transformasi linier - sabri.staff. transformasi... · pdf file maka: rank t + nulitas t =...

Transformasi Linier Matematika Lanjut 1

Dr. Ahmad Sabri

Universitas Gunadarma

Definisi dan teorema

Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 2

Definisi [Transformasi Linier]. Diberikan ruang vektor 𝑉 dan 𝑊. Fungsi 𝐹: 𝑉 → 𝑊 disebut transformasi linier jika:

i. 𝐹 𝐮 + 𝐯 = 𝐹 𝐮 + 𝐹(𝐯)

ii. 𝐹 𝑘𝐮 = 𝑘𝐹(𝐮)

untuk semua vektor u, v pada V dan semua skalar k.

Contoh: 𝐹: 𝑅2 → 𝑅3 adalah sebuah transformasi linier.

Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 3

Buktikan 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑥 + 𝑦, 𝑥 − 𝑦) adalah transformasi linier.

Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 4

Sifat-sifat

Teorema. Jika 𝑇: 𝑉 → 𝑊 adalah transformasi linier, maka:

a) 𝑇 𝟎 = 𝟎

b) 𝑇 −𝐯 = −𝑇(𝐯) untuk semua v di V

c) 𝑇 𝐯 − 𝐰 = 𝑇 𝐯 − 𝑇(𝐰) untuk semua v,w di V

Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 5

Definisi. Untuk 𝑇: 𝑉 → 𝑊 transformasi linier,

• Himpunan semua 𝐯 ∈ 𝑉 sehingga 𝑇 𝐯 = 𝟎 disebut kernel (ruang nol) dari T, dan dinotasikan sebagai ker(𝑇).

• Himpunan semua 𝐰 ∈ 𝑊 yang merupakan peta dari T disebut jangkauan dari T, dan dinotasikan sebagai 𝑅(𝑇).

Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 6

• tinjau kembali slide no. 11 materi “06 Solusi SPL”

• Dengan eliminasi Gauss-Jordan, diperoleh matriks eselon baris :

1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

• basis dari ruang pemecahan adalah

vektor 𝑣1 =

−1 1 0 0 0

dan 𝑣2 =

−1 0 −1 0 1

Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 7

Masalah tersebut dapat dipandang sebagai mencari kernel dari sebuah transformasi linier, dengan matriks transformasi

𝐴 =

2 2 −1 0 1 −1 −1 2 −3 1 1 1 −2 0 −1 0 0 1 1 1

Menemukan solusi 𝐴𝐱 = 0 ekivalen dengan menemukan kernel dari transformasi linier 𝑇 𝐱 = 𝐴𝐱, yang diberikan oleh:

ker 𝑇 = 𝑠 −1,1,0,0,0 + 𝑡 −1,0, −1,0,1 𝑠, 𝑡 ∈ 𝑅

dalam hal ini dimensi dari ker(𝑇) adalah 2 Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 8

Teorema. Jika 𝑇: 𝑉 → 𝑊 adalah transformasi linier, maka:

a) ker(𝑇) adalah subruang dari V

b) 𝑅(𝑇) adalah subruang dari W.

Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 9

Diberikan basis-basis 𝑆 = 𝐯𝟏, 𝐯𝟐, 𝐯𝟑 untuk 𝑅 3, di mana 𝐯𝟏 =

1,1,1 , 𝐯𝟐 = 1,1,0 , 𝐯𝟑 = (1,0,0). Sebuah transformasi linier 𝑇: 𝑅 3 →

𝑅2 pada vektor-vektor basis memberikan: 𝑇 𝐯𝟏 = 1,0 ; 𝑇 𝐯𝟐 = 2,−1 ; 𝑇 𝐯𝟑 = (4,3)

a) Temukanlah formula untuk T

b) Tentukan 𝑇(2, −3,5)

Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 10

Definisi. Diberikan transformasi linier 𝑇: 𝑉 → 𝑊.

• Dimensi dari ker(𝑇) disebut nulitas T,

• Dimensi jangkauan dari T disebut rank T.

Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 11

Teorema. Jika 𝑇: 𝑉 → 𝑊 adalah transformasi linier dan V berdimensi n, maka: rank T + nulitas T = n.

Teorema. Jika A matriks 𝑚 × 𝑛, maka dimensi ruang pemecahan untuk 𝐴𝐱 = 𝟎 adalah 𝑛 − 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐴).

Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 12

(lihat slide no. 11 materi “06 Solusi SPL”)

𝐴 =

2 2 −1 0 1 −1 −1 2 −3 1 1 1 −2 0 −1 0 0 1 1 1

, ekivalen dengan matriks eselon baris

1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

, sehingga rank(A) = 3

maka dimensi dari ruang pemecahan untuk 𝐴𝐱 = 𝟎 adalah 𝑛 − 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝐴 = 5 − 3 = 2.

Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 13

Transformasi Linier 𝑅𝑛ke 𝑅𝑚

Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 14

• Misalkan A matriks berukuran 𝑚 × 𝑛, dan v vektor di 𝑅𝑚.

• 𝑇 𝐱 = 𝐴𝐱 merupakan transformasi linier yang memetakan vektor di 𝑅𝑛 ke vektor di 𝑅𝑚.

• Transformasi linier 𝑇: 𝑅𝑛 → 𝑅𝑚 disebut juga transformasi matriks.

Bukti: 𝑇 𝐮 + 𝐯 = 𝐴 𝐮 + 𝐯 = 𝐴𝐮 + 𝐴𝐯 = 𝑇 𝐮 + 𝑇(𝐯) 𝑇 𝑘𝐮 = 𝐴 𝑘𝐮 = 𝑘𝐴 𝐮 = 𝑘𝑇(𝐮)

Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 15

Teorema. Jika

• 𝑇: 𝑅𝑛 → 𝑅𝑚 adalah transformasi linier, dan

• 𝑒1, 𝑒2, ⋯ , 𝑒𝑛 adalah basis baku untuk 𝑅 𝑛,

maka 𝑇 𝐯 = 𝐴𝐮, di mana 𝐴 = 𝑇(𝑒1) 𝑇(𝑒2) ⋯ 𝑇(𝑒𝑛)

Matriks A disebut matriks baku untuk T.

Dengan kata lain, setiap transformasi linier dapat dinyatakan sebagai transformasi matriks.

Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 16

Temukanlah matriks baku untuk 𝑇: 𝑅3 → 𝑅4 yang didefinisikan oleh:

𝑇

𝑥1 𝑥2 𝑥3

=

𝑥1 + 𝑥2 𝑥1 − 𝑥2 𝑥3 𝑥1

Jawab:

𝑇 𝑒1 = 𝑇 1 0 0

=

1 1 0 1

, 𝑇 𝑒2 = 𝑇 0 1 0

=

1 −1 0 0

, 𝑇 𝑒3 = 𝑇 0 0 1

=

0 0 1 0

𝐴 = 𝑇 𝑒1 𝑇 𝑒2 𝑇 𝑒3 =

1 1 0 1 −1 0 0 0 1 1 0 0

. Cek: 𝐴

𝑥1 𝑥2 𝑥3

=

1 1 0 1 −1 0 0 0 1 1 0 0

𝑥1 𝑥2 𝑥3

=

𝑥1 + 𝑥2 𝑥1 − 𝑥2 𝑥3 𝑥1Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 17

Transformasi linier bidang

• Transformasi linier bidang adalah 𝑇: 𝑅2 → 𝑅2.

• Transformasi utama pada bidang: 1. Rotasi

2. Refleksi

3. Ekspansi/kompresi

4. Shearing

Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 18

• Refleksi • Ekspansi/kompresi

• Shear

Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 19

Transformasi Fungsi Transformasi Matriks Transformasi

Rotasi terhadap titik pusat

𝑇 𝑥 𝑦 =

𝑥 cos 𝜃 − 𝑦 sin 𝜃 𝑥 sin 𝜃 + 𝑦 cos 𝜃

cos 𝜃 − sin 𝜃 sin 𝜃 cos 𝜃

Refleksi terhadap sumbu Y

𝑇 𝑥 𝑦 =

−𝑥 𝑦

−1 0 0 1

Refleksi terhadap sumbu X

𝑇 𝑥 𝑦 =

𝑥 −𝑦

1 0 0 −1

Refleksi terhadap garis 𝑦 = 𝑥

𝑇 𝑥 𝑦 =

𝑦 𝑥

0 1 1 0

Ekspansi/kompresi arah x dengan faktor k

𝑇 𝑥 𝑦 =

𝑘𝑥 𝑦

𝑘 0 0 1

Ekspansi/kompresi arah y dengan faktor k

𝑇 𝑥 𝑦 =

𝑥 𝑘𝑦

1 0 0 𝑘

Shearing arah x dengan faktor k

𝑇 𝑥 𝑦 =

𝑥 + 𝑘𝑦 𝑦

1 𝑘 0 1

Shearing arah y dengan faktor k

𝑇 𝑥 𝑦 =

𝑥 𝑘𝑥 + 𝑦

1 0 𝑘 1

Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 20

Jika 𝑇: 𝑅2 → 𝑅2 adalah perkalian oleh sebuah matriks elementer, maka efek geometris dari transformasi tersebut adalah salah satu dari yang berikut:

1. Shearing sepanjang sumbu koordinat: 1 0 𝑘 1

, 1 𝑘 0 1

2. Refleksi terhadap 𝑦 = 𝑥: 0 1 1 0

3. Kompresi/ekspansi sepanjang sumbu koordinat: 𝑘 0 0 1

, 1 0 0 𝑘

4. Refleksi terhadap sumbu koordinat: −1 0 0 1

, 1 0 0 −1

5. Kompresi/ekspansi sepanjang sumbu koordinat diikuti oleh refleksi terhadap sumbu koordinat

Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 21

• Jika 𝑇: 𝑅2 → 𝑅2 adalah perkalian dengan sebuah matriks A yang non- singular, maka T memetakan (𝑥, 𝑦) ke 𝑥′, 𝑦′ sebagaimana berikut:

𝑥′ 𝑦′

= 𝐴 𝑥 𝑦

• oleh karena A non-singular, maka: 𝑥 𝑦 = 𝐴

−1 𝑥′ 𝑦′

• transformasi dengan matriks 𝐴 dan 𝐴−1 disebut transformasi- transformasi invers

Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 22

Teorema. Jika 𝑇: 𝑅2 → 𝑅2 adalah perkalian oleh matriks A yang non- singular, maka efek geometrik dari T sama dengan shearing, kompresi, ekspansi, dan refleksi yang dilakukan berdasarkan urutan perkalian matriks-matriks elementer pembentuk A.

Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 23

Contoh: Nyatakanlah 𝐴 = 1 2 3 4

sebagai hasil kali matriks elementer, dan jelaskan

efek geometrik perkalian oleh A.

Jawab:

1 2 3 4

𝑏2−3𝑏1 1 2 0 −2

− 1 2𝑏2 1 2

0 1

𝑏1−2𝑏2 1 0 0 1

𝐸1 = 1 0 −3 1

, 𝐸2 = 1 0 0 −12

, 𝐸3 = 1 −2 0 1

𝐴 = 𝐸1 −1𝐸2

−1𝐸3 −1 =

1 0 3 1

1 0 0 −2

1 2 0 1

Dr. Ahmad Sabri - Universitas Gunadarma 24

Efek geometris:

1. 1 2 0 1

shearing arah x dengan

faktor 2

2. 1 0 0 −2

ekspansi arah y

dengan faktor -2

3. 1 0 3 1

shearing arah y dengan

faktor 2

Sebuah persegi memiliki titik sudut 𝑃1 0,0 , 𝑃2 1,0 , 𝑃3 0,1 , 𝑃4(1,1). Gambarlah urutan efek geometrik dari peta persegi tersebut berdasarkan

transformasi matriks 𝐴 = −1 2 2 −1

.

−1 2 2