Aljabar LinearAljabar Linear

Pertemuan 2Pertemuan 2

Aljabar Vektor (Perkalian vektor)Aljabar Vektor (Perkalian vektor)

Fika Hastarita R, STFika Hastarita R, ST

Ahmad Sahru R, S.KomAhmad Sahru R, S.Kom

PembahasanPembahasan

Perkalian vektor dengan skalarPerkalian vektor dengan skalar Ruang vektorRuang vektor

Perkalian Vektor dengan Vektor: Perkalian Vektor dengan Vektor:

Dot ProductDot Product

- Model - Model dot productdot product

- - Sifat Sifat dot productdot product

PendahuluanPendahuluan

Penambahan dan pengurangan vektor, merupakan Penambahan dan pengurangan vektor, merupakan analisa sederhana dari aljabar vektoranalisa sederhana dari aljabar vektor

Pada pembahasan ini akan dibahas bagaimana konsep Pada pembahasan ini akan dibahas bagaimana konsep perkalian vektor dalam ruang berdimensi 2 atau perkalian vektor dalam ruang berdimensi 2 atau dimensi 3, serta penerapannya pada bidang geometri, dimensi 3, serta penerapannya pada bidang geometri, khususnya dengan perkalian vektor dengan skalar dan khususnya dengan perkalian vektor dengan skalar dan perkalian perkalian dot productdot product

Perkalian Perkalian Vektor dengan SkalarVektor dengan Skalar

DefinisiDefinisi

Untuk sembarang vektor Untuk sembarang vektor a a dengan dengan αα, maka:, maka:- panjang - panjang ααaa = | = | αα |.|a||.|a|- - jika jika a a ≠ 0 dan ≠ 0 dan αα > 0 , > 0 , ααaa searah dengan searah dengan aa- - jika jika a a ≠ 0 dan ≠ 0 dan αα < 0 , < 0 , ααaa berlawanan arah dengan berlawanan arah dengan aa- - jika jika a a = 0 dan = 0 dan αα = 0 , maka = 0 , maka ααaa = 0 = 0

Untuk vektor Untuk vektor a a dalam koordinat kartesian dalam koordinat kartesianjika jika a = a = [a1,a2,a3] maka [a1,a2,a3] maka

ααa = a = [[ααaa1, 1, ααaa22, , ααaa3]3]

Sifat Perkalian skalar ‘n vektorSifat Perkalian skalar ‘n vektor

Ruang VektorRuang Vektor

Merupakan himpunan elemen vektor yang Merupakan himpunan elemen vektor yang terdefinisikan sekurang-kurangnya dua operasi yang terdefinisikan sekurang-kurangnya dua operasi yang membentuk groupmembentuk group

Berlaku sifat distributif dan assosiatif gabunganBerlaku sifat distributif dan assosiatif gabungan

- distributif operasi 1 terhadap operasi 2- distributif operasi 1 terhadap operasi 2

- distributif operasi 2 terhadap operasi 1- distributif operasi 2 terhadap operasi 1

- assosiatif- assosiatif

Kombinasi linearKombinasi linear

Untuk sembarang vektor Untuk sembarang vektor a1, … , am a1, … , am didalam didalam ruang vektor ruang vektor v v , maka ungkapan:, maka ungkapan:

αα11aa1 + 1 + αα22aa2 + … + 2 + … + ααm m aam.m.

αα1, … , 1, … , ααm skalar sembarangm skalar sembarang

disebut sebagai disebut sebagai “Kombinasi Linear”“Kombinasi Linear”

Ketergantungan LinearKetergantungan Linear

Jika kombinasi linear dari m buah vektor sama dengan vektor Jika kombinasi linear dari m buah vektor sama dengan vektor nol dan berlaku hanya untuk nol dan berlaku hanya untuk ααi = 0 (i=1,2,…,m), maka m buah i = 0 (i=1,2,…,m), maka m buah vektor tersebut dikatakan sebagai ‘vektor-vektor bebas linear’vektor tersebut dikatakan sebagai ‘vektor-vektor bebas linear’

Jika sekurang-kurangnya terdapat satu Jika sekurang-kurangnya terdapat satu αα1=0, dimana 1=0, dimana kombinasi linear dari m buah vektor sama dengan vektor nol, kombinasi linear dari m buah vektor sama dengan vektor nol, maka m buah vektor tersebujt dikatakan sebagai ‘vektor-maka m buah vektor tersebujt dikatakan sebagai ‘vektor-vektor bergantungan linear’vektor bergantungan linear’

αα11aa1 + 1 + αα22aa2 + … + 2 + … + ααm m aam = 0m = 0

Berlaku untuk Berlaku untuk αα1 = 1 = αα2 = … = 2 = … = ααm = 0 (vektor2 bebas linear)m = 0 (vektor2 bebas linear)

terdapat minimal satu terdapat minimal satu αα1≠0 (vektor2 tidak bebas linear) 1≠0 (vektor2 tidak bebas linear)

Basis ‘n Dimensi Ruang VektorBasis ‘n Dimensi Ruang Vektor

Suatu vektor riil Suatu vektor riil R R memiliki dimensi n ditulis sebagai memiliki dimensi n ditulis sebagai RRn jika dan hanya jika terdapat n buah vektor dalam n jika dan hanya jika terdapat n buah vektor dalam R R yang saling bebas linearyang saling bebas linear

n buah vektor bebas linear dalam n buah vektor bebas linear dalam R R disebut sebagai disebut sebagai ‘vektor basis’. Hal ini berarti setiap vektor lain dalam ‘vektor basis’. Hal ini berarti setiap vektor lain dalam R R selalu dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear selalu dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor basis.dari vektor-vektor basis.

Vektor basis bmempunyai panjang 1 unitVektor basis bmempunyai panjang 1 unit

Perkalian TitikPerkalian Titik

(Dot Product)(Dot Product)

VisualisasiVisualisasi

Vektor-vektor diposisikan sehingga titik Vektor-vektor diposisikan sehingga titik pangkalnya berimpitanpangkalnya berimpitan

Memiliki sudut antara dua vektor yaitu Memiliki sudut antara dua vektor yaitu Ø Ø (dibaca teta) yang memenuhi 0 ≤ Ø ≤ (dibaca teta) yang memenuhi 0 ≤ Ø ≤ ππ

RumusRumus

Jika Jika u u dan dan v v adalah vektor-vektor dalam ruang adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi-2 atau berdimensi-3 dan berdimensi-2 atau berdimensi-3 dan Ø adalah Ø adalah sudut antara sudut antara u u dan dan v, v, maka hasil kali titik maka hasil kali titik u.v u.v adalah:adalah:

u.v = |u||v| u.v = |u||v| cos Ø jika cos Ø jika u ≠ u ≠ 0 dan 0 dan v ≠ v ≠ 00

u.v = 0u.v = 0 jika jika u = u = 0 dan 0 dan v = v = 00

Rumus KomponenRumus Komponen

Orthogonalitas dua vektorOrthogonalitas dua vektor

Dua vektor tidak nol dikatakan orthogonal (saling Dua vektor tidak nol dikatakan orthogonal (saling tegak lurus) jika dan hanya jika hasil kali dalamnya tegak lurus) jika dan hanya jika hasil kali dalamnya adalah nol.adalah nol.

Beberapa formulasi dari perkalian titik ini dapat kita Beberapa formulasi dari perkalian titik ini dapat kita turunkan sebagai berikut:turunkan sebagai berikut:

bbaa

ba

ba

ba

aaaaaaaa

..

.

||||

.cos

.||||0cos||||. 2

Sifat Sifat Dot ProductDot Product

Untuk setiap vektor sebarang a, b, c dan skalar Untuk setiap vektor sebarang a, b, c dan skalar α1, α2 berlaku:α1, α2 berlaku:

Formulasi KhususFormulasi Khusus

Jika a da b dinyatakan dalam komponennya,Jika a da b dinyatakan dalam komponennya,

maka:maka:

a.b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 ( vektor 3 dimensi )a.b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 ( vektor 3 dimensi )

GenjangJajaranPersbababa

segitigamaanPertidaksababa

SchwarzmaanPertidaksababa

.)|||(|2||||

||||||

|||||.|

2222

Contoh SoalContoh SoalJika diketahui vektor a = [1,2,0], b=[3,-2,1].Jika diketahui vektor a = [1,2,0], b=[3,-2,1].

Tentukanlah:Tentukanlah:- panjang vektor a, panjang vektor b, sudut antara vektor a dan b, panjang vektor a, panjang vektor b, sudut antara vektor a dan b, - sudut vektor c = a + b terhadap sumbu –xsudut vektor c = a + b terhadap sumbu –x

Jawaban:Jawaban:

Contoh soal 2 :Contoh soal 2 :Suatu partikel P dikenakan gaya tetap a yang menyebabkan Suatu partikel P dikenakan gaya tetap a yang menyebabkan

partikel tersebut bergerak sejauh d membentuk sudut α partikel tersebut bergerak sejauh d membentuk sudut α arah gaya a, maka kerja yang dilakukan oleh gaya arah gaya a, maka kerja yang dilakukan oleh gaya tersebut adalah ?tersebut adalah ?

Jawab :Jawab :

baWataudaW .cos||||

Cara lain menyatakan dot producCara lain menyatakan dot produc

a.b a.b dituliskan ula sebagai dituliskan ula sebagai (a,b) : Inner Product(a,b) : Inner Product

|a| dituliskan pula sebagai |a| dituliskan pula sebagai ),(|||| baa

LatihanLatihan

SummarySummary Perkalian vektor dengan skalar merupakan perbesaran Perkalian vektor dengan skalar merupakan perbesaran

atau pengecilan vektor, dengan bilangan skalar atau pengecilan vektor, dengan bilangan skalar merupakan satuan pembandingnya.merupakan satuan pembandingnya.

vektor dalam ruang vektor dalam ruang RRn dapat dinyatakan sebagai n dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor basiskombinasi linear dari vektor-vektor basis

Rumus untuk dot productRumus untuk dot product

Perkalian titik (dot product) antara 2 vektor akan Perkalian titik (dot product) antara 2 vektor akan menghasilkan suatu nilai skalarmenghasilkan suatu nilai skalar

u.v = |u||v| u.v = |u||v| cos Ø cos Ø jika jika u ≠ u ≠ 0 dan 0 dan v ≠ v ≠ 00 u.v = 0u.v = 0 jika jika u = u = 0 dan 0 dan v = v = 00

Tugas (2)Tugas (2)

Daftar PustakaDaftar Pustaka

Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid 1 Edisi Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid 1 Edisi

7. 2000. Penerbit Interaksara. Jakarta7. 2000. Penerbit Interaksara. Jakarta Noor Ifada. Bahan Kuliah Aljabar LinearNoor Ifada. Bahan Kuliah Aljabar Linear

Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid 2 Edisi Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid 2 Edisi 7. 2000. Penerbit Interaksara. Jakarta7. 2000. Penerbit Interaksara. Jakarta