model linear

Model Linear dan

Aljabar MatriksCreated By:

Taufiq A. Rizqi

Matriks dan Vektor• Model pasar dua barang setelah

menghilangkan dua variabel jumlah sebagai sistem dari dua persamaan linear, seperti

• Di mana parameter dan berada disebelah kanan tanda sama dengan, dapat juga disusun dalam bentuk seperti:

Matriks sebagai Susunan (Array)

• Bila kita susun ketiga himpunan diatas dalam bentuk sebagai berikut:

Vektor sebagai Matriks Khusus• Jumlah baris dan kolom suatu matriks

secara bersama-sama membentuk suatu dimensi dalam matriks. Jika matriks berisi m kolom dan n baris maka dikatakan mempunyai dimensi m x n. Suatu matriks mungkin hanya berisi satu kolom, maka matriks tersebut disebut vector kolom. Apabila hanya berisi satu baris maka disebut vector baris. Vektor baris menggunakan simbol:

Operasi dengan Matriks

• Penjumlahan dan pengurangan matriks• Secara umum :

[ aij ] + [ bij ] = [ cij ] dimana cij = aij + bij

[ aij ] - [ bij ] = [ dij ] dimana dij = aij – bij

• Perkalian SkalarMengalikan matriks dengan bilangan dalam istilah aljabar matriks, dengan suatu skalar diartikan sebagai mengalikan setiap elemen matriks dengan skalar yang diberikan.

• Perkalian Matriks

Secara umum bila matriks A memiliki dimensi m x n dan matriks B memiliki dimensi p x q maka hasil perkalian matriks AB dapat ditentukan jika dan hanya jika n = p. Selain itu AB memiliki dimensi m x q dengan baris seperti dalam matriks lead A.

Jika diketahui :

Hitunglah AB maka :

• Permasalahan dalam Membagi

Suatu matriks tidak mungkin dibagi dengan matriks lainnya. Untuk dua bilangan a dan b jika a/b dapat ditulis dengan , dimana b-1 merupakan invers dari b namun keduanya memiliki hasil yang berbeda.

• Penyimpangan Cara Penulisan

Penjumlahan yang ditulis secara singkat dapat menggunakan huruf Yunani Σ(sigma)

Yang dibaca jumlah x jika j berkisar dari 1 sampai dengan 3.

Catatan mengenai Operasi Vektor• Perkalian Vektor

Suatu vector kolom u dengan dimensi m x 1 dan vector baris v’ dengan dimensi 1 x n, akan menghasilkan hasil kali uv’ dengan dimensi m x n.

Dan

dapat diperoleh:

Ketidakbebasan Linear

• Suatu himpunan vektor v1, . . . , v2 dikatakan tidak bebas secara linear jika salah satu diantaranya dapat dinyatakan sebagai kombinasilinear dari vektor sisanya.

Ruang Vektor

• Keseluruhan vector-vektor yang dihasilkan oleh berbagai kombinasi linear dari 2 vektor bebas u dan v merupakan ruang vector yang berdimansi dua. Kedua pasang vector yang bebas secara linear u dan v dikatakan merentang ruang-ruang dimensi.

Hukum Komutatif, Asosiatif, dan Distributif

• Penjumlahan Matriks– Hukum Komutatif

– Hukum Asosiatif

• Perkalian Matriks– Hukum Komutatif : Perkalian matriks tidak berlaku

komutatif, karena AB belum tentu sama dengan BA.• AB ≠ BA

– Hukum Asosiatif

Contoh :

Maka

– Hukum Distributif

A(B+C) = AB + AC [ yang mengalikan A]

(B+C)A = BA + CA [ yang dikalikan A]

Dalam setiap kasus juga harus memenuhi syarat perkalian matriks.

Matriks Identitas dan Matriks Nol

• Matriks Identitas

matriks identitas seperti yang di definisikan ketika awal sebagai matriks kuadrat dengan 1 pada diagonal utamanya dan 0 pada posisi lainya. Matriks ini dinyatakan simbol I atau In. Jadi

• Matriks Nol

Sama juga seperti matriks identitas yang berperan sebagai 1 di matriks, maka matriks nol berperan sebagai angka nol. Matriks nol adalah matriks yang seluruh elemennya adalah nol.

• Keistimewaan Aljabar Matriks• Keistimewaan ini membuat kita tidak

terlalu yakin pada aljabar skalar. Misal, dalam aljabar cd = ce, maka secara tersirat d = e tapi dalam matriks tidak demikian.

• C =

dapat kita peroleh

Matriks sperti diatas disebut matriks singular.

Transpos dan Invers• Sifat-sifat Transpose

1. (A’)’ = A

2. (A + B) = A’ + B’

3. (AB)’ = B’A”

• Sifat-sifat Invers1. Invers matriks A yang ditunjukan dengan

simbol A-1 hanya dapat ditentukan bila A adalah matriks bujursangkar AA-1 = A-1A = I

2. Tidak semua matriks bujursangkar memiliki invers.

3. merupakan invers satu sama lain.

4. Bila A merupakan n x n, maka juga harus n x n.

5. Bila suatu matriks mempunyai invers, maka matriks tersebut bersifat unik.

Rantai Markov Terbatas• Proses markov digunakan untuk

mengukur atau mengestimasi pergerakan yang terjadi setiap saat. Proses ini melibatkan penggunaan matriks transisi markov, dimana setiap nilai dalam matriks transisi adalah probabilitas pergerakan dari satu keadaan ( lokasi, pekerjaan, dan sebagainya ) ke keadaan lainnya. Dengan mengulang perkalian vector dengan matriks transisi, kita dapat mengestimasi perubahan keadaan setiap saat.

Model Linear dan

Aljabar Matriks(Lanjutan)

Created By:Taufiq A. Rizqi

Syarat-syarat untuk Nonsingular Matriks

• Syarat Cukup vs Syarat Perlu

• Syarat untuk Nonsingularitas

• Syarat Cukup vs Syarat Perlu

Syarat perlu adalah bentuk prasayarat; Misalkan bahwa pernyataan p benar hanya jika pernyataan q benar; jadi q merupakan syarat perlu oleh p. Pernyataan ini ditulis dalam symbol sebagai berikut : p → q (dibaca : “p hanya jika q”)

Namun, p dapat dikatakan benar meskipun q tidak benar. Dalam hal ini, q dikatakan sebagai syarat cukup untuk terjadinya p. kebenaran q mencukupi untuk pembentukan kebenaran p , tetapi bukan merupakan kondisi atau syarat yang diperlukan p. Hal ini dinyatakan dengan symbol : p ← q (dibaca : “p jika q” atau dapat juga dibaca “Jika q, maka p”)

Tetapi bisa juga q adalah kedua-duanya, baik syarat perlu maupun syarat cukup untuk terjadinya p. dalam keadaan seperti ini dapat kita tulis dalam symbol : p ↔ q (dibaca: “p jika dan hanya jika q”)

• Syarat untuk Nonsingularitas

Bila kondisi kuadrat telah dipenuhi (syarat perlu), syarat cukup untuk terjadinya nonsingular matriks adalah bahwa baris matriks atau kolom matriks tersebut harus bebas secara linear. Jika kedua syarat tersebut, yakni bentuk kuadrat dan bebas secara linear diambil bersama-sama, hal itu merupakan syarat yang diperlukan dan cukup untuk terjadinya non singular (nonsingular ↔ bentuk kuadrat dan bebas secara linier)

• Rank (Peringkat) Matriks

Berikut tiga jenis operasi baris dasar pada sebuah matriks ;1. Pertukaran dari dua baris di dalam matriks

2. Perkalian (atau pembagian) dari sebuah baris dengan skalar apa pun k 0

3. Penambahan dari ‘k dikali dengan baris manapun” kepada baris yang lain

Pengujian Nonsingularitas dengan Menggunakan Determinan

1. Determinan dan Nonsingularitas• Determinan matriks kuadarat A ditulis sebagai |A|,

adalah bilangan skalar/konstan yang didefinisikan secara tunggal berkaitan dengan matriks tersebut. Determinan didefinisikan hanya untuk matriks kuadrat. Rumus : |A|= = ad-bc

• Berdasarkan dimensi matriks A, determinan |A| seperti diatas disebut determinan orde-kedua (second-order determinant).

2. Evaluasi determinan Orde Ketiga• Suatu determinan orde 3 diasosiasikan

dengan matriks 3 x 3. Rumus determinannya :

|A| = = ɑ -b + c

= aei - afh + bfg - bdi + cdh - ceg

3. Menghitung determinan Orde-n dengan Ekspansi Laplace

• Nilai determinan |A| dari orde-n dapat dicari dengan ekspansi Laplace untuk baris atau kolom manapun sebagai berikut :

• |A| = ij|Cij| [ekspansi dengan baris ke-i]

• = ij|Cij| [ekspansi dengan kolom ke-j]

Sifat-sifat Dasar Determinan

• Sifat I

pertukaran baris dengan kolom tidak mempengaruhi nilai determinan. |A| = |A’|

= = ad - bc

• Sifat II

pertukaran dua baris manapun (atau dua kolom manapun) akan mengubah tanda, tetapi nilai bilangan dari determinan-nya tidak berubah

• Pertukaran kedua baris menghasilkan = = cb – ad = -(ad – bc)

• Sifat III

dengan mengalikan satu baris atau satu kolom dengan skalar k akan mengubah nilai determinan sebesar k kali,

contoh :

= kad – kbc = k(ad – bc) = k

• Sifat IV

penambahan (pengurangan) dari suatu kelipatan baris/kolom manapun ke (dari) baris/kolom yang lain akan menyebabkan nilai determinannya tidak berubah.

= a(d + kb) – b(c + ka) =

ad – bc =

• Sifat V

bila suatu baris/kolom adalah kelipatan dari baris/kolom lainnya, maka nilai determinannya menjadi nol. Jika dua baris/kolom sama, maka determinan akan menghilang

= 2ab – 2ab = 0

= cd – cd = 0

Aturan Cramer

• Derivasi aturan Cramer• Menurut Rumus Invers : x* = A-1d = (adj A)d

• Menurut Aturan Cramer :

x*j =

Aljabar Matriks vs Penghapusan Variabel

• Aljabar matriks memberikan kita suatu cara penulisan yang ringkas untuk setiap system persamaan linear, dan juga melengkapi kriteria determinan untuk menguji adanya satu jawaban. Dalam kasus tertentu, metode matriks juga dapat memberikan keunggulan dalam perhitungan, seperti disaat kita diharuskan memecahkan pada waktu yang sama beberapa system persamaan yang mempunyai matriks koofisien A yang identik tetapi vector konstanta yang berbeda. Dalam kasus ini, ,etode penghapusan variable akan mensyaratkan bahwa prosedur perhitungan diulangi setiap kali system persamaan baru dipertimbangkan.

Model Input-Output Leontief

• Matriks Leontief adalah sebagai berikut :

I – A =

1. Susunan Model Input-Output

output

Input I II III … N

2. Model terbuka• Agar permintaan akhir dan input ada, kita harus

memasukkan dalam model suatu sector terbuka diluar jaringan n industry. Sector terbuka seperti itu dapat mengakomodasi aktivitas pelanggan rumah tangga, sector pemerintah, dan bahkan para Negara asing. Secara simbolis fakta ini dapat dinyatakan dengan :

ij < 1 (j = 1, 2 , …, n)

3. Pengertian Ekonomi dari Kondisi Hawkins-Simon

• Kondisi Hawkins-Simon, |B2| > 0, mensyaratkan bahwa : (1 – a11) > 0 atau a11 < 1

• Secara ekonomis, hal ini mensyaratkan jumlah dari komoditas pertama yang digunakan dalam produksi dari komoditas pertama yang bernilai satu dollar menjadi bernilai kurang dari satu dollar. Bagian lain dari kondisi |B2|> 0 mensyaratkan bahwa :

(1 – a11)(1 – a22) – a12a21 > 0 atau secara ekuivalen a11 + a12a21 + (1 – a11)a22 < 1

4. Model tertutup• Dalam model tertutup, tidak ada lagi input

primer, jadi jumlah setiap kolom dalam matriks koofisien input A sekarang harus benar-enar sama dengan 1; yaitu

a0j + aij + a2j + a3j = 1, atau :

A0j = 1 – a1j – a2j – a3j

Keterbatasan Analisis Statis• Pertama adalah karena proses penyesuaian memerlukan waktu

lama untuk penyelesaiannya maka keadaan ekuilibrium seperti yang telah ditentukan dalam kerangka analisis statis tertentu dapat hilang relevansinya, bahkan sebelum keadaan ekuilbrium tercapai, bila kekuatan eksogen dalam model waktu itu mengalami perubahan.

• Kedua, meskipun proses penyesuaian memperkenankan menempuh jalannya sendiri, keadaan ekuilibrium yang digambarkan dalam analisis statis mungkin seluruhnya tak dapat dicapai. Sehingga menyebabkan kasus yang disebut ekuilibirum tak stabil (unstable equilibrium). Masing-masing secara jelas mengisi perbedsaam yang nyata dalam analisis statis sehingga penting sekali untuk menyelidiki ke dalam daerah analisis tersebut.

model linear

Education