model regresi zero inflated generalized poisson/model... · inflated generalized poisson (zigp)...

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

i

MODEL REGRESI ZERO INFLATED GENERALIZED POISSON

Oleh

WICAKSONO CAHYO NUGROHO

NIM. M0106067

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan

memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2012


commit to user

ii

SKRIPSI

ESTIMASI PARAMETER MODEL REGRESI COM-POISSON

MENGGUNAKAN METODE QUASI LIKELIHOOD

yang disiapkan dan disusun oleh

WICAKSONO CAHYO NUGROHO

NIM. M0106067

dibimbing oleh

Pembimbing I Pembimbing II

Drs. Sugiyanto, M.Si Drs. Tri Atmojo K, M.Sc., Ph.D

NIP. 19611224 199203 1 003 NIP. 19630826 198803 1 002

telah dipertahankan di depan Dewan Penguji

pada hari Selasa, 15 Mei 2012

dan dinyatakan telah memenuhi syarat.

Anggota Tim Penguji Tanda Tangan

1. Dra. Respatiwulan, M.Si 1. ................................

NIP. 19680611 199302 2 001

2. Drs. Siswanto, M.Si 2. ................................

NIP. 19670813 199203 1 002

Disahkan oleh

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Dekan Ketua Jurusan Matematika

Prof. Ir.Ari Handono Ramelan, M.Sc., (Hons)., Ph.D. Irwan Susanto, DEA.

NIP. 19610223 198601 1 001 NIP. 19710511 199512 1 001


commit to user

iii

ABSTRAK

Wicaksono Cahyo Nugroho, 2012. MODEL REGRESI ZERO INFLATED

GENERALIZED POISSON. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,

Universitas Sebelas Maret.

Model regresi Poisson secara umum telah banyak digunakan untuk menganalisis

data cacah dengan mean sampel dan variansi sampel sama yang biasa disebut

equidispersi. Sering kali data cacah memperlihatkan nilai variansi lebih besar dari mean

yang biasa disebut overdispersion atau variansi lebih kecil dari mean yang disebut

underdispersion. Masalah lain yang muncul dalam data cacah adalah frekuensi nol yang

lebih banyak, kedua masalah ini menyebabkan estimasi parameter yang dihasilkan kurang

tepat. Pada kondisi tersebut salah satu model yang tepat digunakan adalah model regresi

zero inflated generalized Poisson (ZIGP).

Tujuan dari penelitian ini adalah mengkonstruksi bentuk model regresi ZIGP, dan

menentukan estimasi parameter dari model regresi ZIGP menggunakan maximum

likelihood estimator (MLE).

Kesimpulan yang diperoleh dari penelitian ini adalah (1) model regresi zero

inflated generalized Poisson (ZIGP) adalah ( | ) ( ) ( ) dengan

(

)

( )

, dan ( ) ( ), dan (2) estimasi parameter model regresi zero

inflated generalized Poisson (ZIGP) menggunakan MLE menghasilkan persamaan non

linier.

Kata kunci: Overdispersion, underdispersion, maximum likelihood estimator.


commit to user

iv

ABSTRACT

Wicaksono Cahyo Nugroho, 2012. ZERO INFLATED GENERALIZED

POISSON REGRESSION MODEL. Faculty of Mathematics and Natural Sciences,

Sebelas Maret University.

Commonly Poisson regression model is widely used to analyze count data with

same mean and variance samples, that usually called equidispersion. The count data is

often shows the variance larger or smaller than mean, they are called overdispersion and

underdispersion respectively. Another problems that emerged in the count data with

excess zeros, both of these problems led to so parameter that estimated is not appropriate.

In that condition, one of the appropriate model is zero inflated generalized Poisson

regression model.

The purposes of this research is to reconstruct ZIGP regression model and to

determine the parameter estimaton of ZIGP regression model using menggunakan

maximum likelihood estimator (MLE).

The conclusions of this research are (1) zero inflated generalized Poisson (ZIGP)

is ( | ) ( ) ( ) with (

)

( )

and ( ) ( ), and (2) the

parameter estimation of zero inflated generalized Poisson regression model (ZIGP) using

MLE has non linear equation as the result.

Keyword : Overdispersi, underdispersi, maximum likelihood estimator.


commit to user

v

MOTO

“Tanah yang digadaikan bisa kembali dalam keadaan lebih berharga, tetapi

kejujuran yang pernah digadaikan tidak pernah bisa ditebus kembali”

“Kebaikan tidak bernilai selama diucapkan akan tetapi bernilai sesudah

dikerjakan”

“Keberhasilan hanya akan diperoleh dari ketekunan dan keikhlasan”


commit to user

vi

PERSEMBAHAN

Karya ini saya persembahkan untuk

Bapak, Ibu dan Adikku tercinta atas doa, kasih sayang dan do’a yang diberikan.

Yuniar Dwi Nur Rahmasari atas dukungan, semangat dan keceriannya saat

menemani penulis dalam menyusun skripsi ini


commit to user

vii

KATA PENGANTAR

Segala puji bagi Allah SWT, yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-

Nya dan memberikan kekuatan dan kemudahan kepada penulis sehingga dapat

menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Terselesaikannya skripsi ini tidak lepas

dari bimbingan dan motivasi dari berbagai pihak. Untuk itu penulis

menyampaikan ucapan terima kasih kepada

1. Bapak Drs. Sugiyanto, M.Si sebagai Dosen Pembimbing I atas kesediaan dan

kesabaran dalam memberikan bimbingan, nasehat serta pengarahan dalam

penyusunan skripsi ini,

2. Bapak Drs. Tri Atmojo K, M.Sc., Ph.D sebagai Dosen Pembimbing II atas

kesediaan dan kesabaran memberikan bantuan serta bimbingan dalam

penulisan skripsi ini,

3. Ardy Yudha dan Mas Rizky Magta yang telah membantu dan memberi

semangat penulis menyeleseikan skripsi ini,

4. Seluruh teman-teman matematika angkatan 2006 yang telah menemani

berjuang menyeleseikan skripsi ini,

5. Semua pihak yang turut membantu kelancaran penulisan skripsi ini.

Semoga penulisan skripsi ini dapat bermanfaat bagi pembaca.

Surakarta, Mei 2012

Penulis


commit to user

viii

DAFTAR ISI

JUDUL .................................................................................................................. i

PENGESAHAN .................................................................................................... ii

ABSTRAK ............................................................................................................ iii

ABSTRACT ............................................................................................................ iv

MOTTO ............................................................................................................... v

PERSEMBAHAN ................................................................................................ vi

KATA PENGANTAR .......................................................................................... vii

DAFTAR ISI ........................................................................................................viii

DAFTAR TABEL ................................................................................................. x

I. PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang Masalah ......................................................................... 1

1.2 Perumusan Masalah ................................................................................ 3

1.3 Tujuan Penelitian .................................................................................... 4

1.4 Manfaat Penelitian .................................................................................. 4

II. LANDASAN TEORI 5

2.1 Tinjauan Pustaka ..................................................................................... 5

2.2 Teori-Teori Penunjang ........................................................................... 7

2.2.1 Konsep Dasar Statistik ................................................................ 7

2.2.2 Teori Dasar Matriks .................................................................... 8

2.2.3 Keluarga Distribusi Eksponensial ............................................... 9

2.2.4 Fungsi Link .................................................................................. 9

2.2.5 Distribusi Poisson ....................................................................... 9

2.2.6 Model Regresi Poisson ............................................................... 11

2.2.7 Model Regresi Generalized Poisson ........................................... 12

2.2.8 Model Regresi Zero Infalted Poisson ......................................... 14

2.2.9 Pendeteksian Overdispersi dan Underdispersi ............................ 15

2.2.10 Metode Maksimum Likelihood ................................................... 15

2.3 Kerangka Pemikiran................................................................................ 18


commit to user

ix

III. METODE PENELITIAN 19

IV. PEMBAHASAN 20

4.1 Model Regresi Zero Inflated Generalized Poisson ................................ 20

4.2 Estimasi Parameter Model Regresi Zero Infalted Generalized Poisson

Menggunakan Maximum Likelihood Estimator (MLE) ......................... 22

4.3 Uji Ketepatan Model Regresi ZIGP ....................................................... 27

4.4 Contoh Kasus ......................................................................................... 28

4.4.1 Pendeteksian Overdispersi atau Underdispersi ........................... 29

4.4.2 Model Regresi Zero Inflated Generalized Poisson Pada Klaim

Asuransi Untuk Kecelakaan Bermotor di Perusahaan Asuransi

di Kota Kendari Dengan Seluruh Variabel Independen ............ 30

4.4.3 Model Regresi Zero Inflated Generalized Poisson Pada Klaim

Asuransi untuk Kecelakaan Bermotor di Perusahaan Asuransi

di Kota Kendari dengan Seluruh Variabel Independen

Berpengaruh ............................................................................... 30

4.4.4 Uji Kecocokan Model ................................................................. 32

V. PENUTUP 33

5.1 Kesimpulan ............................................................................................. 33

5.2 Saran ....................................................................................................... 33

DAFTAR PUSTAKA 34

LAMPIRAN 35


commit to user

x

DAFTAR TABEL

2.1 Daftar fungsi link untuk beberapa distribusi ................................................ .9

4.1 Data lama perawatan sesuai jumlah klaim yang diajukan, usia dan jenis

kelamin korban kecelakaan.......................................................................... 29

4.2 Nilai statistik deviance (D ) ......................................................................... 30

4.3 Nilai estimasi parameter model regresi zero inflated generalized Poisson

dengan seluruh variabel independen ............................................................ 30

4.4 Nilai estimasi parameter model regresi ZIGP dengan variabel independen

berpengaruh Variabel yang Berpengaruh.....................................................31


commit to user

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Metode statistika merupakan pendekatan yang dapat digunakan untuk

memperoleh hasil penelitian, metode ini meliputi masalah mengumpulkan,

mengolah, menyajikan, menganalisa dan menginterpretasikan data. Salah satu

metode yang digunakan adalah analisis regresi. Analisis regresi adalah suatu

metode statistika yang menyatakan pola hubungan antar dua variabel yaitu

variabel independen dan variabel dependen. Variabel independen merupakan

variabel yang tidak dipengaruhi oleh variabel lain, sedangkan variabel dependen

merupakan variabel yang masih dipengaruhi oleh nilai variabel independen.

Analisis regresi bertujuan mencari pola hubungan antara variabel independen dan

variabel dependen yang kemudian pola hubungan tersebut dirumuskan dalam

suatu model tertentu, sehingga dapat dilakukan suatu prediksi nilai variabel

dependen dengan diketahui suatu nilai variabel independennya, Sembiring (1995).

Dalam aplikasinya banyak penelitian menggunakan variabel tak bebas

yang berupa data cacah, termasuk pada pembahasan skripsi ini penulis juga

menggunakan data cacah. Menurut Fahrmeir dan Tuts (1994), data cacah adalah

data yang dihitung sebagai jumlah kejadian dalam interval waktu tertentu.

Misalnya data banyaknya kecelakaan, banyaknya kelahiran, banyaknya kematian

dalam waktu satu tahun. Salah satu model regresi yang digunakan untuk

menyatakan pola hubungan antara variabel tak bebas dengan variabel bebas yang

berupa data cacah adalah model regresi Poisson. Menurut Simon dalam Putri

(2007), data berdistribusi Poisson mempunyai tiga masalah yang menyebabkan

model regresi linier tidak dapat digunakan, yaitu

1. distribusi Poisson adalah menceng (skew), sedangkan model regresi linier

mengasumsikan distribusi dari sesatan adalah simetrik,

2. parameter distribusi Poisson adalah non negatif, sedangkan pada model regresi

linier terdapat kemungkinan nilai perkiraan yang dihasilkan negatif,


commit to user

2

2

3. distribusi Poisson mempunyai variabel yang akan naik seiring dengan naiknya

mean, sedangkan model regresi linier mengasumsikan mean dan variansi

konstan.

Penggunaan analisis data yang tidak sesuai dengan kondisi data tidak saja

akan menghasilkan suatu kesimpulan atau inferensi yang tidak bermanfaat

(meaningless) tetapi dalam kondisi tertentu bahkan banyak yang menyesatkan

(misleading). Untuk itu diperlukan suatu analisis yang sesuai dengan data.

Salah satu model regresi yang sesuai untuk menyajikan permasalahan di

atas adalah model regresi Poisson. Model regresi Poisson merupakan model

regresi dengan variabel dependennya dalam bentuk cacah dan tidak bernilai

negatif. Model regresi ini digunakan untuk memodelkan banyaknya kemunculan

dari suatu kejadian sebagai fungsi dari sejumlah variabel independen, misalnya

banyaknya kunjungan dokter, munculnya suatu penyakit, jumlah koloni dari

bakteri dapat dimodelkan dengan menggunakan model regresi Poisson. Model

regresi Poisson banyak digunakan untuk menganalisis data cacah dengan mean

dan variansi dari sampel sama. Pada kenyataannya seringkali data cacah itu

memperlihatkan perbedaan variansi dan mean sampel yaitu variansi sampel lebih

besar dari mean sampel yang sering disebut overdispersi atau variansi sampel

lebih kecil dari mean sampel yang sering disebut underdispersi, Ismail & Jemain

(2005).

Banyak model atau metode statistika yang telah diperkenalkan oleh para

ahli untuk mengatasi masalah overdispersi dan underdispersi. Salah satu model

yang dapat mengatasi masalah tersebut adalah model regresi generalized Poisson

(GP), model GP merupakan model perluasan dari model regresi Poisson, Famoye

et al. (2004). Model GP yang digunakan Famoye et al. (2004), dalam pemodelan

data kecelakaan kendaraan ternyata lebih tepat menggambarkan keadaan data

dibanding model Poisson. Penelitian tentang model regresi GP juga telah

dilakukan oleh Anwani (2010). Konsep pembentukan model regresi GP ini

didasarkan pada distribusi generalized Poisson yang dapat menjelaskan sejumlah

data cacah yang memperlihatkan sifat overdispersi.


commit to user

3

3

Model regresi GP dapat mengatasi masalah overdispersi tetapi tidak dapat

mengatasi masalah zero inflated atau kasus dengan data yang ada terlalu banyak

mengandung nilai nol. Oleh karena itu diperlukan suatu model yang dapat

menangani masalah tersebut. Salah satu model regresi yang dapat menangani

masalah zero inflated adalah model regresi zero inflated Poisson (ZIP), Lambert

(1992). Pada tahun 2007 penelitian tentang model ini telah dilakukan oleh Putri.

Model regresi ZIP merupakan model yang dapat digunakan pada data cacah

dengan frekuensi nol lebih banyak. Akan tetapi, model ZIP ini kurang tepat untuk

mengatasi masalah overdispersi atau underdispersi. Sehingga diperlukan suatu

model alternatif lain yang tepat untuk mengatasi permasalahan tersebut. Salah

satunya adalah memodelkan data cacah tersebut ke dalam model regresi zero

inflated generalized Poisson (ZIGP). Menurut Famoye dan Singh (2006) model

regresi ZIGP merupakan perluasan dari model regresi Poisson dan merupakan

model gabungan dari model regresi ZIP dan model regresi GP. Konsep

pembentukan model regresi ZIGP berdasarkan dari distribusi zero inflated

generalized Poisson. Sehingga model regresi ZIGP ini dapat diterapkan pada data

cacah yang menunjukkan sifat overdispersi atau underdispersi serta mempunyai

frekuensi nol yang lebih banyak.

Dalam skripsi ini dibahas mengenai konsep pembentukan model regresi

zero inflated generalized Poisson yang didasarkan pada distribusi zero inflated

generalized Poisson serta mengestimasi parameter-parameter dari model regresi

zero inflated generalized Poisson menggunakan metode maksimum likelihood.

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah, dapat dirumuskan permasalahan

sebagai berikut

1. Bagaimana bentuk model regresi zero inflated generalized Poisson.

2. Bagaimana estimasi parameter dari model regresi zero inflated generalized

Poisson menggunakan MLE.


commit to user

4

4

1.3 Tujuan Penelitian

Berdasarkan perumusan masalah, maka tujuan dari penelitian ini adalah

sebagai berikut

1. Menentukan bentuk model regresi zero inflated generalized Poisson.

2. Mengestimasi parameter dari model regresi zero inflated generalized Poisson

menggunakan MLE.

1.4 Manfaat Penelitian

Manfaat yang dapat diperoleh dari penulisan skripsi ini secara teoritis

dapat menambah pengetahuan tentang model regresi untuk data cacah yang

menunjukkan sifat overdispersi maupun underdispersi, serta pengetahuan tentang

metode estimasi parameter pada model regresi zero inflated generalized Poisson.

Secara praktis, diharapkan dapat menentukan model yang sesuai dengan tipe data

yang ada dan dapat menganalisis data sehingga menghasilkan suatu kesimpulan

yang bermanfaat.


commit to user

5

BAB II

LANDASAN TEORI

Pada bagian pertama dari bab ini diberikan tinjauan pustaka yang berisi

penelitian-penelitian sebelumnya yang mendasari penelitian ini. Untuk

mendukung penulisan skripsi ini, penulis menyajikan teori-teori penunjang pada

bagian kedua yang berisi definisi-definisi sebagai dasar pengertian untuk

mempermudah pembahasan selanjutnya. Kerangka pemikiran yang menjelaskan

alur pemikiran dalam penulisan skripsi ini diberikan pada bagian ketiga.

2.1 Tinjauan Pustaka

Distribusi Poisson memberikan suatu model yang realistis untuk berbagai

macam fenomena random selama nilai dari variabel random Poisson adalah

bilangan cacah, banyak fenomena random untuk suatu data cacah dari beberapa

respon (variabel yang diteliti) merupakan suatu calon untuk pemodelan yang

mengasumsikan distribusi Poisson. Misalkan suatu data cacah mungkin berupa

jumlah kecelakaan lalu lintas tiap minggu, jumlah panggilan telepon per jam

dalam suatu perusahaan yang masuk lewat operator, banyaknya kerusakan per unit

dari beberapa material, jumlah aliran listrik tiap satuan panjang kabel, dan lain-

lain.

Suatu ciri dari distribusi Poisson adalah mean sama dengan variansi. Pada

prakteknya, kadang-kadang ditemukan suatu kondisi dengan variansi data lebih

besar dibanding mean. Kondisi seperti ini disebut overdispersi, dan model regresi

Poisson yang dihasilkan akan menjadi tidak sesuai. Selain itu akan menghasilkan

estimasi parameter yang bias (Ridout, dkk, 2001).

Famoye, dkk (2004) mengaplikasikan model regresi GP pada data

kecelakaan automobil dengan kovariannya/variabel penjelas antara lain faktor

demografi, kebiasaan mengendarai dari riwayat kesehatan. Dalam penelitiannya,

Famoye, dkk (2004) menunjukkan bahwa model GP lebih tepat menggambarkan

data dibanding model Poisson. Model regresi GP dapat diaplikasikan juga dalam

bidang lain misal bidang ekonomi yang telah dilakukan oleh Ismail dan Jemain


commit to user

6

(2005) dengan variabel penelitiannya adalah banyaknya klaim bermotor di

Malaysia.

Masalah lainnya pada regresi Poisson adalah jika terdapat banyak data

yang bernilai nol, sehingga lebih banyak data nolnya dibanding regresi Poisson

yang akan diprediksi. Jika hal ini terjadi, maka akan menyebabkan regresi Poisson

menjadi tidak tepat menggambarkan data yang sebenarnya. Model ZIP banyak

digunakan dalam berbagai disiplin ilmu karena fleksibilitasnya (Lam, dkk, 2006).

Lambert (1992) menggunakan model ini dalam bidang manufaktur. Xue, dkk

(2004) dan Lam, dkk (2006) juga meneliti model ZIP dalam bidang kesehatan

dengan variabel respon banyaknya hari terganggunya aktivitas primer yang

disebabkan karena sakit pada individu berusia 18 – 60 tahun dalam periode 4

minggu. Kemudian Beedy, dkk (2007) menggunakannya untuk pemodelan

perilaku seksual dalam hubungannya dengan HIV. Model ZIP hanya

menyelesaikan masalah data yang banyak nol nya saja (zero inflated) pada data

cacah, model ini kurang tepat masalah overdispersi atau underdispersi. Banyak

para peneliti yang kemudian pada akhirnya beralih dari model ZIP ke ZINB,

seperti Ridout, dkk (1988) yang meneliti tentang pemodelan untuk

perkembangbiakan tunas apel. Martin, dkk (2005) dalam pemodelan data bakteri

ekoli. Sedangkan Giufrida (2001) dan Taimela, dkk (2007) langsung

menggunakan model ZINB dalam pemodelan masalah kesehatan di kalangan

pekerja. Model ZINB merupakan model regresi untuk mengatasi masalah over-

dispersi dan zero inflated berdasarkan pada distribusi binomial negatif, tetapi

dalam penghitungan estimasi parameternya iterasi sering gagal konvergen

(Famoye dan Singh, 2006). Pada tahun 2006, Famoye dan Sings mengaplikasikan

model regresi zero inflated generalized Poisson (ZIGP) untuk memodelkan data

kekerasan dalam rumah tangga dengan struktur data yang terlalu banyak bernilai

nol. Model regresi ZIGP merupakan model untuk kasus data respon yang bersifat

cacah. Model ini dapat mengatasi masalah dengan terdapat banyak data yang

bernilai nol dan terjadi overdispersi. Menurut Famoye dan Singh (2006), model

ZIGP merupakan gabungan antara model ZIP dengan model GP.


commit to user

7

2.2 Teori - Teori Penunjang

Pada bagian ini diberikan definisi dan teori yang mendukung dalam

mencapai tujuan penulisan. Berikut ini diberikan gambaran singkat mengenai

konsep dasar statistik, teori dasar matriks, keluarga distribusi eksponensial,

distribusi Poisson, fungsi link, distribusi Poisson, model regresi Poisson, model

ZIP dan model GP sebagai dasar pembentukan model ZIGP, pendeteksian

overdispersi dan underdispersi, metode maximum likelihood estimator (MLE), dan

metode Newton-Raphson.

2.2.1 Konsep Dasar Statistik

Konsep dasar statistik yang digunakan sebagai pendukung dalam

penulisaan skripsi ini adalah ruang sampel, fungsi densitas probabilitas, variabel

random, fungsi distribusi kumulatif, harga harapan dan variansi yang di

didefinsikan oleh Bain dan Engelhardt, (1992).

Definisi 2.2.1. Ruang sampel merupakan himpunan semua kejadian yang

mungkin dari suatu eksperimen yang dinotasikan dengan S.

Definisi 2.2.2. Suatu variabel random Y adalah suatu fungsi yang memetakan

setiap hasil yang mungkin pada ruang sampel S dengan suatu bilangan real x

sehingga .

Definisi 2.2.3. Jika himpunan suatu nilai yang mungkin dari variabel random Y

adalah himpunan terhitung atau himpunan terhingga tak terhitung

maka Y disebut variabel random diskrit. Fungsi [ ]

, merupakan probabilitas untuk masing-masing nilai y disebut fungsi

densitas probabilitas diskrit.

Definisi 2.2.4. Fungsi distribusi kumulatif dari variabel random Y terdefinisi

untuk setiap bilangan real y oleh

[ ]

Variabel random Y disebut variabel random diskrit jika terdapat f(y) sehingga

fungsi distribusi kumulatif dapat dinyatakan sebagai


commit to user

8

∑

Definisi 2.2.5. Jika X adalah suatu variabel random diskrit dengan fungsi

densitas probabilitas f(x), maka harga harapan dari X dinyatakan sebagai

∑

Definisi 2.2.6. Jika X adalah suatu variabel random berukuran n, maka variansi

X dinyatakan sebagai

[ ]

2.2.2 Teori Dasar Matriks

Berikut ini merupakan definisi matriks menurut Anton (1992).

Definisi 2.2.7. Sebuah matriks adalah sebuah persegi dari bilangan-bilangan.

Bilangan-bilangan di dalam persegi disebut entri dalam matriks

[

]

Dengan n baris dan n kolom disebut matriks persegi order n dan entri-entri

disebut diagonal utama dari matriks A.

Definisi 2.2.8. Jika A adalah sembarang matriks berukuran mxn maka transpose

A dinotasikan dengan AT merupakan matriks berukuran nxm yang dihasilkan

dengan mengubah baris dan kolom dari matriks A sehingga kolom pertama dari

AT adalah baris pertama dari A, kolom kedua dari A

T adalah baris kedua dari A,

dan seterusnya.

Definisi 2.2.9. Jika A adalah matriks persegi dan jika matriks B mempunyai

ukuran yang sama dengan matriks A dan berlaku AB = BA = I, maka A dikatakan

invertible dan B disebut inverse A.

2.2.3 Keluarga Distribusi Eksponensial

Menurut Mc Cullagh dan Nelder (1983), suatu fungsi probabilitas yang

tergantung pada suatu parameter dari suatu variabel random dikatakan

termasuk dalam keluarga distribusi eksponensial apabila dapat dituliskan sebagai


commit to user

9

[

] (2.1)

dengan adalah parameter kanonik dan adalah parameter dispersi. Harga

harapan dan variansi dari distribusi keluarga eksponensial dengan rumus

dan . Salah satu anggota keluarga distribusi

eksponensial adalah distribusi Poisson.

2.2.4 Fungsi Link

Menurut Mc Cullagh dan Nelder (1983), fungsi link adalah suatu fungsi

yang menghubungkan fungsi prediktor linier dengan mean respons . Suatu

fungsi link dikatakan fungsi link kanonik bila parameter kanoniknya sama dengan

fungsi link-nya, yaitu

dengan adalah parameter kanonik. Fungsi link kanonik untuk beberapa

distribusi disajikan dalam Tabel 1.

Tabel 2.1 Daftar fungsi link untuk beberapa distribusi

Distribusi Fungsi link kanonik

Normal

Poisson

Binomial [

⁄ ]

Gamma

2.2.5 Distribusi Poisson

Distribusi Poisson sering digunakan untuk memodelkan jumlah

kemunculan dari suatu kejadian, seperti jumlah bencana alam pada suatu daerah

tiap tahun. Menurut Bain dan Engelhardt (1992) jika variabel random diskrit Y

berdistribusi Poisson dengan parameter maka variabel random Y

mempunyai fungsi densitas probabilitas

, (2.2)


commit to user

10

Distribusi Poisson termasuk dalam keluarga distribusi eksponensial, hal ini

ditunjukkan dengan membawa persamaan (2.2) ke persamaan (2.1)

[ ] (

[ ]

)

dengan

Karena distribusi Poisson merupakan anggota distribusi keluarga eksponensial,

maka dapat ditentukan nilai mean dan variansinya yaitu,

sehingga pada distribusi Poisson berlaku

.

Distribusi Poisson merupakan distribusi diskrit. Untuk nilai yang kecil

maka distribusinya sangat menceng dan untuk nilai yang besar akan lebih

mendekati distribusi normal. Untuk kasus yang jarang terjadi maka nilai akan

kecil. Distribusi Poisson adalah suatu distribusi yang paling sederhana dalam

pemodelan data yang berupa data cacah, tetapi bukan satu-satunya.

Menurut Lam, dkk (2006) distribusi Poisson sering digunakan dalam

pemodelan kasus yang jarang terjadi (rare event), seperti pemodelan tentang

kecelakaan, peperangan atau epidemi. Peristiwa terganggunya aktivitas seseorang

karena sakit pada usia dewasa terutama yang masih aktif bekerja atau melakukan

kegiatan primer lainnya (sekolah, mengurus rumah tangga atau kegiatan sehari-

hari lainnya) dapat dikatakan merupakan suatu peristiwa yang jarang, karena pada

usia tersebut terutama kalangan usia muda cenderung masih melakukan aktivitas

secara normal walaupun sakit.

2.2.6 Model Regresi Poisson

Dalam berbagai eksperimen, seringkali data cacah yang merupakan objek

penelitian dipengaruhi oleh sejumlah variabel penjelas (explanatory). Untuk

mengetahui pola hubungan antara kedua variabel tersebut, maka dapat digunakan


commit to user

11

suatu model regresi yang didasarkan pada distribusi Poisson. Jika suatu variabel

random mempunyai tipe diskrit dan menyatakan banyaknya kejadian dalam

interval tertentu (waktu, area, dan lain-lain), maka variabel random tersebut

berdistribusi Poisson. Regresi Poisson merupakan suatu bentuk analisis regresi

yang digunakan untuk memodelkan data yang berbentuk cacah. Model regresi

Poisson digunakan untuk memodelkan banyaknya kemunculan dari suatu kejadian

dalam interval waktu tertentu tertentu.

Pada regresi Poisson diasumsikan bahwa variabel dependen Y yang

menyatakan jumlah (cacah) kejadian berdistribusi Poisson, diberikan sejumlah

variabel independen .

|

atau dengan kata lain,

Salah satu tujuan dari analisis regresi adalah untuk menentukan pola

hubungan antara variabel respon dengan variabel penjelas. Selanjutnya, dalam

regresi Poisson hubungan tersebut dapat dituliskan dalam bentuk

|

atau

Karena nilai , maka digunakan fungsi link atau

untuk menghubungkan | dengan fungsi linier

sehingga hubungan antara | dan menjadi tepat. Dengan demikian

model regresi Poisson dapat ditulis dalam bentuk

|

dengan merupakan parameter yang tidak diketahui dalam model dan perlu

diestimasi.

Dalam distribusi mengasumsikan bahwa nilai mean sama dengan nilai

variansinya. Ismail & Jemain (2005) menyatakan seringkali data cacah

memperlihatkan variansi sampel lebih besar dari mean sampel (overdispersi) atau

variansi sampel lebih kecil dari mean sampel (underdispersi), sehingga


commit to user

12

penggunaan model regresi Poisson tidak sesuai. Selain itu akan menghasilkan

estimasi parameter yang bias.

Masalah lainnya pada regresi Poisson adalah jika terdapat banyak data

yang bernilai nol, sehingga lebih banyak data nolnya dibanding regresi Poisson

yang akan diprediksi. Jika hal ini terjadi, maka akan menyebabkan regresi Poisson

menjadi tidak tepat menggambarkan data yang sebenarnya.

2.2.7 Model Regresi Generalized Poisson

Pengembangan dari distribusi Poisson pertama kali diperkenalkan oleh

Consul (1992) yang dikenal sebagai generalized Poisson distribution (GPD).

Bentuk distribusi ini umumnya digunakan untuk menjelaskan sejumlah data cacah

yang memperlihatkan sifat-sifat overdispersi atau underdispersi. Analisis regresi

merupakan salah satu metode statistik yang bertujuan menentukan untuk

menentukan pola hubungan antara variabel dependen dan variabel independen,

kemudian pola hubungan tersebut dirumuskan ke dalam suatu model sehingga

dapat dilakukan suatu prediksi nilai variabel dependen dengan diketahui nilai

variabel independen. Model regresi generalized Poisson (GP) merupakan suatu

model yang sesuai untuk data cacah dengan terjadi pelanggaran asumsi mean

sampel sama dengan variansi sampel pada disribusi Poisson, atau dengan kata lain

jika terjadi overdispersi atau underdispersi. Model regresi generalized Poisson

merupakan salah satu metode regresi yang sering digunakan untuk

menginterpretsikan pola hubungan antara variabel dependen dengan variabel

independen ke dalam suatu bentuk model. Model regresi generalized Poisson

adalah perluasan dari regresi Poisson, dengan dalam model regresi ini variabel

dependen berupa bentuk cacah misalnya dan seterusnya. Jelas bahwa

variabel dependen tidak dapat bernilai negatif. Pada model regresi ini, dapat

dimanfaatkan untuk memodelkan banyaknya suatu kejadian atau laju suatu

kejadian yang menjadi pusat perhatian, sebagai fungsi dari sejumlah variabel

independen. Laju dari klaim asuransi serta banyaknya klaim yang datang

merupakan contoh dari peristiwa yang dapat dimodelkan dengan model regresi

generalized Poisson.


commit to user

13

Model regresi GP merupakan terapan dari generalized liniar model

(GLM). Pada GLM, variabel dependen tidak harus berdistribusi normal dan untuk

uji hipotesisnya variansi tidak harus homogen/konstan. Model GP

mengasumsikan bahwa komponen randomnya berdistribusi generalized Poisson.

Misal, merupakan variabel respon. Famoye dkk (2004)

mendefinisikan distribusi GP sebagai

{(

)

(

)

(2.3)

Mean dan variansi persamaan (2.3) adalah sebagai berikut

| dan | . Jika maka model regresi

GP akan menjadi regresi Poisson. Jika , maka model GP merepresentasikan

data cacah yang overdispersi, dan jika underdispersi.

Analisis regresi mempunyai tujuan menentukan pola hubungan antara

variabel dependen dan variabel independen maka persamaan | dapat

dinyatakan sebagai

|

atau

| (2.4)

Nilai dari pada persamaan (2.4) dapat bernilai real, sehingga

memungkinkan munculnya nilai negatif. Sebagaimana diketahui bahwa ekspetasi

dari distribusi generalized Poisson, haruslah bernilai positif, sehingga perlu

dilakukan transformasi sedemikian sehingga bentuk hubungan antara dan

menjadi tepat. Solusi yang dilakukan adalah dengan mengambil logaritma natural

dari nilai . Hasil dari log ini kemudian akan digunakan untuk mencari

hubungannya terhadap , yaitu

Fungsi disebut sebagai fungsi link, yaitu fungsi yang

menghubungkan dengan fungsi linier . Oleh sebab itu, model regresi

generalized Poisson dapat ditulis dalam bentuk atau

| , .


commit to user

14

2.2.8 Model Regresi Zero Inflated Poisson

Tidak semua data cacah cocok menggunakan model Poisson, salah satunya

adalah data cacah yang menunjukkan overdispersi disebabkan oleh frekuensi nol

yang besar muncul dalam distribusi, maka disarankan digunakan model regresi

zero inflated Poisson (ZIP) (Lambert, 1992). Famoye dan Singh (2006)

memperkirakan proporsi data yang bernilai nol adalah sekitar 63,7 persen.

Lambert (1992) mendefinisikan model regresi ZIP sebagai

{

dengan parameter dan

yang memenuhi

(

)

dengan X dan Z adalah matrik kovarian dalam hal ini terdiri dari variabel-

variabel penjelas yang masing-masing mempengaruhi mean Poisson dengan

parameter , dan mempengaruhi probabilitas dengan parameter

.

Kovarian-kovarian yang mempengaruhi mean Poisson dapat sama dengan

kovarian-kovarian yang mempengaruhi probabilitas ( ). Jika kovarian-

kovarian yang sama mempengaruhi p dan , maka akan mengurangi banyaknya

parameter dengan berpikir bahwa p merupakan fungsi dari , contohnya peluang

seseorang untuk terganggu atau tidaknya aktivitas karena sakit dipengaruhi oleh

rata-rata banyaknya gangguan aktivitas. Pada aplikasinya, informasi mengenai

bagaimana berhubungan dengan sangatlah sedikit. Jika demikian maka

dan (

)

dengan adalah suatu ukuran parameter yang tidak diketahui dan merupakan

bilangan Real yang menyatakan secara tidak langsung bahwa ,

sehingga model ZIP ini dilambangkan sebagai ZIP( ).

Mean dan variansi ZIP

| dan


commit to user

15

| [ ]

| .

2.2.9 Pendeteksian Overdispersi dan Underdispersi

Kategori lain yang digunakan untuk mendeteksi adanya overdispersi dan

underdispersi adalah nilai deviance. Bentuk statistik deviance adalah

∑ (

)

Jika hasil bagi antara nilai statistik D terhadap derajat bebasnya atau

statistik terhadap derajat bebasnya lebih besar dari 1, maka indikasi bahwa

telah terjadi overdispersi pada model regresi Poisson. Sedangkan jika nilai hasil

bagi lebih kecil dari 1 maka diidentifikasi telah terjadi underdispersi.

2.2.10 Metode Maksimum Likelihood

Suatu variabel random dari suatu distribusi yang memiliki

fungsi densitas probabilitas , dengan merupakan suatu parameter

yang tidak diketahui dan adalah ruang parameter. Karena variabel

random saling independen, maka fungsi densitas probabilitas bersama dari

adalah

∏

Menurut Bain dan Engelhardt (1992) fungsi likelihood didefinisikan

sebagai fungsi densitas probabilitas bersama dari yang dapat dianggap

sebagai fungsi dari . Fungsi likelihood dapat dituliskan sebagai berikut

∏

Pada metode estimasi maksimum likelihood, estimasi dari diperoleh

dengan menemukan nilai yang memaksimumkan fungsi likelihood. Maka

disebut estimator maksimum likelihood (MLE) dari . Mencari nilai yang


commit to user

16

memaksimumkan fungsi akan memberikan hasil yang sama dengan

mencari nilai yang memaksimumkan . Baik atau dapat

digunakan untuk mencari nilai . Nilai yang memaksimumkan dapat

diperoleh dengan mencari solusi dari persamaan

. Jika pada proses

estimasi parameter didapatkan persamaan terakhir yang non-linier maka tidak

mudah untuk memperoleh estimasi tersebut, sehingga diperlukan suatu metode

iterasi untuk menyelesaikan persamaan non-linier tersebut. Salah satunya dengan

menggunakan metode Newton-Raphson.

2.2.11 Metode Newton-Raphson

Menurut Famoye, dkk (2006) metode Newton-Raphson merupakan

metode numerik untuk menyelesaikan persamaan non-linier secara iteratif seperti

menyelesaikan persamaan likelihood yang mencari lokasi untuk memaksimalkan

suatu fungsi. Jika pada proses estimasi parameter didapatkan persamaan terakhir

yang non-linier maka tidak mudah untuk memperoleh estimasi parameter tersebut,

sehingga diperlukan metode Newton-Raphson untuk menyelesaikan persamaan

non-linier tersebut. Dasar dari metode inilah pendekatan deret Taylor linier

∑

Perluasan dari bentuk orde-1

, diperoleh

Jika merupakan nilai awal dari maka dapat dimisalkan dan

dengan , begitu juga untuk G dan H sehingga diperoleh iterasi

Newton-Raphson sebagai berikut :

dengan indeks t menyatakan ukuran iterasi.

Langkah-langkah dari Newton-Raphson sebagai berikut,

1. Menentukan estimasi awal dari yaitu


commit to user

17

2. ( )

( ) ( ) merupakan derivatif pertama dari pada

3. ( )

( ) misalkan ( ) dan ( ) maka

4. Estimator diiterasi terus sampai diperoleh selisih antara dan

nilainya sangat kecil atau dapat dituliskan .

Metode Newton-Raphson dapat diperluas untuk menyelesaikan sistem

persamaan dengan lebih dari satu parameter, misalnya dengan

iterasinya sebagai berikut

dengan (

) dan (

) sehingga diperoleh

(

)

dan

(

)

.

2.3 Kerangka Pemikiran

Model regresi Poisson adalah model regresi yang digunakan untuk

menyata-kan hubungan antara variabel respon variabel prediktor dengan variabel

respon berupa data cacah yang berdistribusi Poisson, distribusi Poisson termasuk

dalam keluarga distribusi eksponensial sehingga dapat dengan mudah ditentukan

mean dan variansi sampelnya. Model regresi Poisson mengasumsikan nilai mean


commit to user

18

dan variansi sampelnya sama, sehingga penggunaan model regresi Poisson pada

data cacah kadang tidak cocok karena data terkadang menunjukkan sifat

overdispersi ataupun underdispersi. Dalam kenyataannya banyak dijumpai data

cacah yang memiliki banyak nilai nol, dan mengandung sifat overdispersi ataupun

underdispersi maka penggunaan model regresi Poisson menjadi tidak sesuai.

Sehingga diperlukan model regresi yang dapat mengatasi masalah ini, model

regresi yang lebih cocok adalah model regresi ZIGP.

Model regresi ZIGP merupakan gabungan model regresi ZIP dan GP.

Model regresi ZIP merupakan suatu model yang cocok untuk kasus dengan

responnya bersifat cacah dan banyak yang bernilai nol. Sedangkan model regresi

generalized Poisson (GP) merupakan suatu model yang cocok untuk kasus dengan

terjadi pelanggaran asumsi mean sampel sama dengan variansi sampel pada

disribusi Poisson. Untuk membentuk model tersebut dari distribusi zero inflated

generalized Poisson dibutuhkan fungsi link agar hubungan fungsi prediktor linier

dengan mean respons sesuai. Estimasi parameter model regresi Poisson

tergeneralisasi dilakukan dengan metode maximum likelihood estimator (MLE)

yang didalamnya melibatkan metode iterasi Newton-Raphson.


commit to user

19

BAB III

METODE PENELITIAN

Pada penelitian ini, metode yang digunakan adalah studi literatur dengan

mengacu pada sumber-sumber pustaka statistika, dan dengan cara mempelajari

karya-karya ilmiah yang telah dihimpun dari hasil penelitian para pakar baik yang

tersajikan pada seminar maupun yang telah dimuat di dalam situs web, jurnal,

disertasi ataupun buku yang berkaitan dengan model regresi zero inflated

generalized Poisson. Dengan metode tersebut dapat menjelaskan bentuk model

regresi zero inflated generalized Poisson dan estimasi parameternya dilakukan

dengan metode maksimum likelihood (MLE) yang didalamnya melibatkan metode

iterasi Newton-Raphson dalam penyeleseiannya. Adapun langkah-langkah dalam

penulisan skripsi ini sebagai berikut

1. Mengestimasi parameter model Regresi ZIGP dengan metode MLE,

dilakukan langkah-langkah berikut

a) Menetapkan model regresi

b) Menetapkan parameter yang akan diestimasi, yaitu ( )

c) Membuat fungsi likelihood dan log likelihood-nya berdasarkan model

regresi

d) Mengestimasi parameter dengan memaksimumkan fungsi log likelihood

yang diperoleh di atas menggunakan algorithma Newton-Raphson.

2. Pengujian Hipotesis model regresi ZIGP menggunakan GLRT dengan

hipotesis-hipotesis sebagai berikut

Pengujian kesesuaian model, yaitu uji parameter dispersi ( )

(ZIGP tidak sesuai)

(ZIGP sesuai).

3. Menerapkan model regresi zero inflated generalized Poisson pada klaim

asuransi untuk kecelakaan kendaraan bermotor di perusahaan asuransi di kota

Kendari.


commit to user

20

BAB IV

PEMBAHASAN

4.1 Model Regresi Zero Inflated Generalized Poisson

Model ZIGP merupakan salah satu model yang dapat digunakan untuk

data respon yang bersifat cacah. Model ini dapat mengatasi masalah dengan

terdapat banyak data yang bernilai nol (zero inflation) dan terjadi overdispersi

(Czado dan Min, 2006 ; Famoye dan Singh, 2006). Famoye dan Singh (2006)

mendefinisikan fungsi densitas probabilitas ZIGP sebagai gabungan dari fungsi

densitas probabilitas ZIP dan GP, sehingga fungsi densitas probabilitas model

regresi ZIGP dapat dituliskan sebagai berikut,

( ) { ( ) (

)

( ) (

) ( )

(

( )

)

(4.1)

( ) (∑ ), ( ) adalah baris

dari matriks kovariat X, dan ( ) adalah vektor kolom

parameter k-dimensi, sehingga ( ) dan ( ) memenuhi

( ) ∑ dan ( ) (

) ∑

dimana ( ) adalah baris dari matriks kovariat Z, dan

( ) adalah vektor kolom parameter m-dimensi. Jika matriks

kovariat yang sama mempengaruhi maupun ( X = Z ), maka dapat ditulis

sebagai fungsi dari sehingga diperoleh

( ) ∑ dan ( ) (

) ∑

.

Dari persamaan (4.1) diperoleh (∑ ) dan ( )

(

) ∑

sehingga didapat

( ∑

)

(4.2)

(4.3)


commit to user

21

dan

. (4.4)

Menurut Famoye dan Singh (2006), jika Y variabel random berdistribusi zero

inflated generalized Poisson maka nilai mean dan variansi sampelnya adalah

( | ) ( ) ( )

( | ) ( )[ ( )

] ( )

( | )[( ) ] .

Analisis regresi mempunyai tujuan menentukan pola hubungan antara

variabel dependen dan variabel independen, sehingga persamaan (4.1) dapat

dituliskan dalam bentuk

( | ) ( )

( ) .

Nilai dari dapat bernilai real, artinya dapat bernilai poistif atau negatif.

Padahal ekspektasi dari distribusi ZIGP haruslah bernilai positif sehingga

diperlukan transformasi sedemikian sehingga bentuk hubungan dan tepat.

Menurut Consul dan Famoye (1992) yang dapat digunakan adalah dengan

mengambil nilai logaritma natural dari yang dituliskan sebagai berikut,

( )

dengan merupakan fungsi link, yaitu fungsi yang menghubungkan dengan

fungsi linier . Sehingga model regresi ZIGP dapat dituliskan dalam bentuk

sebagai berikut,

( | ) ( ) ( )

dengan (

)

( )

.

Model ZIGP akan menjadi model GP ketika dan ketika

akan menjadi ZIP. Pada tahun 2006, Famoye dan Singh mengaplikasikan model

regresi ZIGP untuk memodelkan data kekerasan dalam rumah tangga dengan

struktur data yang terlalu banyak bernilai nol.


commit to user

22

4.2 Estimasi Parameter Model Regresi Zero Inflated Generalized Poisson

Menggunakan Maximum Likelihood Estimastor (MLE)

Metode estimasi yang digunakan untuk mengestimasi parameter model

regresi ZIGP adalah metode maksimum likelihood. Metode maksimum likelihood

merupakan suatu metode estimasi parameter yang memaksimumkan fungsi

likelihood. Estimasi dengan metode ini dapat digunakan jika distribusi dari data

diketahui. Langkah pertama dari metode maksimum likelihood adalah

menentukan fungsi densitas probabilitas bersama dari beberapa model regresi

Poisson. Misalkan dengan mengasumsikan merupakan sekumpulan

variabel random Poisson yang independen. Substitusi persamaan (4.2), (4.3) dan

(4.4) ke dalam persamaan (4.1), maka akan diperoleh

( ) {(

) [

(

)]

(

) (

) ( )

⌊ ( )⌋

(4.5)

dengan demikian fungsi likelihoodnya adalah

( ) ∏ ( )

( ) {∏ (

) [

(

)]

∏ (

) (

) ( )

⌊ ( )⌋

(4.6)

dengan [ ] [ ]

dan fungsi log likeli-

hoodnya adalah

Untuk ,

( ) ∑ (

) ∑ [

(

)]

.

Untuk ,

( ) ∑ (

)

∑

(

) ∑ ( )

( )

∑ ( ) ∑

⌊ ( )⌋

.

Dengan demikian fungsi log likelihood untuk Model ZIGP dapat ditulis

( ) ∑ ( ) ∑ [

(

)]


commit to user

23

(4.7) ∑

(

) ∑ ( ) ( ) ∑ ( )

∑⌊ ( )⌋

dengan ( ) ∑ dan

( ∑ )

Persamaan (4.10) diturunkan terhadap , sehingga diperoleh

( )

∑

(

) ∑

[

(

)]

∑

(

)

[ ( )

] .

( )

∑

( ( ∑

))

∑

[ ( ∑

)

( (∑

)

(∑ )

)]

∑

(

(∑ )

(∑ )

)

[ (∑

)( )

(∑ )

] .

dengan

( ( ∑

))

( ∑ )

( ∑ )

(

)

.

[ ( ∑

) (

(∑ )

(∑ )

)]

(

( )⁄ )[

( ) ]

(

( )⁄ )

.

(

(∑ )

(∑ )

) ( (∑

)

(∑ )

)( (∑

)

( (∑ ))

)

(

) (

( ) )

.

[ (∑

)( )

(∑ )

] ( )( (∑

)

( (∑ ))

) ( )

( ) .

Sehingga derivatif pertama terhadap sebagai berikut

( )

∑

∑

[

( )⁄ ](

( ) )

(

( )⁄ )

∑ [ (

( )) ( ) (

( ) )]


commit to user

24

∑

∑

( [

( )⁄ ](

( ) ))

(

( )⁄ )

∑( ( ) ( ))

( )

.

( )

∑

∑

[

( )⁄ ](

( ) )

(

( )⁄ )

∑( )

( )

, dengan . (4.8)

( )

∑

(

) ∑

[

(

)]

∑

(

) ∑ ( )

( )

∑

( )

∑

⌊ ( )⌋

.

dengan

(

)

( )

.

[

(

)]

( )

(

) .

Sehingga derivatif pertama terhadap sebagai berikut

( )

∑

(

) ∑

[

(

)]

∑

( )

( )

∑

( )

(

( )⁄ )

∑ ( )

( ) ∑

( )

(

( )⁄ )

. (4.9)

( )

∑

[

(

)]

∑

(

)

∑ ( )

( )

∑

⌊ ( )⌋

.

dengan


commit to user

25

[

(

)]

(

( )⁄ )

( ) [

(

( )⁄ )]

.

(

)

( )

( )

.

[( )

( )]

( ) ( )

( )

( ) .

sehingga derivatif pertama terhadap sebagai berikut

( )

∑

(

( )⁄ )

( ) [

(

( )⁄ )]

∑ (

( ) ( ) (

( ))

( )

( ) )

.

( )

∑

(

( )⁄ )

( ) [

(

( )⁄ )]

∑ (

( ) ( ) (

( ))

( )

( ) )

. (4.10)

Persamaan (4.8), (4.9) dan (4.10) merupakan persamaan non-linier. Pada

persamaan (4.8), (4.9) dan (4.10) diturunkan terhadap ternyata

derivatifnya masih mengandung parameter lain yang belum diketahui dan perlu

diestimasi. Sehingga untuk mengestimasi kedua parameter ini dilakukan secara

bersamaan dengan menggunakan suatu metode iterasi yang disebut metode

Newton-Raphson. Metode Newton-Raphson merupakan metode numerik untuk

menyelesaikan persamaan non-linier secara iteratif. Pada metode Newton-

Raphson dibutuhkan derivatif pertama dan kedua fungsi log likelihoodnya.

Misalkan didefinisikan matriks G dan H sebagai

[ ( )

( )

( )

]

dan

[ ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

]

G merupakan turunan pertama dari fungsi log-likelihood dan H merupakan

turunan kedua dari fungsi log-likelihood disebut matriks Hessian. Derivatif

pertama dari fungsi log likelihood ditunjukkan oleh persamaan (4.8), (4.9) dan

(4.10). Derivatif partial kedua dari fungsi log Likelihood diperoleh sebagai berikut


commit to user

26

( )

∑

[

]

∑

[

[

( )⁄ ](

( ) )

(

( )⁄ )

]

∑

[( )

( ) ]

.

( )

∑

∑

(

( )⁄ )

( ) ( ( )( )

( ))

[ (

( )⁄ )]

∑

( )

( ( )

( )).

( )

∑ {

( )

( )

}

∑ {

( (

))

( ) (

)

[ (

)

]

(

)

} .

( )

∑

{

(

)

( ) (

(

) )

(

)[ ( ) (

)

[ (

)]]

( ) [

(

)]

}

∑ ( ) ( )

.

( )

∑

[ ( )]

( )

∑

(

⁄ )[ ( )]

[ (

⁄ )]

.

( )

∑

( ) (

⁄ )

( ) [

(

⁄ )]

.

( )

∑

(

⁄ )[

( )[ (

⁄ )]]

( ) [

(

⁄ )]

∑ {

( )

( )

( )

( )

( ) }

.


commit to user

27

sehingga estimasi parameter dan menggunakan metode iterasi Newton-

Raphson sebagai berikut

(

) (

) ( ) (4.11)

Persamaan (4.11) akan terus berulang sehingga diperoleh nilai dan yang

konvergen, yaitu jika nilai mendekati , begitu juga dengan mendekati

dan nilai mendekati atau nilai , dan

nilainya sangat kecil.

4.3 Uji Ketepatan Model Regresi ZIGP

Menurut Famoye dan Singh (2006), model regresi ZIGP akan menjadi

model regresi ZIP ketika parameter . Oleh karena itu untuk melihat

kesesuaian model ZIGP, dilakukan pengujian hipotesis sebagai berikut

Penolakan menunjukkan bahwa model regresi ZIP tidak tepat

digunakan, sehingga dalam situasi seperti ini model regresi ZIGP lebih tepat

digunakan dibandingkan model regresi ZIP.

Untuk menyelesaikan uji hipotesis pada (4.12) perlu diperhatikan

parameter ( ) dari model regresinya. Jika ( ) diketahui, untuk menguji

ketepatan model regresi ZIGP adalah statistik uji deviance. Statistik uji deviance

merupakan logaritma dari rasio likelihood. Statistik uji deviance (D) dapat ditulis

sebagai

[ ( )

( )] [ ( ) ( )]

[ ( ) ( )]

(

∑ ( )

∑ [ (

)]

∑ { (

) ( ) ( ) ( )

( )

}

)

(4.12)


commit to user

28

( ∑ ( )

∑ [ ( )]

∑ { ( )

( ) })

∑ { ( (

)) [

( )]}

∑ { [ (

( ))] ( ) ( ) [

( )

]} (4.13)

Nilai statistik uji (4.13) mendekati distribusi chi-square dengan derajat bebas

( ), dengan p menyatakan jumlah total parameter yang diestimasi. Model

Regresi ZIGP tepat digunakan jika nilai ( )

, dengan sama dengan

tingkat signifikansi.

4.4 Contoh Kasus

Pada contoh kasus ini akan dimodelkan hubungan antara tingkat cacat

fungsional yang dialami oleh korban kecelakaan kendaraan bermotor dengan

faktor-faktor yang diduga berpengaruh terhadap tingkat cacat fungsional yang

dialami oleh korban kecelakaan kendaraan bermotor. Oleh karena itu tingkat cacat

yang terlihat pada lamanya perawatan yang kemudian dihitung berdasarkan

kejadian dilapangan menjadi variabel dependen. Variabel lama perawatan adalah

diskrit dan bernilai ketika korban tersebut sudah sembuh total setelah periode

cacat fungsional sementara.

Asuransi kecelakaan motor pada umumnya menangani tiga jenis klaim,

yaitu kerusakan kendaraan karena kecelakaan atau kesalahan sendiri (Own

Damage atau OD), terjadinya luka-luka pihak ketiga (Third Party Bodily Injury

atau TPBI), dan kerusakan properti pihak ketiga (Third Party Property Damage

atau TPPD). Dalam penelitian ini, akan disajikan aplikasi numerik dari model

regresi zero inflated generalized Poisson pada data TPBI klaim asuransi untuk

kecelakaan Kendaraan bermotor di Perusahaan Asuransi di Kota Kendari. Tabel


commit to user

29

4.1 memberikan gambaran lama perawatan sesuai jumlah klaim yang diajukan,

usia dan jenis kelamin korban kecelakaan.

Tabel 4.1. Data lama perawatan sesuai jumlah klaim yang diajukan,

usia dan jenis kelamin korban kecelakaan

No. Lama Perawatan (Hari) Jumlah Klaim Usia Jenis Kelamin

1 0 1 30 1

2 1 3 50 1

3 2 1 24 1

4 5 1 45 0

5 0 1 22 0

6 0 1 20 1

7 0 1 22 0

8 1 1 11 1

267 2 0 16 1

268 2 1 17 1

269 0 1 37 1

270 0 1 24 1

4.4.1 Pendeteksian Overdispersi atau Underdispersi

Sebelum dilakukan penentuan model, terlebih dahulu dilakukan

pendeteksian terjadinya overdispersi atau underdispersi. Dari output Sofware R

2.14.1 pada Lampiran 3, memberikan hasil estimasi untuk nilai deviance pada

regresi Poisson yang disajikan pada Tabel 4.2.

Tabel 4.2. Nilai statistik deviance (D )

Value DF Value/DF

Null deviance 359,54 269 1,34

Residual deviance 338,42 266 1,27

Dari hasil perhitungan nilai deviance dibagi dengan derajat bebas

diperoleh nilai 1,27, nilai ini lebih dari 1, sehingga dapat disimpulkan bahwa data

cacah yang dianalisis mengalami masalah overdispersi. Terjadinya overdispersi

menyebabkan model regresi Poisson yang telah diperoleh menjadi tidak tepat

untuk digunakan.


commit to user

30

4.4.2 Model Regresi Zero Inflated Generalized Poisson Pada Klaim Asuransi

Untuk Kecelakaan Kendaraan Bermotor di Perusahaan Asuransi

di Kota Kendari dengan Seluruh Variabel Independen

Model regresi zero inflated generalized Poisson adalah

( | ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Pada contoh kasus ini variabel independennya adalah usia, jenis kelamin dan

jumlah klaim. Sehingga model regresi zero inflated generalized Poissonnya

( | ) ( ) ( ) dengan (4.16)

( ) ( ) dan

( ) ( )

Estimasi parameter model regresi zero inflated generalized Poisson pada lampiran

3, memberikan nilai yang disajikan pada Tabel 4.3

Tabel 4.3 Nilai estimasi parameter model regresi zero inflated generalized

Poisson dengan seluruh variabel independen

Variabel Estimasi Parameter

Intercept -0,26487 0,1845

USIA 0,01342 0,0163

JENIS_KELAMIN 0,14708 0,1239

JUMLAH_KLAIM 0,10025 0,4566

-2,18170 0,9730

-8,19127 0,0034

Dengan memasukkan nilai estimasi pada Tabel 4.3 ke persamaan (4.16),

maka estimasi model regresi zero inflated generalized Poissonnya adalah

( | ) ( ) ( ) dengan (4.17)

( ) ( ( ) ( )

( )

menyatakan tingkat kecelakaan yang dipengaruhi oleh usia, jenis kelamin dan

jumlah klaim, dan

( ) ( ( ) ( ) ( )

( ( ) ( ) ( )

menyatakan probabilitas tidak terjadinya tingkat kecelakaan yang dipengaruhi

oleh usia, jenis kelamin dan jumlah klaim.


commit to user

31

Dari Tabel 4.3, hanya variabel usia yang signifikan karena nilai

probabilitas yang kurang dari . Sehingga variabel yang masuk dalam

model hanya USIA.

4.4.3 Model Regresi Zero Inflated Generalized Poisson Pada Klaim Asuransi

untuk Kecelakaan Bermotor di Perusahaan Asuransi di Kota Kendari

dengan Seluruh Variabel Independen Berpengaruh

Setelah diketahui bahwa variabel independen yang memiliki pengaruh signifikan

terhadap model adalah usia dan jenis kelamin, selanjutnya akan dilakukan

estimasi parameter model yang mengandung variabel independen berpengaruh

saja. Nilai estimasi parameter pada lampiran 5, memberikan nilai yang disajikan

pada Tabel 4.4.

Tabel 4.4. Nilai estimasi parameter model regresi ZIGP

dengan variabel independen berpengaruh.

Variabel Estimasi Parameter

Intercept -0,06735 0,6983

USIA 0,01641 0,0019

-1,88220 0,0010

-6,51272 0,8883

Berdasar nilai estimasi pada Tabel 4.4, maka estimasi model regresi zero

inflated generalized Poissonnya adalah

( | ) ( ) ( ) dengan (4.18)

( ( ))

menyatakan tingkat kecelakaan yang dipengaruhi oleh usia dengan

( ( ))

( ( ))

menyatakan probabilitas tidak terjadinya tingkat kecelakaan yang dipengaruhi

oleh usia dan jenis kelamin.

Berdasarkan estimasi model (4.18), tingkat cacat fungsional yang dialami

oleh korban kecelakaan kendaraan bermotor dipengaruhi oleh usia sebesar


commit to user

32

0,01641, artinya setiap kenaikan 1 satuan unit usia akan menjadikan rata-rata

tingkat cacat fungsional yang dialami oleh korban kecelakaan kendaraan bermotor

menjadi sebesar kali lebih besar dan probabilitas terjadinya

tingkat cacat fungsional yang dialami oleh korban kecelakaan kendaraan bermotor

dipengaruhi oleh usia sebesar .

4.4.4 Uji Kecocokan Model

Untuk menguji kecocokan regresi zero inflated generalized Poisson

dengan data, digunakan statistik uji deviance dan Pearson chi-square dengan

hipotesis adalah

Tingkat signifikansi yang digunakan adalah 0,05, akan ditolak jika nilai

deviance lebih besar dari tabel chi-square ( ( ) ). Dari

output software R 2.14.1 Didapat nilai deviance ( ) , maka

ditolak artinya terdapat kecocokan model yang digunakan dengan data atau

model yang digunakan tepat.


commit to user

33

BAB V

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Dari pembahasan yang telah dilakukan, dapat diambil kesimpulan sebagai

berikut,

1. Model regresi zero inflated generalized Poisson adalah

( | ) ( ) ( )

dengan (

)

( )

dan ( ) ( ).

2. Estimasi parameter model regresi zero inflated generalized Poisson

menggunakan MLE menghasilkan persamaan non-linier, sehingga untuk

mengestimasi parameter dilakukan bersamaan dengan menggunakan metode

Newton-Raphson.

5.2 Saran

Pada penelitian ini, hanya dibahas tentang estimasi parameter model

regresi ZIGP dengan menggunakan metode maksimum likelihood. Oleh karena

itu, kepada pembaca yang tertarik mengembangkan skripsi ini disarankan untuk

meneliti estimasi parameter model regresi ZIGP dengan menggunakan metode

quasi likelihood dan bayesian, sehingga nanti hasilnya dapat dibandingkan untuk

menentukan metode yang terbaik.

model regresi zero inflated generalized poisson/model... · inflated generalized poisson (zigp)...

Documents