DISTRIBUSI PELUANG POISSON & DISTRIBUSI NORMAL

Mata Kuliah Statistik Industri I

Kapan distribusi Poisson digunakan??

Jika parameter n sangat besar (lebih dari 50) sedangkan p kecil sekali (kurang dari 0,1)

Sulit menggunakan pendekatan binomial

Teorema : J ika X adalah variabel random binomial dengan distribusi kemungkinan b(x;n,p), dan jika bila ukuran sampel n , nilai proporsi sukses 0p , dan digunakan pendekatan

np , maka nilai );(),;( xppnxb .

Pendekatan Binomial - Poisson

3

Fungsi distribusi peluang binomial dapat ditulis:

Jika dilakukan transformasi p= /n, maka diperoleh:

4

Dari definisi bilangan natural e, diperoleh hubungan:

Dengan memperhatikan syarat limit, diperoleh:

Pendekatan Binomial - Poisson

Pendekatan Binomial – Poisson

5

SULIT DILAKUKAN!!

Pendekatan Binomial – Poisson

6

Menggunakan poisson:

Distribusi Poisson

7

Distribusi probabilitas Poisson bermanfaat dalam penentuan probabilitas dari sejumlah kemunculan pada rentang waktu atau luas/volume tertentu.

Variabel random Poisson menghitung kemunculan pada interval waktu yang kontinyu.

Distribusi Probabilitas Poisson

8

1,2,3,... =untuk x !

)(x

exP

x

dimana = rata-rata distribusi (yang juga merupakan variansi) n.pe = bilangan logaritmik natural (e=2.71828...).

!

);(x

tetxp

xt

atau

Proses & syarat Poisson

Suatu proses dikatakan mengikuti proses Poisson jika memenuhi syarat-syarat sebagai berikut:

1. Jumlah sukses yang terjadi dalam suatu selang waktu (atau daerah tertentu) tidak dipengaruhi (independent) terhadap kejadian pada selang waktu atau daerah yang lain.

Suatu proses dikatakan mengikuti proses Poisson jika memenuhi properti-properti sebagai berikut:

2. Kemungkinan terjadinya suatu sukses (tunggal) dalam interval waktu yang pendek (t mendekati nol) sebanding dengan panjang interval dan tidak tergantung pada banyaknya sukses yang terjadi di luar interval tersebut.

Proses & syarat Poisson

3. Kemungkinan terjadinya lebih dari satu sukses dalam interval waktu yang pendek dapat diabaikan.

Proses & syarat Poisson

Distribusi Probabilitas Poisson

12

Perusahaan telepon memberikan 1000 pilihan pesawat telepon (sebagai kombinasi warna, type, fungsi, dll). Sebuah perusahaan membuka cabang baru dan tersedia 200 sambungan telpon dimana setiap karyawan boleh memilih pesawat telepon sesuka hatinya. Asumsikan bahwa ke-1000 pilihan tersebut adalah equally likely. Berapa probabilitas bahwa sebuah pilihan tidak dipilih, dipilih oleh seorang, dua orang atau tiga orang karyawan? n = 200 ; p = 1/1000 = 0.001 ; = np = (200)(0.001) = 0.2

Pe

Pe

Pe

Pe

( ).

!

( ).

!

( ).

!

( ).

!

.

.

.

.

02

0

12

1

22

2

32

3

0 2

1 2

2 2

3 2

=

=

=

=

-

-

-

-

= 0.8187

= 0.1637

= 0.0164

= 0.0011

Distribusi Probabilitas Poisson

13

R a t a - r a t a p e n g i r i m a n b a h a n b a k u k e s u a t u p a b r i k a d a l a h 1 0 t r u kd a n f a s i l i t a s b o n g k a r h a n y a m a m p u m e n e r i m a p a l i n g b a n y a k 1 5t r u k p e r h a r i . P e m a s o k m e n g i n k a n a g a r t r u k p a s o k a n n y a d a p a td i b o n g k a r p a d a h a r i y a n g s a m a . S u a t u h a r i , p e m a s o k m e n g i r i m k a ns e b u a h t r u k k e p a b r i k t e r s e b u t , b e r a p a k e m u n g k i n a n t r u k t e r s e b u th a r u s b e r m a l a m k a r e n a t i d a k d a p a t d i b o n g k a r ?X a d a l a h v a r i a b e l r a n d o m b a n y a k n y a t r u k b a h a n b a k u y a n g t i b as e t i a p h a r i . D e n g a n d i s t r i b u s i P o i s s o n , k e m u n g k i n a n s e b u a h t r u k

h a r u s b e r m a l a m a d a l a h

15

0

)10;(1)15(1)15(x

xpXPXP = 0 . 9 5 1 3

( d a r i t a b e l ) , m a k a k e m u n g k i n a n s e b u a h t r u k h a r u s b e r m a l a mk a r e n a t i d a k d a p a t d i b o n g k a r a d a l a h 1 - 0 . 9 5 1 3 = 0 . 0 4 8 7 .

Contoh soal Distribusi Poisson

Contoh soal Distribusi Poisson

Contoh soal Distribusi Poisson

e adalah basis dari logaritma natural.

e adalah bilangan dimana gradien (kemiringan) dari fungsi f(x)=ex pada setiap titiknya sama dengan nilai (tinggi) fungsi tersebut pada titik yang sama.

Nilai bilangan ini, dipotong pada posisi ke-30 setelah tanda desimal (tanpa dibulatkan), adalah:e ≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352

DISTRIBUSI NORMAL

KARAKTERISTIK DISTRIBUSI KURVA NORMAL

1. Kurva berbentuk genta (= Md= Mo)2. Kurva berbentuk simetris3. Kurva normal berbentuk asimptotis4. Kurva mencapai puncak pada saat X= 5. Luas daerah di bawah kurva adalah 1; ½ di sisi kanan

nilai tengah dan ½ di sisi kiri.

DISTRIBUSI NORMAL

DEFINISI KURVA NORMAL

Bila X suatu variabel random normal dengan nilai tengah , dan standar deviasi , maka persamaan kurva normalnya adalah:

N(X; ,) = 1 e –1/2[(x-)/]2,

22

Untuk -<X<  

di mana = 3,14159 e = 2,71828

JENIS-JENIS DISTRIBUSI NORMAL

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

m

Mesokurtic Platykurtic Leptokurtic

Distribusi kurva normal dengan sama dan berbeda

JENIS-JENIS DISTRIBUSI NORMAL

Distribusi kurva normal dengan berbeda dan sama

Mangga “C”

Mangga “B”

Mangga “A”

JENIS-JENIS DISTRIBUSI NORMAL

Distribusi kurva normal dengan dan berbeda

85 850

Grafik kurva normal :

P(x≤) = 0,5P(x) = 0,5Luas kurva normal :

0,50,5

Luas kurva normal antara x=a & x=b

= probabilitas x terletak antara a dan b

a b x

TRANSFORMASI DARI NILAI X KE Z

Transformasi dari X ke Z

x zDi mana nilai Z:

Z = X -

Z > 0 jika x > Z < 0 jika x < Simetri : P(0 ≤ Z ≤ b) = P(-b ≤ Z ≤ 0)

Contoh :1. Diketahui data berdistribusi normal dengan

mean = 55 dan deviasi standar = 15a) P(55≤x≤75) =

=

= P(0≤Z≤1,33) = 0,4082 (Tabel III)

Atau

Tabel III A =

0,4082

b) P(60≤x≤80) == P(0,33≤Z≤1,67)= P(0≤Z≤1,67) – P(0≤Z≤0,33)= 0,4525 – 0,1293 = 0,3232

Z1 = = 0,33 B = 0,1293

Z2 = = 1,67 A = 0,4525C = A – B = 0,3232

c) P(40≤x≤60)= A + B

= = P(-1,00≤Z≤0,33) = P(-1,00≤Z≤0) +

P(0≤Z≤0,33) = 0,3412 + 0,1293 = 0,4705 Atau : Z1 = = -1,00 A = 0,3412 Z2 = = 0,33 B = 0,1293

d) P(x ≤ 40) = 0,5 – A

= 0,5 – 0,3412 = 0,1588

e. P(x ≥ 85)

f. P(x ≤ 85) = 0,5 + A= 0,5 + 0,4772= 0,9772

2) Diketahui rata-rata hasil ujian adalah 74 dengan simpangan baku 7. Jika nilai-nilai peserta ujian bersidtribusi normal dan 12% peserta nilai tertinggi mendapat nilai A, berapa batas nilai A yang terendah ?Jawab:

PENDEKATAN NORMAL UNTUK BINOMIAL

Distribusi Binomial :

Exp : Pendekatan normal untuk binomial dengan n = 15, p = 0,4

Menurut Teorema Limit Pusat : Jika x suatu variable random binomial dengan mean & variansi . Jika n cukup besar (n>30) dan p tidak terlalu dekat dengan 0 atau 1, maka :

Contoh :1) Suatu pabrik/ perusahaan pembuat CD

menghasilkan 10% CD yang cacat/ rusak. Jika 100 CD dipilih secara random, berapa probabilitas terdapat :a) 8 CD yang rusakb) Paling sedikit 12 CD yang rusakc) Paling banyak 5 CD yang rusakJawab :x = banyak CD yang rusakx Bin(100; 0,1) n = 100, p = 0,1 = n.p = 100.(0,1) = 10 = n.p.(1-p)=100.(0,1).(0,9)=9 = = 3

a) P(x=8) = Luas kurva normal antara x1 = 7,5 dan x2 = 8,5

Z1 = = -0,83 A = 0,2967

Z2 = = -0,50 B = 0,1915P(x=8) = A – B

= 0,2967 – 0,1915 = 0,1052

b) P(x≥12) = Luas kurva normal dari x = 11,5 ke kanan

A = 0,1915P(x≥12) = 0,5 – 0,1915 = 0,3085

c) P(x 5)=Luas kurva normal dari x = 5,5 ke kiri

= -1,50 A = 0,4332

P(x5) = 0,5 – 0,4332 = 0,0668

2) Dalam ujian pilihan ganda, tersedia 200 pertanyaan dengan 4 alternatif jawaban dan hanya 1 jawaban yang benar. Jika seseorang memilih jawaban secara random, berapa peluang dia lulus ujian (syarat lulus : benar paling sedikit 60)Jawab :x = banyak jawaban yang benarP = 0,25 = ¼ 1 – p = 0,75x Bin(200; 0,25) = n.p = 50

= n.p(1-p) = 200(0,25).(0,75) = 37,5 = 6,13

P(x≥60) = Luas kurva normal dari x = 59,5 ke kanan

Z1 = = 1,55 A = 0,4394P(x≥60) = 0,5 – 0,4394

= 0,0606 = 6,06 %

Contoh Soal: