Kelompok 10Tyas Haryadi(09650169)Villa Nanda Sahara(09650172)Asasun Najakh(09650179)

Transformasi Linier

Definisi : Transformasi Transformasi (pemetaan atau fungsi) T dari Rn(domain) ke Rm (codomain) dituliskan : T : Rnw = T(v)v : variabel tak bebasw : variabel bebasSebagai suatu fungsi f : RMisalkan :

Menunjukkan transformasi v ke w dari matrik A

vektorRm R, contoh : f(x) = x2

Secara umum persamaan matrik transformasi :Transformasi matrik A oleh vektorvektor

Dituliskan sebagai berikut :TA : R2

dalam R2 menjadidalam R3.R3

Dengan kata lain : range(jarak) TA merupakan ruang kolom dari matrik A

Definisi : Transformasi LinierTransformasi T : RnJika :T(u + v) = T(u) + T(v) untuk semua u dan v dalam Rn T(cv) = cT(v) untuk semua v dalam Rn dan skalar cContoh :T : RnBuktikan bahwa T adalah transformasi linier.

Rm disebut transformasi linierRm dinyatakan dengan

Jawab :

Syarat 1 : T(u + v) = T(u) + T(v)

Syarat 2 : T(cv) = cT(v)

Karena 2 syarat terpenuhi, maka T terbukti merupakan transformasi linier

Diketahui dengan Apakah T merupakan transformasi Liniear?

Jawab:MisalkanSyarat 1maka:

Definisi transformasi linier juga dapat ditentukan dengan mengkombinasikan kedua syarat yaitu :Transformasi T : Rn jika : T(c1v1 + c2v2) = c1T(v1) + c2T(v2) untuk semua v1, v2 dalam Rn dan skalar c1, c2 Matrik transformasi (TA) adalah transformasi linier. Bukti :

sehingga : T = TA dengan A =

Rm disebut transformasi linier

Transformasi TA: Rn linier jika : TA(x) = Ax untuk x dalam Rn dan A adalah matrik m x n Bukti : misalkan u dan v adalah vektor dalam Rn dan c : skalar,kemudian : TA(u + v) = A(u + v)= Au + Av = TA(u)+TA(v) dan TA(cv) = A(cv) = c(Av) = cTA(v) Dengan demikian : TA merupakan transformasi linier. Rm disebut transformasi

Misalkan T: Rn Kemudian T adalah matrik transformasi, khususnya T = TA dengan A adalah matrik m x n Maka :

disebut sebagai matrik standar dari transformasi linier T Bukti : x adalah vektor dalam Rn dapat dituliskan: x = x1e1 + x2e2 + .+ xnen Jadi T(x) = T(x1e1 + x2e2 + .+ xnen) = x1T(e1 )+x2T(e2 )+ ..+xnT(en )

Rm merupakan transformasi linier.

Contoh :

Jadi, matriks standar untuk

Dengan

Sifat-sifat transformasi linier :Jika T : VT(0) = 0T( v) = T(v) untuk semua v dalam VT(u v) = T(u) T(v) untuk semua u dan v dalam VContoh :Anggap T adalah transformasi linier dari R2 ke P2 seperti

Carilah :

W adalah transformasi linier, maka :

Jawab :Karena : setiap vektor dalam R2 berada dalam jangkauan (B) Maka :

Diperoleh nilai c1= 7 dan c2= 3, sehingga :

adalah basis dari R2 , sehingga

Dengan cara yang sama diperoleh bahwa :

Maka :

Komposisi dari suatu transformasiKomposisi dari dua transformasi T: Rm diikuti S: Rn

Jika : T: Rm kemudian S T: Rm maka matrik standarnya adalah :

Rn yangRp dituliskan : STRn dan S: RnRp transformasi linier,Rp adalah transformasi linier,

Contoh :Transformasi linier T: R2

Transformasi linier S: R3

Cari : S T : R2

R3 didefinisikan sebagai :R4 didefinisikan sebagai :

R4

Jawab :Matrik standar :

dan

Cara lain :

Dengan mensubstitusikan ke S, maka diperoleh :

Anggap : T : R2 S : P1yang ditunjukkan oleh :

Carilah :

Jawab :

transformasi linierP1P2

Invers dari Transformasi LinierDefinisi :Transformasi linier T: V transformasi linier T: WMaka : T disebut invers dari TContoh : Tunjukkan bahwa pemetaan T : R2dinyatakan sebagai :

merupakan invers !

W memiliki invers jika adaP1 dan T: P1R2 yang

Jawab :

Dan : c +(c+(d c))x= c + dxJadi : Oleh karena itu : T dan T merupakan invers

Kernel dan range transformasi linierDefinisi :Jika T : VKernel T yang ditulis ker(T) adalah himpunan semua vektor dalam V yang merupakan pemetaan hasil T ke 0 dalam W.

Range T yang ditulis range(T) adalah himpunan semua vektor dalam W yang merupakan bayangan vektor V hasil T W adalah transformasi linier

Jika T : VMaka :Kernel T merupakan subruang V dan dimensi kernel dikenal sebagai nulity : nullity (T)Range T merupakan subruang W dan dimensi range dikenal sebagai rank : rank (T)

W adalah transformasi linier

Transformasi satu - satuT : VT merupakan pemetaan vektor dalam V ke vektor dalam W

T : satu - satu Untuk semua u dan v dalam V u v T(u) T(v) T(u) = T(v) u = v W adalah transformasi linier satu - satu jikaT : bukan satu - satu

Transformasi Onto :T : Vw dalam W jika minimal terdapat 1 v dalam V sehingga :

W adalah transformasi linier onto untuk semuaT : onto T : bukan onto

Misalkan dim V = dim W = n dan transformasi linier T: V onto.Bukti : Jika T adalah satu satu, maka nulity (T) = 0Teorema rank : rank (T) = dim V nulity(T) = n 0 = nOleh karena itu T adalah onto.Sebaliknya, jika T adalah onto, maka rank(T)= dim W = nTeorema rank : nulity (T) = dim V rank (T) = n n = 0Sehingga ker (T) = {0} dan T adalah satu -satu

W adalah satu satu, jika dan hanya jika :

Contoh : Transformasi T : R2 merupakan transformasi satu-satu atau onto ?

Jawab : Misalkan :

Sehingga diperoleh : x1 = x2 dan y1 = y2Jadi :

R3dinyatakan dengan :,maka :maka T adalah satu-satu

T bukan onto, karena range tidak semua dari R3 menjadi nyata. Terdapat besaran bukan vektor dalam R2 seperti :

Contoh : Tunjukkan bahwa T : R2 sebagai : adalah transformasi linier satu - satu

P1 dinyatakan

Jawab : JikaSehingga diperoleh :Akibatnya : ker (T) =Dengan menggunakan teorema rank : Rank(T) = dim R2 nulity(T) = 2 0 = 2Oleh karena range (T) dimensi 2 dalam sub-ruang R2Maka T adalah onto

adalah ker (T), maka : dan T adalah satu - satu

Kesamaan bentuk (isomorph) ruang vektorDefinisi : Transformasi linier T : Vsatu satu dan onto. Jika V dan W merupakan ruang vektor yang memiliki kesamaan bentuk disebut V isomorph W dan dituliskan : VSifat-sifat isomorph : 1. Jika T merupakan isomorph, maka demikian juga T-12. T merupakan isomorph jika dan hanya jika ker(T) = {0} dan range (T) = W3. Jika v1, v2 ..vk adalah basis dalam V, maka T(v1), T(v2)..T(vk) adalah basis dalam W4. Jika V dan W adalah ruang vektor berdimensi terbatas, maka V isomorph W jika dan hanya jika dim(V) = dim (W).

W dikatakan isomorph, jikaW

Latihan :Tunjukkan apakah T : R3 dalam :

merupakan transformasi linier !2. Tunjukkan apakah T : R3 dalam :

merupakan transformasi linier !

P2 yang dinyatakanM2x2 yang dinyatakan

Jenis jenis Transformasi Linier bidang1.Rotasi (Perputaran)Matrik baku untuk T adalah : 2.RefleksiRefleksi terhadap sebuah garis l adalah transformasi yang memetakan masing masing titik pada bidang ke dalam bayangan cerminnya terhadap l

3.Ekspansi dan kompresi Jika koordinat x dari masing masing titik pada bidang dikalikan dengan konstanta k yang positif dimana k > 1, maka efeknya adalah memperluas gambar bidang dalam arah x. Jika 0 < k < 1 maka efeknya adalah mengkompresi gambar bidang dalam arah x. Disebut dengan ekspansi (kompresi) dalam arah x dengan faktor k

4.GeseranSebuah geseran dalam arah x dengan faktor k adalah transformasi yang menggerakkan masing masing titik (x,y) sejajar dengansumbu x sebanyak ky menuju kedudukan yang baru (x + ky, y)Matrik baku untuk transformasi ini adalah :

TerimakasihBy: Kelompok 10