REGRESI LINEAR

Dalam praktek sering kali kita hendak mengetahui hubungan antara dua variabel, misalnya hubungan antara tekanan-suhu (p vs T), diameter-Gaya tarik maksimum (d vs F), dll.

Untuk mendapatkan suatu persamaan antara dua variabel x dan y, mula-mula kita mengumpulkan data (x,y). Misalnya x menyatakan diameter dan y gaya tarik maksimum, maka kita mempunyai data :

masing-masing pasangan bebas dan x serta y didefinisikan pada ruang sampel yang sama yaitu kumpulan data yang sedang diselidiki. Kemudian semua data tersebut digambar pada sistem koordinat tegak lurus, hasilnya disebut diagram titik atau diagram pencar atau scatter diagram

nn yxyxyxyx ,,...........,,,,,, 332211

Dalam bab ini kita batasi kepada hal yang linear saja dan untuk mendapatkan garis lurus yang paling baik, kita gunakan metode kuadrat terkecil.

Misal persamaan tersebut adalah : Dimana x variabel bebas dan y variabel tidak bebas.

Gambar 4. Regresi Linear xbay

Dari diagram tersebut dapat diketahui apakah ada hubungan dan bila ada, apakah hubungan tersebut linear atau non linear.

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40

Absis (sb x)

Ord

inat

(sb

y)

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40

Absis (sb x)

Ord

inat

(sb

y)

0

5

10

15

20

25

30

35

0 10 20 30 40

Absis (x)

Ord

inat

(sb

y)

Gambar 1. Tidak Ada Hubungan Gambar 2. Non Linear

Gambar 2. Linear

Dari gambar 4, ada beda d1 antara ordinat , yaitu :

(pada x = x1, atau ber absis sama)

Beda tersebut disebut deviasi atau simpangan, mungkin positif atau negatif dan untuk menjadikan semua positif diambil kuadratnya.

Misal S adalah jumlah kuadrat deviasi, maka :

)(11

11

xbaydyyd

ydany1

111 xbayd

223

22

21 ........... nddddS

2233

222

211 )(...........)()()( nn xbayxbayxbayxbayS

Untuk mendapatkan garis lurus paling baik, harus meminimumkan S, sehingga :

dan

Dari persamaan tersebut dapat diringkas menjadi : atau

0)(2........)(2)(2)(2 332211

nn xbayxbayxbayxbayas

0)(.2........)(.2)(.2)(.2 333222111

nnn xbayxxbayxxbayxxbayxbs

0as 0

bs

ii xbany .

2iiii xbxayx

xbany .

2xbxayx

Nilai a da b dari kedua persamaan tersebut dapat dicari dengan determinan atau substitusi :

Dengan demikian kita memperoleh garis kuadrat terkecil yang dalam hal ini disebut garis regresi y pada x.Garis ini menunjukkan hubungan antara y dan x, dan dapat dipakai untuk menaksir y apabila nilai x diketahui

Selain garis regresi y pada x, juga ada garis regresi x pada y yang diperoleh jika y variabel bebas dan x variabel tidak bebas.

Persamaannya adalah : x = c + dy

22

2

)(..xxn

yxxxya

22 )(

..xxnyxyxnb

22

2

)(..yyn

yxyyxc

22 )(..yynyxyxnd

Jadi kita memperoleh persamaan x pada y yang menunjukkan hubungan antara x dan y dan dapat dipakai untuk menaksir x, apabila nilai y diketahui.

Contoh :Dari uji tarik besi beton di Laboratorium Uji Bahan Teknik

Mesin Politeknik Negeri Semarang didapat data sbb. :

Ditanyakan :a. Gambar diagram pencar !b. Cari persamaan garis

gaya tarik maksimum (F) terhadap diameter besi beton (d) !

c. Taksir gaya maksimum (F), apabila direncanakan d besi beton = 40 (mm) !

Penyelesaian :a. Gambar diagram pencar :

b. Persamaan garis gaya tarik maksimum (F) terhadap diameter besi beton (d) dapat dicari dari persamaan :

dan

0

200

400

600

800

1000

1200

0 5 10 15

Diameter --> d (mm)

Gay

a Ta

rik --

> F

(N)

xbany .2xbxayx

Variabel a da b dapat dicari sbb. (buat tabel) :

Dengan memasukkan nilai-nilai pada tabel ke dalam kedua persamaan tersebut didapatkan hasil sebagai berikut :

Sehingga persamaan F thd d F = -96,54762 + 90,47619. d

22 )(..ddnFdFdnb

c. Menaksir gaya maksimum (F), apabila direncanakan d besi beton = 40 (mm)

Persamaan F thd d telah didapat yaitu :F = -96,54762 + 90,47619. d

Sehingga apabila d besi beton = 40 (mm), F dapat dicari:

F = -96,54762 + 90,47619. dF = -96,54762 + 90,47619 x 40F = 3522,5 (N)

Jadi apabila direncanakan d besi beton = 40 (mm), maka dapat ditaksir F = 3.522,5 (N)

Soal. Ujian akhir statistik tahun 2015

Sebanyak 10 buah besi beton berbagai ukuran diameter produk ‘’PT CP’’ sebagai sampel, di uji tarik di laboraturium uji bahan jurusan Teknik Mesin Polines, dan hasilnya sebagai berikut :

Keterangan : D = Diameter (mm) F = Gaya tarik (KN)

a.Gambar diagram pancar !b.Carilah persamaan garis diameter besi beton terhadap gaya tarik !c.Taksirlah diameter (mm) apabila gaya tariknya 150,0 (KN) !d.Hitunglah koefisien korelasi antara diameter dan

gaya tersebut !

No D (mm) F (KN)

1 3 2,3

2 4 4,1

3 5 6,4

4 6 9,0

5 7 12,0

6 8 15,8

7 9 20,0

8 10 24,8

9 11 29,8

10 12 36,0

JAWAB : a.Diagram Pancar

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 2 4 6 8 10 12 14

Y-Values

Y-Values