DISTRIBUSIPROBABILITASSARuang Sampel, SPeristiwa, Aelemen, XiXi data diskrit (terbilang) Probabilitas DiskritXi data kontinu (tak terbilang) Probabilitas Kontinu

DISTRIBUSI BINOMIAL, POISSON DAN NORMAL

disebut binomial coefficiens, menunjukkan X kali sukses dari n percobaan.

dimana q = 1-pContoh 1:Koeffisien Binomial untuk 2 kali sukses dari 5 event = 5! : [ 2! (5-3)! ] = 10.Karakteristik dari distribusi binomial :Grafiknya discontinuousBentuknya ditentukan oleh nilai p dan nBentuknya simetris bila p = q atau pq asal n besar

P(x,n) = peluang terjadinya sebesar x untuk n kejadian.n = Jumlah kejadianx = Jumlah kejadian yang diharapkan = 0,1,2,..,n.P = Peluang terjadinya kejadian (parameter distribusi).Q = Peluang kegagalan (tidak terjadi)= 1-p

Parameter distribusi binomial antara lain adalah1. Rata-rata hitung (mean) =nP2. Variansi = nPQ3. Deviasi Stantard = 4. Kemencengan CS =

Ciri-ciri trial binomialTiap percobaan memiliki dua hasil saja yakni sukses atau gagalProbabilitas sukses pada tiap-tiap percobaan haruslah sama dan dinyatakan dengan pSetiap percobaan harus bersifat independentJumlah percobaan yang merupakan komponen eksperimen binomial harus tertentu.

Contoh 1:Probabilitas dari pelemparan dua koin sebagai berikut :Contoh 1:Probabilitas dari pelemparan dua koin sebagai berikut :

PermukaanBanyaknya Tampak BProbabilitasAAABBABB01120,50 x 0,50 = 0,250,50 x 0,50 = 0,250,50 x 0,50 = 0,250,50 x 0,50 = 0,25

Distribusi probabilitas untuk pelemparan 2 koinDengan rumus binomial sbg : n = 2 X = 0, 1, 2

Permukaan BProbabilitas0120,250,500,25jumlah1,00

Probabilitas tidak mendapat permukaan B :P(0;2) = x 0,50x0,52 = 2! : [ 0! (2-0)! ]x1x0,25 = 0,25Probabilitas mendapat 1 permukaan B :P(1;2) =x 0,51x0,51 = 2! : [ 1! (2-1)! ]x0,5x0, 5 = 0,5

Probabilitas mendapat 2 permukaan B :P(2;2) = x 0,52x0,50 = 2! : [ 2! (2-2)! ]x0,25x1 = 0,25

Contoh 2:Jika 3 koin dilempar satu kali, maka Distribusi probabilitas untuk pelemparan 3 koin

PermukaanBanyaknya Tampak BProbabilitasAAAAABABAABBBAABABBBABBB011212230,50 x 0,50x0,5 = 0,1250,50 x 0,50x0,5 = 0,1250,50 x 0,50x0,5 = 0,1250,50 x 0,50x0,5 = 0,1250,50 x 0,50x0,5 = 0,1250,50 x 0,50x0,5 = 0,1250,50 x 0,50x0,5 = 0,1250,50 x 0,50x0,5 = 0,125

Permukaan BProbabilitas01230,1250,3750,3750,125jumlah1,000

Dengan rumus binomial sbg : n = 3 X = 0, 1, 2, 3

Contoh 4 :Jika probabilitas seseorang akan menjawab suatu kuisioner adalah 0,2. Berapa probabilitas untuk mendapatkan 0, 1, 2, 3, 4, dan 5 jawaban dari kuisioner yang diberikan kepada 5 responden ?Jawab :

n= 5 X=0, 1, 2, 3, 4, 5 p = 0,2P(0,5) = 1 (0,2)0 (0,8)5 =0,3277P(1,5) = 5 (0,2)1 (0,8)4 =0,4096 P(2,5) = 1 (0,2)2 (0,8)3 =0,2048P(3,5) = 1 (0,2)3 (0,8)2 =0,0512P(4,5) = 1 (0,2)4 (0,8)1 =0,0064P(5,5) = 1 (0,2)5 (0,8)0 =0,0003

Contoh aplikasi10% dari unsur kimia tergolong ke dalam katagori Aurum (A). Sebuah sampel berjumlah 30 telah diambil secara acak. Berapa peluang sampel itu akan berisikan katagori Aurum (A). a. Dua buah b. Rata rata terdapatnya Aurum

a. P(A) = 0,10, N=30Untuk x = 2Q = 1- 0,10 = 0,90P(R=2) = 30!/2!(30-2)! X (0,10)x(0,90) =0,227b. = NxP = 30 x(0,1) = 3

Debit pucak banjir sungai Code periode T = 5 adalah 359 m3/det. Tentukan dalam waktu 10 tahun peluang debit banjir tersebut:Tidak terjadiTerjadi dua kaliRata-rata dan deviasi standart

T = 5 tahun , P = 1/T = 1/5 = 0,2Q = 1- P = 1- 0,2 = 0,8 N = 10Tidak terjadi , P (R=0) = 10!/0!(10 0)! X( 0,2) X(0,8) = 0,107.Terjadi dua kali , P (R=2) =10!/2!(10 -2)! X(0,2) x(0,8) = 0,308.Rata rata deviasi Standart, = N.P.Q = 10x0,2x0,8 = 1,26 kali

2. Distribusi Poisson Ciri : Jumlah elemen (n) : besar Probabilitas Sukses : kecil e-.xRumus : p (x ; ) = ; x ! p (x) = Peluang terjadinya sebesar x dalam jumlah kejadian n.x = Jumlah kejadian yang diharapkan = 0,1,2,3 ....,n = rata-rata n = Jumlah kejadian

e = 2,71828Dibaca : banyaknya sukses dalam selang tertentu dengan rata-rata

Rata rata ada 1,4 sampel batuan mengandung tembaga untuk setiap 100 sampel batuan.Sebuah sampel berjumlah 200 telah di analisa.Peluang sampel batuan tidak mengandung tembaga adalah:Jika x = banyak sampel batuan mengandung tembaga per 200 sampel,maka =(1,4)(200) =2,8Peluang tidak terdapat tembaga

Jadi p(x =0) = P (x=0) = = 0,0608

Peluang terdapatnya batuan mengandung temb aga (1-0,0608) = 0,9392

Contoh : Peluang seorang geologis mendapatkan emas dengan kadar 5 ppm = 0,0005 dari 4000 contoh batuan, tentukan peluang mendapatkan emas dengan kadar 5 ppm:Tidak adaAda 2 contoh batuanAda beberapa contoh batuan akan mendapatkan emas

= N.P = 4000 x 0,0005 = 2a. Tidak ada P (R = 0) = e x 2 / 0! = 0,1353 b. Ada 2 conto batuan x = 2, P (R=2) = e x 2/2! = 0,2706.c. Ada beberapa contoh batuan akan mendapatkan emas . Tiada lain diminta menentukan rata rata () yaitu = 2

Misalkan ada sebuah populasi berukuran N di antaranya terdapat D buah termasuk kategori tertentu. Dari populasi ini sebuah sampel acak diambil berukuran n. Pertanyaan : berapa peluang dalam sampel itu terdapat x buah termasuk kategori tertentu itu:Jawab: Ditentukan oleh distribusi hipergeometrik di bawah:

3. Distribusi Hipergeometrik Dibaca : terdapat sukses dari n pengambilan pada peristiwa D

= n. DN

ContohKelompok sampel terdiri dari 50 batuan, 3 diantaranya mengandung emas, secara acak diambil 5 batuan. Berapa peluangnya diantara 5 batuan tadi mengandung emas.

n = 5, N = 50, D = 3.Tidak ada batuan yang mengandung emas.

P (R = 0) =

Sehingga peluang batuan tersebut mengandung emas = 1-0,724 = 0,726

**