# diktat aljabar linier

Post on 05-Nov-2015

268 views

Category:

## Documents

Embed Size (px)

DESCRIPTION

mathematica

TRANSCRIPT

• Diktat Kuliah

Aljabar Linier Halaman dari 85 halaman

1

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI ......................................................................................................... iii

BAB I MATRIKS DAN OPERASINYA ............................................................. 1

1.1 Konsepsi Matriks ........................................................................ 1

1.2 Operasi Aljabar Matriks ................................................................ 3

1.3 Transpose dari Suatu Matriks ...................................................... 5

1.4 Beberapa Jenis Matriks Khusus .................................................. 5

1.5 Transformasi Elementer ............................................................... 8

1.6 Rank Matriks ............................................................................... 10

BAB II DETERMINAN ....................................................................................... 13

2.1 Konsepsi Determinan .................................................................. 13

2.2 Determinan Matriks Ordo (2x20 dan Ordo (3x3) ........................... 15

2.3 Sifat-sifat Determinan ................................................................... 17

2.4 Minor dan Kofaktor ...................................................................... 18

2.5 Ekspansi Kofaktor ........................................................................ 19

2.6 Determinan Matriks Ordo Besar ................................................... 20

BAB III MATRIKS INVERS ................................................................................ 25

3.1 Konsepsi Matriks Invers ............................................................... 25

3.2 Matriks Invers dengan Adjoin ....................................................... 26

3.3 Matriks Invers dengan Metode Penyapuan ................................... 27

BAB IV SISTEM PERSAMAAN LINIER ............................................................. 31

4.1 Konsepsi Sistem Persamaan Linier ............................................. 31

4.2 Penyelesaian Sistem Persamaan Linier ...................................... 33

4.2.1 Eliminasi Gauss-Jordan .................................................... 33

4.2.2 Kaidah Cramer ................................................................. 36

4.3 Sistem Persamaan Linier Homogen ............................................ 38

BAB V VEKTOR ............................................................................................... 41

5.1 Vektor Secara Ilmu Ukur .............................................................. 41

• Diktat Kuliah

Halaman dari 85 halaman Aljabar Linier

2

5.2 Operasi-operasi pada Vektor ...................................................... 42

5.2.1 Penjumlahan dan Pengurangan Vektor ............................ 42

5.2.2 Perkalian Vektor dengan Skalar ...................................... 43

5.3 Vektor pada Ruang Dimensi n (Rn) ............................................. 43

5.3.1 Vektor pada Ruang Dimensi Satu (R1) ............................. 43

5.3.2 Vektor pada Ruang Dimensi Dua (R2) ............................... 44

5.3.3 Vektor pada Ruang Dimensi Tiga (R3) ............................. 45

5.3.4 Vektor pada Ruang Dimensi n (Rn) ................................... 46

5.4 Perkalian Titik dan Proyeksi Ortogonal ........................................ 47

5.5 Perkalian Silang .......................................................................... 51

5.6 Kebebesan Linier ......................................................................... 54

5.7 Ruang Vektor dan Kombinasi Linier ............................................. 55

5.8 Basis dan Dimensi Ruang Vektor ................................................. 57

5.8.1 Dimensi Ruang Vektor ...................................................... 57

5.8.2 Basis Ruang Vektor .......................................................... 58

5.9 Persamaan Garis dan Persamaan Bidang ................................... 59

5.9.1 Persamaan Garis ............................................................. 59

5.9.2 Persamaan Bidang Rata ................................................... 60

BAB VI TRANSFORMASI LINIER ..................................................................... 65

6.1 Konsepsi Transformasi Linier ....................................................... 65

6.2 Kernel dan Jangkauan ................................................................ 67

6.3 Transformasi Linier dari Rn ke Rm ................................................ 68

6.4 Transformasi Linier Bidang ........................................................... 70

6.4.1 Rotasi ............................................................................... 72

6.4.2 Refleksi ............................................................................ 73

6.4.3 Ekspansi dan Kompresi ..................................................... 74

6.4.4 Geseran ........................................................................... 75

BAB VII NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN .................................................... 79

7.1 Konsepsi Eigen ............................................................................ 79

7.2 Nilai Eigen dan Vektor Eigen ...................................................... 80

• Diktat Kuliah

Aljabar Linier Halaman dari 85 halaman

3

BAB I

Matriks dan Operasinya

1.1 KONSEPSI MATRIKS

Definisi secara umum :

Matriks adalah suatu himpunan bilangan yang berbentuk persegi panjang, atau

Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau bilangan kompleks) yang

disusun secara empat persegi panjang menurut baris dan kolom atau

kolom, sehingga berbentuk empat persegi panjang, dimana panjangnya dan lebarnya

ditunjukkan oleh banyaknya kolom-kolom dan baris-baris.

Notasi matriks biasanya menggunakan huruf besar A, B, C ......

Definisi secara khusus :

Misalkan A adalah suatu matriks yang terdiri dari m buah baris dan n buah

kolom, maka matriks A mempunyai ordo/dimensi/ukuran (mxn) dan aij merupakan

elemen-elemen/unsur-unsur pada baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A maka secara

lengkap sebuah matriks dapat ditulis dengan A = [aij]

dimana a = elemen matriks

i = nomor baris = 1,2,3, ... , m

j = nomor kolom = 1,2,3, ... , n

Suatu matriks biasanya ditulis dengan : A = atau A = ( ) atau A = || ||

Sehingga elemen-elemen suatu matriks secara rinci dapat ditulis :

A =

mn1m1m

n22221

n11211

aaa

aaaaaa

• Diktat Kuliah

Halaman dari 85 halaman Aljabar Linier

4

Elemen a11, a22 , a33 , ... , ann disebut sebagai elemen-elemen yang terletak pada

diagonal utama dari matriks A (yaitu elemen-elemen matriks dimana nomor baris

dengan nomor kolomnya sama).

Contoh :

A =

628975234101

adalah suatu matriks A yang berordo (3x4) karena

jumlah barisnya (m= 3) dan jumlah kolomnya (n=4).

Sedangkan elemen-elemen dari matriks tersebut adalah a11 = 1,

a12 = 0, a13 = -1, a14 = 4, a21 = 3, a22 = 2, a23 = 5, a24 = 7, a31 = 9, a32 = 8, a33 = -2, dan

a34 = 6.

Dua matriks (matriks A = [aij] dan matriks B = [bij] ) dikatakan sama (A = B) jika

kedua matriks tersebut mempunyai ukuran (dimensi/ordo) yang sama (mxn) dan

elemen-elemen yang bersangkutan (satu letak) di dalam kedua matriks tersebut sama

(aij = bij) untuk setiap i = 1,2,,m dan j = 1,2,,n.

Contoh :

A =

2412

, B =

2412

, C =

42

, D =

21

Disini A = B, karena matriks A dan matriks B mempunyai ordo yang sama yaitu (2x2)

dan semua elemen-elemennya juga sama, sedangkan matriks A C dan matriks B C

karena ordonya tidak sama dan matriks C D karena elemen-elemennya tidak sama.

• Diktat Kuliah

Aljabar Linier Halaman dari 85 halaman

5

1.2 OPERASI ALJABAR MATRIKS

a. Penjumlahan dan pengurangan matriks

Syaratnya adalah matriks yang akan dijumlahkan/dikurangkan harus mempunyai ordo

yang sama.

Misalkan A = [ aij ] , B = [ bij ] , C = [ cij ]

maka A B = C

[ aij ] [ bij ] = [ cij ]

Sehingga : [ aij bij ] = [ cij ]

(Matriks C merupakan hasil penjumlahan/pengurangan dari matriks A dan B yang satu

posisi/satu letak).

Contoh :

A =

654321

, B =

241320

maka : A + B =

654321

+

241320

=

264514332201

=

895641

b. Perkalian skalar dengan matriks

Kalau adalah skalar dan A = [ aij ], maka A = [ aij ] = [aij ] dengan kata lain bahwa

semua elemen matriks A dikalikan dengan skalar .

Contoh :

A =

204321

maka 2A = 2

654321

=

6.25.24.23.22.21.2

=

12108642

c. Perkalian Matriks dengan matriks