MODULMATEMATIKA

SYSTEM PERSAMAAN LINEAR

KUSNADI, S.Pdwww.mate-math.blogspot.com

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN PERTIDAKSAMAAN

SATU VARIABEL

Standar Kompetensi :

Memecahkan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan

linear dan pertidaksamaan satu variabel.

Kompetensi Dasar :

Menyelesaikan sistem persamaan linear dan sistem

persamaan campuran linear dan kuadrat dalam dua

variabel.

Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan

dengan sisitem persamaan linear

Menyelesaikan model matematika dari masalah yang

berkaitan dengan sistem persamaan linear dan

penafsirannya.

Menyelesaikan pertidaksamaan satu variabel yang

melibatkan bentuk pecahan aljabar.

Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan

dengan pertidaksamaan satu variabel.

Menyelesaikan model matematika dari masalah yang

berkaitan dengan pertidaksamaan satu variabel dan

penafsirannya.

BAB I. PENDAHULUAN

A. Deskripsi

Dalam modul ini Anda akan mempelajari Sistem persamaan linear-

linear dua variabel, tiga variabel, Sistem persamaan linear-kuadrat,

Sistem persamaan kuadrat-kuadrat, dan merancang model

matematika yang berkaitan dengan sistem persamaan linear,

kuadrat..

B. Prasyarat

Untuk mempelajari modul ini, para siswa diharapkan telah

menguasai dasar-dasar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan

pembagian bilangan real.

C. Petunjuk Penggunaan Modul

Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu Anda lakukan

adalah

sebagai berikut:

1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi

yang mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari

materi berikutnya.

2. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua

soal latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal Anda

menemui kesulitan,

kembalilah mempelajari materi yang terkait.

3. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika Anda menemui

kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah

mempelajari materi yang terkait.

4. Jika Anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat Anda pecahkan,

catatlah,

kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka

atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi

modul ini. Dengan

membaca referensi lain, Anda juga akan mendapatkan

pengetahuan tambahan.

D. Tujuan Akhir

Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:

1. Menentukan sistem persamaan linear-linear dua variabel,

2. Menentukan sistem persamaan linear-linear tiga variabel,

3. Menentukan sistem persamaan linear-kuadrat

4. Menentukan sistem persamaan kuadrat-kuadrat

5. Merancang model matematika yang berkaitan dengan sistem

persamaan linear,kuadrat.

BAB II PEMBELAJARAN

A. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN LINEAR

Bentuk Umum sistem persamaan liniear dan linear

1. Sistem persamaan linear dengan 2 variabel / SPL 2 variabel

x dan y adalah variabel

Cara menyelesaikannya dengan :

a. Metode Eliminasi

b. Metode Substitusi

c. Metode Campuran Eliminasi dan Substitusi

d. Metode Grafik

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut

1. Eliminasi

4y = 8

y = 2

4x = 16

x = 4

2. Substitusi

Dari persamaan (1) y = x – 2 disubstitusikan ke persamaan

(2) diperoleh

3x – 7(x – 2) = -2

3x – 7x + 14 = -2

-4x = -16

x = 4

Untuk x = 4 disubstitusikan ke persamaan (1)

4 – y = 2

y = 4 – 2

= 2

3. Campuran Eliminasi dan Substitusi

4y = 8

y = 2

y = 2 disubstitusikan ke persamaan (1)

x – 2 = 2

x = 4

4. Grafik

3x – 7y = -2

(4,2)

Dengan grafik dapat dilihat :

a. Jika kedua garis berpotongan pada satu titik (himpunan

penyelesainnya tepat satu anggota)

b. Jika kedua garis sejajar, tidak mempunyai himpunan

penyelesaian

c. Jika kedua garis berhimpit (himpunan penyelesaiannya

mampunyai anggota tak terhingga)

2. Sistem persamaan linear dengan 3 variabel / SPL 3 variabel

x, y, z adalah variabel

Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut :

Dengan Metode campuran Eliminasi dan Substitusi :

Misal dimulai dengan mengeliminasi z

(1) dan (2)

3x + 2y = 8 ..............................(4)

(1) dan (3)

x – y = 2-2

2

x - y = -2............................(5)

(4) dan (5)

3x + 2y = 8 x 1 3x + 2y = 8

x - y = -2 x 3 3x - 3y = -6

5y = 14

y = 14/5

3x + 2y = 8 x 1 3x + 2y = 8

x - y = -2 x 2 2x - 2y = -4

+

5x = 4

x = 4/5

x = 4/5 dan y = 14/5 disubstitusi ke persamaan (1) :

x + y – z = 3

4/5 + 14/5 – z = 3

18/5 – z = 3

z = 18/5 – 3

z = 3/5

Jadi HP : {4/5,14/5,3/5}

Tugas I

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut

a. 2p + 3q = 1

3p + 4q = 1

b. -5m + 3n = 4

6m – 5n = 5

c.

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut :

a. 7x = 21

x + 2y = 11

2x – y + z = 7

b. a + b + 2c = 3

4a + 2b + c = 13

2a + b – 2c = 19

c. x + 2y = -7

3y – z = -11

5x + 2z = -25

B. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT

Bentuk Umum :

y = px + q

y = ax2 + bx + c

p, q, a, b dan c R

Cara menyelesaikannya :

1. Substitusi

Substitusikan y = px + q ke y = ax2 + bx + c

Diperoleh :

px + q = ax2 + bx + c

ax2 + (b-p)x + (c-q) = 0

dengan D = (b-p)2 – 4.a.(c-q)

ada 3 kemungkinan himpunan penyelesainnya :

a. Jika D = 0 (parabola berpotongan dengan garis di satu titik)

b. Jika D >0 (parabola berpotongan dengan garis di dua titik)

c. Jika D < 0 (parabola dan garis tidak berpotongan)

2. Grafik

Ada 3 kemungkinan :

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesian dari :

y = 2 –x

y = x2

jawab :

Substitusika y = 2 – x ke y = x2 diperoleh :

x2 = 2 – x D = b2 – 4ac

x2 + x – 2 = 0 D = (1)2 – 4.(1).(2) = 1 + 8 = 9

(x – 1)(x + 2) = 0 D > 0 (ada 2 penyelesaian)

x = 1 atau x = -2

x = 1 disubstitusikan ke y = 2 – x = 2 – 1 = 1

x = -2 disubstitusikan ke y = 2 – (-2) = 2 + 2 = 4

Jadi himpunan penyelesaian {(1,1),(-2,4)}

Dengan grafik dapat digambarkan sebagai berikut :

D>0

D=0

D<0

y = x2

y = 2 - x

C. SISTEM PERSAMAAN KUADRAT - KUADRAT

Bentuk Umum :

y = ax2 + bx + c

y = px2 + qx + r

Cara menyelesaikannya :

1. Substitusi

Persamaan (1) disubstitusikan ke persamaan (2) diperoleh :

(a – p)x2 + (b – q)x + (c – r) = 0 dengan

D = (b – q)2 – 4.(a – p).(c – r)

Kemungkinan penyelesaiannya :

a. Jika D > 0 (parabola saling berpotongan di dua titik)

b. Jika D = 0 ( parabola saling berpotongan di satu titik)

c. Jika D < 0 (parabola tidak saling berpotongan)

2. Grafik

Dengan menggambar kedua parabola dalam satu sistem

koordinat

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari

y = x2

y = 8 – x2

(-2,4)

(1,1)

Jawab :

Substitusikan (1) ke (2)

x2 = 8 – x2

2x2 – 8 = 0

x2 – 4 = 0

(x – 2)(x + 2) = 0

x = 2 atau x = -2

x = 2 diperoleh y = 22 = 4

x = -2 diperoleh y = (-2)2 = 4

Jadi HP : {(2,4) , (-2,4)}

Tugas II

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari :

a. y = x – 3

y = x2 – 4x + 3

b. y = x + 3

2y = x2 – 2x + 1

c. y – 2x – 3 = 0

y – 2x2 + 4x – 7 = 0

y = x2

y = 8 - x2

(-2,4) (2,4)

0

8

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari :

a. y = x2 – 3x – 1

y = 3x2 + 5x + 7

b y = x2 + 1

y = 9 – x2

c. y = 2x2 – 6x

y = x2 – 2x + 6

D. MERANCANG MODEL MATEMATIKA YANG BERKAITAN

DENGAN SPL

Contoh :

Sepuluh tahun yang lalu umur kakek enam kali umur adikku.

Lima tahun yang akan datang jumlah umur kakek dan adikku

sama dengan 93 tahun. Jika umur nenek lebih muda 6 tahun dari

kakek. Berapa umur nenek sekarang.

Jawab :

Misal umur kakek sekarang adalah x

Umur adikku sekarang adalah y

Diperoleh persamaan :

a. x – 10 = 6(y – 10)

x – 6y = -50 .............. (1)

b. (x + 5)+(y + 5) = 93

x + y + 10 = 93

x + y = 83...................(2)

Eliminasi persamaan (1) dan (2)

x – 6y = -50

x + y = 83

- 7y = -133

y = 19

x + y = 83

x = 83 – 19

= 64

Contoh :

Diketahui y = px – 14 dan y = 2x2 + 5x – 12, tentukan batas-

batas p supaya

a. Berpotongan di 2 titik

b. Bersinggungan

c. Tidak berpotongan maupun bersinggungan

Jawab :

y = px – 14 substitusikan ke y = 2x2 + 5x – 12

diperoleh :

2x2 + 5x – 12 = px – 14

2x2 + (5 – p)x + 2 = 0

D = (5 – p)2 – 4.2.2

= 25 – 10p + p2 – 16

= p2 – 10p + 9

a. Berpotongan di dua titik (D > 0)

p2 – 10p + 9 > 0

(p – 1)(p – 9) > 0

p < 1 atau p > 9

b. Bersinggungan di satu titik (D = 0)

p2 – 10p + 9 = 0

(p – 1)(p – 9) = 0

p = 1 atau p = 9

c. Tidak berpotongan dan menyinggung (D < 0)

p2 – 10p + 9 < 0

(p - 1)(p – 9) < 0

1 < p < 9

Tugas III

1. Jika jumlah dua bilangan adalah 67 dan selisihnya adalah 45.

Tentukan bilangan-bilangan tersebut

2. Parabola y = ax2 + bc + c melalui titik-titik (1,1), (-1,-5), dan

(3, 23)

Tentukan nilai a, b, c

3. Diketahui tiga bilangan a, b, dan c. Rata-rata dari ketiga

bilangan tersebut adalah 16. Bilangan kedua ditambah 20

sama dengan jumlah bilangan yang lainnya. Bilangan ketiga

sam dengan jumlah bilangan yang lain dikurangi 4. Tentukan

bilangan-bilangan itu.

BAB III PENUTUP

Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak untuk mengikuti tes

untuk menguji kompetensi yang telah anda pelajari. Apabila anda

dinyatakan memenuhi syarat ketuntasan dari hasil evaluasi dalam

modul ini, maka anda berhak untuk melanjutkan ke topik/modul

berikutnya.

DAFTAR PUSTAKA

Tim Matematika SMA, 2004. Matematika 1 Untuk SMA Kelas X,

Jakarta :

PT. Galaxy Puspa Mega.

Sartono Wirodikromo, 2006. Matematika untuk SMA Kelas X,

Jakarta : Penerbit Erlangga.

MGMP Matematika Kota Semarang, 2007. LKS Matematika SMA /

MA, Semarang : CV. Jabbaar Setia.