aplikasi linear algebra
TRANSCRIPT
1. Penggunaan: Aliran Trafik
SOALAN….
Rajah menunjukkan sebahagian dari persimpangan jalan sehala di sebuah Bandar. Purata setiap jam kenderaan yang melalui persimpangan tersebut ditunjukkan seperti di dalam rajah. Tentukan bilangan kenderaan yang bertanda X1, X2, X3, X4.
450 310
X1610 640
X2
X3
X4
600520
390480
A
B C
D
• 610 + X2 = 450 + X1 X2 – X1 = -160• X1 + 310 = 640 + X4 X1 – X4 = 330• X3 + 480 = X2 + 520 X3 – X2 = 40• X4 + 600 = X3 + 390 X4 – X3 = -210
PERSAMAAN YANG TERLIBAT
-1 1 00 -160
001 -1 330
0 -1 1 0 40
0 0 -1 1 -210
Pindahkan ke dalam bentuk matriks…
1 -1 00 160
001 -1 330
0 -1 1 0 40
0 0 -1 1 -210
-1 (B1)
Langkah pertama :Jadikan kemasukan pelopor pada baris pertama = 1
1 -1 00 160
0-10 1 -170
0 -1 1 0 40
0 0 -1 1 -210
B1 – B2
Langkah kedua :Jadikan nombor-nombor di bawah kemasukan pelopor baris
pertama = 0
1 -1 00 160
010 -1 170
0 -1 1 0 40
0 0 -1 1 -210
-1 (B2)
Langkah ketiga :Jadikan kemasukan pelopor baris kedua = 1
1 0 -10 330
010 -1 170
0 0 1 -1 210
0 0 -1 1 -210
B2 – B1
B2 – B3
Langkah keempat :Jadikan nombor-nombor di bawah kemasukan pelopor baris
kedua = 0
1 0 -10 330
010 -1 170
0 0 1 -1 210
0 0 0 0 0B3 – B4
Langkah kelima :Jadikan nombor-nombor di bawah kemasukan pelopor baris
ketiga = 0
X4 tiada sebarang pembolehubah. Maka, kitaanggap X4 = t dan tunjukkan pelopor pembolehubah dalam sebutan X4, dan kita dapati :
X1 = 330 + tX2 = 170 + tX3 = 210 + tX4 = t
Katakan t = 10
X1 = 330 + 10 = 340X2 = 170 + 10 = 180X3 = 210 + 10 = 220X4 = 10 = 10
X1
X2
X3
X4
340
180
220
10
=
Pindahkan jawapan dalam bentuk matriks…..
SOALAN 2 PENGGUNAAN : ALIRAN
ELEKTRIK
HUKUM KIRCHHOFF ~ merupakan hukum yang digunakan untuk
menganalisis pelbagai lingkaran litar elektrik. HUKUM PERTAMA :• jumlah arus elektrik yang masuk di persimpangan
(anggap sebagai positif ) adalah bersamaan dengan jumlah arus elektrik yang keluar dari persimpangan ( anggap sebagai negatif ).
HUKUM KEDUA• hasil tambah algebra voltan mestilah bersamaan
hasil tambah algebra yang menyusut.
HUKUM OHM• ialah hubungan antara beza keupayaan dengan arus
yang mengalir dalam satu litar elektrik yang lengkap.
• Berdasarkan formula di atas, dapat dirumuskan bahawa arus berkadar terus dengan voltan dan berkadar songsang dengan rintangan, V = IR dimana V adalah voltan (V) dan I adalah arus (A) dan R adalah rintangan (ohm).
SOALAN
PENYELESAIAN SOALAN
1) Menggunakan Hukum Kirchhoff yang pertama pada bahagian kiri litar
Untuk ( arus elektrik masuk = arus elektrik keluar )
Persamaan ini sama dengan persamaan 1 di atas.
2) Menggunakan Hukum Kirchhoff yang kedua pada lingkaran 1( Hukum Ohm V = IR ) menggunakan Hukum Ohm untuk mendapatkan persamaan 2 dan 3
Masukkan nilai dalam persamaan di atas
Untuk lingkaran 2,
Masukkan nilai dalam persamaan di atas
3) Tuliskan ketiga-tiga persamaan diatas untuk mendapatkan matriks imbuhan
4) Selesaikan ketiga-tiga persamaan menggunakan kaedah penghapusan Gauss-Jordan
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
viii.
ix.
x.
xi.
xii.
5) Berdasarkan penyelesaian di atas, nilai dan dapat dikenalpasti iaitu
3. Penggunaan: Keseimbangan Persamaan Tindak Balas Kimia
• Tindak Balas Kimia: - tindak balas sesuatu bahan kimia apabila ia
bercampur dengan bahan kimia lainatau
- penguraian tersendiri disebabkan oleh tindakan haba atau cahaya
- reaktan: bahan awal yang digunakan dalam sesuatu tindak balas
- Hasil: bahan yang terhasil selepas tindak balas berlaku
Gas hidrogen + gas oksigen Air
reaktan hasil
• Persamaan Tindak Balas Kimia:- Satu persamaan yang mengandungi simbol
kimia yang menerangkan apa yang berlaku dalam sesuatu tindak balas kimia
- Reaktan ditulis di sebelah kiri persamaan- Hasil ditulis disebelah kanan persamaan- Tanda anak panah (→) ditulis diantara kedua-
dua bahan ini untuk membezakan antara mereka.
reaktan hasil
hidrogen oksigen air
• Persamaan Tindak Balas Kimia di atas adalah seimbang kerana jumlah unsur bagi reaktan dan hasil adalah sama.
• Perseimbangan Persamaan Tindak Balas Kimia:
- Mengambil kira semua atom dalam sesuatu persamaan tersebut
- Jumlah atom di bahagian reaktan mesti sama dengan jumlah atom di bahagian hasil
- Perseimbangan dilakukan dengan mengubah nilai pekali sesuatu formula atom dan bukannya mengubah formula atom tersebut
H2 + O2 → H2O
Formula atompekali
2 2
Aplikasi Linear Algebra dalam Kimia
• Menggunakan kaedah penghapusan Gauss-Jordan untuk seimbangkan persamaan tindak balas kimia
• Langkah-langkah:1. Tuliskan tindak balas yang berlaku dalam bentuk
persamaan tindak balas kimia2. Wakilkan setiap molekul dengan pekali anu
(w,x,y…)3. Bandingkan bilangan atom yang ada pada reaktan
dan hasil4. Bentuk persamaan linear berdasarkan
perbandingan yang dibuat.5. Terjemahkan persamaan linear tersebut kepada
matriks imbuhan6. Selesaikan menggunakan kaedah Penghapusan
Gauss-Jordan
Contoh Soalan:
Penguraian gas butane (C4H10) dalam oksigen (O2) akan menghasilkan karbon dioksida (CO2) dan air (H20). Seimbangkan persamaan kimia bagi tindak balas ini.
Penyelesaian:
1. Tuliskan tindak balas yang berlaku dalam bentuk persamaan tindak balas kimia
C4H10 + O2 CO2 + H20
2. Wakilkan setiap molekul dengan pekali anu (w,x,y,z)
w C4H10 + x O2 y CO2 + z H20
Penyelesaian:
3. Bandingkan bilangan atom yang ada pada reaktan dan hasil
w C4H10 + x O2 y CO2 + z H20
Penyelesaian:
Atom Reaktan HasilKarbon 4w y
Hidrogen 10w 2zOksigen 2x 2y + z
4. Bentuk persamaan linear berdasarkan perbandingan yang dibuat.
• Karbon: 4w = y 4w – y = 0
• Hidrogen: 10w = 2z 10w – 2z = 0
• Oksigen: 2x = 2y + z 2x – 2y –z = 0
Penyelesaian:
• Maka:
5. Terjemahkan persamaan linear tersebut kepada matriks imbuhan
Penyelesaian:
6. Selesaikan menggunakan kaedah Penghapusan Gauss-Jordan
Penyelesaian:
B2 B3
Penyelesaian:
B1
B2
10B1 - B3
Penyelesaian:
B3
B3 + B1
B3 + B2
• Daripada penyelesaian di atas, persamaan linear yang terbentuk adalah:
w = x = y =
Penyelesaian:
• Nilai z digantikan dengan 10 (penyebut sepunya terkecil)
w = = 2
x = = 13
y = = 8
Z = 10
Penyelesaian:
Maka, persamaan yang seimbang adalah:
w C4H10 + x O2 y CO2 + z H20
2 C4H10 + 13 O2 8 CO2 + 10 H20
Penyelesaian: