transformasi linier - sabri.staff. transformasi... · pdf file maka: rank t + nulitas t =...

Click here to load reader

Post on 31-Oct-2020

1 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • Transformasi Linier Matematika Lanjut 1

    Dr. Ahmad Sabri

    Universitas Gunadarma

  • Definisi dan teorema

    Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 2

  • Definisi [Transformasi Linier]. Diberikan ruang vektor ๐‘‰ dan ๐‘Š. Fungsi ๐น: ๐‘‰ โ†’ ๐‘Š disebut transformasi linier jika:

    i. ๐น ๐ฎ + ๐ฏ = ๐น ๐ฎ + ๐น(๐ฏ)

    ii. ๐น ๐‘˜๐ฎ = ๐‘˜๐น(๐ฎ)

    untuk semua vektor u, v pada V dan semua skalar k.

    Contoh: ๐น: ๐‘…2 โ†’ ๐‘…3 adalah sebuah transformasi linier.

    Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 3

  • Buktikan ๐น (๐‘ฅ, ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ, ๐‘ฅ + ๐‘ฆ, ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) adalah transformasi linier.

    Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 4

  • Sifat-sifat

    Teorema. Jika ๐‘‡: ๐‘‰ โ†’ ๐‘Š adalah transformasi linier, maka:

    a) ๐‘‡ ๐ŸŽ = ๐ŸŽ

    b) ๐‘‡ โˆ’๐ฏ = โˆ’๐‘‡(๐ฏ) untuk semua v di V

    c) ๐‘‡ ๐ฏ โˆ’ ๐ฐ = ๐‘‡ ๐ฏ โˆ’ ๐‘‡(๐ฐ) untuk semua v,w di V

    Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 5

  • Definisi. Untuk ๐‘‡: ๐‘‰ โ†’ ๐‘Š transformasi linier,

    โ€ข Himpunan semua ๐ฏ โˆˆ ๐‘‰ sehingga ๐‘‡ ๐ฏ = ๐ŸŽ disebut kernel (ruang nol) dari T, dan dinotasikan sebagai ker(๐‘‡).

    โ€ข Himpunan semua ๐ฐ โˆˆ ๐‘Š yang merupakan peta dari T disebut jangkauan dari T, dan dinotasikan sebagai ๐‘…(๐‘‡).

    Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 6

  • โ€ข tinjau kembali slide no. 11 materi โ€œ06 Solusi SPLโ€

    โ€ข Dengan eliminasi Gauss-Jordan, diperoleh matriks eselon baris :

    1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

    โ€ข basis dari ruang pemecahan adalah

    vektor ๐‘ฃ1 =

    โˆ’1 1 0 0 0

    dan ๐‘ฃ2 =

    โˆ’1 0 โˆ’1 0 1

    Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 7

  • Masalah tersebut dapat dipandang sebagai mencari kernel dari sebuah transformasi linier, dengan matriks transformasi

    ๐ด =

    2 2 โˆ’1 0 1 โˆ’1 โˆ’1 2 โˆ’3 1 1 1 โˆ’2 0 โˆ’1 0 0 1 1 1

    Menemukan solusi ๐ด๐ฑ = 0 ekivalen dengan menemukan kernel dari transformasi linier ๐‘‡ ๐ฑ = ๐ด๐ฑ, yang diberikan oleh:

    ker ๐‘‡ = ๐‘  โˆ’1,1,0,0,0 + ๐‘ก โˆ’1,0, โˆ’1,0,1 ๐‘ , ๐‘ก โˆˆ ๐‘…

    dalam hal ini dimensi dari ker(๐‘‡) adalah 2 Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 8

  • Teorema. Jika ๐‘‡: ๐‘‰ โ†’ ๐‘Š adalah transformasi linier, maka:

    a) ker(๐‘‡) adalah subruang dari V

    b) ๐‘…(๐‘‡) adalah subruang dari W.

    Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 9

  • Diberikan basis-basis ๐‘† = ๐ฏ๐Ÿ, ๐ฏ๐Ÿ, ๐ฏ๐Ÿ‘ untuk ๐‘… 3, di mana ๐ฏ๐Ÿ =

    1,1,1 , ๐ฏ๐Ÿ = 1,1,0 , ๐ฏ๐Ÿ‘ = (1,0,0). Sebuah transformasi linier ๐‘‡: ๐‘… 3 โ†’

    ๐‘…2 pada vektor-vektor basis memberikan: ๐‘‡ ๐ฏ๐Ÿ = 1,0 ; ๐‘‡ ๐ฏ๐Ÿ = 2,โˆ’1 ; ๐‘‡ ๐ฏ๐Ÿ‘ = (4,3)

    a) Temukanlah formula untuk T

    b) Tentukan ๐‘‡(2, โˆ’3,5)

    Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 10

  • Definisi. Diberikan transformasi linier ๐‘‡: ๐‘‰ โ†’ ๐‘Š.

    โ€ข Dimensi dari ker(๐‘‡) disebut nulitas T,

    โ€ข Dimensi jangkauan dari T disebut rank T.

    Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 11

  • Teorema. Jika ๐‘‡: ๐‘‰ โ†’ ๐‘Š adalah transformasi linier dan V berdimensi n, maka: rank T + nulitas T = n.

    Teorema. Jika A matriks ๐‘š ร— ๐‘›, maka dimensi ruang pemecahan untuk ๐ด๐ฑ = ๐ŸŽ adalah ๐‘› โˆ’ ๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘›๐‘˜(๐ด).

    Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 12

  • (lihat slide no. 11 materi โ€œ06 Solusi SPLโ€)

    ๐ด =

    2 2 โˆ’1 0 1 โˆ’1 โˆ’1 2 โˆ’3 1 1 1 โˆ’2 0 โˆ’1 0 0 1 1 1

    , ekivalen dengan matriks eselon baris

    1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

    , sehingga rank(A) = 3

    maka dimensi dari ruang pemecahan untuk ๐ด๐ฑ = ๐ŸŽ adalah ๐‘› โˆ’ ๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘›๐‘˜ ๐ด = 5 โˆ’ 3 = 2.

    Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 13

  • Transformasi Linier ๐‘…๐‘›ke ๐‘…๐‘š

    Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 14

  • โ€ข Misalkan A matriks berukuran ๐‘š ร— ๐‘›, dan v vektor di ๐‘…๐‘š.

    โ€ข ๐‘‡ ๐ฑ = ๐ด๐ฑ merupakan transformasi linier yang memetakan vektor di ๐‘…๐‘› ke vektor di ๐‘…๐‘š.

    โ€ข Transformasi linier ๐‘‡: ๐‘…๐‘› โ†’ ๐‘…๐‘š disebut juga transformasi matriks.

    Bukti: ๐‘‡ ๐ฎ + ๐ฏ = ๐ด ๐ฎ + ๐ฏ = ๐ด๐ฎ + ๐ด๐ฏ = ๐‘‡ ๐ฎ + ๐‘‡(๐ฏ) ๐‘‡ ๐‘˜๐ฎ = ๐ด ๐‘˜๐ฎ = ๐‘˜๐ด ๐ฎ = ๐‘˜๐‘‡(๐ฎ)

    Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 15

  • Teorema. Jika

    โ€ข ๐‘‡: ๐‘…๐‘› โ†’ ๐‘…๐‘š adalah transformasi linier, dan

    โ€ข ๐‘’1, ๐‘’2, โ‹ฏ , ๐‘’๐‘› adalah basis baku untuk ๐‘… ๐‘›,

    maka ๐‘‡ ๐ฏ = ๐ด๐ฎ, di mana ๐ด = ๐‘‡(๐‘’1) ๐‘‡(๐‘’2) โ‹ฏ ๐‘‡(๐‘’๐‘›)

    Matriks A disebut matriks baku untuk T.

    Dengan kata lain, setiap transformasi linier dapat dinyatakan sebagai transformasi matriks.

    Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 16

  • Temukanlah matriks baku untuk ๐‘‡: ๐‘…3 โ†’ ๐‘…4 yang didefinisikan oleh:

    ๐‘‡

    ๐‘ฅ1 ๐‘ฅ2 ๐‘ฅ3

    =

    ๐‘ฅ1 + ๐‘ฅ2 ๐‘ฅ1 โˆ’ ๐‘ฅ2 ๐‘ฅ3 ๐‘ฅ1

    Jawab:

    ๐‘‡ ๐‘’1 = ๐‘‡ 1 0 0

    =

    1 1 0 1

    , ๐‘‡ ๐‘’2 = ๐‘‡ 0 1 0

    =

    1 โˆ’1 0 0

    , ๐‘‡ ๐‘’3 = ๐‘‡ 0 0 1

    =

    0 0 1 0

    ๐ด = ๐‘‡ ๐‘’1 ๐‘‡ ๐‘’2 ๐‘‡ ๐‘’3 =

    1 1 0 1 โˆ’1 0 0 0 1 1 0 0

    . Cek: ๐ด

    ๐‘ฅ1 ๐‘ฅ2 ๐‘ฅ3

    =

    1 1 0 1 โˆ’1 0 0 0 1 1 0 0

    ๐‘ฅ1 ๐‘ฅ2 ๐‘ฅ3

    =

    ๐‘ฅ1 + ๐‘ฅ2 ๐‘ฅ1 โˆ’ ๐‘ฅ2 ๐‘ฅ3 ๐‘ฅ1Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 17

  • Transformasi linier bidang

    โ€ข Transformasi linier bidang adalah ๐‘‡: ๐‘…2 โ†’ ๐‘…2.

    โ€ข Transformasi utama pada bidang: 1. Rotasi

    2. Refleksi

    3. Ekspansi/kompresi

    4. Shearing

    Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 18

  • โ€ข Refleksi โ€ข Ekspansi/kompresi

    โ€ข Shear

    Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 19

  • Transformasi Fungsi Transformasi Matriks Transformasi

    Rotasi terhadap titik pusat

    ๐‘‡ ๐‘ฅ ๐‘ฆ =

    ๐‘ฅ cos ๐œƒ โˆ’ ๐‘ฆ sin ๐œƒ ๐‘ฅ sin ๐œƒ + ๐‘ฆ cos ๐œƒ

    cos ๐œƒ โˆ’ sin ๐œƒ sin ๐œƒ cos ๐œƒ

    Refleksi terhadap sumbu Y

    ๐‘‡ ๐‘ฅ ๐‘ฆ =

    โˆ’๐‘ฅ ๐‘ฆ

    โˆ’1 0 0 1

    Refleksi terhadap sumbu X

    ๐‘‡ ๐‘ฅ ๐‘ฆ =

    ๐‘ฅ โˆ’๐‘ฆ

    1 0 0 โˆ’1

    Refleksi terhadap garis ๐‘ฆ = ๐‘ฅ

    ๐‘‡ ๐‘ฅ ๐‘ฆ =

    ๐‘ฆ ๐‘ฅ

    0 1 1 0

    Ekspansi/kompresi arah x dengan faktor k

    ๐‘‡ ๐‘ฅ ๐‘ฆ =

    ๐‘˜๐‘ฅ ๐‘ฆ

    ๐‘˜ 0 0 1

    Ekspansi/kompresi arah y dengan faktor k

    ๐‘‡ ๐‘ฅ ๐‘ฆ =

    ๐‘ฅ ๐‘˜๐‘ฆ

    1 0 0 ๐‘˜

    Shearing arah x dengan faktor k

    ๐‘‡ ๐‘ฅ ๐‘ฆ =

    ๐‘ฅ + ๐‘˜๐‘ฆ ๐‘ฆ

    1 ๐‘˜ 0 1

    Shearing arah y dengan faktor k

    ๐‘‡ ๐‘ฅ ๐‘ฆ =

    ๐‘ฅ ๐‘˜๐‘ฅ + ๐‘ฆ

    1 0 ๐‘˜ 1

    Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 20

  • Jika ๐‘‡: ๐‘…2 โ†’ ๐‘…2 adalah perkalian oleh sebuah matriks elementer, maka efek geometris dari transformasi tersebut adalah salah satu dari yang berikut:

    1. Shearing sepanjang sumbu koordinat: 1 0 ๐‘˜ 1

    , 1 ๐‘˜ 0 1

    2. Refleksi terhadap ๐‘ฆ = ๐‘ฅ: 0 1 1 0

    3. Kompresi/ekspansi sepanjang sumbu koordinat: ๐‘˜ 0 0 1

    , 1 0 0 ๐‘˜

    4. Refleksi terhadap sumbu koordinat: โˆ’1 0 0 1

    , 1 0 0 โˆ’1

    5. Kompresi/ekspansi sepanjang sumbu koordinat diikuti oleh refleksi terhadap sumbu koordinat

    Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 21

  • โ€ข Jika ๐‘‡: ๐‘…2 โ†’ ๐‘…2 adalah perkalian dengan sebuah matriks A yang non- singular, maka T memetakan (๐‘ฅ, ๐‘ฆ) ke ๐‘ฅโ€ฒ, ๐‘ฆโ€ฒ sebagaimana berikut:

    ๐‘ฅโ€ฒ ๐‘ฆโ€ฒ

    = ๐ด ๐‘ฅ ๐‘ฆ

    โ€ข oleh karena A non-singular, maka: ๐‘ฅ ๐‘ฆ = ๐ด

    โˆ’1 ๐‘ฅโ€ฒ ๐‘ฆโ€ฒ

    โ€ข transformasi dengan matriks ๐ด dan ๐ดโˆ’1 disebut transformasi- transformasi invers

    Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 22

  • Teorema. Jika ๐‘‡: ๐‘…2 โ†’ ๐‘…2 adalah perkalian oleh matriks A yang non- singular, maka efek geometrik dari T sama dengan shearing, kompresi, ekspansi, dan refleksi yang dilakukan berdasarkan urutan perkalian matriks-matriks elementer pembentuk A.

    Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 23

  • Contoh: Nyatakanlah ๐ด = 1 2 3 4

    sebagai hasil kali matriks elementer, dan jelaskan

    efek geometrik perkalian oleh A.

    Jawab:

    1 2 3 4

    ๐‘2โˆ’3๐‘1 1 2 0 โˆ’2

    โˆ’ 1 2๐‘2 1 2

    0 1

    ๐‘1โˆ’2๐‘2 1 0 0 1

    ๐ธ1 = 1 0 โˆ’3 1

    , ๐ธ2 = 1 0 0 โˆ’12

    , ๐ธ3 = 1 โˆ’2 0 1

    ๐ด = ๐ธ1 โˆ’1๐ธ2

    โˆ’1๐ธ3 โˆ’1 =

    1 0 3 1

    1 0 0 โˆ’2

    1 2 0 1

    Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 24

    Efek geometris:

    1. 1 2 0 1

    shearing arah x dengan

    faktor 2

    2. 1 0 0 โˆ’2

    ekspansi arah y

    dengan faktor -2

    3. 1 0 3 1

    shearing arah y dengan

    faktor 2

  • Sebuah persegi memiliki titik sudut ๐‘ƒ1 0,0 , ๐‘ƒ2 1,0 , ๐‘ƒ3 0,1 , ๐‘ƒ4(1,1). Gambarlah urutan efek geometrik dari peta persegi tersebut berdasarkan

    transformasi matriks ๐ด = โˆ’1 2 2 โˆ’1

    .

    โˆ’1 2 2