleh
Dengan menurunkan terhadap y dan menentukan diperoleh
Sehingga turunan pertama fungsi implisit adalah
Contoh
1. Tentukan dari
Jawab Karena
Maka dan , sehingga menurut
definisi turunan fungsi implisit 2 peubah
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 43
2. Tentukan dari
Jawab
Karena
Maka dan
, sehingga menurut definisi turunan
fungsi implisit 3 peubah
3. Tentukan dari
Jawab Karena
Maka dan , sehingga menurut definisi
turunan fungsi implisit 3 peubah
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 44
b. Turunan parsial fungsi implisit 4 peubahBentuk umum fungsi impilisit 4 peubah dinyatakan dengan
Atau
Dimana variable x sejenis dengan y (berpasangan) dan variable u sejenis dengan v dan tidak dapat berdiri sendiri. Karena u dan v sejenis maka tidak dapat ditentukan
atau dan tidak dapat pula ditentukan atau
Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini.
Contoh 1. atau
2. atau
3. atau
Turunan Parsial fungsi implisit 4 variabel dilakukan dengan menggunakan metode eliminasi.
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 45
Bentuk umum , u,v variabel sejenis, x,y
variabel sejenis sehingga tidak dapat ditentukan .
Sehingga turunan parsial fungsi implisit yang dapat ditentukan adalah
Untuk menentukan turunan parsial 4 peubah, langkah ditempuh adalah menurunkan fungsi terhadap peubah yang dimaksud, lalu dari persamaan yang diperoleh gunakan metode eliminasi..
Contoh:
1. Tentukan dari
Jawab
Karena akan ditentukan maka tidak boleh
dilakukan
dengan menurunkan fungsi terhadap variabel x didapat
………………(1)
atau
dan
- …………(2)
atau
Selanjutnya dari (1) dan (2) dengan mengeliminasi didapat
(v)
(u)
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 46
didapat
atau
=
Karena akan ditentukan maka tidak boleh
dilakukan
dengan menurunkan fungsi terhadap variabel u didapat
………………(1)
atau
dan
atau
………………(2)
Berdasarkan persamaan (1) dan (2), dengan metode eliminasi diperoleh
1 ................................... . (2y-x)
…………. (2y)
Didapat
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 47
Diperoleh
Berdasarkan jawaban di atas, jelaslah bahwa untuk fungsi implisit 4 peubah tidak berlaku hubungan
atau
2. Tentukan dari fungsi
Karena akan ditentukan maka tidak boleh
dilakukan Selanjutnya dengan menurunkan fungsi
terhadap variabel y didapat
………………(1)
atau
dan
…………(2)
atau
Selanjutnya dari (1) dan (2) dengan mengeliminasi didapat
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 48
(2)
(1)
didapat
5 atau
Karena akan ditentukan maka tidak boleh
dilakukan Selanjutnya dengan menurunkan fungsi
terhadap variabel y didapat
………………(1)
atau
dan
…………(2)
atau
Selanjutnya dari (1) dan (2) dengan mengeliminasi didapat
(1)
(2)
didapat
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 49
atau
Soal-soal1. Ditentukan fungsi
Tentukan:
a.
b.
2. Ditentukan Tentukan:
a.
b.
3. Jika Tentukan
a.
b.
c. Turunan Parsial Fungsi Implisit 6 peubah.Fungsi implisit 6 peubah, secara umum dinyatakan dalam bentuk:
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 50
u,v,dan w variable sejenis, sehingga tidak dapat ditentukan hasilnya
x,y, dan z variable sejenis, sehingga tidak dapat ditentukan hasilnya
Contoh fungsi 6 peubah:
Atau
Perhatikan beberapa contoh di bawah ini.
1. Tentukan dari
JawabPersamaan diturunkan terhadap u dan diperoleh
............................(1)
.......................(2)
...........................(3)
Karena akan ditentukan maka eliminasikan
dari persamaan (1), (2) dan (3)
Dari (1) dan (2) dengan mengeliminasi diperoleh:
(2y)
(1)
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 51
........(4)
Dari (1) dan (3) dengan mengeliminasi diperoleh:
(3y )
(1)
.(5)
Selanjutnya eliminasi dari persamaan (4) dan (5) diperoleh:
(2)
atau
Sehingga:
2. Tentukan dari
JawabPersamaan di atas diturunkan terhadap variable w dan diperoleh
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 52
............................(1)
...................(2)
................(3)
Karena akan ditentukan maka eliminasikan
dari persamaan (1), (2) dan (3)
Dari (1) dan (2) dengan mengeliminasi diperoleh:
…………(2x)
....... (1)
......
(4)
Selanjutnya dari (1) dan (3) dengan mengeliminasi diperoleh:
....................... (3x )
......... (1)
...(5)
Selanjutnya eliminasi dari persamaan (4) dan (5) diperoleh:
...........
......(1)
atau
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 53
Sehingga:
Soal-soal.
1. Tentukan dari fungsi
2. Tentukan
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 54