distribusi probabilitas diskrit: poissonkapan distribusi poisson digunakan? ! jika parameter n...
TRANSCRIPT
Distribusi Probabilitas Diskrit: Poisson Debrina Puspita Andriani www.debrina.lecture.ub.ac.id E-mail : [email protected] / [email protected]
4.2
Outline
Pendahuluan
Pendekatan Binomial – Poisson
Distribusi Poisson
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
2
Kapan distribusi Poisson digunakan?
¡ Jika parameter n sangat besar (lebih dari 50) sedangkan p sangat kecil (kurang dari 0,1)
¡ Sulit menggunakan pendekatan binomial
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
3
Teorema : Jika X adalah variabel random binomial dengan distribusi kemungkinan b(x;n,p), dan jika bila ukuran sampel ∞→n , nilai proporsi sukses 0→p , dan digunakan pendekatan
np=µ , maka nilai );(),;( µxppnxb → .
Pendekatan Binomial – Poisson (1) 4
Fungsi distribusi peluang binomial dapat ditulis:
Jika dilakukan transformasi p= µ/n, maka diperoleh:
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
Pendekatan Binomial – Poisson (2) 5
Dari definisi bilangan natural e, diperoleh hubungan:
Dengan memperhatikan syarat limit, diperoleh:
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
6 Pendekatan Binomial – Poisson (3)
à Sulit Dilakukan!
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
Distribusi Poisson bermanfaat dalam penentuan
probabilitas dari sejumlah kemunculan pada rentang waktu atau luas/
volume tertentu. 7
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
Distribusi Probabilitas Poisson (1)
dimana ¡ α = rata-rata distribusi (yang juga merupakan variansi) à n.p
¡ e = bilangan logaritmik natural (e=2.71828...).
8
P(x) = αxe−α
x! untuk x = 1,2,3,...
( )!
);(xtetxpxt λ
λλ−
=
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
Statistik deskriptif untuk distribusi Poisson
Rata-rata = μ= n.p Variansi = σ2= n.p
Distribusi Probabilitas Poisson (2) 9
25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
Proses & syarat Poisson:
1. Jumlah sukses yang terjadi dalam suatu selang waktu (atau daerah tertentu) tidak dipengaruhi (independent) terhadap kejadian pada selang waktu atau daerah yang lain.
2. Kemungkinan terjadinya suatu sukses (tunggal) dalam interval waktu yang pendek (Δt ≈ 0) sebanding dengan panjang interval dan tidak tergantung pada banyaknya sukses yang terjadi di luar interval tersebut.
3. Kemungkinan terjadinya lebih dari satu sukses dalam interval waktu yang pendek dapat diabaikan.
Distribusi Probabilitas Poisson (3)
Contoh:
¡ Perusahaan telepon memberikan 1000 pilihan pesawat telepon (sebagai kombinasi warna, tipe, fungsi, dll). Sebuah perusahaan membuka cabang baru dan tersedia 200 sambungan telpon dimana setiap karyawan boleh memilih pesawat telepon sesuka hatinya. Asumsikan bahwa ke-1000 pilihan tersebut adalah equally likely. Berapa probabilitas bahwa sebuah pilihan tidak dipilih, dipilih oleh seorang, dua orang, atau tiga orang karyawan?
¡ n = 200 ; p = 1/1000 = 0.001 ;
¡ α = np = (200)(0.001) = 0.2 25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id
10
P e
P e
P e
P e
( ) .
!
( ) .
!
( ) .
!
( ) .
!
.
.
.
.
0 2
0
1 2
1
2 2
2
3 2
3
0 2
1 2
2 2
3 2
=
=
=
=
-
-
-
-
= 0.8187
= 0.1637
= 0.0164
= 0.0011
Penyelesaian
e e adalah basis dari logaritma natural e adalah bilangan dimana gradien (kemiringan) dari fungsi f(x)=ex pada setiap titiknya sama dengan nilai (tinggi) fungsi tersebut pada titik yang sama. Nilai bilangan ini, dipotong pada posisi ke-30 setelah tanda desimal (tanpa dibulatkan), adalah: e ≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352
25/07/15
www.debrina.lecture.ub.ac.id
11