TRANSFORMASI LINEAR

Pengertian transformasi linear

Diberikan dua ruang Euclid dan .

Fungsi disebut transformasi linear jika

untuk setiap vektor dan untuk setiap bilangan

real berlaku:

Contoh 1:

Akan dibuktikan fungsi dengan definsi

merupakan transformasi linear.

Untuk sebarang

dan berlaku

Juga berlaku pernyataan berikut :

Jadi terbukti merupakan transformasi linear.

Matriks yang Membangkitkan Transformasi Linear

Diberikan matriks berukuran . Dengan matriks ini

didefinisikan transformasi linear sebagai

berikut :

untuk setiap .

Perhatikan bahwa dengan menggunakan sifat perkalian

matriks, sifat-sifat berikut terpenuhi:

1.

2.

Matriks Representasi Transformasi Linear

Diberikan transformasi linear .

Perhatikan vektor-vektor satuan berikut

Dibentuk matriks yang kolom-kolomnya dibentuk dari

bayangan vektor-vektor satuan tersebut oleh

Dipihak lain, setiap vektor di dapat dinyatakan

sebagai kombinasi linear vektor-vektor satuan

Sehingga

Kesimpulan : .

Matriks tersebut dinamakan matriks representasi

transformasi linear .

Contoh 2:

Akan dicari matriks representasi untuk transformasi linear

dengan definsi

sebagai berikut :

Sebagai contoh, misalnya

Kernel dan Bayangan Suatu Transformasi Linear

Diberikan , suatu transformasi linear.

Didefinisikan himpunan-himpunan berikut :

yang selanjutnya disebut sebagai kernel dan

yang selanjutnya disebut sebagai bayangan

Contoh 2 :

Dari Contoh 1 akan dicari kernel transformasi Misalnya

adalah anggota kernel , maka

sehingga diperoleh

Jadi

adalah satu-satunya elemen di dalam kernel

.

Contoh 3 :

Dari Contoh 1 akan dicari bayangan transformasi

Misalnya adalah anggota bayangan , maka

terdapat sehingga

Terbentuk sistem persamaan linear berikut

Sebagai contoh, vektor berikut merupakan anggota

bayangan

karena dapat ditemukan vektor

yang memenuhi

Ruang Baris dan Ruang Kolom Matriks

Diberikan matriks berikut

Ruang Kolom Matriks atau adalah

dengan adalah kolom-kolom matriks .

Ruang Baris Matriks atau adalah

dengan adalah baris-baris matriks .

Contoh 4 :

Diberikan matriks berikut

Ruang Kolom Matriks atau adalah

Dengan salah satu contoh vektor di dalamnya adalah

Ruang Baris Matriks atau adalah

Dengan salah satu contoh vektor di dalamnya adalah