kelas12 matematika program linier

Download Kelas12 Matematika Program Linier

Post on 10-Oct-2015

102 views

Category:

Documents

9 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

....

TRANSCRIPT

  • Program Linier 1

    PROGRAM LINIER

    Kompetensi Dasar:

    Menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dua variabel

    Merancang model matematika dari masalah program linear

    Menyelesaikan model matematika dari masalah program linear dan

    menafsirkan solusinya

    Indikator:

    Mengenal arti sistem pertidaksamaan linear dua variable

    Menentukan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel

    Mengenal masalah yang merupakan program linear

    Menentukan fungsi objektif dan kendala dari program linear

    Menggambar daerah fisibel dari program linear

    Merumuskan model matematika dari masalah program linear

    Menentukan nilai optimum dari fungsi objektif

    Menafsirkan solusi dari masalah program linear

  • Program Linier 2

    PROGRAM LINIER

    A. Pertidaksamaan dan Sistem Pertidaksamaan Linier Dua Peubah

    1. Pertidaksamaan Linier Dua Peubah

    Suatu pertidaksamaan linier dua peubah dapat dinyatakan sebagai :

    ax by c

    ax by c

    ax by c

    ax by c

    dengan , , , ,a b c x y suatu bilangan Real( ).

    Pertidaksamaan linier dua peubah memiliki penyelesaian yang berada di dalam

    himpunan penyelesaian. Himpunan penyelesaian ini berupa titik-titik yang terletak

    di bidang kartesian yang apabila diambil dan dimasukkan ke dalam

    pertidaksamaan akan memenuhi persyaratan yang diinginkan.

    Ada 3 langkah untuk menentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

    linier dua peubah :

    1. Pada bidang kartesian kita menggambar garis yang merupakan persamaan

    ax by c

    2. Pada bidang kartesian, kita ambil sebuah titik 1 1,P x y yang berada di luar

    garis ax by c dan disubsitusikan ke dalam pertidaksamaan untuk menguji

    apakah titik 1 1,P x y terletak pada daerah himpunan penyelesaian atau tidak.

    Jika 1 1ax by c maka 1 1,P x y adalah penyelesaian pertidaksamaan

    ax by c . Jika 1 1ax by c maka 1 1,P x y adalah penyelesaian

    pertidaksamaan ax by c

    3. Memberikan arsiran pada bidang kartesian dimana daerah yang diarsir

    melambangkan daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linier dua

    peubah.

  • Program Linier 3

    Contoh 1 :

    Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari 4 5 20x y !

    Jawab :

    Langkah 1 : Pada bidang kartesian, kita menggambar garis 4 5 20x y . Di

    bidang kartesian, garis 4 5 20x y memotong sumbu X di (5,0) dan memotong

    sumbu Y di (0,4).

    X 0 5

    Y 4 0

    Langkah 2 : Kita ambil sebuah titik, misalkan kita ambil titik 1,1P yang berada

    di luar garis 4 5 20x y .

    1,1P 4.1+5.1 = 9 20.

    Titik 1,1P memenuhi pertidaksamaan 4 5 20x y , sehingga 1,1P terletak

    di daerah himpunan penyelesaian.

    Langkah 3 : Memberikan arsiran pada bidang kartesian yang menunjukkan daerah

    himpunan penyelesaian pertidaksamaan linier dua peubah 4 5 20x y . Daerah

    himpunan penyelesaian ditunjukkan oleh gambar dibawah :

    2. Sistem Pertidaksamaan Linier Dua Peubah.

    Sistem pertidaksamaan linier dua peubah adalah suatu permasalahan matematis

    dimana terdapat lebih dari satu (1) pertidaksamaan linier dua peubah dengan

    X

    Y

    (5,0)

    (0,4)

    P(1,1)

  • Program Linier 4

    daerah himpunan penyelesaian merupakan gabungan dari masing-masing

    pertidaksamaan linier 2 peubah.

    Contoh 2 :

    Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier yang

    dinyatakan dengan 5x y , 2 8x y , 0x , 0y dengan ,x y .

    Jawab :

    Langkah 1 :

    Pada bidang kartesian, gambar garis 5x y , 2 8x y , 0x , 0y . Garis

    0x diwakili sumbu tegak Y dan garis 0y diwakili sumbu mendatar X.

    Langkah 2 :

    Ambil satu titik di luar garis, misalkan kita mabil titik 2,1P . Jika titik 2,1P

    memenuhi pertidaksamaan 5x y , 2 8x y , 0x , 0y , maka titik

    2,1P merupakan salah satu anggota himpunan penyelesaian.

    2,1P

    2 1 3 5

    2.2 1 5 8

    2 0

    1 0

    Karena titik 2,1P memenuhi semua pertidaksamaan linier dua peubah, maka

    titik 2,1P merupakan salah satu anggota himpunan penyelesaian.

    Langkah 3 :

    Memberikan arsiran pada bidang kartesian yang menunjukkan himpunan

    penyelesaian sistem pertidaksamaan linier dua peubah yaitu daerah dimana titik

    2,1P berada.. Daerah himpunan penyelesaian ditunjukkan gambar dibawah :

  • Program Linier 5

    3. Latihan 1 :

    1. Tentukan gambar himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linier 2 peubah :

    a. 1 24 2 8x x

    b. 1 2 6x x

    c. 1 22 18x x

    2. Tentukan pertidaksamaan linier 2 peubah yang membentuk daerah yang diarsir

    berikut ini :

    a.

    .

    b.

    X

    Y

    4 5

    5

    8

    (3,2)

    P(2,1)

    5

    3

    X

    Y

  • Program Linier 6

    c.

    3. Gambarlah daerah pada bidang kartesian yang ditetntukan oleh sistem

    pertidaksamaan :

    a.

    1 2

    1 2

    1 2

    4 2 8

    2 4 8

    0, 0

    x x

    x x

    x x

    b. 1 2

    1 2

    8

    2 2

    x x

    x x c.

    3 2 36

    3 4 12

    0, 8

    x y

    x y

    x y

    2

    -3

    X

    Y

    c

    b

    c

    a

    X

    Y

  • Program Linier 7

    4. Tentukan sistem pertidaksamaan linier 2 peubah yang membentuk daerah

    arsiran :

    a.

    b.

    B. Model Matematika, Program Linier dan Nilai Optimal Program Linier

    1. Model Matematika

    Model matematika adalah suatu penulisan permasalahan sehari-hari dalam bentuk

    matematika, yaitu dengan menggunakan variabel-variabel dalam persamaan-

    persamaan atau pertidaksamaan-pertidaksamaan.

    Cara mudah untuk menentukan model matematika adalah dengan

    membuat tabel untuk menuliskan permasalahan tersebut. Model matematika ini

    nantinya akan disebut kendala sistem pertidaksamaan linier.

    3

    5

    4

    Y

    X

    2

    6 5

    3

    -2

    Y

    X

  • Program Linier 8

    Contoh 3 :

    Sebuah pesawat terbang mempunyai 48 tempat duduk yang terbagi ke dalam kelas

    eksekutif dan kelas ekonomi.Setiap penumpang kelas eksekutif diperbolehkan

    membawa barang 60 kg dan penumpang kelas ekonomi 20 kg. Tempat bagasi

    pesawat maksimal dapat membawa 1440 kg barang. Bila banyak penumpang

    kelas eksekutif adalah x orang dan kelas ekonomi adalah y orang. Tentukan

    model matematikanya !

    Jawab :

    Dibuat tabel dari permasalahan

    Kelas Eksekutif Kelas Ekonomi

    Penumpang x y

    Bagasi 60x 20y

    Nilai x dan y tidak mungkin negatif, maka 0x , 0y . Jumlah penumpang

    maksimal 48 jadi jumlah penumpang eksekutif dan kelas ekonomi maksimal 48

    atau 48x y . Jumlah total barang yang dapat dimuat bagasi dapat dinyatakan

    dengan 60 20 1440x y . Jadi model matematika dari permasalahan diatas dapat

    dinyatakan dengan :

    48

    60 20 1440

    0, 0.

    x y

    x y

    x y

    2. Program Linier

    Program linier adalah metode untuk menyelesaikan permasalahan yang

    menggunakan sistem persamaan atau pertidaksamaan linier. Program linier dapat

    dinyatakan sebagai model matematika yang memiliki tujuan yang hendak dicapai.

    Tujuan yang hendak dicapai ini disebut dengan fungsi objektif atau fungsi tujuan.

    Dapat ditarik kesimpulan bahwa program linier terdiri dari dua (2) bagian :

  • Program Linier 9

    1) Sistem pertidaksamaan linier dua peubah, merupakan kendala yang harus

    dipenuhi peubah x dan y .

    2) Fungsi tujuan yang merupakan nilai yang akan dioptimalkan.

    Contoh 4 :

    Dari contoh 3, jika harga tiket dari kelas eksekutif adalah Rp. 200.000,00 dan

    harga tiket kelas ekonomi Rp.100.000,00 maka buatlah model matematika dari

    program linier !

    Jawab :

    Jika penumpang kelas eksekutif adalah x orang dan kelas ekonomi adalah y

    orang, maka uang hasil penjualan tiket dapat dinyatakan dengan

    200000 100000x y . Fungsi ini adalah fungsi tujuan dari model matematika

    program linier.

    Jadi model matematika dari program linier contoh 3 dapat dinyatakan sebagai :

    48

    60 20 1440

    0, 0.

    x y

    x y

    x y

    dengan fungsi tujuan : , 200000 100000f x y x y .

    3. Nilai Optimal Program Linier

    Nilai optimal adalah nilai yang didapat dengan mengganti peubah x dan y yang

    akan mengakibatkan fungsi tujuan ,f x y menjadi nilai maksimal atau nilai

    minimal. Ada 2 metode untuk menentukan nilai optimal fungsi tujuan :

    a. Metode uji titik pojok

    b. Metode garis selidik

  • Program Linier 10

    a. Menentukan nilai optimal fungsi tujuan dengan metode uji titik pojok

    Untuk menentukan nilai optimal fungsi tujuan dengan menggunakan

    metode uji titik pojok terdiri dari beberapa langkah :

    1) Menentukan model matematika

    2) Menentukan daerah himpunan penyelesaian model matematika yang berupa

    daerah yang diarsir.

    3) Menentukan nilai pasangan atau nilai koordinat kartesian ,x y pada titik

    pojok atau titik sudut daerah himpunan penyelesaian.

    4) Mensubsitusikan masing-masing nilai pasangan ,x y pada fungsi tujuan.

    5) Nilai optimal fungsi tujuan adalah nilai terbesar jika permasalahan adalah

    maksimalisasi dan nilai optimal fungsi tujuan adalah nilai terkecil jika

    permasalahan adalah minimalisasi.

    Contoh 5 :

    Dari contoh 4, berapakah uang maksimal yang diperoleh dari hasil penjualan