TUGAS 1MATEMATIKA TERAPAN

(BAB 9&10, POLINOMIAL & ALJABAR LINEAR)

Dosen : Kristina W., S.SI, MPd

Oleh :

Intan Rahmania Ramdhan (11)

Ummi Hafidhotunnisa (22)

Yuni Imanniarti (24)

JARINGAN TELEKOMUNIKASITEKNIK ELEKTRO

POLITEKNIK NEGERI MALANG

2015

POLINOMIAL

9.1 Menyatakan Polinomial dan Akar Polinomial

Dalam matematika polinomial berderajat n dapat ditulis dalam bentuk p = anxn + an-1 xn-1+an-2xn-2+ ..... + a1x + a0. Salah satu masalah yang berhubungan dengan polinomial adalah mencari akar polinomial, atau dengan kata lain x sedemikian hingga polinomial bernilai nol (0). MATLAB menyediakan beberapa fungsi yang berguna untuk melakukan manipulasi terhadap polinomial.

Dalam MATLAB polinomial direpresentasikan sebagai vektor baris dari koefisien-koefisien dalam urutan menurun. Jadi untuk polinomial p tersebutdi atas, dalam matlab dinyatakan dengan :

p = [an an-1 an-2 .. a1 a0]

sebagai contoh untuk polinomial f = 3x2 4x +5, dalam MATLAB ditulis dengan f = [3 -4 5]. Demikian halnya dengan polinomial g = 5x6 +3x4 -7x3 + 6x2+8x,dalam MATLAB dapat ditulis dengan g = [5 0 3 -7 -6 8 0]

Sebaliknya untuk vektor baris h = [1 -3 2 0 4] berarti menyatakan polinomial h = x4 -3x3 +2x2 +4.

Telah disampaikan pada awal bab ini bahwa salah satu masalah yang berhubungan dengan polinomial adalah mendapatkan akar polinomial, yaitu dengan menggunakan fungsi roots. Perintah roots(p) berarti mencari akar dari polinomial p.

Contoh 9.1

%mencari akar polinomial

p = [1 -3 -10];

akarnya = roots (p)

akarnya =

5

-2

Dari contoh tersebut, berarti polinomial p = x2 -3x -10 mempunyai akar-akar real 5 dan -2. Perhatikan juga bahwa polinomial p dinyatakan dalam vektor baris, sedangkan hasil akarnya dinyatakan dalam vektor kolom.

Contoh 9.2

%mencari akar polinomial

q = [1 0 0 0 -1]

akar = roots(q)

akar =

-1.0000

0.0000 + 1.0000i

0.0000 1.0000i

1.0000

Dari contoh 9.2 tersebut berarti polinomial q = x4 1 mempunyai akar-akar -1,i,-i dan 1 (catatan : i=).

Sebaliknya jika diketahui akar-akarnya dari suatu polinomial , maka MATLAB juga menyediak fungsi yang berguna untuk membangun (membentuk) polinomial berdasarkan akar-akar yang diketahu tersebut. Fungsi yang digunakan untuk membentuk polinomial adalah poly. Perintah poly(r) berarti membentuk polinomial berdasarkan akar-akar yang dinyatakan dalam vektor kolom e.

Contoh 9.3

%membentuk poliomial dengan fungsi poly

r = [5;-2];

p = poly(r)

p =

1 -3 -10

Dari contoh 9.3 tersebut perhatikan bahwa perintah bahwa perintah poly(r) menghasilkan p= 1 -3 -10, ini berarti polinomial p=x2-3x-10Contoh 9.4

%membentuk polinomial deng fungsi poly

t = [ -1; i; -i;1];

pol = poly(t)

pol =

Dari contoh 9.4 tersebut, berati polinomial yang mempunyai akar-akar 1,i,-i dan 1 adalah pol = x4 1.

9.2 Operasi-operasi pada polinomial

Operasi-operasi yang berlaku pada polinomial adalah operasi perkalian, penjumlahan dan pembagian. Sedangkan untuk operasi pengurangan dapat dilakukan dengan jalan menambah dengan negatif dari polinomial pengurang. Untuk operasi-operasi tersebut,secara khusus matlab menyediakan fungsi yang berguana untuk melakukan operasi perkalian dan pembagian seperti tercantum pada tabel 9.1 di bawah

Tabel 9.1 Operasi Polinomial

NoPerintahKeterangan

1.Conv(p,q)Mengalikan polinomial p dan q

2.[a,b] = deconv(p,q)Membagi polinomial p dengqn q, serta hasilnya adalah polinomial a dan sisanya b

3.polyval(p,x) Mencari nilai polinomial p berdasarkan array x.

Contoh 9.5

%operasi pembagian dan perkalian polinomial

P = [1 ,-2 1 6];

Q = [1 -3 2];

A = conv(p,q)

a =

1 -5 9 -1 -16 12

[b,c] = deconv(p,q)

B =

1 1

c = 0 0 2 4

pada contoh 9.5 tersebut polinomial p = x3 2x2 +x +6

dan polinomial q = x2 3x +2. Perhatikan bahwa polinomial a= pq = x5- 5x4 +9x3 x2 16x +12. Sedanghkan polinomial b = p/q = x +1 dengan sisanya c = 2x +4.

MATLAB secara khusus tidak menyediakan fungsi untuk pemjumlahan polinomial. Jika derajat dari polinomial adalah sama, maka polinomal dapat dijulahkan dengan aturan penjumlahan array yang mempunyai derajat yang lebih rendah dapat ditambahakan 0 di depannnya secukupnya sampai mempunyai derajat yang sama dengan derajat polinomial yang lebih tinggi. Untuk lebih jelasnya perhatikan Contoh 9.6 dan Contoh 9.7 brerikut ini.

Contoh 9.6

%prnjumlahan dan pengurangan polinomial berderajat sama

P1 = [1 -3 2 -4];

P2 = [2 5 -6 7];

A = p1 + p2

A =

2 2 -4 3

B = p1-p2

B=

-1 -8 8 -11

Contoh 9.7

%Penjumlahan pengurangan polinomial berderajat tidak sama

Q1 = [-2 1 0 1 3];

Q2 = [3 -5 6];

B = q1 + [0 0 q2]

B =

-2 1 3 -4 9

C = q1 [0 0 q2]

C=

-2 1 -3 6 -3

Pada contoh 9.6 tersebut, polinomial p1 =x33 + 3x2 +2x -4 dan p2 = 2x3 + 5x2 -6x +7 memiliki derajat yang sama, sehingga dapat langsung dilakukan dengan melakukan operasi pwnjumlahan array dan operasi pengurangan array. Perhatikan bahwa polinomial a = p1 + p2 = 3x3 +2x2 -4x + 33 dan b = p1-p2 = x3 -8x2 +8x -11.

Pada contoh 9.7, kedua polinomial q1 = -2x4 +x3 +x +3 dan q2 = 3x2 -5x +6 mempunyai derajat yang berbeda, dalam hal ini polinomial q1 mempunyai derajat yang yang lebih tinggi. Untuk itu polinomial q2 harus disesuaikan derajatnya sehingga sama dengan derajat polinomial q1. Untuk itu array q2 ditambahkan 0 didepannya secukupnya (dalam hal ini [0 0],yang ditunjukkan dengan [0 0 q2] sehingga dimensinya sama dengan array q1. Selanjutnya operasi penjumalahan dan pengurangan dapat dilakukan. Dalam contoh 9.7 tersebut tampak bahwa b = q1 + q2 = -2x4 +x3 +3x2-4x+9 sedangkan c=q1-q2 = -2x4+x3-3x2+6x-3.

Untuk memudahkan melakukan operasi penjumlahan (atau pengurangan) polinomial, dapat saja user membuat fungsi tersendiri. Contoh 9.8 di bawah ini menunjukka fungsi jumlahpol yang berguna untuk menjumlahkan dua buah polinomial.

Contoh 9.8 : (fungsi M-file)

%jumlahpol(a,b) merupakan fungsi untuk menjumlahkan polinomial a dan b

Function p=jumlahpol(a,b)

If nargin < 2

Error (maaf banyaknya input polinom kurang)

End

A =a( : ).;

B =b( : ).;

Pja = length(a);

Pjb = length(b);

Pola = [zeros(1,pjb-pja) a];

Polb = [zeros(1,pja-pjb) b];

P = pola +polb;

Selanjutya jika fungsi tersebut sudah disimpan (dengan nama jumlahpol.m), maka fungsi tersebut dapat digunakan untuk melakukan penjumlahan (pengurangan) polinomial

Contoh 9.9:

%Penjumlahan/pengurangan polinomial dengan fungsi jumlahpol

Q1 = [-2 1 0 1 3];

Q2 = [2 -5 6];

B = jumlahpol(q1,q2)

B=

-2 1 3 -4 9

C = jumlahpol(q1,-q2)

C =

-2 1 -3 6 -3

Dari contoh 9.9 tersebut tampak bahwa penggunaan fungsi jumlahpol (yang dibuat sendiri) dapat mempermmudah operasi penjumlahan (dan pengurangan) polinomial.

Amati juga bahwa polinomial b = q1 +q2 = -2x4 + x3 -3x2 -4x +9;

Sedangkan c=q1-q2= -2x4 + x3 3x2 +6x 3.

Operasi lain yang berhubungan dengan polinomial adalah mencari nilai-nilai polinomial, yang oleh MATLAB disediakan fungsi polyval. perintah polyval(p,x) akan mendapatkan nilai-nilai polinomial p dari suatu array x.

Contoh 9.10

%Contoh penggunaan fungsi polyval

X = [-3 : 6];

P = [1 -2 3 8];

Y = polyval(p,x)

Y =

-46 -14 2 8 10 14 26 52 98 170

Plot(x,y)

Grid on

Title(x^3 2x^2 + 3x +8)

Xiable(x)

Dari Contoh 9.10, perhatikan bahwa untuj -3 x 6 nilai polinomial p = x3 -2x2 +3x +8 adalah (yang disajikan dalam array y), y = [-46 -14 2 8 10 14 26 52 98 170]. Nilai-nilai array x dan y (yang merupakan nilai polinomial p) dapat dibuat grafiknya sepertu dalam Gambar 9.1 di bawah ini

9.3 Polinom Rasional

Dalam matematika banyak dijumpai problema yang berhubungan dengan polinomial rasional. Polinomial rasional dalam MATLAB dinyatakan denga polinomial pembilang (numerator) dan polinomial penyebut (denominator). Misalnya untuk polinomial p = , dapat ditulis p = dengan polinomial p1 = 2x -8 dan p2 = x2 -5x+6. Selanjutnya polinomial p1 dan p2 dapat dinyatakan dalam array sebagaimana polinomial biasa.

MATLAB menyediakan fungsi residue untuk polinomial rasional. Perintah [a, b, k] = residue (p1,p2) akan menjadikan polinom rasional p ke dalam ekspansi pecahan parsial, dimana :

Amenyatakan bagian pembilang dari pecahan parsial

Bmenyatakan nilai nol dari bagian penyebut

Kmenyatkan bagian konstanta

Bik a maupun b tersebut disajikan dalam vektor kolom. Untuk lebih jelas perhatikan Contoh 9.11 di bawah ini.]Contoh 9.11

%Contoh penggunaan fungsi residue

%Pada polinomial rasional

P1 = [2 -8];

P2 = [1 -5 6]

[a, b, k] = residue (p1,p2)

A=

-2

4

B=

3

2

K=

[ ]

Contoh 9.11 tersebut di atas adalah jawaban dari masalah mengekspansikan ke dalam pecahan parsial dai polinom rasional p= = dalam hal ini jawabannya adalah:

= ++0

Fungsi residue dapat juga menampilkan operasi invers. Perintah [p1,p2] = residue [a, b, k] alan menghasilkan pembilang p1 dan penyebut p2 dari suatu polinomial. Perhatikan contoh ini.Contoh 9.12:

>> %Contoh penggunaan fungsi residue

>>%Mendapatkan kembali polinomial rasional

>>a = [4 ; 2];

>>b=[2; 3];

>>k=[ ];

>>[p1, p2] = resideu (a,b,k)

p1 =

6-16

p2=

1-5 6

Jawaban dari problem di atas:

+ + 0 = Fungsi M-File untuk melakukan operasi penjumlahan,perkalian dan pembagian dari polonomial rasional.

Contoh 9.13 (Fungsi M-File)

%fungsi untuk menjumlahkan polinomial rasional

%menjumlahkan polinomial p = p1/p2 dengan s=s1/s2

%hasilnya polinom rasional dengan pembilang a dan penyebut b

function [a, b] = jumpolras(p1,p2,s1,s2)

If nargin < 4

Error(banyaknya input masih kuarang)

end

p1 = p1( : ).;

p2 = p2( : ).;

s1 = s1( : ).;

s2 = s2( : ).;

b = conv(p2, s2);

pemb1 = conv(p1,s2);

pemb2 = conv(p2,s1);

a = jumlahpol(pemb1, pemb2);

Fungsi jumpolras sama seperti jumlah pol. Setelah jumpolras disimpan, dapat digunakan untuk menjumlahkan dua buah polinomial rasional.

Contoh9.14:

>>%contoh penggunaan fungsi jumpolras

>>%untuk menjumlahkan polinomial rasional

>>p1 = [-23 ];

>>p2 = [13 -10];

>>p3 = [1-4];

>>p4 = [2-15];

>>[st] = jumpolras(p1,p2,q1,q2)

s =

-37-3555]

t =

25-1825-50

Jawaban dari jumlah polinomial :

+ = 9.4 Derivatif

Untuk menyelesaikan problem Derivatif(Turunan) maka memakai fungsi polyder dari suatu polinomial. Perintah polyder(p) memberikan hasil turunan pertama dari polinomial p.

Contoh 9.15:

>>%contoh penggunaan fungsi polyder

>>%mencari derivatif dari polinomial

>>p = [2 -4 0 -8 10]

>>dp = polyder(p)

dp =

8 -12 0 -8

Derivatif dari polinomial adalah

Sedangkan untuk polinomial rasional

, derivatif (turunan pertama) dari p juga dapat dicari

dengan fungsi polyder dengan perintah [ab] = polyder(p1, p2).

Contoh 9.16 :

>>%contoh penggunaan fungsi polyder pada polinimial rasional

>>s1 = [1 -2 3];

>>s2 = [4 -1];

>>[a1 a2] = polyder(s1, s2)

a1=

4-2-10

a2=

16-81

Polinomial

, derivatif dari s adalah ds=a1/a2=

ALJABAR LINEAR

10.1 Fungsi-fungsi pada Aljabar Linear

Pembahasan Aljabar Linear merupakan perluasan dari pembahasan Matriks Bab 4. Pembahasan pada ini yaitu vektor dan matriks, bentuk eselon baris tereduksi, faktorisasi matriks, ruang vektor, transformasi linear, akar dan vektor karakteristik.

Tabel 10.1 Beberapa fungsi pada Aljabar Linear

NoPerintahKeterangan

1[ ]Matriks kosong (empty matrix)

2cdf2rdf(A)Konversi bentuk diagonal kompleks ke bentuk blok diagonal real

3chol(A)Faktorisasi Cholesky

4W= cross(U,V)Cross product, Vektor W=U x V

5D = eig (A)D adalah vektor kolom yang memuat akar-akar karakteristik A

6[V,D] = eig(A)V adalah matriks persegi yang kolom-kolomnya merupakan vektor karakteristik dari A, dan D matriks diagonal yang anggota-anggotanya akar-akar karakteristik dari A

7exmp(A)Matriks eksponensial A

8hess(A)Bentuk Hessenberg

9logm(A)Matriks logaritma

10lu(A)Faktor-faktor dari eliminasi Gauss

11norm(A)Panjang vektor dan matriks

12null(A)Ruang nol dari A

13orth(A)Orthogonalisasi A

14poly(A)Polinomial karakteristik A

15polyval,(A)Evaluasi polinomial matriks A

16qr(A)Dekomposisi orthogonal-segitiga

17qz(A,B)Akar karakteristik tergeneralisasi

18rank(A)Banyaknya baris atau kolom yang bebas linear

19rref(A)Bentuk echelon baris tereduksi A

20sum(k)Jumlah nilai-nilai pada vektor kolom k

21svd(A)Dekomposisi nilai singular

10.2 VEKTOR DAN MATRIKS

Suatu vektor dapat dinyatakan dengan array. Untuk vektor baris tentu saja dinyatakan dengan array baris, demikian juga untuk vektor kolom menggunakan array kolom. Disini akan dibahas untuk vektor-vektor yang dinyatakan secara kolom. Suatu vektor kolom memounyai suatu dimensi nx1 jika banyaknya komponen dari vektor adalah n. Penulisan vektor atau matriks dalam MATLAB tentu saja mengikuti cara penulisan array.

Dalam Aljabar vektor, vektor u=dan v=

Contoh 10.1 :

>>%contoh operasi pada vektor

>>u = [-1; 0; 1]

u =

>> v = [1; 2; 1]

v=

>>m = 3*u

m =

>>n= -7*u + 3*v

n =

>>pj_u = norm(u)

pj_u =

1.4142

>>pj_mplusn = norm (m + n)

pj_mplusn =

9.2736

>>c = sum(u.*v)

c =

0

>>d= sum(m.*n)

d=

-42

>>cos A = sum(u.*v)/(norm(u)*norm(v))

cosA =

0

>>sudut_A = acos(cosA)

sudut_A =

1.5708

>>sudut_Adrajat = sudut_A*180/pi

sudut_Adrajat =

90

Fungsi m-file untuk mengetahui besar sudut (dalam derajat) antara dua buah vektor yang diketahui.

Contoh 10.2 : (fungsi m-file)

function s = sudut (u,v)

%fungsi = sudut antara dua vektor

%vektor u dan v adalah vektor kolom

%sudut (s) dalam derajat

%jika inputnya tidak dua vektor , salah

If nargin ~= 2

error(banyaknya input harus dua vektor)

end

%jika dimensi kedua vektor tidak sama, salah

Aa = length (u);

Bb= length (v);

If a~= b

error(kedua vektor harus berdimensi sama)

end

c= sum (u.*v);

d = norm(u);

e = norm(v);

f= c/(d*e);

g= acos(f);

h=g*180/pi;

s = h;

Menggunakan fungsi sudut untuk mencari sudut (dalam derajat) antara dua vektor sebagai berikut :

>>p = [2;-1;3;1];

>>q = [1;-1;1;-1];

>>d = sudut(p,q)

d=

49.7970

Untuk matriks persegi A, dapat dicari di antaranya determinan, invers (jika determinannya tidak nol), dan matriks.

Contoh 10.3:

>>%contoh fungsi fungsi pada matriks persegi

>>B = [1 2 -1; 2 0 1;1 1 2]

B=

>> k = det(B)

k=

-9

C=inv(B)

C=

>>adjB = C*k

adjB =

>>B*adjB

ans =

Dalam teori matriks diketahui bahwa matriks adjoint merupakan matriks yang anggota-anggotanya adalah kofaktor dari matriks. Untuk itu dapat dibuat fungsi untuk mendapatkan matriks adjoint dengan bantuan kofaktor. Fungsi adjoint dibentuk menggunakan fungsi kofaktor dan fungsi reshape. Perintah reshape (A,m,n) akan membentuk matriks berdimensi mxn yang elemen-elemennya diambilkan dari kolom-kolom yang bersesuaian dari matriks A.

Contoh 10.4 (fungsi m-file):

function cst = kofaktor (A,s,t)

%function = kofaktor (A,s,t) untuk menghitung kofaktor

%menghitung kofaktor c_st dari unsur a_st dari matriks A

[m n] = size (A);

If m ~= n

Error(matriks harus matriks persegi)

End

B = A([1:s-1,s+1:n],[1:t-1,t+1:n]);

cst = (-1)^(s+t) * det(B);

Contoh 10.5 : (fungsi m-file)

Function B = adjoint(A)

%fungsi adjoint untuk mencari matriks adjoint

%dibuat menggunakan fungsi kofaktor dan reshape

[m n]=size(A);

If m~=n

Error(matriks harus matriks persegi)

End

C = [ ];

For k = 1:m

For r = 1: n

C = [c; kofaktor(A,k,r)];

End

End

B = reshape(C,m,m);

Mencari kofaktor suatu matriks dam matriks adjoint.

Contoh 10.6:

>>%penggunaan fungsi kofaktor dan adjoint

>>G= [1 2 -3;1 -1 1;0 1 -2]

G=

>>kofaktor(G,1,1)

Ans = 1

>>kofaktor(G,3,2)

Ans = -4

>>H = adJoint(G)

H =

>>inversG = H/det(G)

inversG =

>>inversGinv = inv(G)

inversGinv =

Untuk matriks persegi singular (determinannya sama dengan nol) atau bukan matriks persegi juga mempunyai invers, yang dikenal dengan pseudo invers (invers semu). B dikatakan pseudo invers dari A jika memenuhi hubungan ABA = A. Untuk mendapatkan pseudo invers digunakan fungsi pinv.Contoh 10.7:

>>%contoh penggunaan fungsi pinv

>> A = [1 -2 3;2 1 2;4 -3 8]

A = >> k = det(A)

k=

0

>> B = pinv(A)

B =

>. Cek = A*B*A

cek=

>> C = [2 -1 1 2;`1 0 1 2;2 1 -3 3]

C=

>> pinv(C)

ans=

10.3 Eselon Baris Tereduksi dan Pemfaktotoran Matriks

Salah satu manipulas matriks adalah mendapatkan bentuk eselon baris tereduksi dan memfaktorkan matriks. Fungsi rref berguna untuk mendapatkan bentuk eselon baris tereduksi. Dalam teori matriks, untuk matriks A, ada matriks non singular sehingga PA = E. Dengan kata lain, A = P-1 E, yang berarti dapat difaktorkan sebagai produk dari matriks nonsingular dengan matriks eselon tereduksi.

Contoh 10.8:

>> %Penggunaan fungsi rref dan pemgfaktoran matriks

>> C = [2 -1 1 2;1 0 1 2;2 1 -3 3]

C=

>> E = rref(C)

E =

>> P = E/C

P=

>>P = E/C

>>L = inv(P)

L =

>>cek = L*E

cek =

N = (rref(rref(C)))

N =

Dalam contoh di atas perhatikan juga bahwa dengan variasi fungsi rref dan operator tanpose dapat juga digunakan untuk menemukan bentuk normal (N) dari suatu matriks. Dalam teori matriks, untuk matriks A selalu ada matriks nonsingular P dan Q sedemikian hingga PAQ = N.

Untuk matriks persegi A, MATLAB manyediakan fungsi khusus untuk pemfaktoran yaitu lu. Perintah [B S] = lu(A) akan mendapatkan matriks B dan S sedemikian hingga A = BS. Sedangkan untuk matriks umum A, yang dikenal dengan dekomposisi ortogonal segitiga (orthogonal-trigunal decomposition). Perintah [G E]= qr(A) akan menghasilkan matriks ortogonal G dan matriks eselon E sedemikian hingga A = G E. Jika A adalah matriks E merupakan matriks segitiga.

Contoh 10.9

>> %dekomposisi matriks dengan fungsi lu dan qr

>> A = [1 -2 1;0 1 -1;2 1 -1]

A=

>> [H K] = lu(A)

H=

K=

>> H*K

ans=

>> [L E] = qr(A)

L=

E =

>> L=L

ans=

>> L*E

ans=

>> B = [1 -1 2 3;1 0 1 2;-2 1 1 2]

B =

>> [M N] = lu(B)

??? Error Using = = > lu

>> [T E] = qr(B)

T =

E =

10.4 Transformasi Linear

Transformasi linier T dari ruang vektor terhingga Rn ke Rm, dalam matematika secara umum dinyatakan dengan T : Rn Rm.. telah diketahui bahwa setiap transformasi linear T selalu dapat direpresentasikan dengan matriks A berdimensi mxn sedemikian hingga T(v) = Av, untuk setiap vektor v Rn.

Persoalan yang berhubungan dengan transformasi linear T adalah persoalan pada ruang kolom (column space), ruang nol (null space), ruang baris (row space). Persoalan tersebut biasanya sekitar pencarian basis dan dimensi. Karena trnsformasi linear T tersebut dapat direpresentasikan dengan matriks A, maka pertanyaan-pertanyaan disekitar subruang (ruang kolom, ruang nol, ruang baris) dapat dengan mudah dicari berdasarkan matriks transformasi A. Fungsi MATLAB yang digunakan untuk persoalan transformasi linear adalah fungsi rref dan null serta rank.

Perintah [E pvot] = rref akan mendapatkan matriks E yang merupakan bentuk eselon baris tereduksi dari A, serta kolom pivot yang menunjukkan posisi kolom di mana elemen pivot dari bentuk E berada. Perintah rank(A) akan mendapatkan banyaknya baris yang bebas linear dari A. Sedangkan perintah null(a), mendapatkan baris orthonormal dari ruang nol (Kernel) atau perintah null(A,r) akan mendapatkan basis rasional dari ruang nol.

Andaikan transformasi linear T : R5 -R3 dengan rumus T(x,y,z,w) = (x+2y+z-s+3w, 2x+4y+2z-s+7w, x+2y+2z+s+2w). Matriks yang mempresentasikn transformasi T tersebut adalah : A = . Untuk mendapatkan basis dan dimensi dari subruang dari transormasi T tersebut dapat dikerjakan sebagaimana Contoh 10.10 berikut ini.

Contoh 10.10:

>>%ruang baris, ruang kolom dan ruang nol

>> A = [1 2 1 -1 3; 2 4 2 -1 7; 1 2 2 1 2]

A=

>> [E p] = rref(A);

>> k = length(p);

>> basis_rbaris = E(1:k,:)

basis_rbaris =

>> dim_rbaris = rank(A)

Dim_rbaris=

3

>> basis_rkolom= A(:,p)

Basis_rkolom =

>> dim_rkolom = rank(A)

dim_rkolom =

3

>> basis_rnol = null(A,r)

Basis_rnol=

>> dim_rnol = min(size(basis_rnol))

dim_rnol=

2

Contoh 10.11: M-file

%Program Transformasi Linear

%Mendapatkan bsis dan dimensi

%ruang baris,ruang kolom, dan ruang nol

clc

disp(TRANSFORMASI LINEAR)

disp(---------------------------------)

disp(Oleh : Budi Murtiyasa)

disp( )

T = input(Inputkan matriks transformasi T =);

[E p] = rref(T);

k = length(p);

a = E(1:k,:);

b = rank(T);

c = T(:,p);

d = rank(T);

e = null(T,r);

f = min(size(e));

%menampilkan size

disp ( )

disp(;RUANG BARIS :)

disp(sprintf(Dimensi ruang baris = %.4g,b))

disp(Basis ruang baris = ), disp (a)

disp(-)_

disp(RUANG KOLOM / RUANG PETA :)

disp(sprintf(Dimensi ruang kolom = %.4g,d))

disp(basis ruang kolom=), disp(c)disp ( )

disp (RUANG NOL:)

disp(sprintf(Dimensi ruang nol = %.4g,))

disp(Basis ruang nol = ), disp(e)