08 isi pelajaran topik 2

7/22/2019 08 Isi Pelajaran Topik 2

1/10

MTE3103 Geometri

23

Topik 2 Satah Simetri dan Tranformasi

2.1 Sinopsis

Topik ini merupakan lanjutan daripada topik teselasi pada satah. Dalam penghasilan

teselasi, kita juga harus mengetahui cara pembentukan teselasi tersebut. Dengan

menggunakan motif yang tertentu, kita boleh memenuhi seluruh satah dengan

menggunakan transformasi yang mengekalkan bentuk dan saiz asal motif tersebut.

Dalam topik 2 ini, hanya dua sub-topik yang akan dibincangkan iaitu isometri pada

satah (putaran, pantulan, translasi dan pantulan gelangsar) dan kumpulan simetri

terhingga serta Tujuh-Pola Frieze (Seven Frieze Patterns). Simetri pada satah akan

dibincangkan dalam sesi kuliah.

2.2 Hasil Pembelajaran

1. Menambahkan pengetahuan dalam simetri dan tranformasi pada satah.2. Memahami pola dan rekaan Tujuh-Pola Jalur.

2.3 Kerangka Konseptual

Satah Simetri dan

Tranformasi

Satah Isometri Satah SimetriTujuh-Pola

Frieze


2/10

MTE3103 Geometri

24

2.4 Satah Isometri

Isometri ialah satu tranformasi yang mengekalkan bentuk dan saiz motif asal. Hanya terdapat

empat isometri yang telah dikenal pasti iaitu translasi, pantulan, putaran dan putaran gelangsar.

2.4.1 Translasi

Translasi adalah satu transformasi yang mengelonsorkan keseluruhan objek dalam satu

jarak yang tetap dengan arah yang tetap. Oleh kerana itu, kita perlu untuk menyatakan

arah dan jarak objek tersebut bergerak. Contohtranslasi adalah seperti berikut:

(i) imej

Objek

(ii)

Satu translasi yang boleh ditemuipada alam semula jadi: gambarsayap kupu-kupu yang dibesarkanskala.


3/10

MTE3103 Geometri

25

(iii)

2.4.2 Pantulan

Pantulan adalah sejenis tranformasi yang secara asasnya membalikkan semua titik

dalam suatu satah pada satu garis yang dinamakan sebagaipaksi pantulan. Objek dari

imej mempunyai bentuk dan saiz yang sama, yang berbeza tetapi dengan orientasi imej

yang terbalik. Titik-titik pada paksi pantulan adalah tidak berubah. Oleh itu, invariant

point (Titik tidak berubah) bagi transformasi jenis ini adalah tidak terhingga. Setiap titik

pada objek dan jarak imej yang telah dipantulkan mempunyai jarak yang sama dari

paksi pantulan. Dalam perkataan lain, paksi pantulan terletak di tengah-tengah antara

objek dan imej.

(i)

Apabila anda mengelonsor daripapan gelonsor seperti gambar disebelah, anda sebenarnyamengalami translasi. Badan andabergerak pada satu jarak (panjangpapan gelonsor) dan arah yangtertentu. Saiz dan bentuk badananda tidak berubah.


4/10

MTE3103 Geometri

26

(ii)

Cuba anda fikirkan, mengapa perkataan AMBULANCE dalam kedudukan terbalik seperti

yang ditunjukkan pada (ii).

2.4.3 Putaran

Putaran memutarkan semua titik bagi suatu objek pada satu titik tetap yang dikenali

sebagai sebagai pusat, melalui sudut putaran dan arah tertentu. Objek asal dengan

imej mempunyai bentuk dan saiz yang sama, tetapi imej yang terbentuk mungkin

menunjukkan arah yang berlainan.

Apabila anda menaiki roda Ferris, andasebenarnya mengalami satu putaran.


5/10

MTE3103 Geometri

27

2.4.4 Pantulan Geluncuran

Pantulan geluncuran sebenarnya adalah kombinasi bagi translasi dan pantulan pada

garis selari mengikut arah tersebut. Transformasi ini memberikan imej yang sama, tidak

kira pantulan atau translasi berlaku terlebih dahulu. Oleh yang demikian, untuk

menyatakan pantulan geluncuran secara spesifik, haruslah dinyatakan translasi yang

berlaku dan paksi pantulan yang tertentu (selari dengan arah translasi tersebut). Satu

contoh yang ketara tentang pantulan geluncuran ialah tapak kaki yang tertera semasa

kita berjalan di tepi pantai.

(i)

(ii)


6/10

MTE3103 Geometri

28

2.5 Satah Simetri

Sesuatu bentuk itu adalah simetri jika bentuknya kekal tidak berubah setelah menjalani

transformasi seperti translasi, putaran, pantulan atau pantulan geluncuran.

Sebagai contoh :-

i) huruf-huruf E dan A mempunyai bilateral line symmetry kerana kedua-duanya terbentuk

apabila diletakkan cermin pada kedudukan seperti rajah di bawah. (pantulan antara satu sama

lain pada paksi pantulan)

E Aii) huruf N tidak berubah bila diputarkan pada sudut 180o samada mengikut arah jam atau

lawan jam pada pusat putaran.

N

Nyatakan apakah transformasi yang dilakukan untuk membentuk teselasidi bawah:

a. b.


7/10

MTE3103 Geometri

29

2.6 Kumpulan Simetri Finit dan Tujuh Pola Frieze

Apakah yang dimaksudkan dengan pola-pola Frieze? Pola-pola frieze dikelaskan sebagai

kumpulan Simetri Diskrit Tidak Terhingga (infinite discrete symmetry groups). Kumpulan simetriini dikelaskan dalam kumpulan isometri satah jalur. Frieze merupakan ukiran atau corak

hiasan dalam satu jalur mendatar (horizontal band). Ukiran atau corak yang berulang ini boleh

didapati pada renda, hiasan dinding, hiasan siling, hiasan bangunan dan lain-lain.

2.6.1 Jenis-jenis transformasi yang terlibat

Corak ini hanya dalam satu jalur. Oleh itu transformasi yang terlibat adalah translasi

sepanjang jalur sahaja. Putaran yang dibenarkan hanya 180

0

sahaja (half-turn

).

Corak dalam jalur ini hanya membenarkan 2 jenis pantulaniaitu:

(i) garis pantulan serenjangdengan jalur (iaitu garis pantulan mencancang jika jalur

itu dianggap mendatar)

(ii) Garis pantulan mendatarsepanjang garis tengah jalur.

Translasi dan pantulan gelangsar boleh digunakan untuk membentuk corak tidak

terhingga tanpa gabungan mana-mana transformasi. Menganda-dua putaran melalui

1800dan pantulan akan menghasilkan identiti semula.

Garis pantulan

Garis pantulan


8/10

MTE3103 Geometri

30

Secara ringkasnya transformasi yang terlibat dalam satah jalur untuk membentuk corak

tidak terhingga ialah:

(i) Translasi

(ii) Pantulan gelangsar (Pantulan gelangsar adalah gabungan 2 jenis transformasi

iaitu pantulan dan diikuti dengan translasi dalam arah yang sama)

(iii) Putaran melalui 1800sahaja dan

(iv) Pantulan (garis pantulan serenjang dengan jalur dan garis pantulan di garis

tengah jalur)

Terdapat tujuh jenis pola frieze. Pola-pola tersebut adalah seperti berikut:

Corak Jenis transformasi Bentuk corak Contoh corak

1. C Translasi sahaja

2. C Pantulan gelangsar

sahaja

3. D 2 kali separuh putaran

(1800)

4. D 2 kali pantulan

(pantulan

mencancang dan

mendatar)

5. D 1 pantulan dan 1

separuh putaran

(1800)

6. C x D1 1 translasi dan 1

pantulan (garis

pantulan sepanjang

garis tengah jalur)

7. Dx D1 3 pantulan

Petunjuk: C = Cyclic(Kitaran)

D = Dihedral(Kombinasi putaran dan pantulan)


9/10

MTE3103 Geometri

31

2.6.2 Carta aliran untuk mengecam pola-pola frieze

Rajah di adaptasi dari Hayley Rintel, Melissa Shearer, and the 1999

Exploring Symmetry class

Adakah terdapat pantulanmencancang (vertical reflection)?

ya tidak

Adakah terdapat pantulanmendatar (horizontal)

ya

7

Adakah terdapat pantulanmencancang atau pantulan

geluncuran?

Adakah terdapatseparuh pusingan

(half turn)?

tidak

ya tidak

5 3

Adakah terdapatpantulan mendatar

(horizontal

Adakah terdapatseparuh

pusingan(half turn)?

ya

6 2

tidak

tidak

ya

ya tidak

4 1


10/10

MTE3103 Geometri

32

Nota untuk pelajar:

1. Semua pola-pola frieze mempunyai simetri tranlasi.

2. Apabila pola-pola frieze mempunyai simetri pantulan mencancang, bermakna

sekurang-kurangnya 1 garis mencancang boleh dilukis supaya imej pantulan adalah

objek yang bersebelahan dengannya. Biasanya terdapat banyak garis pantulan

mencancang.

3. Apabila pola-pola frieze mempunyai simetri mendatar melalui garis tengah jalur,

maka hanya terdapat satu garis pantulan sahaja.

4. Cara terbaik untuk mengecam simetri pantulan gelangsar ialah melihat kepada kesan

tapak kaki di pasir.

2.7 Mengumpul Maklumat (Buku skrap)

1. Sila kumpulkan bahan-bahan yang berkaitan dengan pola- pola frieze yang

terdapat di sekeliling anda. Contoh bahan-bahan yang boleh anda kumpulkan

ialah renda, sulaman pada baju, corak pada gelang tangan atau rantai, sejadah,

gril pagar (ironworks), bingkai, dan lain-lain bahan yang mempunyai corak dalam

satah jalur.

2. Perhatikan corak-corak tersebut dan camkan jenis-jenis transformasi yang

tersebut. Catatkan dalam buku skrap anda.

08 isi pelajaran topik 2

Documents