Aljabar Linear

By:Siti Khotijah

Pembahasan

• Pengantar Sistem Persamaan Linear- Persamaan Linear- Sistem Linear

• Penyelesaian persamaan linear (umum)

Metode Eliminasi - Metode Substitusi -

Pendahuluan

• Kajian sistem persamaan linear dan penyelesaiannya, merupakan topik utama dalam aljabar linear.

• Pada bab ini akan dibahas mengenai beberapa terminologi dasar dan mendiskusikan metode penyelesaian umum dari persamaan linear tersebut

• Akan dibahas pula mengenai kelemahan dan keunggulan sistem penyelesaian secara umum tersebut

Pengantar Sistem Persamaan Linear

Persamaan Linear

• Sebuah garis dalam bidang xy dapat disajikan secara aljabar dalam bentuk : a1 x + a2 y = b

• Secara umum suatu persamaan linear dalam n peubah adalah :

a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + ……. + an xndengan a1,a2,a3,….,an dan b konstanta real.

• Contoh:x + 3y = 7 x1-2x2-3x3+x4=7x1 + x2 + …. + xn = 1

Penyelesaian persamaan Linear

• Dapat diselesaikan dengan menggunakan model permisalan

• Contoh :4x-2y=1dapat diselesaikan dengan menetapkan sembarang nilai x dan diperoleh nilai y,misal : x = 2 ; y = 7/2

x1 – 4 x2 + 7 x3 = 5dapat diselesaikan dengan menetapkan nilai sembarang untuk 2 peubah terserah, sehingga diperoleh nilai peubah yang lainmisal : x1 = 2 ; x2 = 1 ; x3 = 1

Sistem Linear

Pengertian sistem linear• Himpunan terhingga persamaan linear dalam

peubah x1, x2, x3, … , xn disebut sistem linear. Sederet angka s1, s2, s3, …, sn disebut suatu penyelesaian sistem tersebut.

• Misal sistem linear :4 x1 – x2 + 3 x3 = -13 x1 + x2 + 9 x3 = -4memiliki penyelesaian : x1 = 1 ; x2 = 2 ; x3 = -1karena nilai tersebut memenuhi kedua persamaan linear tersebut

Sebuah persamaan dengan sebuah variabel yang tidak diketahui

Sistem dengan dua persamaan dengan dua variabel yang tidak diketahui

Ada banyak cara yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan tersebut. Berikut adalah satu cara yang umum digunakan (eliminasi):

Langkah 1:

• Langkah 2 :

• Langkah 3 :

• Langkah 4 :setelah penyelesaian didapatkan, selanjutnya dapat dilihat kebenaran dari penyelesaian yang telah didapat dengan mensubstitusikan nilai x1 dan x2 ke dalam persamaan.

Intepretasi Aljabar

• Intepretasi aljabar ekivalen dengan metode substitusi

• Langkah-langkah penyelesaian untuk kasus soal yang sama :

Interpretasi Geometris

• Pada langkah ini, digunakan metode untuk mencari nilai titik potong dari kedua persamaan garis lurus tersebut.

• 3x1+4x2=2Titik potong sb x1 = (2/3 , 0)Titik potong sb x2 = (0, 1/2) • x1+2x2=0Titik potong sb x1 = (0,0)Titik potong sb x2 = (0,0)

Metode cramer

Misal diketahui :• a11 x1 + a12 x2 =b1

• a21x2 + a22 x2=b2 22221

11211

baa

baa

u/ menghitung akar-akar persamaan:D

Dx

D

Dx

22,

11

2221

1211

aa

aaD

222

1211

ab

abD

221

1112

ba

baD

Contoh soal:3x+2y=18-x+2y=2

Sebuah sistem dengan tiga persamaan dengan tiga variabel yang tidak diketahui

• Prosedur yang sama dengan dua peubah juga dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem tiga persamaan linear 3 peubah, yaitu dengan metode eliminasi, substitusi dan geometris.

• Tidak semua sistem persamaan dapat diselesaikan dengan nilai yang benar

• Selesaikan persamaan berikut :

Metode elimminasi

Interpretasi Aljabar

Interpretasi Geometri

Keunggulan dan Kelemahan

• Metode eliminasi, substitusi,cramer dan geometri secara umum adalah metode yang mudah untuk digunakan dalam penyelesaian masalah sistem persamaan linear

• Untuk metode cramer hanya digunakan pada matrik yang memiliki dua nilai peubah.

• Tetapi sistem tersebut memiliki kelemahan, hal ini terjadi apabila ingin dicari penyelesaian dalam sistem persamaan dengan n variabel dengan n persamaan yang tidak diketahui sama sekali nilai peubahnya

Latihan

Hitunglah akar-akar persamaan dibawah ini dengan metode eliminasi, substitusi, geometri

2x +3y +4z =6-3x +3y -6z =12

Latihan 2

• Selesaikan persamaan linear dibawah ini dengan metode eliminasi, substitusi, geometri dan cramer

ax1-bx2=24-2bx1+ax2=35

Gunakan NRP 2 digit terakhir !!!Untuk 0 pertama diganti 7

Untuk 0 kedua diganti 9

Facebook : Citzy Fujiezchy Twitter: @citzyfujiezchy

Skype : Citzy.fujiezchy Instagram : citzyfujiezchy