DISTRIBUSI PELUANG

“Makalah Ini Diajukan Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah

Probabilitas Dan Statistki”

IRKA ISMUNANDAR

1229042041

01 PTIK

PRODI PENDIDIKAN TEKNIK INFORMATIKA DAN KOMPUTER

JURUSAN TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR

2015

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah senantisa

memberkati kami dalam menyelesaikan makalah ini, sehingga kami bisa

menyelesaikannya tepat pada waktunya. Kami juga mengucapkan terima

kasih kepada Dosen, teman–teman, dan semua pihak yang telah memberi

bantuan dandukungan kepada kami dalam menyusun dan menyelesaikan

makalah ini.

Selaku manusia biasa, kami menyadari bahwa dalam makalah ini

masih banyak kekurangan dan kekeliruan yang tidak disengaja. Oleh karena

itu kami membutuhkan kritik dan saran untuk menyempurnakan pembuatan

makalah selanjutnya. Kami berharap makalah ini dapat bermanfaat bagi kita

semua, khususnya dibidang pendidikan.

Makassar, 16 Maret 2015

Penulis

i

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR................................................................................... i

DAFTAR ISI.................................................................................................. ii

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang................................................................... 1

B. Rumusan Masalah.............................................................. 1

BAB II PEMBAHASAN

A. Pengertian Peluang Distribusi Diskit................................ 3

B. Pengertian Pengertian Peluang Distribusi continu............ 6

BAB III PENUTUP

A. Kesimpulan........................................................................ 19

B. Saran.................................................................................. 20

DAFTAR PUSTAKA.................................................................................... 21

ii

BAB I

PENDAHULUAN

1. Latar Belakang

Sejauh ini teori peluang yang kita bicarakan hanya sebatas pada suatu

peristiwa tertentu atau tentang kemungkinan terjadinya peristiwa dengan nilai

peluang tertentu.Padahal masih ada nilai-nilai peluang dari peristiwa lainnya

yang bisa ditentukan.Nilai-nilai peluang tambahan yang demikian bisa

membentuk suatu distribusi yang disebut sebagai distribusi peluang.Sebagai

contoh, ketika melempar sebuah dadu, kita bisa menghitung peluang dari

seluruh peristiwa yang mungkin yakni munculnya angka 1, 2, 3, 4, 5 dan 6

yang masing-masing memiliki peluang 1/6.Distribusi peluang bisa diturunkan

dari peluang logis maupun dari frekuensi relatif.

Di kehidupan sehari-hari kerap kali ditemui berbagai macam model

peluang. Faktor ketidakpastian banyak memiliki model peluang yang

menggambarkan suatu akibat yang mungkin terjadi seandainya kondisi –

kondisi tertentu terjadi. Distribusi peluang atau peluang teoritis merupakan

suatu model peluang yang memungkinkan untuk mempelajari hasil

eksperimen random yang riil dan menduga hasil – hasil yang akan terjadi.

Distribusi peluang yang demikian merupakan distribusi populasi karena

berhubungan dengan semua nilai – nilai yang mungkin terjadi dan

populasinya merupakan variabel random.

Berdasarkan jenis variabelnya tergolong atas distribusi peluang diskrit

dan distribusi peluang kontinu. Distribusi peluang diskrit adalah suatu ruang

contoh yang mengandung jumlah titik contoh yang terhingga sedangkan

distribusi peluang kontinu adalah suatu ruang contoh mengandung tidak

1

terhingga banyaknya titik contoh yang sama dengan banyaknya titik pada

sebuah garis. Distribusi peluang diskrit dibagi atas berbagai macam

diantaranya adalah distribusi peluang binomial, distribusi peluang

hipergeometrik, distribusi peluang poisson, distribusi peluang geometrik, dan

distribusi peluang binomial negatif. Sedangkan, distribusi peluang kontinu

dibagi atas distribusi peluang normal, distribusi peluang gamma, distribusi

peluang eksponensial, distribusi peluang chi-square.

2. Rumusan Masalah

1. Apa yang di maksud dengan Distribusi Peluang Diskrit ?

2. Apa yang di maksud distribusi Distribusi peluang kontinu ?

2

BAB I

PENDAHULUAN

1. Distribusi Peluang Diskrit

Distribusi peluang diskrit adalah suatu ruang contoh yang

mengandung jumlah titik contoh yang terhingga atau suatu barisan

unsur yang tidak pernah berakhir tetapi yang sama banyaknya dengan

bilangan cacah (Walpole,1993).

Syarat dari distribusi diskrit adalah apabila himpunan pasangan

terurut (x, f(x)) merupakan suatu fungsi peluang atau distribusi

peluang peubah acak diskrit x bila, untuk setiap kemungkinan hasil x

1. f(x) > 0

2. ∑ f ( x) = 1

3. P (X=x) = f(x)

Macam – macam distribusi peluang diskrit antara lain :

a. Distribusi Peluang Binomial

Suatu percobaan dimana pada setiap perlakuan hasilnya

hanya ada dua kemungkinan yaitu proses dan gagal dalam n

ulangan yang bebas (Walpole,1993). Ciri – ciri distribusi peluang

binomial adalah sebgai berikut :

1. Percobaan terdiri dari atas n ulangan

2. Dalam setiap ulangan, hasilnya digolongkan dalam sukses dan

gagal

3. Peluang sukses dilambangkan dengan p, sedangkan gagal 1-p

atau q

4. Ulangan – ulangan tersebut bersifat saling bebas satu sama lain.

Distribusi peluang binomial dilambangkan dengan :

3

b ( x ;n ; p )=(nx) px qn− x

untuk x = 0,1,2,3 . . . ,n

Keterangan :

n = banyaknya data

x = banyak keberhasilan dalam peubah acak X

p = peluang berhasil pada setiap data

q = peluang gagal (1 – p) pada setiap data

Rata-rata dan ragam distribusi peluang binomial

μ=n . p

σ 2=n . p . q

Keterangan:

μ = rata-rata

σ 2 = ragam

n = banyak data

p = peluang keberhasilan pada setiap data

q = peluang gagal = 1 – p pada setiap data

b. Distribusi Peluang Hipergeometrik

Bila dalam N populasi benda, k benda diberi label berhasil dan

N-k benda lainnya diberi label gagal, maka distribusi peluang bagi

peubah acak hipergeometrik X yang menyatakan banyaknya

keberhasilan dalam contoh acak berukuran n (Walpole,1993).

4

h ( x ; N , n , k )=(kx)(N−k

n− x )(N

n ) untuk x = 0,1,2, . . .,k

Keterangan :

N = ukuran populasi

n = ukuran contoh acak

k = banyaknya penyekatan / kelas

x = banyaknya keberhasilan

Rata – rata dan ragam distribusi peluang hipergeometrik

μ=nkN

(2.5)

σ2=N−n

N−1n

kN (1− k

N ) (2.6)

Keterangan :

μ = rata-rata

σ 2 = ragam

N = ukuran populasi

n = ukuran contoh acak

k = banyaknya penyekatan/kelas

c. Distribusi Peluang Poisson

Percobaan yang menghasilkan nilai-nilai bagi suatu peubah

acak X, yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama suatu

selang waktu tertentu atau distribusi daerah tertentu (Walpole,1993).

Distribusi peluang poisson memiliki ciri – ciri sebagai berikut :

5

1. Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu selang waktu

atau suatu daerah tertentu, tidak langsung pada banyaknya hasil

percobaan yang terjadi pada selang waktu atau daerah lain yang

terpisah.

2. Peluang terjadinya satu hasil percobaan selama suatu selang

waktu yang singkat sekali atau dalam suatu daerah yang kecil,

sebanding dengan panjang selang waktu tersebut, dan tidak

bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi diluar

selang waktu atau daerah tersebut.

3. Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam

selang waktu yang singkat tersebut atau dalam daerah yang kecil

tersebut, dapat diabaikan. Bilangan X yang menyatakan

banyaknya daerah hasil percobaan dalam suatu distribusi poisson

disebut peubah acak poisson.

Karena nilai – nilai peluangnya hanya bergantung pada µ maka

dirumuskan :

p ( x ; μ )=e−μ μx

x ! untuk x =1,2, . . .

Keterangan :

x = banyak keberhasilan dalam peubah acak X

µ = rata-rata banyak sukses yang terjadi per satuan waktu

e = 2,71828...

Rata – rata dan ragam distribusi poisson p(x;m) keduanya sama dengan

m

d. Distribusi Peluang Geometrik

6

Percobaan yang mengandung tindakan yang bebas dan berulang – ulang dapat menghasilkan keberhasilan dengan peluang q = 1 – p, maka distribusi peluang bagi peubah acak X, yaitu banyaknya ulangan sampai munculnya keberhasilan yang pertama (Walpole,1993).

g ( x ; p )=p .qx−1 untuk x = 1,2,3, . . .

Keteranganp = peluang suksesq = peluang gagal

Rata – rata dan ragam distribusi peluang geometrik

μ= 1p

σ 2=1−p

p2

e. Distribusi Peluang Binomial Negatif

Percobaan yang mengandung ulangan yang bebas dan berulang

–ulang dapat menghasilkan keberhasilan dengan peluang p dan

kegagalan dengan peluang q = 1 – p, maka distribusi peluang bagi

peubah acak X, yaitu banyaknya ulangan sampai terjadinya k

keberhsilan (Walpole,1993).

b∗( x ; k ; p )=( x−1k−1) pk qx−k

untuk x = k, k+1, k+2, . ..

Rata – rata dan ragam distribusi peluang binomial negatif

μ=kqp

(2.12)

σ 2= k .q

p2=μ+ 1

kμ2

7

2. Distribusi peluang kontinu

Distribusi peluang kontinu adalah suatu ruang contoh

mengandung tak terhingga banyaknya titik contoh yang sama dengan

banyaknya titik pada sebuah garis (Walpole,1993).

Syarat dari distribusi kontinu adalah apabila fungsi f(x)

adalah fungsi padat peluang peubah acak kontinu Xt yang

didefinisikan diatas himpunan semua bilangan real Rt bila:

1. F(x) > 0 untuk semua x € R

2. f ( x)dx = 1

3. P(a<X<b) = f ( x)dx

Macam – macam distribusi peluang kontinu antara lain :

a. Distribusi Peluang Normal

Percobaan yang peubah acak X nya ditentukan oleh parameter µ

dan σ2. Jika X merupakan peubah acak normal dengan rataan µ dan σ2

ragam (Walpole,1993).

n ( x ; μ , σ )= 1√2 πσ

e−12 ( x−μ

σ )2

untuk−∞<x<∞ (2.14)

Keterangan:

x = peubah acak kontinu normal

μ = mean,

σ = standar deviasi

π = 3,14159…

e = 2,71828…

8

b. Distribusi Peluang Gamma

Percobaan yang seubah acaknya adalah lamanya waktu

seseorang menunggu sampai sejumlah n kejadian dengan parameter

(α,β) (Walpole,1993).

F(X) =

Mean dan varians ditentukan oleh :

µ = αβ dan σ2 = αβ2

c. Distribusi Peluang Eksponensial

Distribusi eksponensial merupakan bentuk khusus dari distribusi

gamma dengan α=1. Peubah acak kontinu yang fungsi kepekatan

peluangnya diberikan oleh:

F(X) =

Rataan dan variasi eksponensial adalah :

µ = β dan σ2 = β2

Sebaran eksponensial di dalam praktek sering muncul sebagai

sebaran lamanya waktu suatu kejadian tertentu terjadi.

Misalnya, lamanya waktu (mulai sekarang) sampai terjadi gempa

bumi.

d. Distribusi Peluang Chi-Square

9

1βα Г (α)

xα−1e− x/β , x>0 Г (α )=∫0

∞

xα−1 e−x dx

0, x ≤ 0 (2.15)

1β

exβ , x > 0

0, x ≤ 0 (2.16)

Distribusi peluang chi-square merupakan distribusi khusus

gamma dengan α = v2

, β = 2. Distribusi ini banyak dipakai untuk

pengujian hipotesis (teori) sebagai rumus dari statistik uji dengan

hipotesis tertentu. Dimana fungsi peluangnya dipengaruhi oleh

parameter v atau disebut juga db ( derajat bebas).

Distribusi chi-square dapat didefinisikan melalui rumus seperti berikut

:

F(X) =

Mean dan varians distribusi ini oleh :

µ = v dan σ2 = 2v

10

0, x ≤ 0 (2.17)

1

2v2

Г ( v2 )

xv2−1

ev2 , x>0

BAB IIIPENUTUP

1. Kesimpulan

Distribusi peluang diskrit adalah suatu ruang contoh yang mengandung jumlah

titik contoh yang terhingga atau suatu barisan unsur yang tidak pernah berakhir

tetapi yang sama banyaknya dengan bilangan cacah (Walpole,1993).

Syarat dari distribusi diskrit adalah apabila himpunan pasangan terurut (x, f(x))

merupakan suatu fungsi peluang atau distribusi peluang peubah acak diskrit x

bila, untuk setiap kemungkinan hasil x

1. f(x) > 0

2. ∑ f ( x) = 1

3. P (X=x) = f(x)

Distribusi peluang kontinu adalah suatu ruang contoh mengandung tak

terhingga banyaknya titik contoh yang sama dengan banyaknya titik pada sebuah

garis (Walpole,1993).

Syarat dari distribusi kontinu adalah apabila fungsi f(x) adalah

fungsi padat peluang peubah acak kontinu Xt yang didefinisikan diatas

himpunan semua bilangan real Rt bila:

1. F(x) > 0 untuk semua x € R

2. f ( x)dx = 1

3. P(a<X<b) = f ( x)dx

11

2. Saran

Demikian makalah yang kami buat, semoga dapat bermanfaat bagi

pembaca. Apabila ada saran dan kritik yang ingin di sampaikan, silahkan

sampaikan kepada kami. Apabila ada terdapat kesalahan mohon dapat

mema'afkan dan memakluminya, karena kami adalah hamba Allah yang tak luput

dari salah khilaf, Alfa dan lupa.

12